고급수학 1 기출문제 - [2021-1] 고급수학 1 중간고사

2021 - 1 고급수학 중간고사 채정

기존

1¢

매 5 " - - - s 수렴 . 세 T An= ""

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2

솛

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=o _< 1 이므로 비율 판정법에 의해 _a 은 절대수렴 ⇒ _속령 .☐ hㅋ ※ 고대급수 _{정리를 이용한 경우} 2건'_{을 모두 서술하지 않거나} , (ii) 4세의An) 을

iiiijeim.int#

또한 우변의 수열은 양항이고 , 감소 수열이먀 , 적분판정 법을 이용하면 o t h e r

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. 원래 급수도 수렴 ※ _의 다른_풀이

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는 ㅢ _<기선 에서 _{미분가능한} 함수이므로 , 평균값정리에 의해 각 7에 대해

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_{는 우변이}

수렴하지 _{않는다면 틀린} 등식이므로

(

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Et

1M

)

며 추가적인 타담화가 _없으면 논리적 오류로 간주한다.

채난이라고적으면

1주장의근까거의없외찬-.0점챛

(al (b),(C)

[

수렴의 근거를 어느정도 적었으나, 논리적 오류/비약이 포함 -3점

/

-5정답에

영향을 주지 않는 사소한 계산실수는 감정 _없음 .

3번

7

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-

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"

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,

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이외에도

다른

방법으로

논리적으로

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수렴성을

_보이면

_7점

②

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₄

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"

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_吠性

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며

모두수렴하기

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때문에

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8점

이외에도

다른

방법으로

논리적으로

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을

보이면

8점

#4. 다음급수의 합을 구하시요 :

E

75E

(15P디 . [풀에

안튾

]

F-1t자가뚫기Cx데지이막--02E다

J

5T

또한 , s _(M2) 가" (xER) . 이 = 1 t 가

돓

t - ②

J

+5N

① 에 가느3을 대입하면 ⇒

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E = 4t 9.

릃

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E = 1 + 3 .

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※

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ii,

(x #이

J

+5N

거듭제곱급수의 기본정리에

의해 - ni

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.

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자 갸3을 대입하면

톱

i

=

t

J +5ps.

※

사소한

계산

실수는

2점

(

가₃

대입

등 . )

※

미분1적분을 잘못한

_경우

사소한 실수로

취급하지

않음.

고급수학 중간고사 6번 채점기준 ex = 1 + x + x 2 2! + x3 3! + · · · = ∞ X k=0 xk k! 에서 근사다항식의 유일성에 의해 e−x2 = 1 − x2+ x 4 2! − x6 3! + · · · = ∞ X k=0 x2k k! (−1) k_. 이제 거듭제곱급수의 기본정리에 의해 f (x) = Z x 0 e−t2dt = x − x 3 3 + x5 5 · 2! − x7 7 · 3! + · · · = ∞ X k=0 x2k+1 (2k + 1)k!(−1) k_. (여기까지 5점) 이제 f (0.1) = ∞ X k=0 (0.1)2k+1 (2k + 1)k!(−1) k _{은 일반항의 절댓값이 감소하면서 0으로} 수렴하는 교대급수이므로      n X k=0 (0.1)2k+1 (2k + 1)k!(−1) k      ≤ (0.1) 2n+3 (2n + 3)(n + 1)!. (여기까지 5점, 일반항의 절댓값이 감소하고 0으로 수렴한다는 언급이 없을 시 -2점. 또는 교대급수의 성질을 이용하지 않아도 논리적으로 올바른 방법으로 오차를 추정하였을 경우 만점) 한편 n = 1 일 때, (0.1) 2n+3 (2n + 3)(n + 1)! = (0.1)5 5 · 2! = (0.1) 6 _{이므로, f (0.1)의} 근삿값은 0.1 − (0.1) 3 3 이다. (여기까지 5점, 근삿값은 분수로 표현하여도 되며, (0번째부터 셀 시) 첫번째 항까지만 더하지 않고 그보다 더 더한 답안도 답으로 인정). 1

