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2019 개념원리 RPM HigQ 수학(상) 답지 정답

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Academic year: 2021

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(1)핵심 고난도 문제서. 수학(상). 정답과 풀이 Ⅰ. 다항식. 002. Ⅱ. 방정식과 부등식. 027. Ⅲ. 도형의 방정식. 092.

(2) Ⅰ. 다항식. 01. 0006. (xÜ`+2xÛ`+3x+4)Û`. =(xÜ`+2xÛ`+3x+4)(xÜ`+2xÛ`+3x+4). 다항식의 연산. 의 전개식에서 xÛ` 항은 2xÛ`_4+3x_3x+4_2xÛ`=25xÛ` 본문 9~12쪽. (xÛ`+2x+3)Û`=(xÛ`+2x+3)(xÛ`+2x+3) 의 전개식에서 xÛ` 항은 xÛ`_3+2x_2x+3_xÛ`=10xÛ`. 0001. A-2(X-B)=3A에서. 따라서 xÛ`의 계수는. A-2X+2B=3A, 2X=2B-2A. 25-10=15. ③. ∴ X=B-A =2aÛ`+ab-bÛ`-(aÛ`-2ab-2bÛ`) =aÛ`+3ab+bÛ`. ③. 0007. (x+2)(x-2)(xÛ`+2x+4)(xÛ`-2x+4). ={(x+2)(xÛ`-2x+4)}{(x-2)(xÛ`+2x+4)} =(xÜ`+8)(xÜ`-8). 0002. 2A-B=2xÛ`-7xy+yÛ`. 2B-A=-xÛ`+8xy-2yÛ`. yy ㉠. xß`-64. =xß`-64. yy ㉡. ㉠-㉡을 하면. 0008. 3A-3B=3xÛ`-15xy+3yÛ`. ={(x+1)(x-3)}{(x-4)(x+2)}. ∴ A-B=xÛ`-5xy+yÛ`. ④. (x+1)(x-4)(x+2)(x-3). =(xÛ`-2x-3)(xÛ`-2x-8) xÛ`-2x=t로 놓으면. 0003. (주어진 식)=(t-3)(t-8). 2A-B=2(xÜ`+xÛ`+ax)-(2xÜ`-bx+1) =2xÛ`+(2a+b)x-1. =tÛ`-11t+24. yy ㉠. =(xÛ`-2x)Û`-11(xÛ`-2x)+24. 2B-C=2(2xÜ`-bx+1)-(3xÜ`+bx+a) =xÜ`-3bx+2-a. yy ㉡. ㉠에서 항이 두 개이려면. =xÝ`-4xÜ`-7xÛ`+22x+24 따라서 a=-4, b=22이므로 b-a=26. 2a+b=0    ∴ b=-2a ㉡에서 항이 두 개이려면 b+0이므로. 0009. 2-a=0    ∴ a=2. ③. (5+3a)Ü`=A, (5-3a)Ü`=B로 놓으면. (주어진 식)=(A-B)Û`-(A+B)Û`. a=2를 b=-2a에 대입하면 b=-4 ∴ a+b=-2. =-4AB. ②. =-4(5+3a)Ü`(5-3a)Ü` =-4{(5+3a)(5-3a)}Ü`. 0004 (xÜ`-5xÛ`+4x-3)(2x+1)Û`. =-4(25-9aÛ`)Ü`. =(xÜ`-5xÛ`+4x-3)(4xÛ`+4x+1). =-4(25-9_3)Ü` (∵ a='3). 이 전개식에서 xÜ` 항은. =-4_(-8)=32. 32. xÜ`_1+(-5xÛ`)_4x+4x_4xÛ` =xÜ`-20xÜ`+16xÜ`=-3xÜ` 따라서 xÜ`의 계수는 -3이다.. -3. 0010. xÛ`+xy+yÛ`=(x+y)Û`-xy이므로. 16=3Û`-xy에서 xy=-7 ∴ xÜ`+yÜ`=(x+y)Ü`-3xy(x+y). 0005. =3Ü`-3_(-7)_3=90. (xÛ`-x+1)(xÛ`-x+a)의 전개식에서 xÛ` 항은. ⑤. xÛ`_a+(-x)_(-x)+1_xÛ`=(a+2)xÛ` 이때 xÛ`의 계수가 10이므로. 0011. a+2=10    ∴ a=8. 7=3Û`-2ab, 2ab=2    ∴ ab=1. 따라서 다항식 (xÛ`-x+1)(xÛ`-x+8)의 전개식에서 x항은. ∴ aÝ`+bÝ`=(aÛ`+bÛ`)Û`-2aÛ`bÛ`. -x_8+1_(-x)=-9x 이므로 x의 계수는 -9이다.. 002. 정답과 풀이. aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab이므로. =(aÛ`+bÛ`)Û`-2(ab)Û` -9. =7Û`-2_1Û`=47 . ⑤.

