RL
/
RC
회로의 완전응답
Ø RL/RC 회로 해석을 위한 1차 미분방정식의 해를 구하는 방법 이해 Ø 무전원에서의 완전응답 계산 방법 이해 Ø DC전원에서의 완전응답 계산 방법 이해 Ø 연속 스위칭 회로의 완전응답 계산 방법 이해
학습목표
2/42 Ø 연속 스위칭 회로의 완전응답 계산 방법 이해 Ø 초기값 선정에 따른 잘못된 결과에 대한 이해목 차
8.1
RL
/
RC
회로의 해석
8.2 1차 미분방정식의 해
8.3 무전원응답
8.4 시정수
8.5
RL
/
RC
회로의 DC 전원응답
8.6 연속 스위칭회로
Section 8.1
RL
/
RC
회로의 해석
q RL 혹은 RC 회로의 해석 • 궁극적으로 1차 미분방정식의 해를 구하는 것 q RL 회로의 해석 [그림 8-1] 회로에서 t > 0일 때 인덕터에 흐르는 전류 i (t )를 구하라.예제 8-1
4/42 [그림 8-1] 회로에서 t > 0일 때 인덕터에 흐르는 전류 iL(t )를 구하라.)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
i
t
R
t
v
t
i
t
i
t
i
S=
R+
L=
R+
Ldt
t
di
L
t
v
t
v
R(
)
=
L(
)
=
L(
)
여기서
Þ
=
+
\
(
)
i
(
t
)
i
(
t
)
dt
t
di
R
L
S L L(
)
(
)
i
(
t
)
L
R
t
i
L
R
dt
t
di
S L L=
+
Section 8.1
RL
/
RC
회로의 해석
q [유의점] 인덕터 회로에서 미분방정식 유도 • t > 0일 때의 함수값을 찾기위해서 초기함수값 iL(0+)의 계산이 필요 • 인덕터 회로에서는 항상 iL (0-) = i L(0+) • 회로해석 시, 초기 시간에서 불연속 문제를 피하려면? 구하고자 하는 변수가 전압 v (t )라도 구하고자 하는 변수가 전압 vL(t )라도 전류 iL(t )에 의한 미분방정식을 세워서 해석하고, 옴의 법칙을 이용해 전류로 변환하여 해를 구하는 것이 좋다.Section 8.2
1차 미분방정식의 해
q 회로해석에서의 1차 미분방정식의 해 • 초기값 : x (t0) = x0 • 1차 미분방정식 • 일반해 : 등차해 + 특수해 (회로해석에서는 완전응답))
(
)
(
)
(
t
i
L
R
t
i
L
R
dt
t
di
S L L=
+
6/42 (회로해석에서는 완전응답) • 등차해 : 우변 함수 f (t ) = 0일 때 얻는 해 (회로해석에서는 입력전원이 없는 경우, 과도응답) • 특수해 : 우변의 함수 f (t )의 종류에 따라서 종속되는 부가적인 해 (회로해석에서는 정상상태응답)Section 8.2
1차 미분방정식의 해
8.2.1 1
8.2.1 1차
차 미분방정식의
미분방정식의 등차해
등차해
• 1차 미분방정식의 등차해는 아래와 같은 등차방정식의 해를 말한다. q 계수분리법)
(
)
(
)
(
t
i
L
R
t
i
L
R
dt
t
di
S L L=
+
q 계수분리법 • [예제 8-1] 등차방정식을 나타내면 다음과 같다. • 여기서 변수 t 와 iL (t )를 등호 양쪽으로 분리하면 다음과 같다.Section 8.2
1차 미분방정식의 해
• 그리고 양변을 적분하면 8/42 • 완전한 해를 얻으려고 주어진 초기값 iL (0)를 식 (8.7)에 대입하면 다음과 같고 • 결국 이 1차 미분방정식의 등차해는 다음과 같다.Section 8.2
1차 미분방정식의 해
q가상해에 의한 계산법
• 등차해의 모양을 지수함수로 가정한 다음, 이 함수를 원래의 미분방정식에 대입하여 해를 구하는 방법 • 즉 식 (8.9)와 같이 iL(t )의 등차해를 가정하고, 이 식을 원래의 식에 st Lt
Ae
i
(
)
=
) ( ) ( t i L R dt t di L L -= à 근이 지수형태임 대입하여 상수 A와 s의 값을 구하는 방법이다. • 따라서 원래의 식 (8.6)에 가정한 식 (8.9)를 미분하여 대입하면 다음과 같다.0
)
(
)
(
=
+
i
t
L
R
dt
t
di
L L0
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
+
Þ
L
R
s
Ae
Ase
L
R
Ase
st st stL
R
s
=
-Þ
Section 8.2
1차 미분방정식의 해
• 그러므로 이 되고, 가 된다. • 여기에 초기값 iL(0)을 대입하여 계수분리법과 마찬가지로 A 값을 계산하면 최종적으로 등차해는 다음과 같다.)
