고급수학 1 중간고사
(2020년 5월 1일 18:00 - 2일 23:59) 학번: 이름: 모든 문제의 답에 풀이과정을 명시하시오. (총점 150점) 문제 1 [20점] 다음 급수의 수렴, 발산을 판정하시오. (a) (5점) ∞ X n=1 2n + 1 n2+ 2n + 1 (b) (5점) ∞ X n=2 (log n)2020 n2 (c) (5점) ∞ X n=1 (−1)narctan n 1 + n2 (d) (5점) ∞ X n=1 sin 1 2n− sin 1 2n + 1 문제 2 [15점] 양항 급수 ∞ X n=1 an이 수렴하면, 급수 ∞ X n=1 √ an ns (s > 1 2)도 수렴함을 보이시오. 문제 3 [20점] 다음은 임의의 양수 a와 자연수 n ≥ 2에 대해 bn = a를 만족하는 양수 b가 존재함을 증명하는 과정이다. 다음 질문에 답하시오. (단, 연속함수의 사잇값 정리는 이용하지 마시오.) (a) (5점) X := {r ∈ R | r > 0, rn< a }은 공집합이 아님을 보이시오. (b) (5점) 위 집합 X가 위로 유계임을 보이시오. (c) (10점) 위 집합 X의 상한을 b라 하면, bn= a임을 보이시오. 문제 4 [15점] 수열 (an)이 다음과 같은 점화식으로 주어졌을 때, lim n→∞an이 존재함을 보이고, 그 값을 구하시오. an+1= √ 4an+ 5 , a1= 1 1문제 5 [10점] 거듭제곱급수 ∞ X n=1 sin1 n x2 + 1 3 n 의 수렴구간을 구하시오. 문제 6 [10점] 실수 전체에서 정의된 함수 f (x) = sinh x − sin x에 대하여 다음 물음에 답하시오. (a) f (x)의 역함수가 실수 전체에서 정의됨을 보이시오. (b) f (x)의 역함수가 미분 가능한 x의 범위를 구하시오. 문제 7 [10점] 함수 f (x) = ecos x의 4차 근사다항식을 구하시오. 문제 8 [10점] y00 + x2y = 0 , y(0) = 1 , y0 (0) = 0을 만족하는 해석함수 y = f (x)가 존재한다고 할 때, 원점 근방에서의 12차 근사다항식을 구하시오. 문제 9 [10점] 적분 Z1/2 0 log(1 + t) t dt의 근삿값을 오차가 10 −3보다 작도록 구하시오. 문제 10 [15점] 함수 f 가 [a, b]를 포함하는 열린 구간에서 미분 가능하고 f0 (a)f0(b) < 0이면, f0(c) = 0 인 c ∈ (a, b)가 존재함을 보이시오. 문제 11 [15점] 삼차원 공간에서 원뿔면 ϕ = π 2 ± π 3와 평면 x = 1의 교선을 직교좌표계로 나타내고, 이 곡선의 이심률을 구하시오. 2