(3) 3 `Û 1 } +{3x+ }Û`=60에서 x x 9 1 xÛ`-6+ +9xÛ`+6+ =60 xÛ` xÛ` 10 1 10xÛ`+ =60    ∴ xÛ`+ =6 xÛ` xÛ` 1 1 이때 xÛ`+ ={x+ }Û`-2이므로 x xÛ` 1 1 6={x+ }Û`-2, {x+ }Û`=8 x x. 0012. {x-. ∴ x+;[!;=2'2 (∵ x>0). 0013. (9+1)(9Û`+1)(9Ý`+1)(9¡`+1)= 따라서 m=32, n=8이므로 m+n=40. 0018. =2aÛ`+2a-3. 2'2. =2_100Û`+2_100-3. x>1이므로 xÛ`-4x+1=0의 양변을 x로 나누면. =20197 따라서 주어진 수는 다섯 자리 자연수이므로 n=5. 0019. x-;[!;='1Œ2=2'3 {∵ x-;[!;>0} 1 ={x-;[!;}Ü`+3{x-;[!;} xÜ` =(2'3)Ü`+3_2'3=30'3. (a+b+c)(a+c-b)=(a+b-c)(b+c-a)에서. (a+c)Û`-bÛ`=bÛ`-(a-c)Û` aÛ`+2ac+cÛ`-bÛ`=bÛ`-aÛ`+2ac-cÛ` ⑤. 2aÛ`-2bÛ`+2cÛ`=0    ∴ aÛ`+cÛ`=bÛ` 따라서 주어진 삼각형은 빗변의 길이가 b인 직각삼각형이다. ④. . (a+b+c)Û`=aÛ`+bÛ`+cÛ`+2(ab+bc+ca)이므로. 3Û`=aÛ`+bÛ`+cÛ`+2_(-1)    ∴ aÛ`+bÛ`+cÛ`=11. 0020. ∴ aÜ`+bÜ`+cÜ`. 두 정사각형의 넓이의 합은 aÛ`+(2b)Û`이고 직사각형의. 넓이는 ab이므로. =(a+b+c){aÛ`+bÛ`+cÛ`-(ab+bc+ca)}+3abc =3_{11-(-1)}+3_(-3)=27. ④. aÛ`+4bÛ`=5ab 또, ab=4이므로 한 변의 길이가 a+2b인 정사각형의 넓이는 (a+2b)Û`=aÛ`+4ab+4bÛ`. (x+y+z)Û`=xÛ`+yÛ`+zÛ`+2(xy+yz+zx)이므로. 0=5+2(xy+yz+zx)    ∴ xy+yz+zx=-;2%;. =5ab+4ab. (xy+yz+zx)Û`=xÛ`yÛ`+yÛ`zÛ`+zÛ`xÛ`+2xyz(x+y+z)이므로. =9_4=36. =9ab. {-;2%;}Û`=xÛ`yÛ`+yÛ`zÛ`+zÛ`xÛ`+0 ∴ xÛ`yÛ`+yÛ`zÛ`+zÛ`xÛ`=;;ª4°;;. 0016. 5. {(a+c)+b}{(a+c)-b}={b+(a-c)}{b-(a-c)}. 참고 x>1에서 0<;[!;<1이므로 x-;[!;>0. 0015. 100=a라 하면 =aÛ`+2a+1+aÛ`-4. 이때 {x-;[!;}Û`={x+;[!;}Û`-4=4Û`-4=12이므로. 0014. 40. 101Û`+98_102=(a+1)Û`+(a-2)(a+2). x-4+;[!;=0    ∴ x+;[!;=4. ∴ xÜ`-. 332-1 8. ②. 0021. ⑤. 구멍을 뚫기 전 처음 나무토막의 부피는. a_a_(a-2)=aÛ`(a-2) 정육면체 모양의 구멍의 부피는 (a-2)Ü`. a-b=2, b-c=-3을 변끼리 더하면 a-c=-1. 따라서 구하는 블록의 부피는. ∴ aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca. aÛ`(a-2)-(a-2)Ü`=aÜ`-2aÛ`-(aÜ`-6aÛ`+12a-8). =;2!;(2aÛ`+2bÛ`+2cÛ`-2ab-2bc-2ca). =4aÛ`-12a+8. ②. =;2!;{(a-b)Û`+(b-c)Û`+(a-c)Û`}. 0022. =(9¡`-1)(9¡`+1). x -10 xÛ`+2x-1`<Ô`xÜ`- 8xÛ`+ 7x- 2 xÜ`+ 2xÛ`- x -10xÛ`+ 8x- 2 -10xÛ`-20x+10 28x-12 ∴ xÜ`-8xÛ`+7x-2=(xÛ`+2x-1)(x-10)+28x-12. =916-1=332-1. 따라서 Q(x)=x-10, R(x)=28x-12이므로. 이므로. Q(2)+R(1)=-8+16=8. =;2!;_{2Û`+(-3)Û`+(-1)Û`}=7 . 0017. (9-1)(9+1)(9Û`+1)(9Ý`+1)(9¡`+1). =(9Û`-1)(9Û`+1)(9Ý`+1)(9¡`+1) =(9Ý`-1)(9Ý`+1)(9¡`+1). 7. 8 01. 다항식의 연산. 003.

