우석대학교 에너지전기공학과

우석대학교 에너지전기공학과

이우금 교수

기말시험 총정리

 삼각함수의 성질

1) 𝑦 = 𝐴sin(ω𝑥), (𝐴 ≠ 0) 의 진폭과 주기  최대값:

𝐴

, 최소값:

− 𝐴

 각속도: ω  주기:

𝑇 =

2π ω

(=

360° ω

)

 주파수:

𝑓 =

1 𝑇

=

ω 2π

(=

ω 360°

)

2π ω 주기= 2π ω 0 𝑦 𝑥 2) 위상(phase) 이동



𝑦 = 𝐴sin(ω𝑥 − ∅), (𝐴 ≠ 0)

는

𝑥 =

∅ ω 에서 시작하여,

𝑥 =

2π ω

+

∅ ω 에서 한 주기가 끝난다.

 그러므로, 𝑦 = 𝐴sin(ω𝑥 − ∅) 의 그래프는 𝑦 = 𝐴sin(ω𝑥) 의 그래프를 ∅ ω 만큼 수평으로 평행이동.  이때 ∅ ω 를 𝑦 = 𝐴sin(ω𝑥 − ∅) 의 위상이동 . ∅ > 0 일 때: 오른쪽 방향으로 수평 이동 ∅ ω 2π ω + ∅ ω 0 𝑦 𝑥

 역 삼각함수

1) 역함수: 오직 1:1 함수에만 존재함. 사인함수 𝑦 = sin 𝑥 의 역함수가 존재하는가? 2) 1:1 함수가 아닌 경우: 정의역을 축소함으로써, 축소된 범위 내에서 1:1 함수가 되도록 할 수 있음.  사인함수의 역함수: 아크사인 함수 (arcsine function) −1 ≤ 𝑥 ≤ 1, −π₂ ≤ 𝑦 ≤ π₂ 에 대해서 𝑥 = sin 𝑦 𝑦 = sin−1_𝑥 그러므로, 『 𝑦 는 사인함수 값이 𝑥 일 때의 각』  아크코사인 함수 (arccosine function)의 정의 −1 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ π 에 대해서 𝑦 = cos−1_{𝑥 𝑥 = cos 𝑦}  아크탄젠트 함수 (arctangent function)의 정의 −∞ < 𝑥 < ∞, −π₂ < 𝑦 < π₂ 에 대해서 𝑦 = tan−1_{𝑥 𝑥 = tan 𝑦} 그러므로, 『𝑦 는 탄젠트함수 값이 𝑥 일 때의 각』

예제) 다음 값을 구하라. (1) cos[(sin−1₍₋1 3)] 𝑦 = sin−1₍₋1 3) − 1 3= sin 𝑦  𝑦 는 사인함수의 값이 −1₃ 이 되기 위한 각.  또한, −1₃= sin 𝑦 < 0 이므로, 각 𝑦 는 3/4분면 또는 4/4분 면의 각.  아크사인 정의에 의해 −π₂ ≤ 𝑦 ≤ π₂ 이므로, 각 𝑦 는 4/4분면 또는 1/4분 면의 각.  그러므로, 각 𝑦 는 4/4분 면의 각이 되어야 함. −π₂ < 𝑦 < 0  직각삼각형 (피타고라스 정리) sin 𝑦 = −1₃ 3 1 2 2 𝑦 𝑦 𝑥 −1 o 𝑥 𝑦 (양의 삼각함수) sin _all tan cos

6. 복소수 (complex number) 6-1. 복소수 개념 6-1-1. 복소수의 정의  복소수: 실수 외에 허수까지 포함하는 수.  실수: 실수의 기본단위는 1이며, 실수는 이의 배수로 나타내며, 제곱하여 0 또는 양수로 표시됨.  허수: 제곱하여 -1이 되는 수를 기본단위로 하는 새로운 가상의 수. 𝑖2 = −1 𝑖 = −1 (허수 기본단위)  복소수의 구성: 실수와 허수의 합으로 이루어지고, A 또는

A

로 표시함. _{A = A = 𝑎 + 𝑏𝑖, (𝑎, 𝑏 는 각각 실수)}

 A 의 실수 부(real part):

𝑎 𝑎 = 𝑅𝑒 A = 𝑅𝑒(A )

6-1-2. 복소수의 표시

 실수는 기하학적으로 일직선상의 한 점으로 표시되나, 복소수는 두 개의 실수로 구성되므로 일직 선상에 표시할 수 없음.

