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(1)

1 장

수학 기초

(2)

1.1 방정식 풀이 1.2 수 1.3 변수 1.4 함수와 역함수 1.5 대수학의 기본 법칙 1.6 이차 방정식 풀이 1.7 직교좌표 평면(직교좌표계) 1.8 함수 1.9 여러 가지 함수 1.10 삼각함수 1.11 삼각함수 항등식 1.12 기하학 1.13 원

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방정식 풀이

￭ 방정식을 푼다는 것 = 방정식의 미지수를 구하는 것 = 의 값을 구하는 것 ∴ 또는

(4)

정의

자연수 ℕ ⋯ 정수 ℤ ⋯ ⋯ 유리수 ℚ ⋯ 실수 ℝ ⋯ ⋯ 복소수 ℂ ⋯

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포함관계

(6)

수의 연산

￭ 덧셈 수를 더하는 것은 막대를 합친 것과 같다. [그림 1-3] 수를 더하는 것은 막대의 길이를 더하는 것에 해당한다. ￭ 덧셈의 성질 ⦁교환법칙이 성립한다. 이는 를 의미한다.

(7)

수의 연산

￭ 곱셈 수를 곱하는 것은 덧셈을 여러 번 하는 것과 같다. ￭ 곱셈의 성질 ⦁교환법칙이 성립한다. 이는 를 의미한다. ⦁결합법칙이 성립한다. 이는 를 의미한다.

(8)

수의 연산

￭ 나눗셈 나눗셈은 곱셈의 역 연산이다. ÷ × ⇒ ÷ 분의 ￭ 나눗셈에서의 주의점 ⦁분모는 0이 될 수 없음을 주의해야 한다. 즉, 0으로 나누는 것은 의미가 없다.

(9)

수의 연산

￭ 거듭제곱 어떤 수에 그 자신을 여러 번 곱하는 것을 거듭제곱이라 한다. ￭ 거듭제곱의 기하학적 의미 [그림 1-5] 밑이 일 때, 길이의 제곱은 정사각형의 넓이에, 제곱은 정육면체의 부피에 해당한다.

(10)

수의 연산

￭ 거듭제곱의 수학적 의미

(11)

수의연산

￭ 연산자 우선순위 ➊ 괄호 ➋ 지수 ➌ 곱셈과 나눗셈 ➍ 덧셈과 뺄셈 ￭ 예시 ∙ ∙ ∙

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예제

오늘 점심에 타코를 먹는데, 목표 칼로리 섭취량을 초과하지 않고 몇 개를 먹을 수 있는지 알아보고자 한다. 목표는 800칼로리를 먹는 것인데, 타코를 보면 계산 능력이 영향을 받을 수 있으니 식당에 가기 전에 미리 계산을 하려고 한다. ① 타코 한 개의 칼로리가 얼마인지 모르기 때문에 이를 미지수 라고 한다. ② 앞으로 먹을 타코의 개수를 라 하면 점심의 총 칼로리를 나타내는 수식은 가 된다. 에 대해 풀면 주문해야 할 타코의 개수는 임을 알 수 있다. ③ 식당에서 한 개에 칼로리인 타코를 제공한다면 개를 주문해야 한다.

(13)

변수치환

￭ 변수에 의한 단순화 방정식에서 제곱근의 사용이 불편할 때 치환을 통해 방정식을 새롭게 할 수 있다. ￭ 예시 라는 방정식에서 로 치환하면 라는 새로운 방정식을 쓸 수 있다. 를 구하면 즉, 또는 이므로, 또는

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예제 1

다음 방정식을 에 대해 푼다고 하자. 여기서 는 함수이고 는 상수이다. 가 와 같도록 하는 미지수 를 찾아보자. ① 목표는 방정식의 한쪽 변으로 를 분리하는 것인데, 함수 가 가로막고 있다. ② 역함수 ( 로 표기)를 사용하여 의 효과를 ‘실행 취소’한다. 방정식의 양변에 역함수 를 적용하면 다음을 얻는다. 정의에 따르면, 역함수 는 함수 의 반대 작용을 수행하므로 두 함수는 서로를 상쇄한다. ③ 따라서, 임의의 에 대해 를 얻는다.