(4) 0023. 2x +1 xÛ`-x+1`<Ô`2xÜ`- xÛ`+ ax- b 2xÜ`-2xÛ`+ 2x xÛ`+(a-2)x- b xÛ`x+ 1 (a-1)x-b-1 2xÜ`-xÛ`+ax-b를 xÛ`-x+1로 나누었을 때의 나머지가 0이 어야 하므로. (a-1)x-b-1=0. -2. 3. 3. xÛ`- x -2 xÛ`-2x-1`<Ô`xÝ`-3xÜ`- xÛ`+7x+5 xÝ`-2xÜ`- xÛ` - xÜ` +7x - xÜ`+2xÛ`+ x -2xÛ`+6x+5 -2xÛ`+4x+2 2x+3 따라서 f(x)=xÛ`-x-2, a=2이므로. 0025. -6``. -2a+12. 4a-24. a-6. -2a+12. 4a-24+b. ;3!;. 9. 0. -a```. 3. 1```. 3. -a+1. ⑤. 4 -;3!;a+;3!; 2. 나머지가 2이므로. xÛ`-2x-1로 나누었을 때의 몫이 f(x), 나머지가 ax+3이다.. f(a)=f(2)=0. b. a=4, b=-5, c=4, d=3, k=-2. ②. 주어진 등식에서 다항식 xÝ`-3xÜ`-xÛ`+7x+5를. 0. 4a-24+b=-13이므로. 9. 0024. a``. 이때 k=-2, d=3, a-6=-2, -2a+12=4=c,. 0028. 즉, a-1=0, -b-1=0이므로 a=1, b=-1 ∴ aÛ`+bÛ`=1Û`+(-1)Û`=2. 0027. 4+{-;3!;a+;3!;}=2    ∴ a=7 ∴ 9xÜ`-7x+4={x-;3!;}(9xÛ`+3x-6)+2 =(3x-1)(3xÛ`+x-2)+2 따라서 Q(x)=3xÛ`+x-2이므로 Q(2)=3_2Û`+2-2=12. 12. ③. 본문 13~16쪽. f(x)를 x-;2!;로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머지가. R이므로. 0029. f(x)={x-;2!;}Q(x)+R. P(x)=(2A-B)(2B-C)(2C-A)라 하면. 2A-B=2(xÜ`+x+1)-(xÛ`-2x-3) =2xÜ`-xÛ`+4x+5. =;2!;(2x-1)Q(x)+R. 2B-C=2(xÛ`-2x-3)-(2x-1). =(2x-1)_;2!; Q(x)+R. =2xÛ`-6x-5. 따라서 f(x)를 2x-1로 나누었을 때의 몫은 ;2!; Q(x), 나머지. 2C-A=2(2x-1)-(xÜ`+x+1). 는 R이다.. 이므로. ①. =-xÜ`+3x-3 P(x)=(2xÜ`-xÛ`+4x+5)(2xÛ`-6x-5)(-xÜ`+3x-3). 0026. f(x)를 3x-1로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머지가. 6이므로. =a¥x¡`+a¦xà`+a¤xß`+`y`+aÁx+a¼ 이때 a¼+aÁ+aª+`y`+a¥의 값은 P(1)과 같으므로 a¼+aÁ+aª+`y`+a¥=P(1). f(x)=(3x-1)Q(x)+6. =10_(-9)_(-1)=90. 위의 식의 양변에 x를 곱하면 xf(x)=x(3x-1)Q(x)+6x. 0030. =3x{x-;3!;}Q(x)+6{x-;3!;}+2. 이 식의 좌변을 전개하면. 따라서 xf(x)를 x-;3!;로 나누었을 때의 몫은 3xQ(x)+6, 나. 004. 정답과 풀이. 조건 ㈎에서 x, y, 2z 중 적어도 하나는 3이므로. (x-3)(y-3)(2z-3)=0. ={x-;3!;}{3xQ(x)+6}+2. 머지는 2이다.. ⑤. ②. (xy-3x-3y+9)(2z-3)=0 2xyz-3xy-6xz+9x-6yz+9y+18z-27=0 2xyz-3(xy+2yz+2zx)+9(x+y+2z)-27=0 yy`㉠.

(5) 이때 조건 ㈏에서 3(x+y+2z)=xy+2yz+2zx이므로. mn=(ax+by)(ay+bx). ㉠에 대입하면. =aÛ`xy+abxÛ`+abyÛ`+bÛ`xy. 2xyz-3(xy+2yz+2zx)+3(xy+2yz+2zx)-27=0. =xy(aÛ`+bÛ`)+ab(xÛ`+yÛ`). 2xyz-27=0    ∴ xyz=:ª2¦:. =xy{(a+b)Û`-2ab}+ab{(x+y)Û`-2xy} =3_(1Û`-2_2)+2_(2Û`-2_3)=-13. ∴ 10xyz=10_:ª2¦:=135. 135. ∴ mÜ`+nÜ`=(m+n)Ü`-3mn(m+n) =2Ü`-3_(-13)_2=86. 0031. 