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동수역학
(11주차)
7. Bernoulli의 방정식
Euler의 운동방정식 (4-10)를 범위 s에 대하여 적분하면
로 된다. 이 식은 힘이 한 일 또는 유체가 가지는 에너지를 표시하며 다음 식과 같이 바꾸어 쓸 수 있다.
이것은 이상유체가 유선 위 임의의 점에서 보유하는 여러 가지 에너지의 총합이 유선에 따라 일정불변임을 뜻한다. 그러나 이 에너지의 크기는 일반적으로 각 유선에서 그 값을 달리한다. 이 식은 (4-11)은 다음과 같은 가정 하에서 성립하는 것이다. ① 이상유체이다. ② 정상유동이다. ③ 유체입자는 유선에 따라 움직인다. 유체가 비압축성일 때에는 식 (4-11)에서 이므로 ··· (4-11) 또는 ··· (4-12) 여기서, ：유선상 한 점에서의 압력[kgfm] ：유속[msec] ：임의의 기준 수면에서의 높이[m] ：단위 체적에 있어서의 물의 중량, 즉 유체의 비중량[kgfm] ：중력 가속도[msec] ：압력수두[m], ：속도수두[m], ：위치수두[m], ：전수두[m]이다. 위식을 베루누이 방정식이라 한다.[그림 4-10] 전수두
압력수두, 속도수두, 위치수두의 합인 전수두, 즉 를 나타내는 선을 에너지선(Energy Line, EL)이라 한다. [그림 4-10]에서 ①, ②의 위치에 세운 피에조미터의 액주는 각 단면을 흐르는 유체의 압력을 나타내는데 이 액주의 정점을 맺는 선을 수력구배선(Hydraulic Grade Line, HGL) 이라 한다. (4-11) 식에 를 곱하면 다음과 같다. 여기서, ：정압(Static Pressure) ：동압(Dynamic Pressure) ：포텐셜 압력(Potential Pressure) 이것은 에너지를 압력의 차원으로 표시한 것으로서 가스의 비압축성 흐름을 다룰 때 편리하다. 유체가 기체인 경우는 가 작기 때문에 무시하여도 된다. 전압··· (4-13) 전압 동압 정압 여기서, ：동압 ：정압 ：전압(Total Pressure) p130
예제 바닥에서 3m 위치에 설치된 관로를 통해 유속 2m/s로 물이 흐르고 있다. 이때 압력계의 읽음이 500kPa 이면 전수두는 몇 m인가? 풀이 전수두는 × × m
8. 베르누이 방정식의 응용
1) 토리첼리 정리
베르누이 방정식은 유체흐름 중에 생기는 압력손실을 전혀 고려하지 않고 에너지 보존의 법칙 에 의해 유도된 식이다. 그러나 실제적으로 유동 중에는 점성의 영향에 의한 전단력, 접하는 고체 면에 의한 마찰저항, 유체입자들 간의 충돌에 의한 에너지 손실, 관의 축소․확대 및 공률 등 많은 요인들에 의해 압력손실이 발생하게 된다. 이러한 손실들을 통들어 손실수두(Head Loss) 로 표시하여 다음 식과 같이 나타내고 있다. ……… (4-14) 그러나 본 절에서는 을 고려하지 않고 원래의 베르누이 방정식을 이용하여 해석할 수 있는 문제들에 대해 살펴본다. [그림 4-11]과 같이 물에 담겨져 있는 큰 수조(Tank)를 생각하여 보자. 수면으로부터 되는 곳에 미소의 구명(Orifice)이 설치되어 물을 일정속도로 분출하고 있다고 하 자. 분류는 오리피스에서 밖으로 조금 떨어진 곳에서 최소단면을 갖는 수축부를 가졌다가 다시 확대되는데 이러한 현상을 수축현상(Vena Contracta)이라고 하며 이와 같이 대기 중에 분출되는 분류를 자유분사(Free Jet)라고 한다.[그림 4-11] 오리피스 탱크 내 물이 단면 ①에서 흘러 단면 ②로 흐른다고 하면, 단면 ①, ② 사이에 베르누이 방정식 을 다음과 같이 적용할 수 있다. 탱크의 수면높이 가 변하지 않는다고 하면 수면 ①의 속도 은 단면 ②에서의 속도 에 비하여 매우 작으므로 ≫ 이고 단면 ②에서의 압력 는 대기압과 같 으므로 0이다. 따라서 오리피스에서의 속도 는 이므로 ··· (4-15) 와 같이 된다. 이 식은 이탈리아의 물리학자인 Torricelli(1608~1647)가 처음으로 유도한 식으 로서 Torricelli 식이라고 한다. 식 (4-15)는 여러 가지 손실을 고려하지 않은 채 베르누이 방정식 으로부터 유도해낸 순수한 이론식으므로 실제유속은 이 값보다 작은 값을 나타낸다. 그러므로 이 계산값을 보정하기 위하여 보정계수를 고려하면 실제유속 은 여기서 를 속도계수(Coefficient of Velocity)라 한다.
