기호논리학
다섯째 주: 형식언어 LL의 문법
우리는 이제 ‘언어 L’이라 부를 형식언어 (formalized language)를 기술할 것이다. 그리고 L을 가지고 우리는 ‘초급논리학’(elementary logic) 혹은 ‘1차 술어논리’(the predicate calculus of first order)라 불려지는 논리학을 공부할 것이다. 앞으로 고찰할 바와 같이, 이 언어는 매우 다양한 이론들을 정식화하기에 적절하지만, 그 문법적 구조는 어떤 자연언어보다도 훨씬 단순하다. 이 구조는 일련의 정의들을 통해 구성된다. 또 나중에 우리는 그 정의들을 명료하게 보여주는 예들과 그것들을 설명하는 이론을 살펴볼 것이다.
변항 (variable)
I L의 변항은 ‘u’에서 ‘z’까지의 소문자 이탤릭 글자이다. 이 글자는 (양의 정수를 나타내는 아라비아 숫자인) 아랫첨자를 가질 수 있다. 맞는예: x, y , z1, u26, v398. 아닌 예: x0, x0, φ, ψ, α, β, Γ, ∆, F . (왜 아닌가?)상항(constant)
I L의 논리상항(logical constant) 은 다음 여덟 가지 기호다: −, ∨, (, ), &, →, ↔, ∃. I L의 비논리상항 (non-Iogical constant) 은 두 종류로 나뉜다: 1. 술어(predicate) 는 대문자 이탤릭 글자로서, 아랫첨자 그리고/ 또는 윗청자를 가질수 있다. 예: F1, G12, H 1. 맞는예: F , G1, G12, G 4, H16 22, M 16 321. 아닌 예: x, y , x는 푸르다, (F ∨ G ). (왜 아닌가?) 2. 개체상항(individual constant)은 ‘a’에서 ‘t’까지의 소문자이탤릭 글자로서, 아랫첨자를 가질수 있다. 맞는예: a, a1, b16, c4, t28.
술어, 문장문자, 개체기호
I L의 n항 술어(n-ary predicate 혹은 predicate of degree n)는
양의 정수 n을 나타내는 숫자를 윗첨자로 가진 술어이다. 예: 이항술어: F2, G2 1. 삼항술어: H3. I L의 문장문자(sentential letter) 는 윗첨자가 없는 술어이다. 예: P, Q. (문장문자도 술어라는 것을 잊으면 안 된다. 그것은 말하자면 0항 술어로 여겨질 수 있다.) I L의 개체기호(individual symbol) 는 변항이거나 개체상항이다. 예: a, b1, x, y2.
식 (formula)
I L의 원자식(atomic formula)은 문장문자 하나로 이루어졌거나 n항 술어 뒤에 (길이 n의) 개체기호들의 배열이 붙어 이루어진 표현이다. 맞는예: F , G1, G12ab, G4x1ya2a2, H161 x . 아닌 예 : x, y , x는 푸르다, (F ∨ G ). (왜 아닌가?) I L의 식(formula) 은 원자식이거나, 혹은 다음 규칙들을 유한한 횟수 (finite times) 적용해 하나 혹은 그 이상의 원자식들로부터 만들어진 표현이다: 1. φ가 식이면, −φ도 식이다. 2. φ와 ψ가 식이면，(φ ∨ ψ), (φ&ψ), (φ → ψ), 그리고 (φ ↔ ψ) 도 식이다.3. φ가 식이고 a가 변항이면，(a) φ와 (∃a) φ도 식이다.
I 더 나아가, 변항 α가 (α)ψ 혹은 (∃α) φ 꼴의 식 φ 속에 나타날
경우에 오직 그 경우에만 φ 속의 α는 속박되어 (bound) 나타난다; 그리고 그 밖의 경우에는 자유롭게(free) 나타난다.
문장 (sentence)
I 마지막으로, L의 문장(sentence)은 어떠한 변항도 자유롭게 나타나지 않은 식이다.
맞는예: F1a, G2bc, (x ) (∃y ) (z) H3xyz, (x ) L2xd .
L과 자연언어
L의 구조는 분명히 자연언어의 구조를 본떴다:
I 자연언어의 ‘아니다 (not)’，‘또는 (or)’，‘그리고 (and) ’，‘만약 ... 라면，그러면 (if... then) ’, ‘일 경우에 오직 그 경우에만 (if and only if)’에 대응하여 우리는 인공언어에서 ‘−’, ‘∨ ’, ‘&’, ‘→’, ‘↔’를 가진다. I 자연언어에서의 이름들과 다른 주어 표현들(이를테면 ‘소크라테스’)은 L의 개체상항들에 의해 대변된다; I 그리고 자연언어 술어 (이를테면 ‘스승이다’)들은 L의 술어들에 의해 대변된다. I 문장형식에 대응하여，우리는 L의 식을 가진다. I α가 변항일 때 (α) 와 (∃α) 꼴의 형식언어 표현들은 각각 보편양화사와 존재양화사를 대변한다. I L의 문장들은 자연언어의 문장들에 대응하도록 의도되었다.
