유형`01. 여러 가지 순열
01
10
서로 다른 종류의 연필 5자루를 4명의 학생 A, B, C, D에게 나 누어 주는 경우의 수는 4명의 학생 A, B, C, D에서 중복을 허락 하여 5명을 택하는 중복순열의 수이므로 ¢P∞=4fi =102411
네 자리의 자연수가 5의 배수가 되려면 일의 자리 숫자가 5이어 야 한다. 일의 자리를 제외한 나머지 3자리에 들어갈 수 있는 숫 자의 개수는 중복을 허락하므로 모두 5개씩이다. 따라서 구하는 경우의 수는 ∞P£=5‹ =12512
(5-1)!=4!=2413
A와 B를 한 묶음으로 생각해서 5개를 원형으로 배열하는 경우 의 수는 (5-1)!=4!=24 또 A와 B가 자리를 바꾸는 경우의 수는 2!=2 따라서 구하는 경우의 수는 24_2=4814
양 끝에 흰색 깃발을 놓으면 중간에 흰색 깃발 3개, 파란색 깃발 5개를 일렬로 나열하면 되므로 구하는 경우의 수는 =5615
300000보다 큰 자연수 중에서 ⁄십만 자리의 수가 4인 경우의 수는 1, 2, 2, 5, 5를 일렬로 나 열하는 경우의 수와 같으므로 =30 ¤십만 자리의 수가 5인 경우의 수는 1, 2, 2, 4, 5를 일렬로 나 열하는 경우의 수와 같으므로 =60 ⁄, ¤에 의하여 구하는 자연수의 개수는 30+60=90`16
⁄a가 네 번 나오는 경우 ⁄네 개의 a를 일렬로 나열하는 경우의 수는 1이다. ¤a가 세 번 나오는 경우 ⁄a가 3개, b가 1개이거나 a가 3개, c가 1개인 경우이므로 그 경우의 수는 ⁄ + =4+4=8 ‹a가 두 번 나오는 경우 ⁄먼저 a가 2개, b가 2개이거나 a가 2개, c가 2개인 경우의 수는 ⁄ + 4! =6+6=12 2!2! 4! 2!2! 4! 3! 4! 3! 5! 2! 5! 2!2! 8! 3!5!01
6명의 학생 중에서 4명을 뽑아 일렬로 세우는 방법의 수는 6명에 서 4명을 택하는 순열의 수이므로 §P¢이다.02
¢P£=4‹ =6403
1, 2, 3의 세 개의 숫자 중에서 다섯 개의 숫자를 택하여 다섯 자 리 자연수를 만드는 방법의 수는 서로 다른 3개에서 중복을 허락 하여 5개를 택하여 일렬로 나열하는 방법과 같으므로 £P∞이다.04
4명의 학생을 원탁에 앉히는 방법의 수는 (4-1)!=3!=605
원형판의 각 영역에 6가지 서로 다른 색을 칠하는 방법의 수는 (6-1)!=5!=12006
5개의 문자 중 a가 2개, b가 3개 있으므로 구하는 방법의 수는 =10 따라서 안에 들어갈 알맞은 수는 3이다.07
6개의 문자 중 a가 4개, b가 2개 있으므로 구하는 방법의 수는 =1508
6개의 문자 중 s가 1개, c가 1개, h가 1개, o가 2개, l이 1개 있으 므로 구하는 방법의 수는 =36009
A지점에서 B지점으로 가는 최단 경로의 수는 6! =15 2!4! 6! 2! 6! 4!2! 5! 2!3!01
①02
④03
③04
②05
12006
②07
②08
⑤09
②0
1
본문`009`~`010쪽여러 가지 순열
10
①11
③12
④13
②14
①15
9016
3317
⑤18
④ 본문`010`~`011쪽⁄a가 2개, b가 1개, c가 1개인 경우의 수는 ⁄ =12 ⁄이므로 이 경우의 수는 ⁄12+12=24 ⁄, ¤, ‹에서 구하는 경우의 수는 1+8+24=33
17
A지점에서 P지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수는 =6 P지점에서 B지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수는 =4 따라서 A지점에서 출발하여 P지점을 지나 B지점까지 최단 거리 로 가는 경우의 수는 6_4=2418
⁄A지점에서 C지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수는 =6 ¤C지점에서 B지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수는 =6 ⁄, ¤에 의하여 구하는 경우의 수는 6_6=3619
£P∞=3fi =24320
세 개 중에서 네 개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 £P¢=3› =8121
중복을 허락하여 만든 다섯 자리 자연수 중에서 홀수가 되는 경 우는 일의 자리가 1 또는 3이 오는 경우이다. ⁄일의 자리에 1이 오는 경우 세 개의 숫자 1, 2, 3에서 중복을 허락하여 일의 자리를 제외 한 네 개의 자리를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 구하는 홀수의 개수는 £P¢=3› =81 ¤일의 자리에 3이 오는 경우 4! 2!2! 4! 2!2! A C B 4! 3!1! 4! 2!2! 4! 2! 세 개의 숫자 1, 2, 3에서 중복을 허락하여 일의 자리를 제외 한 네 개의 자리를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 구하는 홀수의 개수는 £P¢=3› =81 ⁄, ¤에서 구하는 홀수의 개수는 162이다.22
하나의 파일마다 저장할 수 있는 폴더는 A, B, C의 3개이다. 즉, 서로 다른 3개에서 4개를 택하는 중복순열이므로 £P¢=3› =8123
집합 Y의 원소 1, 2, 3에서 중복을 허락하여 집합 X의 원소 1, 2, 3, 4의 4개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 구하는 함수 의 개수는 £P¢=3› =8124
그림에서의 가운데 영역 A를 색칠하는 방법의 수는 5이고 나머지 영역 B, C, D, E를 색칠하는 방법의 수는 가운데 영역 A를 색칠한 색을 제외한 4가지 색 을 원형으로 배열한 원순열의 수이므로 (4-1)!=3! 따라서 구하는 방법의 수는 5_3!=3025
특정한 두 사람을 1명으로 묶어서 생각하여 6명이 원탁에 둘러앉 는 방법의 수는 (6-1)!=5! 특정한 두 사람끼리 자리를 바꾸는 방법의 수는 2! 따라서 구하는 방법의 수는 5!_2!=24026
6개의 숫자 중 1이 1개, 2가 2개, 3이 3개 있으므로 구하는 자연 수의 개수는 =6027
300000보다 작은 자연수는 십만 자리의 수가 2인 경우이므로 나 머지 5개의 숫자 3, 3, 5, 6, 6을 일렬로 나열하면 된다. 따라서 구하는 자연수의 개수는 =3028
기호‘•’4개, 기호‘─’2개를 일렬로 나열하는 경우의 수이 므로 =1529
⁄양 끝에 흰색 구슬이 놓이는 경우 =126 ¤양 끝에 검은색 구슬이 놓이는 경우 9! 4!5! _4 + _5 6! 4!2! 5! 2!2! 6! 2!3! A E B D C19
24320
⑤21
③22
8123
⑤24
④25
⑤26
③27
②28
①29
21030
③ 본문`012`~`013쪽유형`02. 중복조합
03
=84 ⁄, ¤에 의하여 구하는 경우의 수는 126+84=21030
⁄A지점에서 P지점으로 가는 최단 경로의 수는 =10 ¤P지점에서 B지점으로 가는 최단 경로의 수는 2!=2 ⁄, ¤에 의하여 구하는 최단 경로의 수는 10_2=20 5! 3!2! 9! 6!3! _6 + _301
서로 다른 7개에서 2개를 택하는 조합의 수는 ¶C™= =02
서로 다른 5개에서 3개를 택하는 조합의 수는 ∞C£, 서로 다른 5개 에서 중복을 허락하여 3개를 택하는 중복조합의 수는 ∞H£이다.03
¢H§=¢≠§–¡C§=ªC§04
£H∞=£≠∞–¡C∞=¶C∞=¶C™ £H∞= =2105
서로 다른 3개에서 순서에 상관없이 중복을 허락하여 6개를 택하 는 중복조합의 수이므로 £H§=£≠§–¡C§=•C§=•C™=2806
서로 다른 4개에서 중복을 허용하여 10개를 선택하는 경우의 수이므로 ¢H¡º=4+10-1C10=13C10=13C3 = =28607
서로 다른 3종류의 모자를 하나씩 먼저 선택했다고 하자. 그 러면 서로 다른 3개의 모자 중에서 중복을 허용하여 남은 7개 의 모자를 선택하는 경우의 수이므로 £H¶=3+7-1C¶=ªC¶=ªC™=3608
서로 다른 4종류의 우산을 하나씩 먼저 골랐다고 하자. 그러 면 서로 다른 4종류의 우산 중에서 중복을 허락하여 남은 8개를 고르는 중복조합의 수이므로 ¢H•=4+8-1C•=11C8=11C3=16509
전개식의 각 항은 모두 xπ yœ z® 꼴이고 p+q+r=5(pæ0, qæ0, ræ0) 이므로 식을 전개할 때 생기는 서로 다른 항의 개수는 3개의 문자 p, q, r에서 중복을 허락하여 5개를 뽑는 중복조합의 수와 같다. ∴3H5=3+5-1C5=7C5=7C2 ∴3H5= =2110
㈎ 방정식 x+y+z=5에서 음이 아닌 정수인 해의 개수는 세 개의 문자 x, y, z에서 중복을 허락하여 5개를 택하는 중복 7_6 2 13_12_11 3_2_1 7_6 2 7! 2!,;;; .!5 7! 2!(7-2)!01
⑤02
②03
③04
①05
2806
④07
②08
④09
②10
②11
④0
2
본문`015`~`016쪽중복조합
조합의 수이므로3H5이다. ㈏ 방정식 x+y+z=5에서 xæ1, yæ1, zæ1이므로 x'=x-1, y'=y-1, z'=z-1`(x', y', z'은 음이 아닌 정수) 로 놓으면 x=x'+1, y=y'+1, z=z'+1이므로 (x'+1)+(y'+1)+(z'+1)=5 ∴ x'+y'+z'=2㉠㉠yy㉠ 즉, 구하는 해의 개수는 ㉠을 만족시키는 음이 아닌 정수인 해 의 개수와 같다. 따라서 세 개의 문자 x', y', z'에서 중복을 허락하여 2개를 택 하는 중복조합의 수이므로3H2이다.