 복소평면(complex plan) or 가우스평면(Gauss plan)

 복소수는 실수를 가로축(𝑥축)으로 하는 실축과 허수를 세로축(𝑦축)으로 하는 허축의 직교좌표의 한 점으로 표시됨.  직교좌표에서 한 점 𝑃(𝑎, 𝑏)는 복소수 A = 𝑎 + 𝑏𝑖 의 한 점으로 대응 됨. 0 𝑎 𝑃(𝑎, 𝑏) 𝑦 (허축) 𝑥 (실축) 𝑏 0 𝑎 𝑃(𝑎, 𝑏) 𝑦 (허축) 𝑥 (실축) A = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑏

6-2. 복소수의 연산 6-2-1. 복소수의 사칙연산  두 복소수가 각각 다음과 같을 때, A = 𝑎 + 𝑏𝑖 , B = 𝑐 + 𝑑𝑖  덧셈: A + B = 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 + 𝑐 + 𝑏 + 𝑑 𝑖  뺄셈: A − B = 𝑎 + 𝑏𝑖 − 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 − 𝑐 + 𝑏 − 𝑑 𝑖  곱셈: A B = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑖 + 𝑏𝑑𝑖2 _{= (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑖}  나눗셈: A B

=

𝑎+𝑏𝑖 𝑐+𝑑𝑖

=

(𝑎+𝑏𝑖)(𝑐−𝑑𝑖) (𝑐+𝑑𝑖)(𝑐−𝑑𝑖)

=

𝑎𝑐+ 𝑏𝑐−𝑎𝑑 𝑖−𝑖2𝑏𝑑 𝑐2−(𝑑𝑖)2

=

(𝑎𝑐+𝑏𝑑)+ 𝑏𝑐−𝑎𝑑 𝑖 𝑐2+𝑑2 6-2-2. 복소수의 상등  두 복소수 A = 𝑎 + 𝑏𝑖 , B = 𝑐 + 𝑑𝑖 가 A = B 일 때, 두 복소수는 같다고 하며, 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑐 + 𝑑𝑖 𝑎 = 𝑐, 𝑏 = 𝑑

6-2-3. 공액(conjugate) 복소수  복소수에서 실수부는 같고 허수부의 부호만 바뀐 관계의 복소수를 공액복소수 함.  공액복소수의 표시: 복소수 A 의 공액복소수는 A 로 표시함. A = 𝑎 + 𝑏𝑖 (공액복소수) A = 𝑎 − 𝑏𝑖  공액복소수의 연산  A + A = 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑎 − 𝑏𝑖 = 2𝑎  A − A = 𝑎 + 𝑏𝑖 − 𝑎 − 𝑏𝑖 = 2𝑏𝑖  A A = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑎 − 𝑏𝑖 = 𝑎2_{− 𝑏𝑖} 2 _{= 𝑎}2 _{+ 𝑏}2 0 𝑎 A = 𝑎 − 𝑏𝑖 𝑦 (허축) 𝑥 (실축) A = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑏 −𝑏 −𝑎 −A = −𝑎 − 𝑏𝑖

6-3. 복소수의 극형식 6-3-1. 극형식 (polar form)  아래 복소평면에서 복소수 A = 𝑎 + 𝑏𝑖 를 나타내는 점을 𝑃(𝑎, 𝑏)라 하고, A 의 절대값을 𝑟, A의 할 때 편각을 θ 라 할 때, cos θ = 𝑎_𝑟 𝑎 = 𝑟 cos θ sin θ = 𝑏_𝑟 𝑏 = 𝑟 sin θ 그러므로 점 𝑃(𝑎, 𝑏)는 𝑃(𝑟 cos θ , 𝑟 sin θ)가 되며, 복소수 A 는

_{A = 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑟 cos θ + 𝑖𝑟 sin θ = 𝑟(cos θ + 𝑖sin θ)}

 여기서 𝑟, θ 는 각각 복소수의 절대값(크기)과 편각이므로, 𝑟 = A = 𝑎2_{+ 𝑏}2 θ = arg A = tan−1₍𝑏 𝑎) 0 𝑎 𝑃(𝑎, 𝑏) 𝑦 (허축) 𝑥 (실축) A = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑏 θ

예제 3) 다음복소수를 극형식으로 나타내라. 3-1) A = 1 + 𝑖  크기: 𝑟 = A = 12 _{+ 1}2 _{= 2}  편각: θ = tan−1₍1 1) θ = 45° π4 , 135° 3π4 , 225° 5π4 … (note A = 1 + 𝑖 는 1/4분면의 각: θ = 45° π₄  극형식: A = 1 + 𝑖 = 2(cosπ₄+ 𝑖 sinπ₄) 3-2)) A = −3 − 3𝑖  크기: 𝑟 = A = (−3)2₊₍₋₃₎2_{= 3 2}  편각: θ = tan−1 −3 −3 θ = 45° π4 , 135° 3π4 , 225° 5π4 … (note A = −3 − 3𝑖 는 3/4분면의 각: θ = 45° + 180° = 225° 5π₄  극형식: A = −3 − 3𝑖 = 3 2(cos5π₄ + 𝑖 sin5π₄)