(다른 풀이) 원점에서의 테일러 정리를 이용하기 위해 f 를 미분하면 f0(x) = e−x2, f0(0) = 1 f00(x) = −2xe−x2, f00(0) = 0 f3(x) = (4x2− 2)e−x2, f3(0) = −2 f4(x) = (−8x3+ 12x)e−x2, f4(0) = 0 f5(x) = (16x4− 48x2_{+ 12)e}−x2 (여기까지 5점) 따라서 테일러 정리에 의해 f (0.1) = f (0)+f0(0)0.1+f 00₍₀₎ 2! (0.1) 2₊f3(0) 3! (0.1) 3₊f4(0) 4! (0.1) 4₊f5(x∗) 5! (0.1) 5 인 x∗가 [0, 0.1]에 존재한다. 이 때 |f5(x∗)| ≤ |16x4∗− 48x2∗+ 12| ≤ 12, 이고   f 5_{(x) = (16x}4_{− 48x}2_{+ 12)e}−x2  ≤ 12 5!(0.1) 5 _{= 0.1}6_. (여기까지 5점) 따라서 f (0.1)의 근삿값은 f (0)+f0_(0)0.1+f 00₍₀₎ 2! (0.1) 2₊f3(0) 3! (0.1) 3₊f4(0) 4! (0.1) 4 ₌ 0.1 − (0.1) 3 3 이다. (여기까지 5점). 2

#7 다음 두 곡선의

개형을

그리고 , 모든 교점을 직교좌표계로 나타내시오. ( 15M)

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,

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단_,

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_{tnt.la 은정수)}

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)

2 ( .ir 30) E)

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-

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₌ 575-855가지 6 . ⇐,

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(

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이므로 . (F5.0) 을 중심으로 하는 타원이 된다

+3

pt ㅅ

sina.PE

,

i

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C2₎

r-se.EE

L⇒ rs.ro- nosO = 55 ( .it 千去七

viii) Let _y = _✗ +55 . 이므로 , 기울기 1 이고 (0.5) 를 지나는 직선이

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②

JT3m

←

※

_J-12M

D. 에서. 교점을 구하면 (_재) =

(

At

FE

)

'

(

卞一烏

-J

+5

.pt. 이다 .

※

사소한 계산

실수

2천.

※

CD의 그래프에서 0 =

풔

m를

제외하지 않아도 감점하지 않음. ※ 교점을 구하는 식을 틀리면 _5점 . ※ 교점을 극좌표계로 구할 경우, 올바르게 구하여 직교좌표계로 변환해야 T5점

고수

8번

N= psinecoso.y-psihqsingzi.peSE .

(

P20 , 0£4£ ㄸ, 0£ 0£ ㄿ

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(Z-D2 E 1 . F)

거주

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고도 2Z 수 £ ₂₈₀₅₄ . ( ⇒ _p £ 2 _Case . ∴ 0£ p £ 2054.

V45

(2)

ZZ83기주3th

€7

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F) 0£ _4£

ㆄ

.

11-5

(3)

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SM0 20 C의 S13020 .

(

C2) 에 의해 SM4, C059 20 ) . # 0도O스다.

1-15

따라서 최종적인 답을 0£ £ 2 e, 0£

GEE

, 0£ 0£ 다 _이다. * 각 단계에서 마무리하지 않을 경우 -2점 . (예를 들어 _, C2)에서 ES대9 스 _G4 에서 _끝낸 경우, 또는 (3)에서 SM245M020 에서 끝낸 경우 ). * 답이 틀렸어도 마무리 전 단계까지

맞았으면

-2점만 . 예) sina.co ⇒ 0 £ 0£ 핁. : 3점부여. * (2₎ 에서 탄젠트 절댓값 안 벗기면 - 2점 .

* 사소한 _실수 -(점 . * ₍₃₎

_{yZZOAfsihec.ae}

_{SM0 20}

F)

SM24

SM0 20 C의 0£ 0£ ㄸ & O _EYE

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똘이로

인정한다

.

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9번

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이라 하자.

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