86. ac+bd=1의 양변을 제곱하면. aÛ`cÛ`+bÛ`dÛ`+2abcd=1. yy ㉠. (aÛ`+bÛ`)(cÛ`+dÛ`)=2_2=4이므로 aÛ`cÛ`+aÛ`dÛ`+bÛ`cÛ`+bÛ`dÛ`=4. yy ㉡. 0035. 1+'5 1-'5 , y= 에서 2 2. x=. x+y=1, x-y='5, xy=-1이므로. ㉡-㉠을 하면. xÛ`+yÛ`=(x+y)Û`-2xy=1Û`-2_(-1)=3. aÛ`dÛ`+bÛ`cÛ`-2abcd=3, 즉 (ad-bc)Û`=3. xÛ`-yÛ`=(x+y)(x-y)=1_'5='5. 이때 ad>bc이므로. xÝ`+yÝ`=(xÛ`+yÛ`)Û`-2xÛ`yÛ`=3Û`-2_(-1)Û`=7. ad-bc='3. ②. xÝ`-yÝ`=(xÛ`+yÛ`)(xÛ`-yÛ`)=3_'5=3'5 1  xÝ` 1 ayÞ`+byÝ`=1에서 ay+b=  yÝ` ㉠-㉡을 하면. yy ㉠. axÞ`+bxÝ`=1에서 ax+b=. 0032. x+y=p, xy=q라 하면. (x+y)(axÛ`+byÛ`)=axÜ`+bxyÛ`+axÛ`y+byÜ` =axÜ`+byÜ`+xy(ax+by) 에서 14p=22+4q. a(x-y)=. yy ㉡. -3'5     ∴ a=-3 (-1)Ý` ㉠+㉡을 하면. =axÝ`+byÝ`+xy(axÛ`+byÛ`) 에서 22p=50+14q (x+y)(axÝ`+byÝ`)=axÞ`+bxyÝ`+axÝ`y+byÞ`. '5a=. 1 1 xÝ`+yÝ` + = xÝ` yÝ` xÝ`yÝ` 7     ∴ b=5 (-3)_1+2b= (-1)Ý` ∴ a+b=(-3)+5=2 a(x+y)+2b=. =axÞ`+byÞ`+xy(axÜ`+byÜ`) 에서 50p=axÞ`+byÞ`+22q. 1 1 yÝ`-xÝ` - = xÝ` yÝ` xÝ`yÝ`. yy ㉠. (x+y)(axÜ`+byÜ`)=axÝ`+bxyÜ`+axÜ`y+byÝ`. yy ㉡. yy ㉢. ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 p=1, q=-2 이것을 ㉢에 대입하면. ②. 50_1=axÞ`+byÞ`+22_(-2) ∴ axÞ`+byÞ`=50+44=94. 94. 0036. (a+b)Û`+(b+c)Û`+(c+a)Û`=22에서. 2(aÛ`+bÛ`+cÛ`+ab+bc+ca)=22. 0033. (a+b)Û`=(a-b)Û`+4ab=4Û`+4_2=24이므로. a+b=2'6 (∵ a>0) aÛ`+bÛ`=(a-b)Û`+2ab=4Û`+2_2=20. 2(aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca)=2. aÜ`+bÜ`=(a+b)Ü`-3ab(a+b). ∴ aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca=1. =(2'6)Ü`-3_2_2'6=36'6. yy ㉠. ∴ aÛ`+bÛ`+cÛ`+ab+bc+ca=11 (a-b)Û`+(b-c)Û`+(c-a)Û`=2에서. yy ㉡. ㉠+㉡을 하면 2(aÛ`+bÛ`+cÛ`)=12, 즉 aÛ`+bÛ`+cÛ`=6. aÝ`+bÝ`=(aÛ`+bÛ`)Û`-2aÛ`bÛ` =20Û`-2_2Û`=392. ㉠-㉡을 하면 2(ab+bc+ca)=10, 즉 ab+bc+ca=5. ∴ (a+aÛ  `+aÜ`+aÝ`)+(b+bÛ`+bÜ`+bÝ`) =(a+b)+(aÛ`+bÛ`)+(aÜ`+bÜ`)+(aÝ`+bÝ`). 이때 (a+b+c)Û`=aÛ`+bÛ`+cÛ`+2(ab+bc+ca)이므로. =2'6+20+36'6+392. (a+b+c)Û`=6+2_5=16. =412+38'6. 412+38'6. 그런데 a, b, c가 모두 양수이므로 a+b+c=4. 0034 m+n=ax+by+ay+bx. ∴ aÜ  `+bÜ`+cÜ`. =(a+b)(x+y). =(a+b+c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca)+3abc. =1_2=2. =4_1+3_2=10. ⑤ 01. 다항식의 연산. 005.