10
.
8
(
)
0
(
)
(
Lt R L Lt
i
e
i
=
-10/42)
10
.
8
(
)
0
(
)
(
Lt R L Lt
i
e
i
=
-Section 8.2
1차 미분방정식의 해
q 라플라스 변환에 의한 계산법 • 시간함수 f (t )를 라플라스 영역인 s 안의 함수 F(s )로 변환하는 것 • 이때 n차 미분방정식의 계산은 단순 n차 방정식으로 변하게 된다. • 즉 미분방정식을 만드는 인덕터와 커패시터의 전압-전류 관계식이 라플라스 변환 영역에서는 단순 방정식과 같은 모양을 가진다는 뜻 • 최종적인 결과값은 라플라스 영역에서 계산된 F ’(s ) 값을 다시 시간함수 • 최종적인 결과값은 라플라스 영역에서 계산된 F ’(s ) 값을 다시 시간함수 f ‘(t )로 역변환하여 얻는다. • 단점 : 함수의 변환과 역변환이 때로는 계산하기 어렵다. • 장점 : 1. 단순방정식으로 변환 가능 2. 등차해 뿐만 아니라 특수해까지 한꺼번에 얻을 수 있다 • 자세한 내용은 ‘13장의 13.4절 라플라스 변환에 의한 회로해석’에서 설명Section 8.2
1차 미분방정식의 해
q회로해석에 적합한 등차해 계산법
• 커패시터나 인덕터가 한 개씩 섞여 있는 회로의 경우 : 1차 미분방정식을 구하는 것으로 충분히 해를 구할 수 있다. • 두 가지 소자가 함께 섞여 있는 회로의 경우 : 2차 이상의 미분방정식을 구해야 한다. 12/42 2차 이상의 미분방정식을 구해야 한다. - 계수 비교법과 라플라스 변환에 의한 방법은 계산이 복잡 - 지수함수를 가상해로 이용한 방법이 가장 보편적으로 사용Section 8.2
1차 미분방정식의 해
8.2.2 1
8.2.2 1차
차 미분방정식의
미분방정식의 특수해
특수해
• 1차 미분방정식의 특수해는 미분방정식 dx(t )/dt + ax (t ) = f (t )의 입력함수 f (t )의 모양에 따라 해의 모양이 달라진다. • 즉, 입력함수의 모양과 같은 형태의 특수해 출력함수를 얻게 된다.)
(
)
(
)
(
t
f
t
ax
dt
t
dx
=
+
Section 8.3
무전원 응답
q 무전원응답
• RL 혹은 RC 회로에 전원이 없는 경우의 응답을 무전원응답이라 한다.
Section 8.3
무전원 응답
q무전원
RL
회로의 1차 미분방정식
• 인덕터 전류 iL (t )에 대한 미분방정식을 구하면 KCL에 의하여 iL (t ) = - iR (t )가 되고, iR (t )는 다음과 같다.dt
t
di
R
L
R
v
R
v
t
i
R(
)
=
R=
L=
L(
)
• 주어진 초기값 iL (t0+)에 대한 1차 미분방정식으로 정리하면 다음과 같다.0
)
(
)
(
t
+
i
t
=
i
L RÞ
(
)
+
(
)
=
0
dt
t
di
R
L
t
i
L L)
6
.
8
(
0
)
(
)
(
=
+
i
t
L
R
dt
t
di
L LSection 8.3
무전원 응답
q무전원
RC
회로의 1차 미분방정식
• 커패시터 전압 vC (t )에 대한 미분방정식을 구하면 KVL에 의하여 vR (t ) = vC (t )가 되고 vC (t )는 다음과 같다.)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
v
t
dt
t
dv
RC
t
Ri
t
Ri
t
v
t
i
t
i
R=
-
CÞ
R=
R=
-
C=
-
C=
C 16/42 • 주어진 초기값 vC (t0+)에 대한 1차 미분방정식으로 정리하면 다음과 같다.)