11
㈎ 공역 Y={3, 4, 5, 6}의 원소 중에서 순서에 상관없이 ㈎3개의 원소를 고르게 되면 선택된 3개의 원소는 각각의 대 소에 따라서 정의역의 원소에 자동으로 대응된다. 즉, 선택된 원소가 3, 4, 6이면 f(1)=3, f(2)=4, f(3)=6이 된다. 따라서 ㈎를 만족시키는 함수의 개수는 4C3 ㈏ 공역 Y={3, 4, 5, 6}의 원소 중에서 순서에 상관없이 중 복을 허락하여 3개의 원소를 고르게 되면 선택된 3개의 원 소는 각각의 대소에 따라 정의역의 원소에 대응된다. 즉, 선택된 원소가 3, 3, 6이라면 f(1)=3, f(2)=3, f(3)=6이 된다. 또한, 선택된 원소가 4, 4, 4이면 f(1)=4, f(2)=4, f(3)=4가 된다. 따라서 ㈏를 만족시키는 함수의 개수는 ¢H£12
¢H™=¢≠™–¡C™=∞C™=1013
£H®=®≠™C®=®≠™C™=¶C™ ∴ r=5 ∴ ∞H®=∞H∞=ªC∞=ªC¢ ∴ ∞H®= =12614
⁄숫자 4를 택하지 않는 경우 ⁄숫자 1, 2, 3에서 중복을 허락하여 5개를 택하는 중복조합의 수이므로 ⁄£H∞=¶C∞=¶C™=21 ¤숫자 4를 한 개 택하는 경우 ⁄숫자 4를 제외한 1, 2, 3에서 중복을 허락하여 남은 4개를 택 하는 중복조합의 수이므로 ⁄£H¢=§C¢=§C™=15 ⁄, ¤에서 구하는 경우의 수는 21+15=36 9_8_7_6 4_3_2_115
서로 다른 3종류의 주스를 하나씩 먼저 선택했다고 하자. 그러면 서로 다른 3종류의 주스 중에서 중복을 허락하여 남은 5개의 주 스를 고르는 중복조합의 수이므로 £H∞=7C5=7C2=2116
주스 4병을 3명에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수는 £H¢=3+4-1C4=§C¢=§C™ = =15 생수 2병을 3명에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수는 £H™=3+2-1C2=¢C™ = =6 우유 1병을 3명에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수는 3이다. 따라서 구하는 경우의 수는 15_6_3=27017
방정식 x+y+z=17에서 음이 아닌 정수인 해의 개수는 세 개 의 문자 x, y, z에서 중복을 허락하여 17개를 택하는 중복조합의 수이므로 £H¡¶=¡ªC¡¶=¡ªC™=17118
방정식 x+y+z+w=4에서 음이 아닌 정수인 해의 개수는 네 개의 문자 x, y, z, w에서 중복을 허락하여 4개를 택하는 중복조 합의 수이므로 ¢H¢=¶C¢=¶C£=35`19
예를 들어 함수 f에 의해 정의역에 속하는 1, 2, 3, 4가 대응 되는 원소가 1, 3, 3, 7이라고 하면 조건을 만족시키기 위해 서는 f(1)=7, f(2)=3, f(3)=3, f(4)=1이면 된다. 따라서 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7의 7개 중 중복하여 4개를 선택 하는 중복조합이므로 구하는 함수 f의 개수는 ¶H¢=7+4-1C4=10C4=21020
구하는 순서쌍의 개수는 3부터 10까지의 8개의 자연수 중 중복 을 허락하여 4개를 뽑는 조합의 수와 같으므로 8H4=8+4-1C4=11C4 8H4= =33021
∞P™=5¤ =25 £H¢=£≠¢–¡C¢=§C¢=§C™ £H¢=6_5=15 2_1 11_10_9_8 4_3_2_1 4_3 2_1 6_5 2_112
1013
12614
④15
③16
⑤17
17118
3519
21020
④ 본문`017`~`018쪽21
4022
11023
2824
④25
5526
⑤27
③28
4529
210 본문`018`~`019쪽유형`03. 항의 계수 구하기
05
∴ ∞P™+£H¢=25+15=4022
∞P£=5‹ =125 5H2=5+2-1C2=6C2 5H2= =15 ∴ ∞P£-∞H™=125-15=11023
서로 다른 3개에서 중복을 허락하여 6개를 택하는 중복조합의 수 이므로 £H§=•C§=•C™=2824
서로 다른 4개에서 중복을 허용하여 9개를 선택하는 경우의 수이므로 4H9=4+9-1C9=12C9=12C3=22025
같은 모양의 노트를 3명에게 먼저 하나씩 나누어 주었다고 하자. 그러면 3명의 학생에게 중복을 허락하여 남은 9권을 나누어 주는 중복조합의 수이므로 £Hª=¡¡Cª=¡¡C™=5526
3개의 바구니 A, B, C에 들어가는 공의 개수만큼 문자 A, B, C의 개수를 선택한다고 생각하면 3개의 문자 A, B, C 에서 중복을 허용하여 15개를 선택하는 경우와 같다. 그런데 각 바구니에 적어도 2개의 공이 들어가야 하므로 A에 2개, B에 2개, C에 2개를 먼저 선택한 후 나머지 9개의 문자를 선 택하면 된다. 따라서 구하는 경우의 수는 3H9=3+9-1C9=11C9=11C2=5527
(x+y+z)‡을 전개할 때 생기는 항들은 x¬ yμ z« (l+m+n=7) 꼴이 되므로 구하는 항의 개수는 x, y, z 의 세 문자 중에서 중복을 허락하여 7개를 택하는 중복조합의 수 와 같다. ∴ £H¶=ªC¶=ªC™=3628
방정식 x+y+z=8에서 음이 아닌 정수인 해의 개수는 세 개 의 문자 x, y, z에서 중복을 허락하여 8개를 택하는 중복조합 의 수이므로 £H•=¡ºC•=¡ºC™=4529
공역 Y={3, 4, 5, 6, 7, 9, 10}의 원소 중에서 순서에 상관 없이 중복을 허락하여 4개의 원소를 고르게 되면 선택된 4개의 원소는 각각의 대소에 따라 정의역의 원소에 대응된다. 따라서 조건을 만족시키는 함수의 개수는 7H4=7+4-1C4=10C4=210 6_5 201
전개식의 일반항은 ∞C®x5-r y®이므로(x+y)fi =∞Cºxfi +∞C¡x› y+∞C™x‹ y¤ +∞C£x¤ y‹ +∞C¢xy› +∞C∞ yfi
따라서 안에 들어갈 알맞은 것은 차례대로 ∞C™, 4이다.