(6) 0037. ㉠, ㉡에서 SÁ-Sª=;4Ò;xy-;8Ò;xy=;8Ò;xy. 조건 ㈎에서. <a, a, a>+<b, b, b>+<c, c, c> =3aÛ`+3bÛ`+3cÛ`=33. 이때 SÁ-Sª=2p이므로 ;8Ò;xy=2p    ∴ xy=16. ∴ aÛ`+bÛ`+cÛ`=11. 또한, AQÓÓ-QBÓ=8'3이므로. 조건 ㈏에서. x-y=8'3 ∴ ABÓ Û`=(x+y)Û`=(x-y)Û`+4xy  . <a, 1, 1>+<1, b, 1>+<1, 1, c>. =(8'3)Û`+4_16=256. =2a+1+2b+1+2c+1=9. ∴ ABÓ=16 (∵ ABÓ>0). ∴ a+b+c=3. 16. 조건 ㈐에서 <a, 2, 0>_<b, 2, 0>_<c, 2, 0>. 0040 OAÓ=a, OBÓ=b, OCÓ=c라 하면. =8abc=-8. ABÓ="ÃaÛ`+bÛ`, BCÓ="ÃbÛ`+cÛ`, CAÓ="ÃcÛ`+aÛ`. ∴ abc=-1. [그림 1]의 사면체 OABC의 모든 모서리의 길이의 제곱의 합은 OAÓ Û`+OBÓ Û`+OCÓ Û`+ABÓ Û`+BCÓ Û`+CAÓ Û`. (a+b+c)Û`=aÛ`+bÛ`+cÛ`+2(ab+bc+ca)에서 3Û`=11+2(ab+bc+ca)    ∴ ab+bc+ca=-1. =aÛ`+bÛ`+cÛ`+(aÛ`+bÛ`)+(bÛ`+cÛ`)+(cÛ`+aÛ`). (ab+bc+ca)Û`=aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛ`aÛ`+2abc(a+b+c)에서. =3(aÛ`+bÛ`+cÛ`)=123. (-1)Û`=aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛ`aÛ`+2_(-1)_3. yy`㉠. ∴ aÛ`+bÛ`+cÛ`=41. ∴ aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛ`aÛ`=7. [그림 2]의 도형의 겉넓이는. ∴ <ab, ab, ab>+<bc, bc, bc>+<ca, ca, ca>. (△OAB-1)+(△OBC-1)+(△OCA-1)+△ABC+3. =3aÛ`bÛ`+3bÛ`cÛ`+3cÛ`aÛ`. =;2!;ab+;2!;bc+;2!;ca+2'3Œ4=20+2'3Œ4. =3(aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛ`aÛ`) =3_7=21. 21. yy`㉡. ∴ ab+bc+ca=40 이때 (a+b+c)Û`=aÛ`+bÛ`+cÛ`+2(ab+bc+ca)에서. 0038. (a+b+c)Û`=41+2_40 (∵ ㉠, ㉡). 처음 직육면체의 부피는. =121. (a+b)Û`(a+2b)=(aÛ`+2ab+bÛ`)(a+2b). ∴ OAÓ+OBÓ+OCÓ=a+b+c=11 (∵ a+b+c>0). =aÜ`+4aÛ`b+5abÛ`+2bÜ`. 11. . 이므로 12개의 작은 직육면체의 개수는 각각 다음과 같다. 부피가 aÜ`인 직육면체: 1개. 부피가 aÛ`b인 직육면체: 4개. 부피가 abÛ`인 직육면체: 5개. 부피가 bÜ`인 직육면체: 2개. 0041. 이때 부피가 150인 직육면체가 5개이므로 abÛ`=150=6_5Û` a, b는 서로소인 2 이상의 자연수이므로 a=6, b=5 ∴ a+2b=6+2_5=16. 0039. 16. AQÓ=x, QBÓ=y라 하면. SÁ=;2Ò;{. -;2Ò;{;2};}Û`. . xÜ`-xÛ`+x+1=(xÛ`-2x+2)(x+1)+(x-1). 4„. 이므로 ". Y. 2. =;4Ò;xy. #. AQÓ`:`PQÓ=PQÓ`:`BQÓ PQ Û`Ó =AQÓ_BQÓ=xy PQÓ Û` } =;8Ò;xy 2. 정답과 풀이. ". Y. =(xÛ`-2x+2)Û`(x+1)Û`+2(xÛ`-2x+2)(x+1)(x-1) . +(x-1)Û`. ∴ f(x)-(x-1)Û`. 4m. △AQP»△PQB`(AA 닮음)에서. f(x)=(xÜ`-xÛ`+x+1)Û` ={(xÛ`-2x+2)(x+1)+(x-1)}Û`. 1. 형이므로. 006. Z. yy`㉠. △PAB는 ∠P=90ù인 직각삼각. ∴ Sª=;2Ò;{. 따라서. 1. x+y Û` } -;2Ò;{;2{;}Û` 2. x +1 xÛ`-2x+2`<Ô`xÜ`- xÛ`+ x+1 xÜ`-2xÛ`+2x xÛ`- x+1 xÛ`-2x+2 x-1. =(xÛ`-2x+2)Û`(x+1)Û`+2(xÛ`-2x+2)(x+1)(x-1). 2. Z. #. yy`㉡. =(xÛ`-2x+2){(xÛ`-2x+2)(x+1)Û`+2(x+1)(x-1)} 즉, f(x)-(x-1)Û`은 xÛ`-2x+2로 나누어떨어지므로 f(x) 와 (x-1)Û`은 xÛ`-2x+2로 나누었을 때의 나머지가 같다. ∴ a=-1. ②.