주의: 대응한다는 것6=뜻이 같다는 것
우리는 여기서 모호한 방식으로 ‘대응’이라는 말을 써왔다. 이 개념을 엄밀하 게 하는 것은 어렵다. 현 단계에서는 하나의 경고를 하는 것으로 만족해야겠다:
대응하는 것 (counterparts)을 자연언어 표현의 ‘축약 (abbreviation)’ 혹은 ‘줄여 쓴 방식(short ways of writing) ’으로 여기지 말라. 확실히 우리는 ‘&’를 ‘그리고’로，‘∨’를 ‘또는’으로，(심지어는) ‘→’를 ‘만약. . . 그러면’으로 읽을 수 있다. 그러나 이렇게 읽는 것이어떤 종류의 동의성(synonymy)을 나타내는 것이라고 생각하면 안 된다. 적절한 시점에 L의 문장의 진리조건에 대한 전반적 내용이 설명될 것이다.
식의 또 다른 정의
‘식’의 정의는 다음과 같이 다른 방식으로도 서술될 수 있음에 주목하자: 1. 모든 원자식은 식이다. 2. 식 앞에 부정부호(‘−’)를 놓은 결과도 역시 식이다. 3. 두 식 (혹은 두 번 나타난 같은 식) 사이에 쐐기 (‘∨’)나 엠퍼샌드(‘&’) 나 화살표(‘→’)나 쌍화살표(‘↔’)를 끼워넣고 그 전체를 괄호로 둘러싼 결과도 역시 식이다. 4. α가 변항일 때，식 앞에 (α)나 (∃α)중 하나를 놓은 결과도 역시 식이다. 5. 위의 네 규칙에 의한 것 외에는 어떠한 것도 식이 아니다.복잡한 식의 예
I 1 라운드: F , G1, H1x , G12xy , G12aa. I 2 라운드: −F , −G12xy . I 3 라운드: −F → G2 1aa, G12xy → G12aa. I 4 라운드: (x) H1x , (∃x ) G2 1xy → G12aa, (y ) −F → G12aa. I 위의 라운드들에서 각각 사용된 규칙들은 무엇이었는지 생각해 보자. I 식으로 보기 쉽지만 식이 아닌 예들: Fx, F ∨ G , (φ ∨ ψ), F12xyz, F11x0. (왜 아닌가?) I L의 식들은 유일한 독해가능성(unique readability)을 가지고 있다. 즉, 식 (φ → ψ) 가 식 (χ → θ)와 같다면. φ와 χ가 같은 식이고 ψ와 θ도 같은 식이다. 연언 (conjunction), 선언 (disjunction), 쌍조건문(biconditional), 부정(negation), 양화 (generalization)에 대해서 비슷하게 말할 수 있다.속박변항, 자유변항
다음 식 (x ) F22xa → (∃y ) F12xy &G12zy ∨ F12xa (1) 를 살펴보자. 이 식에는 변항 ‘x’가 네 번 나타난다. 처음 셋은 속박되어 있고 네번째 것은 자유롭다. (1)에서 ‘x’의 첫 나타남 (occurrence)이 속박된 이유는 그것이 (x ) F22xa → (∃y ) F12xy &G12zy (2) 안에 있고，식 (2)는 ψ가 ‘ F22xa → (∃y ) F12xy &G12zy’이고 ‘a’가
‘x’이라 할 때 (a) ψ꼴이기 때문이다. (1)에서 ‘x’의 두번째와 세번째 나타남이 속박 된 이유도 같다. 반면 네번째 나타남은 속박되어 있지 않다. 그것은 그 ‘x’가 ‘(x)’나 ‘(∃x)’로 시작하는 어떠한 식 안에도 있지 않기 때문이다. (‘y ’의 나타남들은 어떤가?)