02
전개식의 일반항은 ¶C®x7-ry® x¤ yfi의 계수는 r=5일 때이므로 ¶C∞=¶C™=2103
전개식의 일반항은 ¶C®x‡ —® (2y)® =¶C®2® x‡ —® y® xfi y¤의 계수는 r=2일 때이므로 ¶C™2¤ =21_4=8404
전개식의 일반항은 •C®1° —® x® =•C®x® xfi의 계수는 r=5일 때이므로 •C∞=•C£=5605
전개식의 일반항은 §C®xfl —® 2® x›의 계수는 6-r=4, 즉 r=2일 때이므로 §C™_2¤ =15_4=6006
전개식의 일반항은 ªC®x· —® {;[!;}® =ªC®x· —® x—® =ªC®x· —¤ ® xfi의 계수는 9-2r=5, 즉 r=2일 때이므로 ªC™=3607
전개식의 일반항은 £C®(x¤ )‹ —® y® =£C®xfl —¤ ® y® x¤ y¤의 계수는 r=2일 때이므로 £C™=£C¡=308
전개식의 일반항은 §C®(x¤ )fl —® {;[!;}® =§C®x⁄ ¤ —‹ ® x‹의 계수는 12-3r=3, 즉 r=3일 때이므로 §C£=2009
전개식의 일반항은 §C®xfl —® a® xfi의 계수는 6-r=5, 즉 r=1일 때이므로 §C¡a=6a=30 ∴ a=501
④02
①03
⑤04
①05
⑤06
④07
308
⑤09
⑤0
3
본문`021`~`022쪽항의 계수 구하기
5a(2a-1)=0 ∴ a=;2!; (∵ a>0) ∴ 60a=60_;2!;=30
18
전개식의 일반항은 ¢C®(ax)4-r {;[!;}® =¢C®a 4-r x4-2r 상수항은 4-2r=0, 즉 r=2일 때이므로¢C™a¤ =6a¤ =54, a¤ =9 ∴ a=3 (∵ a>0)
19
전개식의 일반항은 ∞C®1fi —® (2x)® =∞C®2® x® x‹의 계수는 r=3일 때이므로 ∞C£2‹ =∞C™2‹ =10_8=8020
전개식의 일반항은 §C®(2x)6-r (-1)® =§C®(-1)® 26-r x6-r x›의 계수는 6-r=4, 즉 r=2일 때이므로 §C™(-1)¤ 2› =15_16=24021
전개식의 일반항은 ¶C®x‡ —® {;]@;}® =¶C®2® 의 계수는 r=2일 때이므로 ¶C™2¤ =21_4=8422
전개식의 일반항은 ¢C®(3x¤ )4-r {;[!;}® =¢C®3 4-r x8-3r x¤의 계수는 8-3r=2, 즉 r=2일 때이므로 ¢C™3¤ =6_9=5423
전개식의 일반항은 §C®xfl —® {-;[@;}® =§C®(-2)® xfl —® x—® =§C®(-2)® xfl —¤ ® 상수항은 6-2r=0, 즉 r=3일 때이므로 §C£(-2)‹ =20_(-8)=-16024
전개식의 일반항은 ¢C®(2x)4-r {-;[!;}® =¢C®2 4-r x4-r (-1)® x-r ¢C®(2x)4-r {-;[!;}®=¢C®2 4-r (-1)® x4-2r x¤의 계수는 4-2r=2, 즉 r=1일 때이므로 xfi y¤ x‡ —® y®10
전개식의 일반항은 ¶C®17-r xr =¶C®x® x›의 계수는 r=4일 때이므로 ¶C¢=3511
{x+ }° 의 일반항은 •C®x° —® { }® =•C®2® x° —¤ ® 따라서 8-2r=4에서 r=2이므로 x› 의 계수는 •C™_2¤ =28_4=11212
전개식의 일반항은 §C®x6-r { }® =§C®x 6-r {;3!;}®{;[!;}® =§C®x 6-2r {;3!;}® x¤의 계수는 6-2r=2, 즉 r=2일 때이므로 §C™{;3!;}¤ =;3%;13
{2x+ }› 의 일반항은 ¢C®(2x)› —® { }® =¢C®2› —® x› —‹ ® 이때, x› —‹ ® =x에서 4-3r=1 ∴ r=1 따라서 x의 계수는 ¢C¡_2‹ =3214
전개식의 일반항은 §C®a6-r x® x›의 계수는 r=4일 때이므로§C¢a¤ =§C™a¤ =15a¤ =60 a¤ =4
∴ a=2 (∵ a>0)
15
전개식의 일반항은 ∞C®x® a5-rx‹의 계수는 r=3일 때이므로
∞C£a¤ =10a¤ =40, a¤ =4
x의 계수는 r=1일 때이므로 ∞C¡a› =5_4¤ =80
16
전개식의 일반항은 ∞Cr1 5-r (ax)r =∞Cra r xr x¤의 계수는 r=2일 때이므로∞C™a¤ =10a¤ =1440, a¤ =144 ∴ a=12 (∵ a>0)
17
전개식의 일반항은 ∞C®a5-rx® x‹의 계수는 r=3일 때이므로
∞C£a¤ =∞C™a¤ =10a¤ x›의 계수는 r=4일 때이므로
∞C¢a=∞C¡a=5a
즉, 10a¤ =5a에서 10a¤ -5a=0
1 x¤ 1 x¤ 1 3x 2 x 2 x
10
②11
⑤12
④13
⑤14
②15
⑤16
1217
3018
3 본문`022`~`023쪽19
②20
②21
⑤22
5423
⑤24
①25
②26
④27
③28
③29
②30
④ 본문`024`~`025쪽유형`04. 확률의 계산
07
¢C¡2‹ (-1)=4_(-8)=-3225
전개식의 일반항은 ∞C®a5-r x® x›의 계수는 r=4일 때이므로 ∞C¢a=∞C¡a=5a=10 ∴ a=226
전개식의 일반항은 §C®x6-r a® x›의 계수는 r=2일 때이므로§C™a¤ =15a¤ =15, a¤ =1 ∴ a=1`(∵ a>0) x‹의 계수는 r=3일 때이므로 §C£a‹ =20_1‹ =20
27
전개식의 일반항은 ¶C®x‡ —® {;[A;}® =¶C®a® x‡ —¤ ® xfi의 계수는 7-2r=5, 즉 r=1일 때이므로 ¶C¡a=7a=42 ∴ a=628
전개식의 일반항은 ∞C®25-r (ax)® =∞C®25-r a® x® x의 계수는 r=1일 때이므로 ∞C¡2› a=80a=240 ∴ a=3 따라서 x‹ 의 계수는 r=3일 때이므로 ∞C£2¤ 3‹ =∞C™2¤ 3‹ =10_4_27=108029
전개식의 일반항은 §C®(-a)6-r x® x›의 계수는 r=4일 때이므로§C¢(-a)¤ =§C™(-a)¤ =15a¤ x‹의 계수는 r=3일 때이므로
§C£(-a)‹ =-20a‹
즉, 15a¤ =2_(-20a‹ )에서
8a‹ +3a¤ =0, a¤ (8a+3)=0 ∴ a=-;8#;` (∵ a+0)
30
전개식의 일반항은 «C®x® 1n-r =«C®x® x¤의 계수는 r=2일 때이므로 «C™= =15 n(n-1)=30=6_5 ∴ n=6 (∵ n은 자연수) n(n-1) 201
어두운 부분은 집합 B를 제외한 부분이므로 BÇ 이다.02
드모르간의 법칙에 의하여 AÇ ;BÇ =(A'B)Ç03
n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B) =10+8-3=1504
P(A)+P(AÇ )=1이므로 P(A)=1-P(AÇ )=1- =05
P(AÇ ;BÇ )=P((A'B)Ç )= 이므로 P(A'B)=1- =06
P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B) = + - =07
P(BÇ )=1-P(B)= 이므로 P(B)= P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)이므로 = + -P(A;B) ∴ P(A;B)= + - =08
P(AÇ ;BÇ )=P((A'B)Ç )=1-P(A'B)= ∴ P(A'B)=1- = P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)이므로 = + -P(A;B) ∴ P(A;B)= + - =09
두 사건 A, B는 서로 배반사건이므로 P(A'B)=P(A)+P(B)에서 ;5$;=;5!;+P(B) ∴ P(B)=;5#; 3 10 4 5 1 2 3 5 1 2 3 5 4 5 4 5 1 5 1 5 1 12 1 2 1 3 1 4 1 3 1 4 1 2 1 3 2 3 7 10 2 5 3 5 1 2 2 3 1 3 1 3 4 5 1 501
④02
③03
②04
⑤05
③06
③07
①08
②09
30
4
본문`027`~`028쪽확률의 계산
∴ 5P(B)=3
10
P(A)=;3@;, P(A;B)=;4!;이므로 P(A;BÇ )=P(A-B)=P(A)-P(A;B) P(A;BÇ )=;3@;-;4!; P(A;BÇ )=;1∞2;11
P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B) P(A'B)=;9&;-;9@;=;9%;12
P(A)=P(A;B)+P(A;BÇ ) P(A)=;8!;+;1£6;=;1∞6;13
P(AÇ )=;3@;이므로 P(A)=1-;3@;=;3!; A'B=A'(AÇ ;B)이고 A;(AÇ ;B)=Δ이므로 P(A'B)=P(A)+P(AÇ ;B) P(A'B)=;3!;+;4!;=;1¶2;14
P(A)=;2!;, P(A;BÇ )=;5!;이므로 P(A;B)=P(A)-P(A;BÇ )=;2!;-;5!;=;1£0; P(AÇ 'BÇ )=P(A;B)Ç P(AÇ 'BÇ )=1-P(A;B) P(AÇ 'BÇ )=1-;1£0; P(AÇ 'BÇ )=;1¶0;15
A'B=A'(AÇ ;B) 이고, 두 사건 A, AÇ ;B는 서로 배반사건이므로 P(A'B)=P(A)+P(AÇ ;B) ∴ P(A)=P(A'B)-P(AÇ ;B) ∴ P(A)=;4#;-;3@;=;1¡2;16
AÇ 'BÇ =(A;B)Ç 에서 P(AÇ 'BÇ )=P((A;B)Ç ) P(AÇ 'BÇ )=1-P(A;B)=;5$; ∴ P(A;B)=;5!; P(A;BÇ )=P(A)-P(A;B) P(A;BÇ )=P(A)-;5!;=;4!; ∴ P(A)=;2ª0; ∴ P(AÇ )=1-;2ª0;=;2!0!;17