12
.
8
(
0
)
(
1
)
(
=
+
v
t
RC
dt
t
dv
C CSection 8.3
무전원 응답
q표준형 1차 미분방정식
• 무전원 RL 혹은 RC 회로에서 얻은 1차 미분방정식은 다음과 같은 표준형 1차 미분방정식으로 대표하여 기술할 수 있다.)
13
.
8
(
0
)
(
1
)
(
=
+
x
t
dt
t
dx
t
• 단지 변수 x 는 iL (t )이거나 vC (t )고, 상수 t 의 값은 RL 의 경우 L /R, RC 회로의 경우 RC 값을 가진다.)
12
.
8
(
0
)
(
1
)
(
=
+
®
v
t
RC
dt
t
dv
RC
C C)
6
.
8
(
0
)
(
)
(
=
+
®
i
t
L
R
dt
t
di
RL
L LSection 8.3
무전원 응답
q무전원 회로의 완전응답
• 완전응답을 구하려면 과도응답과 정상상태응답을 구해야 한다. • 무전원 회로 : 우변의 전원함수 값 = 0 (f(t) = 0). 즉, 정상상태응답은 0 • 따라서, 완전응답=과도응답 • 과도응답은 가상해를 이용 à x (t ) = Aest로 가정하고 미분방정식에 18/42 • 과도응답은 가상해를 이용 à x (t ) = Aest로 가정하고 미분방정식에 대입하면, 식 (8.13)은 다음과 같이 된다. • s = - (1/τ) 이므로 결국 다음과 같이 구할 수 있다.Þ
=
+
1
(
)
0
)
(
t
x
dt
t
dx
t
0
1
1
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
+
t
t
Ae
Ae
s
Ase
st st st)
14
.
8
(
)
(
1 tAe
t
x
=
-tSection 8.3
무전원 응답
• 이때 상수 값 A를 얻기 위해 초기값 x (t0+)을 대입하면 다음과 같다. • 다시 무전원 RL 회로의 경우로 돌아가면 다음과 같다. 0 0 1 0 1 0)
(
)
(
t
Ae
tA
x
t
e
tx
=
-tÞ
=
t)
15
.
8
(
)
(
)
(
)
(
( ) 1 0 1 1 0 1 0 0 t t t t te
t
x
e
e
t
x
Ae
t
x
=
-t=
t -t=
-t -• 다시 무전원 RL 회로의 경우로 돌아가면 다음과 같다. • 무전원 RC 회로의 경우는 식 (8.17)의 일반해를 얻는다.)
16
.
8
(
)
(
)
(
0 L(t t0) R L Lt
i
t
e
i
=
--)
17
.
8
(
)
(
)
(
( ) 1 0 0 t t RC C Ct
v
t
e
v
=
--Section 8.4
시정수
q시정수τ의 값
• 시정수의 값은 회로의 과도응답의 속도와 관계가 있다.q 무전원
RL
회로의 과도응답 그래프
20/42 τ 의 값은 초기시간 t0에서 함수 의 접선의 기울기(미분 값) ( 0) 1 0)
(
)
(
L t t Lt
i
t
e
i
=
-t-t
)
(
)
(
0 0t
i
dt
t
di
L t t L=
-=
Section 8.4
시정수
q 무전원 RC 회로의 과도응답 그래프
• 다음은 RC 회로의 과도응답 그래프에서 시정수를 나타낸다. ( 0) 1 0)
(
)
(
RC t t C Ct
v
t
e
v
=
- -( )t
)
(
)
(
)
(
1
)
(
0 0 1 0 0 0t
v
RC
t
v
t
v
e
RC
dt
t
dv
C C t t C t t RC t t C-=
-=
-=
= -= ( 0) 1 0)
(
)
(
RC t t C Ct
v
t
e
v
=
- -( )t
)
(
)
(
)
(
1
)
(
0 0 1 0 0 0t
v
RC
t
v
t
v
e
RC
dt
t
dv
C C t t C t t RC t t C-=
-=
-=
= -=Section 8.5
RL
/
RC
회로의 DC 전원응답
qDC 전원이
RL
혹은
RC
회로에 연결되었을 때의 완전응답
• RL 혹은 RC 회로에서 1차 미분방정식을 유도할 수 있다. • 단, 입력함수 f (t )는 DC 값을 가지므로 무전원 응답과는 다르게 정상상태응답을 구해 과도응답과의 합으로 완전응답을 구해야 한다. 22/42Section 8.5
RL
/
RC
회로의 DC 전원응답
• RL 회로에서 iL (t )에 대한 미분방정식 (초기값 iL (t0))dt
t
di
L
t
Ri
t
v
t
Ri
v
s=
L(
)
+
L(
)
=
L(
)
+
L(
)
s L Lv
L
t
i
L
R
dt
t
di
1
)
(
)
(
=
+
Þ
• RC 회로에서 vc (t )에 대한 미분방정식 (초기값 vc (t0)))
(
)
(
)
(
)
(
v
t
dt
t
dv
RC
t
v
t
Ri
v
s=
C+
C=
C+
C s C Cv
RC
t
v
RC
dt
t
dv
1
)
(
1
)
(
=
+
Þ
Section 8.5
RL
/
RC
회로의 DC 전원응답
• 따라서 두 회로에서 유도한 미분방정식 모두 일반화된 수식으로 다시 쓰면 주어진 초기값 x (t0)에 대하여 다음과 같다. (K 는 상수값) • 이러한 1차 미분방정식의)
20
.
