1
2 1
4
01
시행 횟수가 n이고, 1회의 시행에서 사건이 일어날 확률이 p이므 로 확률변수 X는 이항분포 B(n, p)를 따른다.02
확률변수 X가 이항분포 B(n, p)를 따르므로 E(X)=np, V(X)=npq03
E(2X+5)=2E(X)+5=2_10+5=25 V(2X)=2¤ V(X)=4_5=20
∴ E(2X+5)+V(2X)=25+20=45
04
E(X)=100_;6!;=:∞3º:V(X)=100_;6!;_;6%;=
05
E(X)=5_;3@;=:¡3º:∴ E(3X+5)=3E(X)+5
∴ E(6X-5)=3_:¡3º:+5=15 125
9
01
①02
①03
④04
⑤05
③06
8107
⑤08
①09
③11
본문`069`~`070쪽
이항분포
06
V(X)=48_;4#;_;4!; =9∴ V(3X-4)=3¤ V(X)
=9_9=81
07
E(X)=n_;3!;=60∴ n=180
∴ V(X)=180_;3!;_;3@;=40
08
1회의 시행에서 6의 눈이 나올 확률은 ;6!;이고, 주사위를 100회 던지는 시행에서 확률변수 X의 확률분포는 독립시행의 확률을 따르므로 X는 이항분포 B {100, ;6!;}을 따른다.09
E(X)=45_;3!;=15 V(X)=45_;3!;_;3@;=10∴ E(X¤ )=V(X)+{E(X)}¤ =235
10
r(X)=Æ…100_;5!;_;5$; =4∴ r(3X-4)=3r(X)=3_4=12
11
V(X)=6_;3@;_;3!;=;3$;∴ V(-3X+2)=(-3)¤ V(X)=9_;3$;=12
12
E(X)=80p=20이므로 p=;4!;∴ V(X)=80_;4!;_;4#;=15
13
E(X)=200_p=40 ∴ p=;5!;∴ V(X)=200_;5!;_;5$;=32
14
V(X)=n_;4!;_;4#;=6∴ n=32
15
V(X)=n_;3!;_;3@;=;9@;n10
①11
⑤12
1513
①14
3215
2016
8017
⑤18
①19
④20
30본문`070`~`072쪽
V(3X)=3¤ V(X)=9_;9@;n=40
∴ n=20
16
V(X)=n_;2!;_;2!;=V{;2!;X+1}=;4!;V(X)=5에서 V(X)=20
=20이므로 n=80
17
E(2X-5)=2E(X)-5=175에서 E(X)=90∴ np=90 yy`㉠
r(2X-5)=2r(X)=12에서 r(X)=6
∴ "√np(1-p)=6 yy`㉡
㉠을 ㉡에 대입하면
"√90(1-p)=6, 90(1-p)=36 1-p=;5@; ∴ p=;5#;
p=;5#;을 ㉠에 대입하면
;5#;n=90 ∴ n=150
18
E(X)=n_;2!;=V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤에서
E(X¤ )=V(X)+{E(X)}¤이므로 {E(X)}¤ =25 즉, =25에서 n=10
19
E(X)=9p, V(X)=9p(1-p) {E(X)}¤ =V(X)에서 (9p)¤ =9p(1-p) 9p=1-p(`∵ 0<p<1)∴ p=;1¡0;
20
동전 2개 모두 앞면이 나올 확률은 ;2!;_;2!;=;4!;이므로 확률변수 X는 이항분포 B {10, ;4!;}을 따른다.