6-4. 복소수의 표현방식  직교좌표형식: A = 𝑎 + 𝑏𝑖  삼각함수형식(극형식): A = A cos θ + 𝑖sin θ  극좌표형식: A = A∠θ  지수함수형식: A = A𝑒𝑖θ 6-4-1. 극좌표형식  복소수의 크기(길이) 𝑟 및 편각 θ 로 표현되는 형식: P(𝑟, θ)  편각 θ  양의 각: 원점을 중심으로 반 시계 방향으로 회전하는 각  음의 각: 원점을 중심으로 시계 방향으로 회전하는 각  복소평면 상에서 복소수 A 는 크기와 편각으로 표시됨. A = 𝑎 + 𝑏𝑖 = A ∠θ  극좌표형식의 공액복소수 A = A ∠ − θ 0 𝑃(𝑟,θ) 𝑦 (허축) 𝑥 (실축) A = A (크기) θ (편각) 𝑟 = A = 𝑎2 _{+ 𝑏}2 θ = arg A = tan−1₍𝑏 𝑎) 𝑟

6-4-2. 지수함수 형식

 오일러공식(Euler formula)

 오일러공식의 정의: 𝑒±𝑖θ _{= cos θ ± 𝑖 sin θ}

 𝑒±𝑖θ _{의 크기: 𝑒}±𝑖θ _{= cos θ ± 𝑖 sin θ = cos}2_{θ ± sin}2_{θ = 1}

 오일러공식을 극좌표 형식으로 표시하면, 𝑒±𝑖θ _{= cos θ ± 𝑖 sin θ = 1∠ ± θ}  크기가 A 이고, 편각이 θ 인 복소수 A 의 지수함수형식은, A = A𝑒±𝑖θ 0 _cosθ A 허축 (실축) 𝑒𝑖θ_{= 𝐴∠ θ} sinθ θ

예제 4-1) 허수단위 𝑖 를 극좌표, 삼각함수 및 지수함수 형식으로 표시하라.  극좌표형식: 𝑖 = 1∠𝜋 2  삼각함수형식: 𝑖 = cos𝜋 2+ 𝑖 sin 𝜋 2  지수함수 형식: 𝑖 = 𝑒𝑖𝜋2 = (cos𝜋 2+ 𝑖 sin 𝜋 2) 예제 4-2) 허수단위 −𝑖 를 극좌표, 삼각함수 및 지수함수 형식으로 표시하라.  극좌표형식: 𝑖 = 1∠−𝜋₂  삼각함수형식: 𝑖 = cos(−𝜋₂) + 𝑖 sin(−𝜋₂)  지수함수 형식: 𝑖 = 𝑒−𝑖𝜋2 = cos(−𝜋 2) + 𝑖 sin(− 𝜋 2) 0 1 허축 (실축) 𝑒𝑖θ_{= 1∠}𝜋 2 𝜋 2

예제 4-3) 다음 직각좌표 형식의 복소수를 극좌표, 삼각함수 및 지수함수 형식으로 표시하라. 1) _{A = 1 − 𝑖 3} 크기: A = 12_{+ (− 3)}2_{= 2} θ = arg A = tan−1₍− 3 1 ) = − 𝜋 3  극좌표형식: A = 2∠ −𝜋₃

 삼각함수형식: A = A(cosθ + 𝑖 sin θ) = 2(cos(−𝜋₃) + 𝑖 sin(−𝜋₃))  지수함수 형식: A = A𝑒𝑖θ _{= 2𝑒}−𝜋₃𝑖 0 2 허축 (실축) 𝑒𝑖θ_{= 2∠θ} θ

예제 4-4) 다음복소수를 직각좌표 형식으로 표현하라. 1) A = 10∠ − 30° 10∠ − 30° = 10{cos −30° + 𝑖 sin(−30°)} = 10(₂3−1₂𝑖) = 5 3 − 5𝑖 2) A = 4𝑒𝜋3𝑖 = 4{cos 𝜋 3 + 𝑖 sin( 𝜋 3)} = 4( 1 2+ 3 2 𝑖) = 2 + 2 3𝑖

6-5-2. 복소수의 곱셈과 나눗셈  복소수의 대수적 곱셈

 A ∙ B = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑖 + 𝑏𝑑𝑖2 _{= 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑖}

이를 삼각함수형식으로 나타내면,

 A ∙ B = A cos θ1+ 𝑖 sin θ1 ∙ B cos θ2 + 𝑖 sin θ2

= AB{cos θ1cos θ2 + sin θ1cos θ2+ cos θ1sin θ2 𝑖 + sin θ1sin θ2 𝑖2}

= AB{ cos θ₁cos θ₂− sin θ₁sin θ₂ + sin θ₁cos θ₂+ cos θ₁sin θ₂ 𝑖}  복소수의 기하학적 곱셈

 삼각함수 덧셈정리를 활용

_{cos θ1cos θ2 − sin θ1sin θ2 = cos(θ1+θ2)} sin θ₁cos θ₂+ cos θ₁sin θ₂ = sin(θ₁+θ₂)  A ∙ B = AB{cos( 𝜃₁ + θ₂) + 𝑖 sin(𝜃₁+θ₂)} = AB∠(𝜃₁+ θ₂) = AB𝑒𝑖(𝜃1+θ2) 0 𝑦 (허축) 𝑥 (실축) θ1 θ2 𝜃1+ θ2 A ∙ B A B