두 사건 A와 B가 서로 배반사건이므로 P(A'B)=P(A)+P(B)에서 ;2!;=;6!;+P(B) ∴ P(B)=;3!;18
P(A)P(B)=P(A)P(A)={P(A)}¤ =;9!; ∴ P(A)=;3!;`(∵ 0<P(A)<1) 이때 두 사건 A, B는 서로 배반사건이므로 P(A;B)=0 ∴ P(A'B)=P(A)+P(B)=2P(A)=;3@;19
두 사건 A와 B는 서로 배반사건이므로 P(A;B)=0 따라서 P(A'B)=P(A)+P(B)=4P(B)=1이므로 P(A)=3P(B)=3_;4!;=;4#;20
두 사건 A, BÇ 은 서로 배반사건이므로 A,B 즉, B=A'(AÇ ;B) P(B)=P(A)+P(AÇ ;B) P(B)=;3!;+;6!;=;2!;21
P(A)=;5#;, P(B)=;1£0;이고, AÇ 과 B는 서로 배반사건이므로 P(AÇ ;B)=P(B-A)=0 즉, B,A이므로 P(A;B)=P(B)=;1£0; ∴ P(A;BÇ )=P(A)-P(A;B) ∴ P(A;BÇ )=;5#;-;1£0;=;1£0;10
②11
⑤12
⑤13
②14
④15
①16
②17
③18
④19
⑤20
②21
② 본문`028`~`030쪽22
⑤23
②24
⑤25
526
⑤27
③28
⑤29
⑤30
③ 본문`030`~`031쪽유형`04. 확률의 계산
09
22
P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)이므로 ;2!;=;5!;+;5@;-P(A;B) ∴ P(A;B)=;1¡0; ∴ P((A;B)Ç )=1-P(A;B) ∴ P((A;B)Ç )=1-;1¡0; ∴ P((A;B)Ç )=;1ª0;23
P(AÇ 'BÇ )=P((A;B)Ç )=;6%;이므로 P(A;B)=1-P((A;B)Ç ) P(A;B)=1-;6%;=;6!; ∴ P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B) ∴ P(A'B)=;3!;+;2!;-;6!; ∴ P(A'B)=;3@;24
P(A;B)=;3!;P(B)=;3!;_;4!;=;1¡2; 확률의 덧셈정리에 의하여 P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B) P(A'B)=;3!;+;4!;-;1¡2;=;2!; ∴ P(AÇ ;BÇ )=P((A'B)Ç ) =1-P(A'B) ∴ P(AÇ ;BÇ )=1-;2!;=;2!;25
두 사건 A, B는 서로 배반사건이므로 P(A;B)=0 ∴ 6P(A'B)=6{P(A)+P(B)} ∴ 6P(A;B)=6 {;3!;+;2!;}=526
두 사건 A, B는 서로 배반사건이고 P(A)=P(B)이므로 P(A'B)=P(A)+P(B)=2P(A)=;5#; ∴ P(A)=;1£0; ∴ P(AÇ )=1-P(A) ∴ P(AÇ )=1-;1£0;=;1¶0;27
S=A'B이므로 P(A'B)=1 두 사건 A, B는 서로 배반사건이므로 P(A'B)=P(A)+P(B)에서 1=;5@;+P(B) ∴ P(B)=;5#;28
P(AÇ )=1-P(A)=1-;5#;=;5@; 두 사건 A, B는 서로 배반사건이므로 P(A;B)=0 ∴ P(AÇ ;B)=P(B)-P(A;B)=P(B)=;4!; ∴ = =;8%;29
P((A'B)Ç )=1-P(A'B)이므로 P(A'B)=1-P((A'B)Ç )=1-;4!;=;4#; P(A)=;8!;이고, 두 사건 A, B는 배반사건이므로 P(A'B)=P(A)+P(B)에서 ;4#;=;8!;+P(B) ∴ P(B)=;8%; ∴ 8P(B)=8_;8%;=530
P(A)P(B)=;4!; {P(B)}¤ =;10!0;이므로 {P(B)}¤ =;2¡5; ∴ P(B)=;5!; (∵ 0<P(B)<1) ∴ P(A)=;4!; P(B)=;4!;_;5!;=;2¡0; 두 사건 A, B는 서로 배반사건이므로 P(A'B)=P(A)+P(B)=;2¡0;+;5!;=;4!; ;4!; ;5@; P(AÇ ;B) P(AÇ )01
두 사건 A, B가 서로 독립이면 P(A;B)=P(A)P(B)02
①, ②, ③ 두 사건 A, B가 서로 독립이면 A와 BÇ , AÇ 과 B, AÇ 과 BÇ 도 각각 서로 독립이다. ④ 두 사건 A, B가 서로 독립이면 P(A;B)=P(A)P(B) 두 사건 A, B가 서로 배반사건이면 P(A;B)=0 ⑤ 두 사건 A, B가 서로 독립이면 AÇ , B도 서로 독립이므로 P(AÇ ;B)=P(AÇ )P(B)03
두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(A;B)=P(A)P(B)= _ =04
두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(A;B)=P(A)P(B)에서 =P(A)_ ∴ P(A)= ∴ P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B) = + -= =05
두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(A;B)=P(A)P(B)= P(B) P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)에서 = +P(B)- P(B) ∴ P(B)=06
두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(A;B)=P(A)P(B) 즉, P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)에서 = +P(B)- P(B) ∴ P(B)= 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 두 사건 A, BÇ 도 서로 독립 이다. 1 2 1 4 1 4 5 8 1 3 1 2 1 2 2 3 1 2 11 12 8+9-6 12 1 2 3 4 2 3 2 3 3 4 1 2 1 6 2 3 1 4 ∴ P(A;BÇ )=P(A)P(BÇ ) =P(A){1-P(B)} ∴ P(A;BÇ )= {1- }=07
두 사건 A와 B가 서로 독립이므로 P(A;B)=P(A)_P(B)=;9!; P(A)=;3@;이므로 ;3@;_P(B)=;9!; ∴ P(B)=;6!;08
두 사건 A와 B가 서로 독립이므로 P(A'B) =P(A)+P(B)-P(A;B) =P(A)+P(B)-P(A)P(B) P(A)=;3@;, P(A'B)=;6%;를 대입하면 ;6%;=;3@;+P(B)-;3@; P(B) ;3!; P(B)=;6!; ∴ P(B)=;2!!;09
P(AÇ )=1-P(A)= ∴ P(A)= 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(A;B)=P(A)P(B)= _ =10
두 사건 A, B가 서로 독립이므로 두 사건 A, BÇ 도 서로 독립이 다. ∴ P(A;BÇ ) ∴=P(A)P(BÇ ) ∴=P(A){1-P(B)} ∴= {1- }=11
두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(A;B)=P(A)P(B) P(A;B)=P(A)-P(B)이므로 2 9 1 3 1 3 2 9 1 3 2 3 2 3 1 3 1 8 1 2 1 401
③02
④03
①04
②05
②06
①0
5
본문`033쪽독립 조건에서의 확률의 계산
07
①08
③09
④10
②11
④12
③ 본문`034쪽유형`05. 독립 조건에서의 확률의 계산
11
P(A)P(B)=P(A)-P(B)에서 P(B)= -P(B) ∴ P(B)=12
두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(A;B)=P(A)P(B)= yy`㉠ 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 두 사건 AÇ , B도 서로 독립 이다. 즉, P(AÇ ;B)=P(AÇ )P(B)= 이므로 {1-P(A)}P(B)= P(B)-P(A)P(B)= yy`㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 P(B)- = ∴ P(B)= P(B)= 를 ㉠에 대입하면 P(A)_ = ∴ P(A)= [다른 풀이] P(AÇ ;B)=P(B)-P(A;B)에서 ;6!;=P(B)-;4!; ∴ P(B)=;1∞2; 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(A;B)=P(A)P(B)에서 ;4!;=P(A)_;1∞2; ∴ P(A)=;5#;13
P(A)=1-P(AÇ )=1-;5#;=;5@; 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(A;B)=P(A)P(B)에서 ;1¡0;=;5@;P(B) ∴ P(B)=;4!;14
P(A)=P(B)이고, 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(A;B)=P(A)P(B)={P(A)}¤ P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)에서 ;4#;=2P(A)-{P(A)}¤ 4{P(A)}¤ -8P(A)+3=0 {2P(A)-1}{2P(A)-3}=0 ∴ P(A)=;2!;``(∵ 0<P(A)<1) 3 5 1 4 5 12 5 12 5 12 1 6 1 4 1 6 1 6 1 6 1 4 2 5 2 3 2 313
③14