예제 오리피스 지름이 10mm이고 흐름계수(Flow Coefficient)가 0.94인 관창으로부터 방수량을 측정하였더 니 매분 100L이였다면 방수압력은 몇 kPa인가? 풀이 연속방정식에 을 대입하면
→ × × × × ×
kPa 예제 그림과 같이 물위에 비중이 0.8인 액체가 놓여 있을 때 오리피스를 통해 밖으로 배출되는 유체의 유속 는 몇 ms인가? 풀이 액체의 높이로 생기는 압력과 같은 압력을 만드는 물의 깊이, 즉 상당깊이는 × × × m이므로 물의 높이로 환산한 노즐깊이는 m 따라서 노즐에서 유체의 속도 v는 × × ms예제 그림과 같이 물이 수조에 연결된 파이프를 통해 분출하고 있다. 수면과 파이프의 출구 사이에 총 압력 손실수두가 200mm이다. 이 때 분출속도와 유량을 구하라. 풀이 점의 ①, ② 위치에서 베르누이 방정식은 여기서 ≪ 이므로 ≈ m cm이 된다. 이것 을 위 식에 대입하면 × ms × × ms
2) 벤투리미터
벤투리미터(Venturi Meter)는 관내에 유동하는 유체의 압력에너지의 일부를 속도에너지로 변 환시켜 유량을 측정하는 기구로서 수축각이 20° 내외인 수축부(Convergent), 목 부분(Throat), 5~7° 확산되는 확산부(Divergent)로 구성되어 있다.벤투리미터는 1797년 이탈리아의 Giovanni Basttia Venturi(1746~1822)가 처음으로 고안한 유 량 측정 장치인데 1887년에 미국의 Clemens Herchel(1842~1930)에 의해 응용되기 시작하여 널 리 알려졌다.
[그림 4-12]와 같이 수평으로 놓인 벤투리미터의 입구 및 목 부분에서의 압력 , 유속을 , 라 하고 단면 ①, ② 사이에 흐름에 대한 에너지의 손실은 없으며 유체가 비압축성일 때 이 된다. 다음에 통로 ①, ②의 단면적을 , 라 하고 유량을 라 하면 연속방정식에서 이므로 이것을 위 식에 대입하면 다음 식과 같이 나타낼 수 있다.
이 식으로부터 목 부분의 유속 가 구해진다.
··· (4-16) 단면 ①, ②에 세운 피에조미터 액주의 차를 라 하면 이므로 유량 는
··· (4-17) 이 된다. 만일 압력이 높아서 단면 ①, ②에 시차 액주계를 달았을 때에는 액주의 높이차 를 측정하여 를 구한다. 즉, 마노미터액의 밀도를 , 그 높이를 라 하면 시차 액주계의 원리와 같이 하여 이것을 식 (4-16)에 대입하면 유량 는 다음과 같이 된다.