 복소수의 대수적 나눗셈  A B

=

𝑎+𝑏𝑖 𝑐+𝑑𝑖

=

(𝑎+𝑏𝑖)(𝑐−𝑑𝑖) (𝑐+𝑑𝑖)(𝑐−𝑑𝑖)

=

𝑎𝑐+ 𝑏𝑐−𝑎𝑑 𝑖−𝑖2𝑏𝑑 𝑐2_{−(𝑑𝑖)}2

=

(𝑎𝑐+𝑏𝑑)+ 𝑏𝑐−𝑎𝑑 𝑖 𝑐2_+𝑑2 이를 삼각함수형식으로 나타내면,



A B

=

A cos θ₁+𝑖 sin θ₁ B cos θ₂+𝑖 sin θ₂

=

A cos θ₁+𝑖 sin θ₁ (cos θ₂−𝑖 sin θ₂) B cos θ₂+𝑖 sin θ₂ (cos θ₂−𝑖 sin θ₂)

=

A cos θ₁+𝑖 sin θ₁ (cos θ₂−𝑖 sin θ₂) B cos θ₂+𝑖 sin θ₂ (cos θ₂−𝑖 sin θ₂)

=

A cos θ1+𝑖 sin θ1 (cos θ2−𝑖 sin θ2)

B (cos θ₂)2_{−(𝑖 sin θ2)}2

=

A cos θ₁+𝑖 sin θ₁ (cos θ₂−𝑖 sin θ₂) B

= A

B{cos θ1cos θ2+ sin θ1cos θ2− cos θ1sin θ2 𝑖 − sin θ1sin θ2 𝑖 2_}

 복소수의 기하학적 나눗셈

A _B = A_B{(cos θ₁cos θ₂ + sin θ₁sin θ₂) + sin θ₁cos θ₂− cos θ₁sin θ₂ 𝑖}  삼각함수 덧셈정리를 활용

_{cos θ1cos θ2 + sin θ1sin θ2 = cos(θ1−θ2)} sin θ₁cos θ₂− cos θ₁sin θ₂ = sin(θ₁−θ₂)  A _B = A_B{cos( 𝜃₁− θ₂) + 𝑖 sin(𝜃₁−θ₂)} = AB∠(𝜃₁− θ₂) = AB𝑒𝑖(𝜃1−θ2) 0 𝑦 (허축) 𝑥 (실축) θ₁ θ2 𝜃1− θ2 A B A B

예제 5-1) 두 복소수 A = 20∠60° , B = 5 + 5𝑖 의 합, 차, 곱셈과 나눗셈을 구하라. A = 20∠60° = 20 cos 60° + 𝑖 sin 60° = 10 + 5 3𝑖 B = 5 + 5𝑖 = 5 2∠45° 1) 복소수의 합과 차  A + B = 10 + 5 3𝑖 + 5 + 5𝑖 = 15 + 5 3 + 5 𝑖  A + B = 10 + 5 3𝑖 − 5 + 5𝑖 = 5 + 5 3 − 5 𝑖 2) 복소수의 곱  A ∙ B = 20∠60° ∙ 5 2∠45° = 100 2∠ 60° + 45° = 100 2 ∠105° = 100 2(cos 105° + 𝑖 sin 105°) 3) 복소수의 나눗셈  A B = 20 60° 5 2 45° = 20 5 2∠ 60° − 45° = 4 2∠15° = 4₂(cos 15° + 𝑖 sin 15°)

예제 5-3) 다음 값을 구하라. (10+5 3𝑖)(−4+4𝑖)_(5+5𝑖) + (2 + 3𝑖) 1) 5 + 5 3𝑖 = 10∠60° 2) −4 + 4𝑖 = 4 2 ∠135° 3) −5 + 5𝑖 = 5 2 ∠45° 그러므로, 1) ~ 3) 으로부터,

(10+5 3𝑖)(−4+4𝑖) (5+5𝑖) = (10∠60°)(4 2 ∠135°) (5 2 ∠45° ) = 10×4 2 5 2 ∠(135° + 60° − 45°) = 8∠150° = 8 cos 150° + sin 150° = 8(−1₂+ ₂3𝑖) Finally,

(10+5 3𝑖)(−4+4𝑖) (5+5𝑖) + (2 + 3𝑖) = (−4 + 4 3𝑖) + (2 + 3𝑖) = −2 + (3 + 4 3)𝑖

6-6. 복소수의 n제곱과 n제곱근 6-6-1. 복소수의 n제곱

 복소수의 n제곱을 좌표형식으로 표시하면, A 𝑛 _{= 𝑎 + 𝑏𝑖} 𝑛

이를 지수함수형식(또는 극좌표형식)을 이용하여 표시하면 (드 므와브르 정리), A 𝑛 _{= (A𝑒}𝑖θ₎𝑛 _{= A}𝑛_𝑒𝑖𝑛θ _{= A}𝑛_{{cos 𝑛𝜃 + 𝑖 sin(𝑛𝜃)} = A}𝑛 _𝑛𝜃