⑤15
④16
⑤17
④18
② 본문`035쪽15
두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(A;B)=P(A)P(B)=;4!; 한편, P(AÇ ;BÇ )=P((A'B)Ç )=;6!;에서 1-P(A'B)=;6!; ∴ P(A'B)=;6%; 즉, P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)에서 ;6%;=P(A)+P(B)-;4!; ∴ P(A)+P(B)=;1!2#; [다른 풀이] 두 사건 A, B가 서로 독립이면 두 사건 AÇ , BÇ 도 서로 독립이 므로P(AÇ ;BÇ )=P(AÇ )P(BÇ )={1-P(A)}{1-P(B)}
P(AÇ ;BÇ )=1-P(A)-P(B)+P(A)P(B) P(AÇ ;BÇ )=1-{P(A)+P(B)}+;4!;=;6!; ∴ P(A)+P(B)=;1!2#;
16
두 사건 A, BÇ 이 서로 독립이므로 P(A;BÇ )=P(A)P(BÇ )에서 ;6!;=;3!; {1-P(B)}, 1-P(B)=;2!; ∴ P(B)=;2!;17
P(A)=1-P(AÇ )=1- = 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 두 사건 A, BC 도 서로 독립 이다. ∴ P(A;BÇ )=P(A)P(BÇ )즉, P(A'BÇ )=P(A)+P(BÇ )-P(A)P(BÇ )에서
= +P(BÇ )- P(BÇ ) ∴ P(BÇ )= ∴ P(B)=1-P(BÇ )=1- =
18
P(A;BÇ )=P(A'B)-P(B)이므로 = -P(B) ∴ P(B)= 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(A;B)=P(A)P(B) 즉, P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)에서 =P(A)+12-12P(A) ∴ P(A)=123 4 1 2 3 4 1 4 1 2 1 2 1 2 1 5 1 5 3 5 1 5 4 5
01
P(A|B)=02
n(A)=7+3=10 n(A;B)=3 ∴ P(B|A)= = =;1£0;03
P(A|B)= = =04
P(B|A)= 이므로 P(A;B)=P(B|A)P(A) =0.5_0.4=0.205
P(A|B)= = =;3!; P(B|A)= = =;5#; ∴ P(A|B)P(B|A)=;3!;_;5#;=;5!;06
AÇ 'BÇ =(A;B)Ç이므로 P(A;B)=1-P((A;B)Ç )=1-0.8=0.2 ∴ P(A|B)= = =07
P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)에서 ;4#;=;4!;+;3@;-P(A;B) ∴ P(A;B)=;6!; ∴ P(A|B)= = =;4!;08
두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(A;B)=P(A)P(B)=;3!;_;4#;=;4!; ;6!; ;3@; P(A;B) P(B) 2 5 0.2 0.5 P(A;B) P(B) ;5!; ;3!; P(A;B) P(A) ;5!; ;5#; P(A;B) P(B) P(A;B) P(A) 2 3 ;3!; ;2!; P(A;B) P(B) n(A;B) n(A) P(A;B) P(A) P(A;B) P(B) ∴ P(A|B)= = =;3!;09
P(AÇ )=1-P(A)=1- = 두 사건 A, B가 서로 배반사건이므로 A;B=Δ 즉, P(B;AÇ )=P(B)= ∴ P(B|AÇ )= = =10
P(B|A)= P(B|A)= =;5#;11
A,B이므로 A;B=A ∴ P(A|B)= = = =12
P(B|A)= 이므로 P(A)= = =13
P(B|A)= 이므로 P(A;B)=P(B|A)P(A)= _ =14
P(A;BÇ )=P(A)-P(A;B)에서 = -P(A;B) ∴ P(A;B)= ∴ P(B|A)= = = 9 13 ;1ª6; ;1!6#; P(A;B) P(A) 9 16 13 16 1 4 1 3 2 5 5 6 P(A;B) P(A) 2 9 ;9!; ;2!; P(A;B) P(B|A) P(A;B) P(A) 3 8 ;4!; ;3@; P(A) P(B) P(A;B) P(B) ;5@; ;3@; P(A;B) P(A) 2 3 ;3!; ;2!; P(B;AÇ ) P(AÇ ) 1 3 1 2 1 2 ;4!; ;4#; P(A;B) P(B)01
④02
③03
④04
①05
②06
④07
②08
②09
④0
6
본문`037`~`038쪽조건부확률을 이용한 확률의 계산
10
④11
③12
①13
①14
⑤15
⑤16
①17
④18
②19
④20
④21
④ 본문`038`~`040쪽유형`06. 조건부확률을 이용한 확률의 계산
13
15
P(BÇ |A)= 이고 P(A;BÇ )=P(A)-P(A;B) P(A;BÇ )=;3!;-;8!;=;2∞4; 이므로 P(BÇ |A)= =;8%;16
P(BÇ )=1-P(B)=1- = P(A;BÇ )=P(A'B)-P(B) = - = ∴ P(A|BÇ )= = =17
P(AÇ )=1-P(A) P(AÇ )=1-;1¶0; P(AÇ )=;1£0; P(AÇ ;BÇ )=P((A'B)Ç ) P(AÇ ;BÇ )=1-P(A'B) P(AÇ ;BÇ )=1-;1ª0; P(AÇ ;BÇ )=;1¡0; ∴ P(BÇ |AÇ )= ∴ P(BÇ |AÇ )= ∴ P(BÇ |AÇ )=;3!;18
P(BÇ |A)=2P(B|A)에서 =2_ P(A;BÇ )=2P(A;B)=2_ = ∴ P(A)=P(A;BÇ )+P(A;B) = + =19
P(B)=1-P(BÇ )=1-;1£0;=;1¶0;이므로 P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B) P(A'B)=;5@;+;1¶0;-;5!;=;1ª0; 한편, P(AÇ ;BÇ )=P((A'B)Ç ) 한편, P(AÇ ;BÇ )=1-P(A'B)=;1¡0; 따라서 3 8 1 8 1 4 1 4 1 8 P(A;B) P(A) P(A;BÇ ) P(A) ;1¡0; ;1£0; P(AÇ ;BÇ ) P(AÇ ) 1 2 ;8#; ;4#; P(A;BÇ ) P(BÇ ) 3 8 1 4 5 8 3 4 1 4 ;2∞4; ;3!; P(A;BÇ ) P(A) P(AÇ |BÇ )= P(AÇ |BÇ )= =;3!;20
P(BÇ )= 이므로 P(B)=1-P(BÇ )=1- = 또 P(A|B)= = 에서 P(A;B)= P(B) P(A;B)= _ = 이때, 두 사건 A와 B는 서로 독립이므로 P(A;B)=P(A)P(B) ∴ P(A)P(B)=21
두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(A;B)=P(A)P(B)={1-P(AÇ )}P(B) P(A;B)= P(B)= ∴ P(B)= _;3$;=;3@; 한편, 두 사건 AÇ 과 B도 서로 독립이므로 P(B|AÇ )= = P(B|AÇ )=P(B)=22
P(A|B)= 이므로 = ∴ P(A;B)= ∴ P(B|A)= = =23
P(A|B)= 이므로 = P(A;B) ∴ P(A;B)=16 ;2!; 1 3 P(A;B) P(B) 1 2 ;5!; ;5@; P(A;B) P(A) 1 5 P(A;B) ;5#; 1 3 P(A;B) P(B) 2 3 P(B)P(AÇ ) P(AÇ ) P(B;AÇ ) P(AÇ ) 1 2 1 2 3 4 1 3 1 3 2 3 1 2 1 2 1 2 P(A;B) P(B) 2 3 1 3 1 3 ;1¡0; ;1£0; P(AÇ ;BÇ ) P(BÇ )22
②23
④24
①25
①26
④27
⑤28
⑤29
④30
⑤ 본문`040`~`041쪽∴ P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)
= + - =
24
P(B|AÇ )= 이므로P(AÇ ;B)=P(AÇ )P(B|AÇ )=;3!;_;2!;=;6!;
25
P(AÇ ;BÇ )=P((A'B)Ç )=1-P(A'B)=0.5 ∴ P(A'B)=0.5P(A;B)=P(A)+P(B)-P(A'B)
=0.2+0.4-0.5=0.1
∴ P(A|B)= = =
26
P(AÇ ;BÇ )=P((A'B)Ç )=1-P(A'B)= ∴ P(A'B)= P(A;B)=P(A)+P(B)-P(A'B) = +P(B)- =P(B)-이므로 P(A|B)= = = P(B)=4P(B)-2 ∴ P(B)=27
P(A;B)=P(A)+P(B)-P(A'B) =0.5+0.3-0.6=0.2 P(A|B)= = = P(B|A)= = = ∴ P(A|B)+P(B|A)= + =28
P(AÇ )=1-P(A)=1-;4!;=;4#; 두 사건 A, B가 서로 배반사건이므로 A;B=Δ 즉, P(B;AÇ )=P(B) 이때, P(A'B)=P(A)+P(B)이므로 ;2!0&;=;4!;+P(B) ∴ P(B)=;5#; ∴ P(B|AÇ )= = = =;5$;29
두 사건 A, B가 서로 독립이므로 ;5#; ;4#; P(B) P(AÇ ) P(B;AÇ ) P(AÇ ) 16 15 2 5 2 3 2 5 0.2 0.5 P(A;B) P(A) 2 3 0.2 0.3 P(A;B) P(B) 2 3 1 4 1 P(B)-1 2 P(B) P(A;B) P(B) 1 2 5 6 1 3 5 6 1 6 1 4 0.1 0.4 P(A;B) P(B) P(AÇ ;B) P(AÇ ) 2 3 1 6 1 2 1 3 P(A|B)= = =P(A)=;2!; P(B|A)= = =P(B)=;3!; ∴ P(A)+P(B)=;2!;+;3!;=;6%;30