속박변항, 자유변항 (계속)
I 비록 ‘(x)F1x ’에서 ‘x ’ 가 모두 속박되어 나타나고, ‘F1x ’는 ‘(x)F1x ’의 부분이지만, 그럼에도 불구하고 ‘F1x ’에서 ‘x ’는 자유롭게 나타난다. I 여기서 핵심적인 고려사항은 속박과 자유의 개념이 상대적이며, 절대적이지는 않다는 것이다: 한 변항의 나타남은 주어진 식에 상대적으로 속박되어 있거나 자유롭다. 한 식에 있어서는 속박되어 있는 것이 다른 식에 있어서는 자유로울 수 있다. I 오직 (α) 와 (∃α)만이 변항 α의 나타남을 속박할 수 있다는 사실을 주의할 필요가 있다. 따라서 식 ‘(x)F1y ’안에서 y 는 자유롭게 나타난다.식과 문장을 부르는 이름들
임의의 식 φ와 ψ에 대해 그리고 임의의 변항 α에 대해서, 1. −φ는 φ의 부정(식)(negation)이라 불린다; 2. (φ&ψ)는 연언(식)(conjunction)이라 불리며, 이 식 속의 φ와 ψ는 연언지(conjunct)라 불린다; 3. (φ ∨ ψ)는 선언(식)(disjunction)이라 불리며, 이 식 속의 φ와 ψ는 선언지(disjunct)라 불린다; 4. (φ → ψ)는 조건식(conditional)이라 불리며, 이 식 속의 φ는 전건(antecedent)이라 불리고, ψ는 후건(consequent)이라 불린다; 5. (φ ↔ ψ)는 쌍조건식(biconditional)이라 불린다; 6. (α)φ는 α에 관한 φ의 보편양화(식)(universal generalization)라 불린다; 7. (∃α)φ는 α에 관한 φ의 존재양화(식)(existential generalization)라 불린다. 8. 위 식들 가운데 문장들의 호칭은 ’. . . (문)’으로 할 수 있다. *우리는 위 호칭들로 교과서의 호칭들을 대체할 것이다. 이것은 후자가 문장이 아닌 조건식이나 쌍조건식들도 ’조건문’이나 ’쌍조건문’으로 부르는 불합리성을 가지고 있기 때문이다.연결사와 양화사
1. 기호 ‘&’, ‘∨’, ‘→’, ‘↔’, 그리고 ‘−’는 연결사(connective)라 불린다. 2. 보편양화사(universal quantifier)는 α가 변항일 때, (α)와 같은 꼴의 표현 이다. 3. 존재양화사(existential quantifier) 는 α가 변항일 때, (∃α)와 같은 꼴의 표현이다. 4. 원자식이 아닌 식은, 보편양화사나 존재양화사로 시작하면 양화식(general formula)이라 하고, 그렇지 않으면 분자식(molecular formula)이라 한다. 5. 문장은 개체기호를 하나도 가지고 있지 않으면 문장논리 (sentential calculus)의 문장(혹은 SC문장 혹은 SC식)이다.식의
속박 (6=변항의 속박)
I 식 φ 속에서 식 ψ의 나타남은，ψ가 (α)θ나 (∃a)θ 꼴의 식 φ 안에진부분으로서 속해 있으면 (즉, 속해 있지만 똑같지는 않으면), 속박되어 나타난 것이다. 그렇지 않으면 자유롭게 나타난 것이다. I 이 정의를 변항들에 적용되는 ‘속박되어 나타남’과 ‘자유롭게 나타남’의 정의와 혼동해서는 안 된다. I (α)나 (∃α)의 나타남은 그것들 뒤에 나오는 식 속에 변항 α가 나타나지 않을 때에도 그것들 뒤에 나오는 식을 속박할 수 있음에 주의하라.위계 (order)
1. 원자식은위계 1이다. 2. 식 φ가 위계 n이면, α가 변항일 때, −φ, (α)φ, 그리고 (∃α)φ 는 위계 n + 1이다. 3. 식 φ와 ψ의 위계의 최대값이 n이면, (φ&ψ), (φ ∨ ψ), (φ → ψ), 그리고 (φ ↔ ψ)는 위계 n + 1이다.치환 (substitution)
모든 식 φ, 변항 α, 그리고 개체기호 β에 대해，φα/β는 φ 속의 모든 자유변항 α를 β로 치환(substitution)한 결과이다.
예를 통한 설명
다음 식은 앞에 봤던 (1)과 동일한 식이다: (x ) F22xa → (∃y ) F12xy &G12zy ∨ F12xa (3) I 이 문장 전체는 어떤 형태의 식인가? I 이 문장의 _____인 F12xa는 어떤 형태의 식인가? I 이 문장의 _____인 (x) F2xa → (∃y ) F12xy &G12zy는 어떤 형태의 식인가? I (3)에서 (∃y ) F12xy &G12zy은 속박되었는데, 왜 그런 것인가?예를 통한 설명 (계속)
I 원자문장의 예들: F1a, G24abab, H16abc2c2ba.
I 양화문장의 예들: (x)F1x , (x )(∃y )(F2 1xy &G23yxb). I 분자문장의 예들 : (F ∨ G ), ((x)F1x &(∃y )G1y ), − − P. I 바로 위의 다섯 식의 위계를 계산해 보라. I φ가 ‘F1x ’이고 α가 ‘x ’, 그리고 β가 ‘a’이면，φα/β는 ‘F1a’이다. I 그리고 φ가 ‘F2xa’이고 α가 ‘x ’, 그리고 β가 ‘a’이면，φα/β는 ‘F2aa’ 이다. I 만일 φ가 ‘(F1x ∨ (x )F1x )’이고 α가 ‘x ’, 그리고 β가 ‘b’ 이면， φα/β는 ‘(F1b ∨ (x )F1x )’이다. I 만일 φ가 ‘(x)F1x ’이고 α가 ‘x ’, 그리고 β가 ‘a’이면, φα/β는 ‘(x)F1x ’이다. I 만일 φ가 ‘F1a’이고 α가 ‘x ’, 그리고 β가 ‘y ’ 이면, φα/β는 ‘F1a’이다.