예제 6-1) 다음의 주어진 식을 계산하라. 1) {cos(2𝜋 3) + 𝑖 sin( 2𝜋 3)} 3 _{= cos(2𝜋) + 𝑖 sin(2𝜋) = 1} 2) 1 + 𝑖 −3 1 + 𝑖 = 2(cos𝜋₄+ 𝑖 sin𝜋₄) 그러므로, 1 + 𝑖 −3 _{= { 2(cos}𝜋 4+ 𝑖 sin 𝜋 4)} −3 = 2−32 cos −3𝜋 4 + 𝑖 sin − 3𝜋 4

6-6-2. 복소수의 n제곱근

 이항방정식 (A 𝑛 = B ) 의 해법 정리

 복소수 A 와 B 가 다음과 같을 때: A = A𝑒𝑖𝜑 _{= A∠φ, B = B𝑒}𝑖θ _{= B∠θ}

1) 좌변의 A 𝑛 _{을 드 므와브르 정리에 의해 극형식으로 변환.}

A 𝑛 _{= (A𝑒}𝑖𝜑₎𝑛 _{= A}𝑛_{{cos 𝑛𝜑 + 𝑖 sin(𝑛𝜑)}}

2) 우변의 복소수 B 를 극형식으로 변환하고, 각 θ 는 일반각 θ = θ + 2𝑘𝜋 로 변환. B = B∠(θ + 2𝑘𝜋) = B{cos(θ + 2𝑘𝜋) + 𝑖 sin(θ + 2𝑘𝜋)} 3) A 𝑛 _{= B 에 의해 복소수 A 의 크기 A 와 편각 φ 를 구한다.}  크기: A𝑛 _{= B A= B}𝑛  편각: 𝑛𝜑 = θ + 2𝑘𝜋 𝜑 =θ+2𝑘𝜋_𝑛

4) 크기와 편각을 복소수 A = A𝑒𝑖𝜑 _{= A(cos 𝜑 + 𝑖 sin 𝜑)} 에 대입한다.}

예제 6-2) 이항 방정식 A 3 = 1 의 세제곱근을 구하라.

1) 좌변의 A 3 을 드 므와브르 정리에 의해 극형식으로 변환. A 3 _{= (A𝑒}𝑖𝜑₎3 _{= A}3_{{cos 3𝜑 + 𝑖 sin(3𝜑)}}

2) 우변의 복소수 _{B 를 극형식으로 변환하고, 각 θ 는 일반각 θ = θ + 2𝑘𝜋 로 변환.} B = 1∠(0 + 2𝑘𝜋) = 1 ∙ {cos(2𝑘𝜋) + 𝑖 sin(2𝑘𝜋)}

3) A3_{{cos 3𝜑 + 𝑖 sin(3𝜑)} = 1 ∙ {cos(2𝑘𝜋) + 𝑖 sin(2𝑘𝜋)} 에 의해 복소수 A 의 크기 및 편각을 구한다.}

 크기: A3 _{= 1 A=1}

 편각: 3𝜑 = 2𝑘𝜋 𝜑 =2𝑘𝜋₃

4) 복소수의 크기와 편각을 A = A𝑒𝑖𝜑 _{= A(cos 𝜑 + 𝑖 sin 𝜑)} 에 대입한다.}

A _𝑘 = A∠𝜑 = cos2𝑘𝜋 3 + 𝑖 sin 2𝑘𝜋 3 , (𝑘 = 0, 1, 2) 5) 주근 및 부근을 구하면,  주근: A 0 = cos 0 + 𝑖 sin 0 = 1  부근: A ₁ = cos2𝜋₃ + 𝑖 sin2𝜋₃ = − 1₂+ ₂3𝑖 0 𝑦 (허축) 𝑥 (실축) θ=120° A 0 A ₁ θ=120° θ=120°

7-1. 방정식 (equation)  방정식의 정의 (definition)  방정식 (equation): 미지수를 포함하고 있는 등식  해 (solution): 방정식을 만족하는 미지수의 값  방정식 풀음 (solving): 방정식의 해를 구하는 것 ※ 이 절에서는 미지수를 한 개 만 포함하고 있는 방정식을 고려함.  방정식의 일반적인 형태  𝑓 𝑥 = 0 이고,  𝑓 𝑥 = 0의 해는 함수 𝑦 = 𝑓 𝑥 의 그래프와 𝑥축 (𝑦 = 0)이 만나는 점(공유점)의 𝑥 좌표 임.  𝑓 𝑥 가 𝑛 차 다항식이면, 𝑓 𝑥 = 0 을 𝑛차 방정식이라 하며, 다음과 같이 표시함. 𝑎_𝑛𝑥𝑛 _{+ 𝑎} 𝑛−1𝑥𝑛−1+ ⋯ 𝑎1𝑥 + 𝑎0 = 0, (단, 𝑎𝑛 ≠ 0, 𝑎𝑛−1, … , 𝑎1, 𝑎0은 상수)  등식의 기본성질  𝑎 = 𝑏 이고, 𝑏 = 𝑐 이면, 𝑎 = 𝑐 이다.