두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(A;B)=P(A)P(B)=;5!;P(B) P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)에서 ;5$;=;5!;+P(B)-;5!;P(B) ;5$;P(B)=;5#; ∴ P(B)=;4#; 이때, 두 사건 AÇ , B도 서로 독립이므로 P(B|AÇ )= P(B|AÇ )= P(B|AÇ )=P(B) P(B|AÇ )=;4#; P(B)P(AÇ ) P(AÇ ) P(B;AÇ ) P(AÇ ) P(A)P(B) P(A) P(A;B) P(A) P(A)P(B) P(B) P(A;B) P(B)01
P(A)= P(A)=02
10개의 제비 중에서 한 개의 제비를 뽑는 경우의 수는 10 뽑힌 제비에 적힌 숫자가 3의 배수인 경우는 3, 6, 9의 3가지 따라서 구하는 확률은 ;1£0; n(A) n(S) (사건 A가 일어날 경우의 수) (일어날 수 있는 모든 경우의 수)01
③02
③03
⑤04
⑴ ④ ⑵ ③ ⑶ ③05
②06
③07
①08
③09
⑤10
④0
7
본문`043`~`044쪽확률 구하기
유형`07. 확률 구하기
15
03
모든 경우의 수는 6_6=36 눈의 수의 합이 5인 경우는 (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)의 4가지 따라서 구하는 확률은 ;3¢6;=;9!;04
⑴ 모든 경우의 수는 2_2_2=8 ⑵ 앞면이 1개 나오는 경우는 (앞, 뒤, 뒤), (뒤, 앞, 뒤), (뒤, 뒤, 앞)의 3가지 따라서 구하는 확률은 ;8#; ⑶ 앞면이 적어도 1개 나오는 사건을 A라 하면 3개 모두 뒷면이 나오는 사건은 AÇ 이므로 P(AÇ )=;8!; ∴ P(A)=1-P(AÇ )=;8&;05
7개의 구슬 중에서 2개를 꺼내는 경우의 수는 ¶C™ 흰 구슬 3개 중에서 2개를 꺼내는 경우의 수는 £C™ 따라서 구하는 확률은06
8개의 공 중에서 2개를 꺼내는 경우의 수는 •C™ ⁄흰 공 3개 중에서 2개를 꺼내는 경우의 수는 £C™ ¤검은 공 5개 중에서 2개를 꺼내는 경우의 수는 ∞C™ 따라서 구하는 확률은07
9명의 학생 중에서 3명을 택하는 경우의 수는 ªC£ 5명의 남학생 중에서 3명을 택하는 경우의 수는 ∞C£ 따라서 구하는 확률은 =;4∞2;08
7개의 공 중에서 3개를 꺼내는 경우의 수는 ¶C£ 흰 공 3개 중에서 1개를 꺼내고, 파란 공 4개 중에서 2개를 꺼내 는 경우의 수는 £C¡_¢C™ 따라서 구하는 확률은 =;3!5*;09
4명을 일렬로 세우는 경우의 수는 4! A를 맨 앞에 세우고 나머지 3명을 일렬로 세우는 경우의 수는 3! 따라서 구하는 확률은 =;4!;10
1, 2, 3, 4, 5를 한 번씩 사용하여 만든 다섯 자리의 자연수의 개 수는 5! ⁄일의 자리의 숫자가 2인 경우의 수는 4! ¤일의 자리의 숫자가 4인 경우의 수는 4! 따라서 구하는 확률은 =;5@; 4!+4! 5! 3! 4! £C¡_¢C™ ¶C£ ∞C£ ªC£ £C™+∞C™ •C™ £C™ ¶C™11
구하고자 하는 확률은 = = =;3!5*;12
6개의 공 중에서 2개를 꺼내는 경우의 수는 §C™=15 2개 모두 흰 공을 꺼내는 경우의 수는 ™C™=1 따라서 구하는 확률이 ;1¡5;이므로 p=15, q=1 ∴ p+q=1613
눈의 수의 곱 ab가 6의 배수인 경우는 (1, 6), (2, 3), (2, 6), (3, 2), (3, 4), (3, 6), (4, 3), (4, 6), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)의 15가지 이 중에서 두 수의 합 a+b가 7인 경우는 (1, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 1)의 4가지 따라서 구하는 확률은 ;1¢5;14
9개의 구슬 중에서 3개를 꺼내는 경우의 수는 ªC£=84 흰 구슬 4개 중에서 1개를 꺼내고, 검은 구슬 5개 중에서 2개를 꺼내는 경우의 수는 ¢C¡_∞C™=4_10=40 따라서 구하는 확률은 ;8$4);=;2!1);15
6개의 공 중에서 3개를 꺼내는 경우의 수는 §C£=20 흰 공 2개 중에서 1개를 꺼내고, 노란 공 2개 중에서 1개를 꺼내 고, 파란 공 2개 중에서 1개를 꺼내는 경우의 수는 ™C¡_™C¡_™C¡=8 따라서 구하는 확률은 ;2•0;=;5@;16
꺼낸 3개의 공 중에서 적어도 한 개가 검은 공일 사건은 3개 모두 흰 공일 사건의 여사건이다. 주머니에서 임의로 3개의 공을 동시에 꺼내는 경우의 수는 ¶C£=35 꺼낸 공이 모두 흰 공인 경우의 수는 ¢C£=4 4_3 3_112 2_1 7_6_5 11113_2_1 £C¡_¢C™ ¶C£ £C™_¢C™ ¶C¢11
③12
1613
③14
①15
①16
⑤17
④18
③19
①20
⑤21
③22
13723
⑤24
②25
② 본문`045`~`047쪽따라서 구하는 확률은 =;4!;
22
a-b=3이므로 다음 각 경우로 나눌 수 있다. ⁄a=5, b=2일 때, ⁄∞C∞{;2!;}5{;2!;} 0 _¢C™{;2!;}2{;2!;} 2 = _ = ¤a=4, b=1일 때, ⁄∞C¢{;2!;}4{;2!;} 1 _¢C¡{;2!;}1{;2!;} 3 = _ = ‹a=3, b=0일 때, ⁄∞C£{;2!;}3{;2!;} 2 _¢Cº{;2!;}0{;2!;} 4 = _ = 따라서 구하는 확률은 + + = = = 이므로 p+q=128+9=13723
a와 b가 짝수이고 짝수의 개수가 3개이므로 다음 두 가지로 나눌 수 있다. ⁄선택한 공이 짝수 1개, 홀수 2개인 경우를 사건 A라 하면 P(A)= =;3!5*; ¤선택한 공이 짝수 2개, 홀수 1개인 경우를 사건 B라 하면 P(B)= =;3!5@; ⁄, ¤에서 구하는 확률은 P(A'B)=P(A)+P(B) P(A'B)=;3!5*;+;3!5@;=;7^;24
6명을 6일에 배정하는 방법의 수는 6! 첫째 날과 여섯째 날에 모두 여학생이 배정되는 경우는 남학생 2명을 가운데 4일 중에서 2일에 먼저 배정하고, 나머지 4일에 여 학생을 배정하면 되므로 그 방법의 수는 ¢P™_4! 따라서 구하는 확률은 1- =1-;5@;=;5#;25
A, A, A, B, B, C의 문자가 하나씩 적혀 있는 6장의 카드를 일 렬로 나열하는 경우의 수는 =60 양 끝 모두에는 A가 적힌 카드가 나와야 하므로 A, B, B, C가 적혀 있는 4장의 카드를 A, A가 적혀 있는 2장의 카드 사이에 나열해야 한다. 카드를 나열하는 경우의 수는 =12 따라서 구하는 확률은 =;5!; 12 60 4! 2! 6! 3!_2! ¢P™_4! 6! £C™_¢C¡ ¶C£ £C¡_¢C™ ¶C£ 9 128 9 2‡ 18 2° 5 2° 5 2‡ 3 2° 5 2° 1 2› 5 2› 5 2‡ 1 2¤ 5 2fi 3 2° 3 2‹ 1 2fi 1+2 12 주머니에서 임의로 3개의 공을 동시에 꺼낼 때 3개 모두 흰 공일 확률은 ;3¢5; 따라서 구하는 확률은 1-;3¢5;=;3#5!;17
주머니에서 임의의 2개의 구슬을 꺼내는 경우의 수는 ¶C™=21 꺼낸 구슬에 적힌 두 자연수가 서로소인 경우의 수는 (2, 3), (2, 5), (2, 7), (3, 4), (3, 5), (3, 7), (3, 8), (4, 5), (4, 7), (5, 6), (5, 7), (5, 8), (6, 7), (7, 8) 의 14이다. 따라서 구하는 확률은 ;2!1$;=;3@;18
한 개의 주사위를 두 번 던져서 6의 눈이 한 번도 나오지 않는 경 우의 수는 5_5=25 나온 두 눈의 수의 합이 4의 배수인 경우를 순서쌍 (a, b)로 나타 내면 (1, 3), (2, 2), (3, 1), (3, 5), (4, 4), (5, 3) 의 6가지이다. 따라서 구하는 확률은 ;2§5;19
모든 경우의 수는 6_6_6=216 첫 번째에만 4의 눈이 나오는 경우의 수는 5_5=25 두 번째에만 4의 눈이 나오는 경우의 수는 5_5=25 세 번째에만 4의 눈이 나오는 경우의 수는 5_5=25 따라서 구하는 확률은 =;2¶1∞6;=;7@2%; [다른 풀이] 한 개의 주사위를 1번 던질 때, 4의 눈이 나올 확률은 ;6!; 따라서 한 개의 주사위를 3번 던질 때, 4의 눈이 한 번만 나올 확 률은 독립시행의 확률이므로 £C¡{;6!;}1{;6%;} 2 =;7@2%;20
전체 9명 중에서 3명을 선택하는 경우의 수는 ªC£=84 선택된 3명이 모두 근무조 A에 속하는 경우의 수는 ∞C£=10 선택된 3명이 모두 근무조 B에 속하는 경우의 수는 ¢C£=4 따라서 선택된 3명 중에서 근무조 A와 근무조 B에서 적어도 한 명씩 선택되는 경우의 수는 84-(10+4)=70 따라서 구하는 확률은 ;8&4);=;6%;21
모든 경우의 수는 ¢C™_™C¡=12 을이 뽑은 1장의 카드에 적힌 수를 a라 하고 갑이 뽑은 2장의 카 드에 적힌 두 수의 곱을 b라 하면 a>b이어야 하므로 ⁄a=3일 때, b=2=1_2의 1가지 ¤a=4일 때, b=2=1_2, b=3=1_3의 2가지 25+25+25 216유형`08. 조건부확률
17
26