(7) 0044 다음과 같이 빈칸을 p, q, r로 놓으면. 다른풀이. f(x)=(xÛ`-2x+2)Û`(x+1)Û`+2(xÛ`-2x+2)(x+1)(x-1). -1. a. b. c. d. 1. a. p. 4. -7. a. q. r. +(x-1)Û`. . =(xÛ`-2x+2)Û`(x+1)Û`+2(xÛ`-2x+2)(x+1)(x-1) +xÛ`-2x+1.  =(xÛ`-2x+2){(xÛ`-2x+2)(x+1)Û`. +2(x+1)(x-1)+1}-1. . 이므로 f(x)를 xÛ`-2x+2로 나누었을 때의 나머지는 -1이다.. axÜ`+bxÛ`+cx+d. 따라서 (x+a)Û`을 xÛ`-2x+2로 나누었을 때의 나머지도 -1. =(x+1)(axÛ`+px+4)-7. 이므로 (x+a)Û`=(xÛ`-2x+2)_1-1. =(x+1){(x-1)(ax+q)+r}-7. xÛ`+ax+aÛ`=xÛ`-2x+1    ∴ a=-1. =(x+1)(x-1)(ax+q)+r(x+1)-7. Lecture. =(x+1)(x-1)(ax+q)+rx+r-7. 두 다항식 f(x), g(x)를 xÛ`-2x+2로 나누었을 때의 몫을 각각 QÁ(x), Qª(x)라 하고 나머지를 R라 하면 f(x)=(xÛ`-2x+2)QÁ(x)+R, g(x)=(xÛ`-2x+2)Qª(x)+R 이므로. =(x+1)(x-1)(3x+)+5x+. f(x)-g(x) ={(xÛ`-2x+2)QÁ(x)+R}-{(xÛ`-2x+2)Qª(x)+R} =(xÛ`-2x+2){QÁ(x)-Qª(x)} 즉, f(x)-g(x)는 xÛ`-2x+2로 나누어떨어진다.. 른쪽과 같으므로. 이므로 a=3, r=5 따라서 조립제법을 완성하면 오 a=3, b=1, c=2, d=-3 ∴ a+b+c+d=3. -1 1. 3 3. 1. 2. -3. -3. 2. -4. -2. 4. -7. 3. 1. 1. 5. 3. 0042 A=xÜ`+2x+3, B=2x+3에서. -3. . A-B=xÜ`+2x+3-(2x+3)=xÜ` AB=(xÜ`+2x+3)(2x+3). 0045 정사각형 C의 한 변의 길이를 f(x)라 하면. =2xÝ`+3xÜ`+4xÛ`+12x+9. 정사각형 B의 한 변의 길이는 xÛ`+2x-f(x). 이므로. 정사각형 A의 한 변의 길이는. AÜ`-BÜ`=(A-B)Ü`+3AB(A-B). 2xÛ`+2x-1-{xÛ`+2x-f(x)}=xÛ`+f(x)-1. =(xÜ`)Ü`+3(2xÝ`+3xÜ`+4xÛ`+12x+9)_xÜ`. 이때 정사각형 A의 한 변의 길이는 주어진 직사각형의 세로의. =xá`+6xà`+9xß`+12xÞ`+36xÝ`+27xÜ`. 길이와도 같으므로. =xÞ`(xÝ`+6xÛ`+9x+12)+36xÝ`+27xÜ` 따라서 AÜ`-BÜ`을 xÞ`으로 나누었을 때의 몫 Q(x)와 나머지 R(x)는 Q(x)=xÝ`+6xÛ`+9x+12, R(x)=36xÝ`+27xÜ` ∴ Q(1)+R(-1)=28+9=37. 37. 0043 f(x)를 g(x)로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머지가 R(x)이므로. xÛ`+f(x)-1=xÛ`+2x    ∴ f(x)=2x+1 (직사각형 D의 가로의 길이) =(정사각형 B의 한 변의 길이)-(정사각형 C의 한 변의 길이) ={xÛ`+2x-f(x)}-f(x) =xÛ`+2x-2f(x) =xÛ`+2x-2(2x+1) =xÛ`-2x-2. f(x)=g(x)Q(x)+R(x) (단, (R(x)의 차수)<(g(x)의 차수)) 또한, g(x)를 Q(x)로 나누었을 때의 나머지도 R(x)이므로 몫을 QÁ(x)라 하면. 이고, 직사각형 D의 세로의 길이는 f(x), 즉 2x+1이므로 직사각형 D의 넓이는 (xÛ`-2x-2)(2x+1)=2xÜ`-3xÛ`-6x-2. ④. g(x)=Q(x)QÁ(x)+R(x) (단, (R(x)의 차수)<(Q(x)의 차수)). 0046 (1+2x+3xÛ`+4xÜ`+`y`+100x. 99. )Û`. 99. ∴ 2f(x)+g(x). =(1+2x+3xÛ`+4xÜ`+`y`+100x ). =2{g(x)Q(x)+R(x)}+Q(x)QÁ(x)+R(x). . =Q(x){2g(x)+QÁ(x)}+3R(x). _(1+2x+3xÛ`+4xÜ`+`y`+100x99). 이 전개식에서 xÜ` 항은. 이때 (R(x)의 차수)<(Q(x)의 차수)이므로 2f(x)+g(x). 1_4xÜ`+2x_3xÛ`+3xÛ`_2x+4xÜ`_1=20xÜ`. 를 Q(x)로 나누었을 때의 나머지는 3R(x)이다.. 이므로 a=20. 3R(x). 01. 다항식의 연산. 007.