7-2. 연립선형방정식 (simultaneous leaner equation)  연립방정식의 정의 (definition)  연립방정식 (simultaneous equation): 두 개 이상의 방정식으로 이루어진 것  특히, 선형방정식(1차방정식)들로 이루어진 연립방정식을 연립선형방정식 이라 함.  차원(dimension): 미지수의 수.  해 (solution): 연립방정식을 만족하는 미지수들의 값  기하학적 의미에서의 연립방정식의 해  주어진 연립방정식을 구성하고 있는 모든 방정식이 공통으로 포함하는 점의 좌표  연립방정식의 해는 다음의 세 경우로 분류됨. 1) 모든 방정식의 그래프들이 단 한 점 만을 공유하는 경우 2) 모든 방정식의 그래프들이 둘 이상의 점을 공유하는 경우 3) 모든 방정식의 그래프들이 공유하는 점이 없는 경우  연립방정식의 해법  대입법  소거법

예제 7-2) 다음의 방정식을 대입법과 소거법으로 각각 풀어라. 𝑥 + 2𝑦 = 7 3𝑥 − 4𝑦 = 1 1) 대입법 𝑥 = 7 − 2𝑦 3(7 − 2𝑦) − 4𝑦 = 1 −10𝑦 = −20 𝑦 = 2, 𝑥 = 3 2) 소거법 (𝑥 + 2𝑦 = 7) × 3 3𝑥 + 6𝑦 = 21 3𝑥 − 4𝑦 = 1 3𝑥 − 4𝑦 = 1 −10𝑦 = −20

7-3. 부등식 (inequality)  부등식의 해  미지수를 포함하고 있는 부등식을 만족하는 미지수의 값  부등식의 해를 구하는 것을 부등식을 푼다고 함 ※ 부등식의 해는 실수범위 안에서만 취급함.  부등식의 일반적인 형태  𝑓 𝑥 < 0, 𝑓 𝑥 ≤ 0 또는 𝑓 𝑥 ≥ 0, 𝑓 𝑥 ≥ 0  부등식의 기본성질  𝑎 < 𝑏 이고, 𝑏 < 𝑐 이면, 𝑎 < 𝑐 이다.  𝑎 < 𝑏 이면, 임의의 실수 𝑐 에대해 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐 이다.  𝑎 < 𝑏 이면, 임의의 양수 𝑐 > 0 에대해 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐 이다.  𝑎 < 𝑏 이면, 임의의 음수 𝑐 < 0 에대해 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐 이다. 또한  𝑎𝑏 < 0 이면, 𝑎 < 0 & 𝑏 > 0 또는 𝑎 > 0 & 𝑏 < 0 이다.  𝑎𝑏 > 0 이면, 𝑎 < 0 & 𝑏 < 0 또는 𝑎 > 0 & 𝑏 > 0 이다.

 1차 부등식 다음의 부등식 𝑎₁𝑥 + 𝑎₀ < 0 을 풀어라. 𝑎₁𝑥 + 𝑎₀ < 0 𝑎₁𝑥 < −𝑎₀ case 1) 𝑎₁ > 0 이면, 𝑥 < −𝑎0 𝑎₁ case 2) 𝑎₁ < 0 이면, 𝑥 > −𝑎0 𝑎₁ 예제 7-5) −2𝑥 + 4 < 0 을 풀어라 𝑥 > ₋₂4 𝑥 > −2

 2 차 부등식 정리 𝑎𝑥2_{+ 𝑏𝑥 + c < 0 를 풀어라.} Case 1) 판별식 𝑏2_{− 4𝑎𝑐 = 𝑑}2 _{> 0 : 상이한 두 실근} 𝑎𝑥2 _{+ 𝑏𝑥 + c = 𝑎(𝑥 −}−𝑏+𝑑 2𝑎 )(𝑥 − −𝑏−𝑑 2𝑎 ) < 0  𝑎 > 0 일 때: (𝑥 −−𝑏+𝑑_2𝑎 )(𝑥 −−𝑏−𝑑_2𝑎 ) < 0 −𝑏−𝑑_2𝑎 < 𝑥 < −𝑏+𝑑_2𝑎  𝑎 < 0 일 때: (𝑥 −−𝑏+𝑑_2𝑎 )(𝑥 −−𝑏−𝑑_2𝑎 ) > 0 𝑥 <−𝑏+𝑑_2𝑎 𝑜𝑟 𝑥 >−𝑏−𝑑_2𝑎 Case 2) 판별식 _𝑏2_{− 4𝑎𝑐 = 0 : 중근} 𝑎𝑥2 _{+ 𝑏𝑥 + c = 𝑎(𝑥 −}−𝑏 2𝑎)2< 0  𝑎 > 0 일 때: 𝑎(𝑥 −−𝑏_2𝑎)2< 0 (𝑥 −−𝑏_2𝑎)2< 0 해가 존재하지 않음.  𝑎 < 0 일 때: 𝑎(𝑥 −−𝑏 2𝑎) 2_{< 0 (𝑥 −}−𝑏 2𝑎) 2 _{> 0 부등식의 해는 𝑥 ≠} −𝑏 2𝑎 인 모든 실수.