··· (4-18)여기서 는 유량계수이다. 예제 벤투리미터의 입구와 목 부분의 내경이 각각 300mm, 100mm이고 입구와 목 부분과의 정압의 차가 수은주로 250mm일 때 관속을 흐르는 물의 유량은 얼마인가? 풀이 × × m 를 대입하면
× × × ms3) 피토관
[그림 4-13]과 같은 장애물이 유체흐름 속에 놓이면 장애물이 유체흐름에 영향을 미쳐 점 ②에 서와 같이 유체가 움직이지 않는 영역이 생긴다. 이 점을 정체점(Stagnation Point)라 하고 이 점에서의 압력을 정체압력(Stagnation Pressure)이라 한다. [그림 4-13] 정체점 피토관(Pitot Tube)은 양단이 개방되어 있는 한 개의 관을 직각으로 굽힌 것이며 관의 한 끝을 흐름의 반대방향으로 놓고 다른 수직관 속에 유체의 전압에 상당하는 만큼 압력을 상승시켜 유속 을 측정하는 계기이다. [그림 4-14]와 같이 가는 관을 직각으로 구부려 흐르고 있는 물 속 깊이 만큼 넣었을 때 물이 가는 관을 통해 수면 위로 만큼 상승한 후 정지하고 관속의 물의 수직높이 ( )에 해당하는 압력과 점 ②에서의 물도 정지하게 된다. [그림 4-14] 피토관정체점인 점 ②에서의 정체압을 , 점 ①에서의 정압을 , 유속을 이라 하여 베르누이 방정 식을 적용하면 ··· (4-19) 가 되고 여기서 점 ①에서의 압력수두는 이고 점 ②는 정체점이므로 이다. 그러 므로 식 (4-19)는 이 되므로 ··· (4-20) 으로 표시된다. 즉, 수면에서 잰 수주의 높이 를 읽음으로써 점 ①에서의 유속이 구해진다. 그리고 식 (4-21)에서 압력 는 ··· (4-21) 가 되고 이 압력 는 정체압 또는 전압이라 한다. 또한 식 (4-21)에서 은 정압이고 은 동압이 된다. [그림 4-15] 피토 정압관 [그림 4-15]에서 관벽과 직각으로 뚫은 작은 구멍으로 흐르는 유체의 정압을 잡고 피토관을 유체의 흐름과 반대로 향하게 놓아 전압을 잡은 후 이 둘을 U자관 또는 시차압력계의 양끝을 연 결한다. 이렇게 하여 단면 ①과 ② 사이에 베르누이 방정식을 이용하면 이고 여기서 점 ②는 정체점이므로 가 되어 위 식은 ··· (4-22)
으로 나타낼 수 있다. 그리고 U자관에서 기준면을 a-b로 하면 a-b 단면에 작용하는 압력은 같 으므로 단면 a-b에서의 압력은 이 되고 이 식을 정리하면 다음과 같다. 이 식을 (4-21)에 대입하면 가 되고 따라서 점 ①에서의 유속은
![[그림 4-10] 전수두](https://thumb-ap.123doks.com/thumbv2/123dokinfo/4781428.17434/2.892.311.606.147.404/그림-전수두.webp)
![[그림 4-11] 오리피스 탱크 내 물이 단면 ①에서 흘러 단면 ②로 흐른다고 하면, 단면 ①, ② 사이에 베르누이 방정식 을 다음과 같이 적용할 수 있다](https://thumb-ap.123doks.com/thumbv2/123dokinfo/4781428.17434/4.892.326.590.153.377/그림-오리피스-흐른다고-사이에-베르누이-방정식-다음과-적용할.webp)
![[그림 4-12] 벤투리미터](https://thumb-ap.123doks.com/thumbv2/123dokinfo/4781428.17434/6.892.147.733.143.603/그림-벤투리미터.webp)