(8) 또, xÝ` 항은. 0050. 1_5xÝ`+2x_4xÜ`+3xÛ`_3xÛ`+4xÜ`_2x+5xÝ`_1=35xÝ`. R이므로. 이므로 b=35. f(x)=(x-1)Q(x)+R. ∴ b-a=15. ③. f(x)를 x-1로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머지가. 위의 식의 양변에 xÛ`+2x+3을 곱하고 2를 더하면 (xÛ`+2x+3)f(x)+2. 0047. =(xÛ`+2x+3)(x-1)Q(x)+R(xÛ`+2x+3)+2. ABÓ=a, BCÓ=b, BFÓ=c라 하면. 직육면체의 겉넓이는 2(ab+bc+ca)=40. =(xÛ`+2x+3)(x-1)Q(x)+R{(x-1)(x+3)+6}+2. ∴ ab+bc+ca=20. =(xÛ`+2x+3)(x-1)Q(x)+R(x-1)(x+3)+6R+2. 삼각형 BGD의 세 변의 길이의 제곱의 합은 DBÓ Û`+BGÓ Û`+GDÓ Û`=48. =(x-1){(xÛ`+2x+3)Q(x)+(x+3)R}+6R+2. (aÛ`+bÛ`)+(bÛ`+cÛ`)+(cÛ`+aÛ`)=48. (xÛ`+2x+3)Q(x)+(x+3)R, 나머지는 6R+2이다.. ∴ aÛ`+bÛ`+cÛ`=24. . 따라서 (xÛ`+2x+3)f(x)+2를 x-1로 나누었을 때의 몫은 ⑤. 이때 (a+b+c)Û`=aÛ`+bÛ`+cÛ`+2(ab+bc+ca)에서 (a+b+c)Û`=24+2_20=64 이므로 a+b+c=8 (∵ a+b+c>0) 본문 17쪽. 따라서 모든 모서리의 길이의 합은 4(a+b+c)=4_8=32. 32. 0051 0048 오른쪽 그림과 같이 호 BC 위의 한 점 P에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H, BCÓ의 중점을 M. . 이라 하자.. Z. 3. " 2. 두 정사각형 A, B의 한 변의 길이가. 1. Y. 각각 x, y이므로. Z #. BCÓ=4이므로 BMÓ=;2!; BCÓ=2. . . Y ). $. yy`㉠. #. 정사각형 F의 한 변의 길이는 x-(y-x)=2x-y x+(2x-y)=3x-y 따라서 직사각형의 세로의 길이는. (x+y)Û`-2xy-4(x+y)+4=0. (3x-y)+x+y=4x. 5Û`-2xy-4_5+4=0 (∵ ㉠). yy`㉠. 또, 정사각형 G의 한 변의 길이는. -2xy=-9    ∴ xy=;2(;. (2y-x)+(y-x)-(2x-y)=4y-4x ②. 정사각형 D의 한 변의 길이는 (4y-4x)+(2y-x)=6y-5x 따라서 직사각형의 가로의 길이는. 0049. 3xÛ`+ x -3 xÛ`-x-1`<Ô`3xÝ`-2xÜ`-7xÛ`+2x+5 3xÝ`-3xÜ`-3xÛ` xÜ`-4xÛ`+2x xÜ`- xÛ`- x -3xÛ`+3x+5 -3xÛ`+3x+3 2 ∴ 3xÝ  `-2xÜ`-7xÛ`+2x+5. (6y-5x)+(2y-x)+y=9y-6x. yy`㉡. ㉠, ㉡에서 직사각형의 넓이는 4x(9y-6x)=12x(3y-2x). 0052 a, b, c 사이의 관계식을 구한다.. 조건 ㈎에서 a=. =(xÛ`-x-1)(3xÛ`+x-3)+2. 정답과 풀이. $. ". 정사각형 H의 한 변의 길이는. 2Û`=(x-2)Û`+(2-y)Û`, 4=xÛ`+yÛ`-4(x+y)+8. 008. %. ( ' &. y+(y-x)=2y-x. 또, PHÓ=2-y, MHÓ=QPÓ-BMÓ=x-2이므로 Û Û 직각삼각형 PMH에서 PMÓ `=MHÓ  `+PHÓ  `Û. =0_(3xÛ`+x-3)+2=2. 정사각형 E의 한 변의 길이는 정사각형 C의 한 변의 길이는. 직사각형 AQPR의 둘레의 길이가 10이므로. 따라서 직사각형 AQPR의 넓이는 ;2(;이다.. ). *. y-x. PQÓ=x, RPÓ=y라 하면 2(x+y)=10    ∴ x+y=5. 두 정사각형 A, B의 한 변의 길이가 각각 x, y이다.. %. 2. 1 1 1 , b= , c= 이므로 a' b' c'. a'=;a!;, b'=;b!;, c'=;c!;. ⑤.

(9) 조건 ㈏에서 직육면체 A의 대각선의 길이가 '1Œ3이므로 "ÃaÛ`+bÛ`+cÛ`='1Œ3    ∴ aÛ`+bÛ`+cÛ`=13. Û 두 삼각형 ABC, PMªMÁ의 닮음비는 ABÓ`:`PMªÓ, 즉 yy`㉠. 조건 ㈐에서 직육면체 A의 모든 모서리의 길이의 합이 20이므로. 4(a+b+c)=20    ∴ a+b+c=5 이때 (a+b+c)Û`=aÛ`+bÛ`+cÛ`+2(ab+bc+ca)에서 5Û`=13+2(ab+bc+ca) (∵ ㉠) ∴ ab+bc+ca=6. yy`㉡. 4`:`x이고 넓이의 비는 4Û``:`xÛ`이므로. S`:`Sª=16`:`xÛ`, 16Sª=xÛ`S   . ∴ Sª=. xÛ`S 16. Ü 두 삼각형 ABC, NÁMÁC의 닮음비는 ABÓ`:`NÁMÁÓ, 즉. 4`:`a이고 넓이의 비는 4Û``:`aÛ`이므로. 4{;a!;+;b!;+;c!;}=12, ;a!;+;b!;+;c!;=3. S`:`S£=16`:`aÛ`, 16S£=aÛ`S   . ab+bc+ca 6 =3, =3 (∵ ㉡) abc abc. ∴ S£=. 