V(X)=10_;4!;_;4#;=:¡8∞:
∴ V(4X+1)=4¤ V(X)=16_:¡8∞:=30
21
E(X)=90_;3!;=30이므로E(6X+10)=6E(X)+10=6_30+10=190 n¤
4
n 2 n
4
n 4
V(X)=90_;3!;_;3@;=20이므로 V(6X)=6¤ V(X)=36_20=720
∴ E(6X+10)+V(6X)=190+720=910
22
E(2X-3)=2E(X)-3=13에서 E(X)=8 즉, ;4N;=8이므로 n=3223
B {n, ;6!;}에서V(X)=n_;6!;_;6%;=10 ∴ n=72
∴ E(X)=72_;6!;=12
24
B {n, ;4!;}에서E(X)=n_;4!;=;4N;
V(X)=n_;4!;_;4#;=
∴ E(X)-V(X)=;4N;- = =8
∴ n=128
25
E(X)=;1˜4;, V(X)=;1˜4; {1-;1¡4;}=;1!4#;_;1˜4;{E(X)}¤ =V(X)에서
{;1˜4;}¤ =;1!4#;_;1˜4;, ;1˜4;=;1!4#; (`∵ n>0)
∴ n=13
26
E(X)=np=;8&;, r(X)="√np(1-p)=;8&;이므로Æ…;8&;(1-p)=;8&;, 1-p=;8&;
∴ p=;8!;
27
E(X)=np, V(X)=np(1-p) E(X)=4V(X)에서 np=4np(1-p) 1-p=;4!; (`∵ n>0, p+0) ∴ p=;4#;E(X)+V(X)=120에서 ;4#;n+;1£6;n=120
;1!6%;n=120 ∴ n=128
28
확률변수 X는 이항분포 B(10000, 0.8)을 따르므로 V(X)=10000_0.8_0.2=160029
확률변수 X는 이항분포 B {n, ;6!;}을 따르므로E(X)=n_;6!;=20 ∴ n=120 n 16 3n 16 3n 16
21
③22
⑤23
②24
④25
1326
①27
12828
②29
120본문`072`~`073쪽
유형`12. 확률밀도함수의 그래프
27 01
⑴ 확률밀도함수의 그래프와 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이는1이다.
⑵ P(0…X…2)는 그림의 어두운 부분의 넓이와 같으므로 ;2!;이다.
⑶ ;2!;_4_a=1
∴ a=;2!;
02
어두운 부분의 넓이는 P(a…X…b)03
⑴ f(x)=;6A;x이고, 함수 y=f(x) 의 그래프와 x축 및 직선 x=6 으로 둘러싸인 부분의 넓이는 1 이므로;2!;_6_a=1
∴ a=;3!;
⑵ P(0…X…2)는 그림에서 어두 운 부분의 넓이와 같으므로
P(0…X…2)=;2!;_2_;9!;
P(0…X…3)=;9!;
04
함수 y= f(x)의 그래프와 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 1이 므로;2!;_a_a=;2!;, a¤ =1
∴ a=1`(∵ a>0)
05
점 A의 좌표를 A(2, h)라 하면 함 수 y= f(x)의 그래프와 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 1이므로;2!;_4_h=1 ∴ h=;2!;
∴ P(0…X…1)+P(3…X…4)
∴={;2!;_1_;4!;}+{;2!;_1_;4!;}=;4!;
y
O 1 2 3 4 x y=f(x) A
4 1 2 1 y
O 2 6x
1 3 1 9
y= 1 x 18 y
O 6
a
x y=f(x) y
O a
2 4 x
01
⑴ ③ ⑵ ② ⑶ ②02
④03
⑴ ;3!; ⑵ ;9!;04
105
③06
④07
②08
212
본문`075`~`076쪽
확률밀도함수의 그래프 06 함수 y= f(x)의 그래프와 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 1이 므로
;2!;_3_a=1 ∴ a=;3@;
07
함수 y= f(x)의 그래프와 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 1이 므로;2!;_6_a=1 ∴ a=;3!;
∴ P(0…X…1)=;2!;_1_;3!;=;6!;
08
함수 y= f(x)의 그래프와 x축 및 직선 x=1로 둘러싸인 부분의 넓이가 1이므로;2!;_1_a=1
∴ a=2
09
확률밀도함수의 성질에 의하여 주어진 확률밀도함수의 그래프와 x축 및 y축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 1이므로;2!;_a+;2!;_;2!;_a=;2!;a+;4!;a=;4#;a=1
∴ a=;3$;
10
0…X…2에서 확률밀도함수의 그래프와 x축으로 둘러싸인 부 분의 넓이는 1이므로;2!;_;3!;_;4#;+{a-;3!;}_;4#;+;2!;_(2-a)_;4#;=1
;8#;a=;8#;에서 a=1
∴ P{;3!;…X…a}=P{;3!;…X…1}={1-;3!;}_;4#;=;2!;
11
함수 y= f(x)의 그래프와 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 1이 므로;2!;_10_b=1 ∴ b=;5!;
이때, P(0…X…a)=;5@;이므로
;2!;_a_;5!;=;5@;
∴ a=4
∴ a+b=4+;5!;=:™5¡:
y
O a
1 x y=f(x)
09
③10
④11
①12
④13
④14
③15
20본문`077`~`078쪽
12
P(2…X…3)=;2!;_1_;3@;=;3!;
즉, P(m…X…2)=P(2…X…3)에서 P(m…X…2)=;3!;이므로
P(0…X…m)=P(0…X…2)-P(m…X…2) P(0…X…m)=;3@;-;3!;=;3!;
;2!;_m_;3!;m=;3!;
m¤ =2
∴ m='2 (`∵ 0<m<2)
13
확률 P {a…X…a+;2!;}의 값이 최대가 되려면 a와 a+;2!;의 중점이 1이어야 한다.