7명 중 3명을 선택하는 경우의 수는 ¶C£=35 4명의 경찰 중에서 3명을 선택하는 경우의 수는 ¢C£=4 따라서 구하는 확률은 ;3¢5;27
9개의 공 중에서 3개를 꺼내는 경우의 수는 ªC£=84 흰 공 4개 중에서 1개를 꺼내고, 검은 공 3개 중에서 1개를 꺼내 고, 노란 공 2개 중에서 1개를 꺼내는 경우의 수는 ¢C¡_£C¡_™C¡=24 따라서 구하는 확률은 ;8@4$;=;7@;28
7개의 구슬 중에서 4개를 꺼내는 경우의 수는 ¶C¢=35 흰 구슬 3개 중에서 1개를 꺼내고, 검은 구슬 4개 중에서 3개를 꺼내는 경우의 수는 £C¡_¢C£=12 따라서 구하는 확률은 ;3!5@;29
a=3b일 확률은 ⁄a=3이고, b=1일 때 ⁄;6!;_;6!;=;3¡6; ¤a=6이고, b=2일 때 ⁄;6!;_;3!;=;1¡8; ⁄, ¤에서 구하는 확률은 ;3¡6;+;1¡8;=;1¡2;30
6개의 공 중에서 2개를 꺼내는 경우의 수는 §C™=15 ⁄흰 공 4개 중에서 2개를 꺼내는 경우의 수는 ⁄¢C™=6 ¤붉은 공 2개 중에서 2개를 꺼내는 경우의 수는 ⁄™C™=1 따라서 구하는 확률은 =;1¶5;31
10명의 학생 중에서 임의로 2명을 뽑는 경우의 수는 ¡ºC™=45 ⁄임의로 뽑은 2명이 한국 학생일 경우의 수는 ™C™=1 ¤임의로 뽑은 2명이 호주 학생일 경우의 수는 £C™=3 ‹임의로 뽑은 2명이 영국 학생일 경우의 수는 ¢C™=6 따라서 구하는 확률은 =;9@;32
9개의 제비 중에서 2개를 뽑는 경우의 수는 ªC™이고, n개의 당첨 제비 중에서 2개를 뽑는 경우의 수는 «C™이므로 =;1¡2;, =;1¡2; n¤ -n-6=0, (n-3)(n+2)=0 ∴ n=3 (∵ n은 자연수) n(n-1) 72 «C™ ªC™ 1+3+6 45 6+1 1526
①27
①28
②29
⑤30
②31
②32
④33
③34
② 본문`047`~`048쪽33
A, B, C, D, E의 5명 중에서 3명의 대표를 뽑는 방법의 수는 ∞C£=10 A는 포함되고 B는 포함되지 않는 방법의 수는 C, D, E의 3명 중에서 2명을 뽑는 방법의 수와 같으므로 £C™=3 따라서 구하는 확률은 ;1£0;34
1, 2, 3, 4, 5에서 서로 다른 3개의 숫자를 사용하여 만든 세 자리 정수의 개수는 ∞P£=60 5의 배수는 5의 꼴이므로 5의 배수의 개수는 ¢P™=12 따라서 구하는 확률은 ;6!0@;=;5!;01
P(A|B)= = P(A|B)= =02
A={2, 4, 6}, A;B={4, 6}이므로 P(B|A)= = =;3@;03
P(B)= =;4!0%; P(A;B)= =;4£0; ∴ p=P(A|B)= = =;5!; ∴ 10p=10_;5!;=2 ;4£0; ;4!0%; P(A;B) P(B) n(A;B) n(S) n(B) n(S) ;6@; ;6#; P(A;B) P(A) r q+r n(A;B) n(B) n(A;B) 111123n(S) n(B) 111n(S) P(A;B) P(B)01
⑤02
④03
204
②05
⑴ ① ⑵ ⑤06
⑴ ;8%; ⑵ ;2!0!; ⑶ ;5#; ⑷ ;2!2%; ⑸ ;1¶5; ⑹ ;2¶2;07
1908
1309
500
8
본문`051`~`052쪽조건부확률
P(B|A)= = =;2!8%; 이므로 p=28, q=15 ∴ p-q=13
09
회원 중에서 임의로 선택한 한 명이 여성인 사건을 A, 승리한 회 원인 사건을 B라 하면 P(A)=;5@0);, P(A;B)=;5!0); 따라서 구하는 확률은 p=P(B|A)= p= =;2!; ∴ 100p=100_;2!;=5010
이 조사에 참여한 학생 200명 중에서 임의로 선택한 1명이 생태 연구를 선택한 학생인 사건을 A, 여학생인 사건을 B라 하면 구 하는 확률은 P(B|A)이다. P(A)=;2!0!0);=;2!0!;, P(A;B)=;2∞0º0;=;4!; 이므로 P(B|A)= = =;1∞1;11
선택한 1장의 사진이 고양이 사진으로 인식된 사진인 사건을 A, 선택된 1장의 사진이 고양이 사진인 사건을 B라 하면 P(A)=;8#0^;=;2ª0; P(A;B)=;8#0@;=;5@; 따라서 구하는 확률은 P(B|A)= = =;9*;12
고등학교 학생 중에서 임의로 선택한 1명이 지역 A를 희망한 학 생일 사건을 A, 지역 B를 희망한 학생일 사건을 B라 하면 구하 는 확률은 ;5@; ;2ª0; P(A;B) P(A) ;4!; ;2!0!; P(A;B) P(A) ;5!0); ;5@0); P(A;B) P(A) ;5!0%; ;5@0*; P(A;B) P(A)04
A={3, 6}, B={1, 3, 5}이므로 A;B={3} ∴ P(A|B)= = =;3!;05
⑴ P(A;B)= ⑵ P(B|A)= = =06
⑴ P(A)=;4@0%;=;8%; ⑵ P(B)=;4@0@;=;2!0!; ⑶ P(B|A)= ⑶ P(B|A)= =;5#; ⑷ P(A|B)= ⑷ P(A|B)= =;2!2%; ⑸ P(B|AÇ )= ⑸ P(B|AÇ )= =;1¶5; ⑹ P(AÇ |B)= ⑹ P(AÇ |B)= =;2¶2;07
P(A|B)= = =;3!; P(B|A)= = =;4!; ∴ P(A|B)+P(B|A)=;3!;+;4!;=;1¶2; 따라서 p=12, q=7이므로 p+q=1908
이 학급에서 임의로 선택한 한 학생이 여학생인 사건을 A, 제주 도를 선호하는 사건을 B라 하면 P(A)=;5@0*;, P(A;B)=;5!0%; 따라서 구하는 확률은 ;1¡0º0; ;1¢0º0; P(A;B) P(A) ;1¡0º0; ;1£0º0; P(A;B) P(B) ;4¶0; ;4@0@; P(AÇ ;B) P(B) ;4¶0; ;4!0%; P(AÇ ;B) P(AÇ ) ;4!0%; ;4@0@; P(A;B) P(B) ;4!0%; ;4@0%; P(A;B) P(A) a a+c a 13N a+c 112N P(A;B) P(A) a N ;6!; ;6#; P(A;B) P(B)10
①11
⑤12
⑤13
⑤14
②15
②16
6017
④18
③19
③20
③21
③22
②23
③ 본문`053`~`056쪽유형`08. 조건부확률
19
P(B|A)= = =13
임의로 선택한 한 개의 공이 검은색일 사건을 A, 공에 적혀 있는 수가 짝수일 사건을 B라 하면 P(A)=;1ª4;, P(A;B)=;1¢4;이므로 P(B|A)= = =;9$;14
조사에 참여한 학생 중에서 임의로 선택한 1명이 남학생인 사건 을 A, 과목 B를 선택한 학생인 사건을 B라 하면 P(A)=;2!0);, P(A;B)=;2¶0; 따라서 구하는 확률은 P(B|A)= = =;1¶0;15
1, 2학년 학생 중에서 임의로 선택한 1명이 여학생인 사건을 A, 2학년인 사건을 B라 하면 P(A)=;3!0#0);, P(A;B)=;3¶0º0; 따라서 구하는 확률은 P(B|A)= = =;1¶3;16
참가한 회원 50명 중에서 임의로 선택한 한 명이 여성인 사건을 A, 마라톤에서 완주하였을 사건을 B라 하면 P(A)=;5!0%;, P(A;B)=;5ª0; 따라서 구하는 확률은 p=P(B|A)= = =;5#; ∴ 100p=100_;5#;=6017
1000명의 학생 중에서 임의로 선택한 한 학생이 B형인 사건을 B, Rh±형의 남학생인 사건을 R라 하면 P(B)= = P(R;B)=;1¡0∞0º0; 따라서 구하는 확률은 P(R|B)= = =;8%;18
학생 50명 중에서 임의로 선택한 1명이 1학년 학생인 사건을 A, 주제 B를 고르는 사건을 B라 하면 p¡=P(B|A)= =;5!0^;=;3@; ;5@0$; P(A;B) P(A) ;1¡0∞0º0; ;1™0¢0º0; P(R;B) P(B) 240 1000 150+6+80+4 1000 ;5ª0; ;5!0%; P(A;B) P(A) ;3¶0º0; ;3!0#0); P(A;B) P(A) ;2¶0; ;2!0); P(A;B) P(A) ;1¢4; ;1ª4; P(A;B) P(A) 7 9 ;5!0$0); ;5!0*0); P(A;B) P(A) p™=P(A|B)= = =;1•5; ∴ = =;5$;19
300명 중에서 임의로 선택된 사람이 A를 먹은 사람인 사건을 A, 식중독에 걸린 사람인 사건을 B라 하면 p¡=P(B|A)= = =;5@0@; p™=P(B|AC )= = =;2™5¢0; ∴ = =;1%2%;20
5명 중 임의로 뽑힌 한 학생이 만두를 선택한 학생인 사건을 M, 쫄면을 선택한 학생인 사건을 N이라 하면 구하는 확률은 P(N|M)= = =;2!;21
주어진 조건을 표로 나타내면 다음과 같다. 이 학급에서 선택된 한 학생이 중국어 수업을 받는 사건을 A, 여 학생인 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(B|A)= = =;7#;22
주어진 조건을 표로 나타내면 다음과 같다. 이 학교의 학생 중에서 임의로 뽑은 1명이 여학생인 사건을 A라 하면 남학생인 사건은 AÇ 이고 축구를 선택한 사건을 B라 하면 야구를 선택한 사건은 BÇ 이다. 임의로 뽑은 1명이 축구를 선택한 남학생일 확률이 ;5@;이므로 P(B;AÇ )= =;5@; ∴ c=40 a+c=70에서 a=30 c+d=60에서 d=20 c 100 ;3ª4; ;3@4!; P(A;B) P(A) ;5@; ;5$; P(M;N) P(M) ;5@0@; ;2™5¢0; p¡ p™ ;3™0¢0; ;3@0%0); P(AÇ ;B) P(AÇ ) ;3™0™0; ;3∞0º0; P(A;B) P(A) ;1•5; ;3@; p™ p¡ ;5!0^; ;5#0); P(A;B) P(B) 구분 남학생 여학생 합계 중국어 12 9 21 일본어 6 7 13 합계 18 16 34 (단위`: 명) 구분 축구 야구 합계 여학생 a b 40 남학생 c d 60 합계 70 30 100 (단위`: 명)01