8
(
)
(
1
)
(
K
t
x
dt
t
dx
=
+
t
24/42 • 이러한 1차 미분방정식의 완전응답 x (t ) = 과도응답 xT (t ) + 정상상태응답 xSS (t )• 과도 응답 x
T(t) : Transient Response
Section 8.5
RL
/
RC
회로의 DC 전원응답
q 과도응답
• 과도응답은 우변의 K 값을 0으로 하는 등차방정식의 해)
21
.
8
(
0
)
(
1
)
(
=
+
x
t
dt
t
dx
t
• 이 식에서 x (t ) = Aest 로 가정하고 미분방정식에 대입하면 다음과 같이 과도응답을 구할 수 있다.RC
t
v
t
x
RC
®
T(
)
=
CT(
),
t
=
L
t
i
t
x
RL
®
T(
)
=
LT(
),
t
=
)
22
.
8
(
)
(
1 t Tt
Ae
x
=
-tSection 8.5
RL
/
RC
회로의 DC 전원응답
q정상상태응답
• 정상상태응답은 우변의 입력함수 모양에 따라 결정되는 응답 • 상수 K가 입력되었으면 출력응답 역시 상수 값 L이 된다고 가정.이 정상상태응답 값을 미분방정식에 대입하면 역시 만족해야 한다.K
L
K
L
dt
dL
K
t
x
dt
t
dx
t
t
t
=
Þ
+
=
Þ
=
+
1
(
)
1
)
(
26/42 • 그러므로, 최종 정상상태응답은 다음과 같다. • 따라서 완전응답은 다음과 같다.K
L
K
L
dt
dL
K
t
x
dt
t
dx
t
t
t
=
Þ
+
=
Þ
=
+
1
(
)
1
)
(
)
23
.
8
(
)
(
t
K
x
SS=
t
)
24
.
8
(
)
(
)
(
)
(
1K
Ae
t
x
t
x
t
x
=
T+
SS=
-tt+
t
Section 8.5
RL
/
RC
회로의 DC 전원응답
• 이때, 상수 A 값은 초기값 x(t0)을 완전 응답식에 대입하여 얻을 수 있다. • 그러므로 이 값을 대입한 최종 완전응답 x (t )는 다음과 같다.K
Ae
t
x
t
x
t
x
=
T+
SS=
-tt0+
t
1 0 0 0)
(
)
(
)
(
(
)
0 1 0)
(
t
K
e
tx
A
=
-
t
t • 즉, 식 (8.25)는 다음과 같이 표현될 수 있다. 단, 여기에서 최종 값은 정상상태 응답 값과 같다.(
(
)
)
(
8
.
25
)
)
(
( ) 1 0 0 t te
K
t
x
K
t
x
=
t
+
-
t
-t-Section 8.5
RL
/
RC
회로의 DC 전원응답
• 따라서 원래 DC 전원 RL 회로와 RC 회로에서 iL(t )와 vc(t )의 완전 응답은 위의 결과를 주어진 값에 대입하면 각각 다음과 같다.(
(
)
)
(
8
.
27
)
)
(
)
26
.
8
(
)
(
)
(
) ( 1 0 ) ( 0 0 0 t t RC s C s C t t L R s L s Le
v
t
v
v
t
v
e
R
v
t
i
R
v
t
i
-+
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-+
=
28/42 • 만약 초기시간 t0 = 0이라면 다음과 같다.(
(
)
)
(
8
.