(15)

공식

￭ 다음은 일반적인 함수와 그 역함수의 목록이다. 함수 ⇔ 역함수 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ± ⇔ log ⇔ ⇔ log exp ≡ ⇔ ln ≡ log

sin ⇔ sin ≡ arcsin

(16)

예제 2

다음 방정식의 해를 구해보자. log sin (풀이) ① , sin 는 상수이므로 보통의 숫자와 똑같이 취급한다. 즉, 우변은 상수이다. ② 좌변에서 가장 바깥 쪽 함수는 밑이 5인 로그함수이다. 역함수 목록을 보면 지수함수가 로그 함수의 역함수임을 알 수 있다 ( ⇔log ). log 를 제거하려면 밑이 인 지수함수를 양변에 적용해야 한다.

(17)

예제 2

④ 양변에 3을 빼서 3을 더한 것을 실행 취소한다. sin ⑤ 제곱근을 실행 취소하려면 제곱을 사용한다. sin ⑥ 양변에 7을 더하면 다음과 같다. sin ⑦ 이제 6으로 나누면 다음과 같다. sin ⑧ 마지막으로 양변을 제곱하면 최종 답을 얻을 수 있다. sin

(18)

정의

￭ 항 수학식은 여러 가지 덩어리의 합으로 이루어져 있는데, 이 각각의 덩어리를 항이라고 한다. ￭ 인수 수 가 와 같이 다른 수들의 곱으로 이루어지면, 를 인수 로 구성되어 있다고 한다.

(19)

전개와 인수분해

➊ 결합법칙 : , ➋ 교환법칙 : , ➌ 분배법칙 : ￭ 전개 와 같이 분배법칙을 사용하여 나타내는 것 ￭ 인수분해 전개의 반대 연산을 의미한다. 공통인수를 괄호 앞으로 빼내어 와 같이 식을 다시 쓴다.

(20)

괄호전개

￭ 이차방정식의 일반형 ￭ 삼차방정식의 일반형

(21)

예제

다음 방정식을 에 대해 풀어보자. (풀이) 방정식의 양변에 미지수 가 나타나기 때문에 어떻게 풀어야 할지 바로 보이지 않는다. ① 에 대해 풀기 위해서는 모든 항을 한 변으로 이항하고 다른 모든 상수 항들은 다른 변으로 이항해야 한다. ② 정리하면 다음과 같다. ③ 답은 다음과 같다.

(22)

이차 인수분해

을 인수분해하면 다음과 같다. ￭ 인수분해로 인해 알 수 있는 것들 ⦁해가 , 이라는 것을 한눈에 알 수 있다. ⦁ 인 경우 두 인수는 모두 양수가 되고, 인 경우 두 인수는 모두 음수가 되며, 음수와 음수의 곱은 양수가 된다. 즉, 인 경우 혹은 이면 이다.

(23)

완전제곱

￭ 완전제곱 꼴로 변형 모든 이차식 는 적당한 상수 와 에 의해서 형식으로 다시 쓸 수 있다. 실제, 함수 의 그래프는 함수 의 그래프를 오른쪽으로 만큼, 위쪽으로 만큼 평행 이동한 것과 같다. ￭ 예시 ∙ 이므로, 을 왼쪽으로 만큼, 아래로 만큼 평행 이동한 것이라는 것을 알 수 있다.

(24)

근의 공식

￭ 이차 방정식의 표준형 의 형태를 이차 방정식의 표준형이라고 한다. ￭ 근의 공식 의 해는 다음과 같다. , ￭ 예시

(25)

직교좌표계

직교좌표계는 수직선을 2차원으로 일반화한 것이다.

(26)

(27)

벡터와 점

￭ 점 직교좌표계 상의 점 는 좌표와 좌표를 갖는다. ￭ 벡터 벡터 는 한 쌍의 좌표로, 점들과 달리 벡터를 표현할 때 반드시 원점에서 시작할 필요가 없다. 위치를 명시적으로 표시하는 화살표로 나타낸다.

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(29)

함수의 그래프

￭ 그래프

좌표를 함수의 출력 값으로 대응시키면 함수의 그래프를 그릴 수 있다. ￭ 예시

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차원

￭ 3차원 수직선은 1차원이다. 모든 수 는 수직선 상의 한 점으로 시각화할 수 있다. 직교좌표 평면은 2차원이다. 축과 축으로 이루어진다. 이를 바탕으로 3차원으로 시각화해야 하는 경우, 축, 축, 축으로 이루어진 3차원 좌표계를 사용할 수 있다.