P(X=1)=;2!;, P(X=3)=;8!; ∴ P(X=1)+P(X=3)=;8%;02
확률의 총합이 1이므로 + +a=1 ∴ a=03
확률의 총합이 1이므로 +a+ + =1 ∴ a= ∴ P(1…X…2)=P(X=1)+P(X=2) = + =04
E(X)=1_ +2_ +3_ =205
확률의 총합이 1이므로 + +a+ =1 ∴ a= ∴ E(X)=0_ +1_ +2_ +3_ =3 2 1 8 3 8 3 8 1 8 3 8 1 8 3 8 1 8 1 5 3 5 1 5 3 4 1 2 1 4 1 4 1 8 1 2 1 8 1 2 1 3 1 6 a+b=40에서 b=10 따라서 구하는 확률은 P(A|BÇ )= = =;3!;23
체험 학습 B를 선택한 학생 중 남학생의 수를 a, 여학생의 수를 b 라 하고 주어진 조건을 표로 나타내면 다음과 같다. a+b=360-160=200㉠㉠yy㉠ 또 이 학교의 학생 중 임의로 뽑은 1명의 학생이 체험 학습 B를 선택한 학생일 때, 이 학생이 남학생일 확률이 ;5@;이므로 체험 학 습 B를 선택한 사건을 A, 남학생일 사건을 B라 하면 P(B|A)= = =;5@;에서 5a=2a+2b ∴ a=;3@;b 이 식을 ㉠에 대입하면 ;3@;b+b=200 ∴ b=120 따라서 이 학교의 여학생의 수는 70+b=70+120=19024
임의로 뽑은 한 명이 남학생인 사건을 A, 인터넷 학습 경험이 있 는 학생인 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(B|A)= = =;4!;25
질문을 한 사람이 학부모인 사건을 A, 여자인 사건을 B라 하면 P(B|A)= = =;6#0!;26
20명 중에서 임의로 뽑은 한 명이 3학년인 사건을 A, 남학생인 사건을 B라 하면 구하는 확률은 p=P(B|A)= = =;3@; ∴ 30p=30_;3@;=20 ;2¢0; ;2§0; P(A;B) P(A) ;6!0%0%; ;6#0)0); P(A;B) P(A) ;3∞5º0; ;3@5)0); P(A;B) P(A) a a+b n(A;B) n(A) ;1¡0º0;; ;1£0º0; P(A;BÇ ) P(BÇ )27
주어진 조건을 표로 나타내면 다음과 같다. 이 학급에서 임의로 뽑은 한 학생이 자연계열을 선택한 사건을 A, 남학생인 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(B|A)= =;3§4; =;1§3; ;3!4#; P(A;B) P(A) 구분 남학생 여학생 합계 인문계열 12 9 21 자연계열 6 7 13 합계 18 16 34 (단위`: 명)24
③25
④26
2027
③ 본문`056쪽01
①02
④03
⑤04
②05
①06
⑤07
④08
①09
010
③0
9
본문`059`~`060쪽이산확률변수의 평균
구분 남학생 여학생 합계 체험 학습 A 90 70 160 체험 학습 B a b a+b 합계 360 (단위`: 명)유형`09. 이산확률변수의 평균
21
06
E(X)=10이므로 E(5X)=5E(X)=5_10=5007
E(X)=5이므로 E(3X+2)=3E(X)+2=3_5+2=1708
확률의 총합이 1이므로 + + +a+ =1 ∴ a= E(X)=1_ +2_ +3_ +4_ +5_ =3 ∴ E(2X)=2E(X)=2_3=609
확률의 총합이 1이므로 +a+b=1 ∴ a+b= yy`㉠ E(X)=1이므로 0_ +1_a+2_b=1 ∴ a+2b=1 yy`㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=0, b= ∴ ab=010
P(X=3)=;5!;, P(X=4)=;5@; ∴ P(X=3)+P(X=4)=;5#;11
E(X)=-4_;5!;+0_;1¡0;+4_;5!;+8_;2!;=4 ∴ E(3X)=3E(X)=1212
E(X)=(-5)_;5!;+0_;5!;+5_;5#;=2 ∴ E(4X+3)=4E(X)+3 ∴ E(4X+3)=4_2+3=1113
확률의 총합이 1이므로 +a+2a=1 ∴ a= E(X)=0_ +1_ +2_ = ∴ E(4X+10)=4E(X)+10 =4_54+10=15 5 4 1 2 1 4 1 4 1 4 1 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 10 3 10 1 5 3 10 1 10 3 10 1 10 1 5 3 10 1 1011
⑤12
1113
⑤14
①15
⑤16
③17
①18
②19
13 본문`060`~`061쪽14
확률의 총합이 1이므로 +p+ +p+p=1 ∴ p= E(X)=1_ +2_ +3_ +4_ +5_ = ∴ E(5X+3)=5E(X)+3 =5_ +3=1715
P(0…X…2)=1-P(X=-1)= P(X=-1)= = ∴ a=2 ∴ E(X)=(-1)_;8!;+0_;8!;+1_;8%;+2_;8!;=16
확률의 총합이 1이므로 a+ +b=1 ∴ a+b= yy`㉠ E(X)=5이므로 1_a+3_ +7_b=5 ∴ a+7b= yy`㉡ ㉡-㉠을 하면 6b= ∴ b=17
확률의 총합은 1이므로 P(X=-2)+P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1) +P(X=2) ={k+;9@;}+{k+;9!;}+k+{k+;9!;}+{k+;9@;} =5k+;3@;=1 ∴ k=;1¡5;18
E(X)=1_;7#;+2_;7@;+3_;7!;+4_0+5_;7!;=:¡7∞: ∴ E(14X+5)=14E(X)+5 ∴ E(14X+5)=14_:¡7∞:+5=3519
확률변수가 X가 취할 수 있는 값은 1, 2, 4이고 각각의 확률은 , , 이다. 즉, 확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. E(X)=1_ +2_ +4_ =2 ∴ E(5X+3)=5E(X)+3=5_2+3=13 1 6 3 6 2 6 1 6 3 6 2 6 7 12 7 2 17 4 1 4 3 4 1 4 3 4 1 8 3-a 8 7 8 14 5 14 5 1 5 1 5 1 10 1 5 3 10 1 5 1 10 3 10 X 1 2 4 계 P(X=x) 26 36 16 1E(X)=1_ +2_ +3_ +4_ +5_ = ∴ E(10X+3)=10E(X)+3 =10_ +3=31
27
확률의 총합이 1이므로 +a+ +b=1 ∴ a+b= yy`㉠ E(X)= 이므로 E(X)=0_ +1_a+2_ +3_b= ∴ a+3b= yy`㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a= , b= ∴ = =28
확률의 총합이 1이므로 +p+q=1 ∴ p+q= yy`㉠ E(5X)=5E(X)=3에서 E(X)= 이므로 0_ +2_p+4_q= ∴ 2p+4q= yy`㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 p= , q= ∴ = = =429
확률의 총합은 1이므로;?4+)`P(X=x)=1에서 ;6!;+a+;6!;+a+;6!;=1 2a+;2!;=1 ∴ a=;4!; ∴ P(1…X…3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) ∴ P(1…X…3)=;4!;+;6!;+;4!;=;3@; ∴ 6P(1…X…3)=6_;3@;=430
E(X)=1_ +2_ +3_ +4_ 4 =3 10 3 10 2 10 1 10 20 5 ;5!; ;2¡0; p q 1 20 1 5 3 5 3 5 3 4 3 5 1 4 3 4 3 7 ;2£0; ;2¶0; b a 3 20 7 20 4 5 7 5 3 10 1 5 7 5 1 2 3 10 1 5 14 5 14 5 1 5 1 5 1 10 1 5 3 1020
확률의 총합이 1이므로 ;8!;+a+2a+;8!;=1 ∴ a=;4!;21
확률의 총합이 1이므로 {a+ }+a+ =1 ∴ a= ∴ P(X=1)_P(X=2)={ + }_ =22
P(X=2)= P(X=4)에서 a= _3b ∴ a=2b yy`㉠ 확률의 총합이 1이므로 a+2a+3b=1 ∴ 3a+3b=1 yy`㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a= , b= ∴ P(3…X…4)=P(X=3)+P(X=4) = + =23
E(X)=1_;6!;+2_;3!;+3_;6!;+4_;3!;=;3*; ∴ E(3X)=3E(X)=3_;3*;=824
확률의 총합이 1이므로 ;4!;+;4!;+;4!;+a=1 ∴ a=;4!; ∴ E(X)=1_;4!;+3_;4!;+5_;4!;+7_;4!;=425
확률의 총합이 1이므로 a+;4!;+2a=1 ∴ a=;4!; E(X)=0_;4!;+1_;4!;+2_;4@;=;4%; ∴ E(4X)=4E(X)=4_;4%;=526
확률의 총합이 1이므로 +a+101 +a+15=1 ∴ a=15 3 10 7 9 3 9 4 9 1 9 2 9 2 3 2 3 5 64 1 8 1 2 1 8 1 8 1 4 1 220
③21
②22
⑤23
824
⑤25
①26
①27
①28
④29
430
331
② 본문`062`~`063쪽유형`10. 이산확률변수의 분산
