우석대학교 에너지전기공학과

우석대학교 에너지전기공학과

이우금 교수

6-2-3. 공액(conjugate) 복소수  복소수에서 실수부는 같고 허수부의 부호만 바뀐 관계의 복소수를 공액복소수 함.  공액복소수의 표시: 복소수 A 의 공액복소수는 A 로 표시함. A = 𝑎 + 𝑏𝑖 (공액복소수) A = 𝑎 − 𝑏𝑖  공액복소수의 연산  A + A = 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑎 − 𝑏𝑖 = 2𝑎  A − A = 𝑎 + 𝑏𝑖 − 𝑎 − 𝑏𝑖 = 2𝑏𝑖  A A = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑎 − 𝑏𝑖 = 𝑎2_{− 𝑏𝑖} 2 _{= 𝑎}2 _{+ 𝑏}2 0 𝑎 A = 𝑎 − 𝑏𝑖 𝑦 (허축) 𝑥 (실축) A = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑏 −𝑏 −𝑎 −A = −𝑎 − 𝑏𝑖

예제 1) 다음을 간단히 하라. 1-1) 𝑖5 _{= 𝑖}4_{× 𝑖 = (−1)}4_{× 𝑖 = −𝑖} 1-2) 𝑖 × −𝑖 = −𝑖2 _{= 1} 1-3) 𝑖999 _=? 예제 2) 두 복소수 A = 8 + 6𝑖 , B = −2 + 𝑖 에 합, 차, 곱셈, 나눗셈을 각각 구하라. 2-1) A + B = 8 + 6𝑖 + −2 + 𝑖 = 8 − 2 + 6 + 1 𝑖 = 6 + 7𝑖 2-2) A − B = 8 + 6𝑖 − −2 + 𝑖 = 8 + 2 + 6 − 1 𝑖 = 10 + 5𝑖 2-3) A B = 8 + 6𝑖 −2 + 𝑖 = −16 + 8 − 12 𝑖 + 6𝑖2 = −22 − 4𝑖 2-4) A B

=

=

=

=

= −2 − 4𝑖

6-3. 복소수의 극형식(삼각함수 형식) 6-3-1. 극형식 (polar form)  아래 복소평면에서 복소수 A = 𝑎 + 𝑏𝑖 를 나타내는 점을 𝑃(𝑎, 𝑏)라 하고, A 의 절대값을 𝑟, A의 할 때 편각(argument)을 θ 라 할 때, cos θ = 𝑎_𝑟 𝑎 = 𝑟 cos θ sin θ = 𝑏_𝑟 𝑏 = 𝑟 sin θ 그러므로 점 𝑃(𝑎, 𝑏)는 𝑃(𝑟 cos θ , 𝑟 sin θ)가 되며, 복소수 A 는

_{A = 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑟 cos θ + 𝑖𝑟 sin θ = 𝑟(cos θ + 𝑖sin θ)}

 여기서 𝑟, θ 는 각각 복소수의 절대값(크기)과 편각이므로, 𝑟 = A = 𝑎2_{+ 𝑏}2 θ = arg A = tan−1₍𝑏 𝑎) 0 𝑎 𝑃(𝑎, 𝑏) 𝑦 (허축) 𝑥 (실축) A = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑏 θ

예제 3) 다음복소수를 극형식으로 나타내라. 3-1) A = 1 + 𝑖, (1/4분면의 각)  크기: 𝑟 = A = 12 _{+ 1}2 _{= 2}  편각: θ = tan−1₍1 1) θ = 45° = π 4

 극형식: A = 𝑟 (cos θ + 𝑖 sin θ) = 2(cosπ

4 + 𝑖 sin π 4)  (검토) A = 2 cosπ₄+ 𝑖 sinπ₄ = 2 1₂+ 𝑖 1₂ = 1 + 𝑖 좌표형식 3-2) A = −3 − 3𝑖, (3/4분면의 각)  크기: 𝑟 = A = (−3)2₊₍₋₃₎2_{= 3 2}  편각: θ = tan−1₍−3 −3) θ = 45 °_{+ 180}° ₌ π 4 + π = 5π 4

 극형식: A = 𝑟 (cos θ + 𝑖 sin θ) = 3 2(cos5π₄ + 𝑖 sin5π₄)

 (검토) A = 3 2(cos5π+ 𝑖 sin5π) = 3 2 − 1 − 𝑖 1 = −3 − 3𝑖 0 1 𝑃(1, 1) 𝑦 (허축) 𝑥 (실축) A = 1 + 𝑖 1 θ -3 𝑃(−3, −3) 𝑦 (허축) 𝑥 (실축) A = −3 − 3𝑖 -3 θ 0

6-4. 복소수의 표현방식  직교좌표형식: A = 𝑎 + 𝑏𝑖  삼각함수형식(극형식): A = A cos θ + 𝑖sin θ  극좌표형식: A = A∠θ  지수함수형식: A = A𝑒𝑖θ 6-4-1. 극좌표형식  복소수의 크기(길이) 𝑟 및 편각 θ 로 표현되는 형식: P(𝑟, θ)  편각 θ :  양의 각: 원점을 중심으로 반 시계 방향으로 회전하는 각  음의 각: 원점을 중심으로 시계 방향으로 회전하는 각  복소평면 상에서 복소수 A 는 크기와 편각으로 표시됨. A = 𝑎 + 𝑏𝑖 = A∠θ 0 𝑃(𝑟,θ) 𝑦 (허축) 𝑥 (실축) A = A (크기) θ (편각) 𝑟 = A = 𝑎2 _{+ 𝑏}2 θ = arg A = tan−1₍𝑏 𝑎)

6-4-2. 지수함수 형식

 오일러공식(Euler formula)

 오일러공식의 정의: 𝑒±𝑖θ _{= cos θ ± 𝑖 sin θ}

 𝑒±𝑖θ _{의 크기: 𝑒}±𝑖θ _{= cos θ ± 𝑖 sin θ = cos}2_{θ ± sin}2_{θ = 1}

 오일러공식을 극좌표 형식으로 표시하면, 𝑒±𝑖θ _{= cos θ ± 𝑖 sin θ = 1∠ ± θ}  크기가 A 이고, 편각이 θ 인 복소수 A 의 지수함수형식은, A = A𝑒±𝑖θ 0 _cosθ 1 허축 (실축) 𝑒𝑖θ_{= 1∠ θ} sinθ θ

예제 4-1) 허수단위 𝑖 (즉, A = 𝑖)를 극좌표, 삼각함수 및 지수함수 형식으로 표시하라.  극좌표형식: 𝑖 = 1∠𝜋 2  삼각함수형식: 𝑖 = cos𝜋₂+ 𝑖 sin𝜋₂  지수함수 형식: 𝑖 = 𝑒𝑖𝜋2 = (cos𝜋 2+ 𝑖 sin 𝜋 2) 예제 4-2) 허수단위 −𝑖 를 극좌표, 삼각함수 및 지수함수 형식으로 표시하라.  극좌표형식: 𝑖 = 1 ∠ −𝜋₂  삼각함수형식: 𝑖 = cos(−𝜋₂) + 𝑖 sin(−𝜋₂)  지수함수 형식: 𝑖 = 𝑒−𝑖𝜋2 = cos(−𝜋 2) + 𝑖 sin(− 𝜋 2) 0 _cosθ 1 허축 (실축) 𝑒𝑖θ_{= 1 ∠ θ} sinθ θ