(31)

정의

￭ 함수 숫자를 입력으로 사용하고 숫자를 출력으로 생성하는 수학적 대상을 의미한다. 입력집합 에서 출력집합 로의 함수를 나타내기 위해 다음의 표기법을 사용한다. → ￭ 정의역 함수의 허용된 입력값들의 집합을 의미한다. ￭ 치역(상) 함수의 가능한 모든 출력값들의 집합을 의미한다. ￭ 공역 치역을 포함하는 집합으로 출력값의 형태를 나타내는 집합을 의미한다.

(32)

정의

함수는 수에서 수로의 사상이다. 임의의 입력 에 대해, 그 입력에 대한 의 출력값은 로 표시된다.

(33)

함수의 합성

￭ 합성함수 하나의 함수를 다른 함수에 적용한 것 ∘ ≡

(34)

역함수

￭ 역함수

전단사함수 → 가 주어지면 의 역사상을 수행하는 역함수 → 가 존재한다.

어떤 에서 시작하여 를 적용한 다음 를 적용하면 원래 입력 가 된다.

(35)

함수 다루기

￭ 값에 대한 도표 표기법 : ⋯ 임의의 입력을 선택하고 두 번째 열에 함수의 출력을 기록함으로써 도표를 만들 수 있다. 입력 → 출력 → → → →

(36)

예제 1

이차식으로 정의된 실수에서 실수로의 함수 ℝ → ℝ 를 생각해보자. 일 때 값은 이다. 일 때 이다. 일 때 값은 얼마인가? (풀이)

(37)

예제 2

밑이 2인 지수함수를 생각해보자. 이 함수는 컴퓨터 시스템에서 매우 중요하다. 예를 들어 메모리칩의 용량은 칩에서 사용되는 주소라인의 수에 따라 메모리 공간이 지수적이기 때문에 2의 거듭제곱 형태가 나온다. 일 때 이고 일 때 이다. 따라서 함수는 다음과 같은 입-출력 쌍으로 설명할 수 있다. ⋯ 여기서, 어떤 수든 지수가 0이면 1이 됨을 기억하라. 따라서 모든 지수함수는 점 을 지난다. 음의 지수는 다음과 같이 분수가 되는 점도 기억하자. ⋯

(38)

직선

￭ 직선의 방정식

① 상수 은 직선의 기울기를 나타낸다.

② 상수 는 절편이라고 불리며 일 때 함숫값에 해당된다.

(39)

직선

￭ 성질 ① 정의역 : ∈ ℝ ② 치역 : ≠ 이면 ∈ℝ이다. 이면 함수 인 상수함수이므로 치역 집합은 이다. ③ 절편 : ④ ≠ 일 때 두 점 과 가 지나는 직선은 유일하다. ⑤ 의 역함수는 이며 이 또한 직선이다. ￭ 직선의 방정식의 일반형

(40)

제곱

￭ 이차함수(포물선)

의 제곱 함수는 이차함수 또는 포물선이라고 한다. 이차함수의 공식은 다음과 같다.

(41)

제곱

￭ 성질 ① 정의역 : ∈ ℝ ② 치역 : ∈ ∞ ③ 함수 은 제곱근 함수 의 역함수이다. ④ 은 대 대응 함수이다. 즉, 와 모두 같은 출력값 을 갖는다. ⑤ 이 이차함수는 아래로 볼록하며 이는 위로 향해 구부러진 것을 의미한다.

(42)

제곱근

￭ 기본형

제곱근 함수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

≡ ￭ 그래프

(43)

제곱근

￭ 성질 ① 정의역 : ∈ ∞ ② 치역 : ∈ ∞ ￭ 의 제곱근의 정의 제곱근 이외도 세제곱 함수 의 역함수 도 있다. 일반적으로 의 역함수로서 제곱근 를 정의할 수 있다.

(44)

절댓값

￭ 절대값 함수

수가 양수인지 음수인지에 상관없이 수의 크기를 알려주는 함수이다. ≥

(45)

절댓값

￭ 성질

항상 음수가 아닌 숫자를 결과값으로 되돌려준다.