Case 3) 판별식 𝑏2_{− 4𝑎𝑐 < 0 (즉, 4𝑎𝑐 − 𝑏}2 _{> 0 ) : 허근} 이 경우 𝑎𝑥2 _{+ 𝑏𝑥 + c 는 실수 범위 내에서 인수분해 되지 않고 다음과 같다.} 𝑎𝑥2 _{+ 𝑏𝑥 + c = 𝑎(𝑥 −}−𝑏 2𝑎)2+ 4𝑎𝑐−𝑏2 4𝑎 < 0  𝑎 > 0 일 때: 𝑎(𝑥 −−𝑏_2𝑎)2₊4𝑎𝑐−𝑏2 4𝑎 < 0 (𝑥 − −𝑏 2𝑎)2+ 4𝑎𝑐−𝑏2 4𝑎2 < 0 ※ (𝑥 −−𝑏 2𝑎) 2_{> 0 이고} 4𝑎𝑐−𝑏2 4𝑎2 는 항상 양수이므로, 부등식이 성립하지 않아, 해가 존재하지 않음.  𝑎 < 0 일때 𝑎(𝑥 −−𝑏 2𝑎) 2₊4𝑎𝑐−𝑏2 4𝑎 < 0 (𝑥 − −𝑏 2𝑎) 2₊4𝑎𝑐−𝑏2 4𝑎2 > 0 ※ 𝑥 의 모든 실수에서 부등식이 성립하므로, 이 부등식의 해는 모든 실수.

예제 7-6) 𝑥2_{− 3𝑥 + 2 > 0 를 풀어라.} 𝑥2_{− 3𝑥 + 2 =(𝑥 − 2)(𝑥 − 1) > 0} 𝑥 − 2 > 0 𝑎𝑛𝑑 𝑥 − 1 > 0 𝑥 > 2 𝑎𝑛𝑑 𝑥 > 1, 그러므로 𝑥 > 2 또는 𝑥 − 2 < 0 𝑎𝑛𝑑 𝑥 − 1 < 0 𝑥 < 2 𝑎𝑛𝑑 𝑥 < 1, 그러므로 𝑥 < 1 Finally, 𝑥 < 1 𝑜𝑟 𝑥 > 2 예제 7-7) 𝑥2_{− 3𝑥 + 2 < 0 를 풀어라.} 𝑥2_{− 3𝑥 + 2 =(𝑥 − 2)(𝑥 − 1) < 0} 𝑥 − 2 > 0 𝑎𝑛𝑑 𝑥 − 1 < 0 𝑥 > 2 𝑎𝑛𝑑 𝑥 < 1 𝑛𝑜𝑡 𝑚𝑎𝑘𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑠𝑒! 또는 𝑥 − 2 < 0 𝑎𝑛𝑑 𝑥 − 1 > 0 𝑥 < 2 𝑎𝑛𝑑 𝑥 > 1 𝑚𝑎𝑘𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑠𝑒! Finally, _{1 < 𝑥 < 2}

 연립선형부등식의 일반적인 형태  𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 < 0, 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 ≤ 0 또는 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 > 0, 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 ≥ 0 (단, 𝑎, 𝑏, 𝑐 는 상수이고, 𝑎 와 𝑏 가 동시에 0 은 아님)  선형부등식의 그래프  선형부등식을 만족하는 점들의 집합(해영역)을 그 선형부등식의 그래프라 함. (𝑥, 𝑦) 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 < 0 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 < 0 의 그래프 (𝑥, 𝑦) 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 > 0 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 > 0 의 그래프

예제 7-8) 3𝑥 + 𝑦 − 6 < 0 의 그래프를 𝑥𝑦 평면상에 그려라.  점 (𝑥, 𝑦)가 3𝑥 + 𝑦 − 6 = 0 을 만족하면, 3𝑥 + 𝑦 − 6 < 0 의 그래프의 경계상의 점이 됨. 선형방정식 3𝑥 + 𝑦 − 6 = 0 의 그래프가 선형부등식 3𝑥 + 𝑦 − 6 < 0 의 그래프의 경계선.  그러므로, 𝑥𝑦 평면을 3𝑥 + 𝑦 − 6 = 0 의 그래프가 분할하여 생기는 두 개의 평면 중 하나가 3𝑥 + 𝑦 − 6 < 0 의 그래프 이다.  점 (𝑥, 𝑦) 가 그래프에 속하면 3𝑥 + 𝑦 − 6 < 0 이 성립하고, 점 (𝑥, 𝑦) 가 그래프에 속하지 안으면 3𝑥 + 𝑦 − 6 ≥ 0 이다.  𝑥𝑦 평면에 3𝑥 + 𝑦 − 6 = 0 의 그래프를 그리면,  3𝑥 + 𝑦 − 6 < 0 가 어느 쪽 평면인가 check! 𝑦 < −3𝑥 + 6 𝑥 = 0, 𝑦 < 6 𝑦 = −3𝑥 + 6 2 6 𝑥 𝑦 0