27
)
)
(
)
26
.
8
(
)
(
)
(
) ( 1 0 ) ( 0 0 0 t t RC s C s C t t L R s L s Le
v
t
v
v
t
v
e
R
v
t
i
R
v
t
i
-+
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-+
=
(
(
0
)
)
(
8
.
29
)
)
(
)
28
.
8
(
)
0
(
)
(
1 t RC s C s C t L R s L s Le
v
v
v
t
v
e
R
v
i
R
v
t
i
-+
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-+
=
Section 8.5
RL
/
RC
회로의 DC 전원응답
• 예를 들어 vc(t )의 그래프로 그려 보면 [그림 8-6]과 같다.(
)
RCt s C s Ct
v
v
v
e
v
1)
0
(
)
(
=
+
-
-• 커패시터는 초기 전압 값부터 최종 전압 값(정상상태응답 값)까지 충전 • 최종 전압 값은 입력전압 vs와 같은 값이므로 입력전압 값까지만 충전 가능(
)
RCt s C s Ct
v
v
v
e
v
1)
0
(
)
(
=
+
-
-Section 8.5
RL
/
RC
회로의 DC 전원응답
q [유의점] 초기값 적용의 시기
• 등차방정식의 해인 Ae-(1/τ)t에서 A를 초기값으로 계산할 때 무전원 회로의 경우에는 과도응답을 구한 후에 계산했고, DC 전원회로에서는 정상상태응답을 구하여 완전응답에 적용했다. • 초기값은 언제나 과도응답과 정상상태응답을 구하여 완전응답을 30/42 • 초기값은 언제나 과도응답과 정상상태응답을 구하여 완전응답을 얻은 후에 최종 완전응답에 적용해야 한다는 것을 유의해야 한다. ü무전원 회로의 경우에는 입력전원이 없으므로 정상상태응답이 0이 되어 과도응답이 완전응답과 같으므로 과도응답을 얻은 후에 적용했을 뿐임Section 8.5
RL
/
RC
회로의 DC 전원응답
q[유의점]
RC
회로에서의
i
c(
t
)의 계산
• 주어진 RC 회로에서 구하려는 것이 ic(t )일 때 어떻게 구할 수 있나? • [그림 8-5]의 RC 회로를 KVL에 의해 수식을 다시 쓰면 다음과 같다.)
(
)
(
1
)
(
)
(
0 0t
v
d
i
C
t
Ri
t
v
t t C C s=
+
ò
t
t
+
• 그리고 양변을 미분하면 • 결국 완전응답은 무전원회로의 완전응답을 구하는 방법에 의해 식 (8.30)이 된다.0
)
(
1
)
(
)
(
1
)
(
0
=
+
Þ
+
i
t
=
RC
dt
t
di
t
i
C
dt
t
di
R
C C C C ) ( 1 0 t t RC -+Section 8.5
RL
/
RC
회로의 DC 전원응답
• 이때 커패시터의 초기값이 vc (t0)이면, t > 0일 때의 ic (t )의 완전응답은 다음과 같이 구할 수 있다. • 주의할 점은 RC 회로의 i (t )를 구할 때, 초기값 v (t )에 의한 계산을)
31
.
8
(
)
(
)
(
( ) 1 0 RC t t0 C s Ce
R
t
v
v
t
i
=
-
- -32/42 • 주의할 점은 RC 회로의 ic (t )를 구할 때, 초기값 vc(t0)에 의한 계산을 먼저 하고, ic (t )의 완전응답을 구해야 올바른 값을 구할 수 있다.Section 8.5
RL
/
RC
회로의 DC 전원응답
8.5.2 DC
8.5.2 DC 전원회로에서
전원회로에서 회로해석을
회로해석을 통한
통한 정상상태응답
정상상태응답 계산
계산
• 입력과 출력의 정상상태응답이 상수 값이라고 가정하면 • 인덕터의 경우: Ü DC 전원 입력에 대한 인덕터 소자는 단락회로와 같이 작용 • 커패시터의 경우: Ü DC 전원 입력에 대한 커패시터 소자는 개방회로와 같이 작용Section 8.5
RL
/
RC
회로의 DC 전원응답
• 회로해석으로 DC 전원회로의 정상상태응답을 계산하는 것은 인덕터를 단락시키고 커패시터를 개방시켜 얻을 수 있다.