(46)

다항식

￭ 다항식의 일반식 다항식의 일반식은 다음과 같다. ⋯ ￭ 매개변수 변수 상수 항 일차 항의 계수 혹은 선형 계수 이차 항의 계수

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다항 방정식의 풀이

￭ 근의 공식 ① 1차 다항식 : ② 2차 다항식 : ± ￭ 컴퓨터 사용하기 http://live.sympy.org ￭ 치환법 때로는 근의 공식을 사용하여 4차 다항식을 풀 수 있다. →

(48)

사인함수

￭ 그래프

(49)

(50)

사인함수

￭ 성질

(51)

코사인함수

￭ 그래프 ￭ 성질 ① 주기가 인 주기함수이다. 즉, cos cos 이다. ② 우함수이다. 즉, cos cos

(52)

탄젠트함수

￭ 그래프

(53)

탄젠트함수

￭ 성질 ① 주기가 인 주기함수이다. 즉, tan tan 이다. ② cos 인 값에서 발산한다. 그 위치는 ⋯ ⋯이며, 이를 함수의 점근선이라 한다. ③ tan 의 값은 밑면과 빗변 사이의 끼인각이 인 직각삼각형에서 밑변과 높이의 비율이다.

(54)

지수함수

(55)

자연로그함수

￭ 그래프

(56)

개념

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피타고라스 정리

￭ 피타고라스 정리 직각삼각형에서 빗변의 길이의 제곱은 나머지 두 변의 길이의 제곱을 합한 것과 같다. 밑변 높이 빗변 이를 응용하면 다음과 같다. 빗변 밑변 빗변 높이 빗변 빗변 cos sin

(58)

단위원

￭ 단위원

단위원은 을 만족하는 모든 로 구성된다.

이는 cos sin 으로 나타낼 수 있다.

(59)

단위원

(60)

단위원

￭ 직교좌표계에서의 삼각함수

(61)

비단위원

￭ 비단위원 ① cos ≡ 빗변 밑변 ⇒ cos 높이

(62)

기본 정리

￭ 기본 항등식

① 단위 빗변 : sin cos

② 사인 합차 공식 : sin sin cos cos sin

③ 코사인 합차 공식 : cos cos cos sin sin

￭ 배각 공식

① 사인 배각 공식 : sin sin cos

(63)

기본 정리

￭ 사인과 코사인의 관계

사인함수와 코사인함수는 실제 서로 만큼 평행 이동한 형태라고 말할 수 있다.

cos sin sin , sin cos cos

￭ 덧셈 공식

① sin sin sin cos

② sin sin cos sin

③ cos cos cos cos

(64)

기본 정리

￭ 곱셈 공식

① sin cos sin sin

② sin sin cos cos

(65)

정의

￭ 벡터 표기법 성분 표기법으로, 벡터는 축과 축에 대한 순서쌍으로 나타낸다. 단위벡터 표기법으로, 벡터는 단위벡터 , 을 사용하 여 표현한다.

∥ ∥

∠ 길이-방향 표기법으로, 벡터는 길이

∥ ∥

와 벡터가 축과 이루는 각 로 표현한다. ￭ 내적과 외적 ① 내적 : ∙ ② 외적 : × (외적은 3차원에서만 정의된다.)

(66)

화살표로 표현한 벡터

(67)

화살표로 표현한 벡터

￭ 스케일링

(68)

길이-방향 표기법

￭ 벡터의 표기법

길이 와 방향( 축과 이루는 각)을 기준으로 벡터를 정의하고, 벡터의 ‘크기’를 쉽게 볼 수

(69)

단위벡터 표기법

￭ 벡터의 표기법

3차원 벡터 는 , , 에 의해서 다음과 같이 표기

(70)

예제

다음과 같은 이차 방정식을 푼다고 가정해보자. (풀이) 이 되는 를 찾아야 한다. 해가 실수여야만 한다면 이 질문에 대한 답은 존재하지 않는다. 이 때 을 만족하는 를 생각하면 이 방정식을 해결할 수 있다. 이러한 를 단위 허수라고 부른다.

(71)

정의

① : 단위 허수 ② ℂ : 복소수의 집합 ℂ ∈ ③ : 의 실수부 ④ : 의 허수부 ⑤ : 의 켤레복소수 ( 이면 이다.)

(72)

공식

￭ 덧셈과 뺄셈

와 같이 시행한다.

￭ 극좌표 표현

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예제 1

복소수에 관한 추론은 지롤라모 카르다노가 1545년에 저술한 위대한 비법에서 처음 등장하였다. 카르다노는 다음과 같이 저술하였다. 누군가 당신에게 10을 두 부분으로 나누고 그 중 하나를 다른 부분과 곱해서 40을 만들라고 하면 이는 확실하게 불가능하다. 우리는 과 을 만족하는 두 수 과 를 찾고자 한다. 이것은 불가능해보인다. 가능한가? “그럼에도 불구하고, 이 문제를 풀면 다음과 같다.”라고 카르다노는 적고 있다. (풀이) ± 이다.