𝑥 + 𝑦 − 2 ≥ 0 2𝑥 − 𝑦 − 4 ≤ 0 1) 𝑥 + 𝑦 − 2 ≥ 0 𝑦 ≥ −𝑥 + 2 2) 2𝑥 − 𝑦 − 4 ≤ 0 𝑦 ≥ 2𝑥 − 4 3) 각각의 그래프를 그리면, 𝑦 = −𝑥 + 2 𝑦 = 2𝑥 − 4 4) 어느 쪽 평면인가 check! 𝑦 ≥ −𝑥 + 2 𝑥 = 0, 𝑦 ≥ 2 𝑦 ≥ 2𝑥 − 4𝑥 𝑥 = 0, 𝑦 ≥ −4 2 2 𝑥 𝑦 0 −4 𝑦 = 2𝑥 − 4 𝑦 = −𝑥 + 2

예제) 아래 주어진 연립선형부등식의 그래프를 그려라. 𝑥 + 2𝑦 − 2 ≤ 0 𝑥 + 2𝑦 − 6 ≥ 0 1) 𝑥 + 2𝑦 − 2 ≤ 0 𝑦 ≤ −𝑥₂+ 1 2) 𝑥 + 2𝑦 − 6 ≥ 0 𝑦 ≥ −𝑥₂+ 3 3) 각각의 그래프를 그리면, 𝑦 = −𝑥₂+ 1 𝑦 = −𝑥₂+ 3 4) 어느 쪽 평면인가 check! 𝑦 ≤ −𝑥₂+ 1 𝑥 = 0, 𝑦 ≤ 1 𝑦 ≥ −𝑥₂+ 3 𝑥 = 0, 𝑦 ≥ 3 ※ 두 그래프의 공통부분은 없음. 2 1 𝑥 𝑦 0 3 𝑦 = −𝑥 2+ 3 𝑦 = −𝑥₂+ 1 6

예제) 다음 부등식의 그래프를 그려라 1) 𝑥2 _{− 4𝑥 + 3 > 𝑦} 𝑥2_{− 4𝑥 + 3 =(𝑥 − 3)(𝑥 − 1) > 𝑦}  그래프를 그리면: 𝑥2_{− 4𝑥 + 3 = 𝑥 − 3 𝑥 − 1 = 𝑦}  어느 쪽 평면인가 check: 𝑥2_{− 4𝑥 + 3 > 𝑦 𝑥 = 0, 3 > 𝑦} 𝑥 = 5, 8 > 𝑦 𝑥 = 2, −1 > 𝑦 2) 𝑥2 − 4𝑥 + 3 < 𝑦 𝑥2_{− 4𝑥 + 3 =(𝑥 − 3)(𝑥 − 1) < 𝑦}  그래프를 그리면: 𝑥2_{− 4𝑥 + 3 = 𝑥 − 3 𝑥 − 1 = 𝑦}  어느 쪽 평면인가 check: 𝑥2− 4𝑥 + 3 < 𝑦 𝑥 = 0, 3 < 𝑦 𝑥 = 5, 8 < 𝑦 𝑥 = 2, −1 < 𝑦 𝑦 = 𝑥2_{− 4𝑥 + 3} 1 3 𝑥 𝑦 0 3

예제) 다음 부등식의 그래프를 그려라 𝑥2_{− 4𝑥 + 3 < 𝑦} −𝑥2_{+ 2𝑥 > 𝑦} 1) 각각의 그래프를 그리면 𝑥2_{− 4𝑥 + 3 < 𝑦 𝑥}2_{− 4𝑥 + 3 = 𝑥 − 3 𝑥 − 1 = 𝑦} −𝑥2_{+ 2𝑥 > 𝑦 − 𝑥}2_{+ 2𝑥 = −𝑥 𝑥 − 2 = 𝑦} 2) 어느 쪽 평면인가 check 𝑥2 _{− 4𝑥 + 3 < 𝑦 𝑥 = 0, 3 < 𝑦} 𝑥 = 5, 8 < 𝑦 𝑥 = 2, −1 < 𝑦 −𝑥2 _{+ 2𝑥 > 𝑦 𝑥 = 0, 0 > 𝑦} 𝑥 = 2, 0 > 𝑦 𝑥 = 1, 1 > 𝑦 𝑦 = 𝑥2 _{− 4𝑥 + 3} 1 3 𝑥 𝑦 0 3 𝑦 = −𝑥2 _{+ 2𝑥}