즉, =1에서
2a+;2!;=2 ∴ a=;4#;
14
P {;4%;…X…4}=P(0…X…4)-P {0…X…;4%;}P {;4%;…X…4}=g(4)-g {;4%;}
P {;4%;…X…4}=1-;2!;=;2!;
15
확률밀도함수의 그래프와 x축 및 두 직선 x=0, x=4로 둘러싸 인 부분의 넓이는 1이므로;2!;_1_a+;2!;_3_3a=1 5a=1 ∴ a=;5!;
f(x)=;5!;(x-1)`(1…x…4)이므로 f(2)=;5!;
즉, P(0…X…2)는 그림에서 어두 운 부분의 넓이와 같으므로 P(0…X…2)
=;2!;_1_;5!;+;2!;_1_;5!;=;5!;
∴ 100P(0…X…2)=100_;5!;=20
4 2 1 5 1 5 3 y
O x
a+a+;2!;
2
a 1 a1
2 y
O x
a+2 1 y
O m 2
m
3 x 2
3 1 3
16
함수 y= f(x)의 그래프와 x축 및 직선 x=6으로 둘러싸인 부 분의 넓이는 1이므로;2!;_6_6k=1
∴ k=;1¡8;
∴ P(2…X…4)=P(0…X…4)-P(0…X…2)
∴ P(2…X…4)=;2!;_4_;9@;-;2!;_2_;9!;=;3!;
17
함수 y= f(x)의 그래프와 x축 및 직선 x=3으로 둘러싸인 부 분의 넓이는 1이므로;2!;_(2+3)_a=1
;2%;a=1 ∴ a=;5@;
∴ P(0…X…1)=;2!;_1_;5@;=;5!;
18
P(0…X…a)=;3!;이므로;2!;_a_1=;3!; ∴ a=;3@;
함수 y=f(x)의 그래프와 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 1이 므로
;2!;_b_1=1 ∴ b=2
∴ 3a+b=3_;3@;+2=4
19
함수 y=f(x)의 그래프와 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 1이 므로;2!;_b_;2B;=1, b¤ =4
∴ b=2 (∵ b>0) yy`㉠
한편, P(a…X…b)=;4!;이므로 P(0…X…a)=1-;4!;=;4#;
즉, ;2!;_a_;2B;=;4#;이므로
ab=3 yy`㉡
㉠을 ㉡에 대입하면 a=;2#;
20
확률밀도함수의 그래프와 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 1이 므로;2!;_8_b=1 ∴ b=;4!;
한편, P(a…X…8)=;8%;이므로
y
O 1
a 2 x y=f(x)
4 6
2 3 1
9 1
y= x181 9
2 y
O x
16
②17
④18
④19
③20
③21
⑤22
④본문`078`~`079쪽
유형`13. 정규분포의 표준화
29
P(0…X…a)=1-;8%;=;8#;
즉, ;2!;_a_;4!;=;8#;이므로 a=3
∴ a-b=3-;4!;=:¡4¡:
21
함수 y=f(x)의 그래프와 x축 및 직선 x=3으로 둘러싸인 부분 의 넓이는 1이므로;2!;_3_3a=1 ∴ a=;9@;
따라서 P(1…X…3)은 그림에서 어두 운 부분의 넓이와 같으므로
P(1…X…3)=;2!;_{;9@;+;9^;}_2 P(1…X…3)=;9*;
22
확률밀도함수 f(x)의 그래프는 그림 과 같고, P(0…X…3)은 그림에서 어두운 부분의 넓이와 같으므로 P(0…X…3)=;2!;_(1+3)_;3!;P(0…X…3)=;3@;
y
O 2 3 4 x
y=f(x) 3
1 y
O 1 3 x
y= x 9
6
9 2
9 2
01
확률변수 X가 정규분포 N(100, 5¤ )을 따르므로 a=90, b=105 ∴ b-a=1502
확률변수 X가 정규분포 N(m, r¤ )을 따르므로 Z= 으 로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1¤ )을 따른다.∴ P(m…X…a)=P { …Z… }
∴ P(m…X…a)=P(0…Z…b)
∴ b= a-m r
a-m r m-m
r
X-m r
01
③02
③03
204
④05
806
②07
④08
⑤09
④10
④11
①12
④13
본문`081`~`083쪽