또, 직육면체 B의 모든 모서리의 길이의 합이 12이므로. yy`㉢. ∴ abc=2. 이때 (ab+bc+ca)Û`=aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛ`aÛ`+2abc(a+b+c)에서 6Û`=aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛ`aÛ`+2_2_5 (∵ ㉡, ㉢) ∴ aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛ`aÛ`=16. yy`㉣. aÛ`S 16. 이때 S=2(SÁ+Sª+S£)이므로 Ú, Û, Ü에서 S=2{ 1=. S xÛ`S aÛ`S + } + 16 16 16aÛ`. 1 xÛ` aÛ` 1 + + , aÛ`+ +xÛ`=8 8 8 8aÛ` aÛ`. {a+;a!;}Û`-2+xÛ`=8. 따라서 직육면체 B의 대각선의 길이는 "Ãa'Û`+b'Û`+c'Û`=¾¨{;a!;}Û`+{;b!;}Û`+{;c!;}Û`. 그런데 ABÓ=a+;a!;+x=4에서 a+;a!;=4-x이므로 이를 위. 1 1 1 =¾¨ + + aÛ` bÛ` cÛ`. 의 식에 대입하면. =¾¨. aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛ`aÛ` aÛ`bÛ`cÛ`. (x-1)(x-3)=0    ∴ x=1 또는 x=3. =¾Ð. 16 (∵ ㉢, ㉣) 2Û`. ='4=2 (∵ (대각선의 길이)>0). (4-x)Û`-2+xÛ`=8, xÛ`-4x+3=0 이때 PMÁÓÉ2, 즉 xÉ2이므로 x=1 ②. ∴ a+;a!;=4-1=3 1 ∴ ALÁÓ Ü`+BLªÓ Ü`=aÜ`+ aÜ` ={a+;a!;}Ü`-3{a+;a!;}. 0053 네 삼각형 ABC, LªBMª, PMªMÁ, NÁMÁC는 모두 닮음이다.. =3Ü`-3_3=18. 18. 두 사각형 ALÁMÁNÁ, ALªMªNª는 평행사변형이므로 ALÁÓ=a`(a>0)라 하면 NÁMÁÓ=NÁCÓ=a ALÁÓ_BLªÓ=1이므로 BLªÓ=;a!;=LªMªÓ 또한, LÁLªÓ=x라 하면 PMªÓ=PMÁÓ=x 평행선의 성질에 의하여. ∠A=∠BLªMª=∠MªPMÁ=∠MÁNÁC, ∠B=∠PMªMÁ=∠NÁMÁC 따라서 네 삼각형 ABC, LªBMª, PMªMÁ, NÁMÁC는 모두 닮 음이다. 네 삼각형 ABC, LªBMª, PMªMÁ, NÁMÁC의 넓이를 각각 S, SÁ, Sª, S£라 하면 Ú 두 삼각형 ABC, LªBMª의 닮음비는 ABÓ`:`LªBÓ, 즉. 4`:`;a!;이고 넓이의 비는 4Û``:`{;a!;}Û`이므로. S`:`SÁ=16`:`. ∴ SÁ=. 1 S , 16SÁ=     aÛ` aÛ`. S 16aÛ` 01. 다항식의 연산. 009.

(10) Ⅰ. 다항식. 02. 0058. 이차방정식 xÛ`+(k+1)x+(k-2)m+n=0의 근이. 1이므로. 항등식과 나머지정리. 1+(k+1)+(k-2)m+n=0 ∴ (m+1)k+(-2m+n+2)=0 본문 19~22쪽. 이 등식이 k에 대한 항등식이므로 m+1=0, -2m+n+2=0 ∴ m=-1, n=-4. 0054 주어진 등식의 좌변을 x에 대한 내림차순으로 정리하면. ∴ mn=4. 4. (a+2)xÛ`-(aÛ`+b)x+2aÛ`+2b=0 이 등식이 x에 대한 항등식이므로. 0059. a+2=0, aÛ`+b=0, 2aÛ`+2b=0. 0=a¼+aÁ+aª+`y`+aÁ¼ . ∴ a=-2, b=-4. 주어진 등식의 양변에 x=-1을 대입하면. ∴ a+b=-6. ①. 주어진 등식의 양변에 x=1을 대입하면. 32=a¼-aÁ+aª-`y`+aÁ¼. yy`㉡. ㉠+㉡을 하면. 다른풀이. (a+2)xÛ`+(2-x)aÛ`+(2-x)b=0의 양변에. 32=2(a¼+aª+a¢+a¤+a¥+aÁ¼). x=2를 대입하면 4(a+2)=0    ∴ a=-2. ∴ a¼+aª+a¢+a¤+a¥+aÁ¼=16. x=0을 대입하면 2_(-2)Û`+2b=0    ∴ b=-4. 0060. ∴ a+b=-6. yy`㉠. 주어진 등식의 양변에 x=0을 대입하면. 주어진 등식의 양변에 x=0을 대입하면. 4=-a    ∴ a=-4. -20=a¼-aÁ+aª-`y`+aÁª. 주어진 등식의 양변에 x=1을 대입하면. ㉠-㉡을 하면. 3-5+4=2b    ∴ b=1. 2Ú`Û`=2(aÁ+a£+a°+a¦+a»+aÁÁ). 주어진 등식의 양변에 x=-1을 대입하면. ∴ aÁ+a£+a°+a¦+a»+aÁÁ=2Ú`Ú`=2048. 3+5+4=2c    ∴ c=6 ∴ a-b+c=-4-1+6=1. 16. 주어진 등식의 양변에 x=2를 대입하면. 2Ú`Û`-20=a¼+aÁ+aª+`y`+aÁª. 0055. yy`㉠. 1. 0061. yy`㉡. 2048. xÜ`+axÛ`+bx+3을 xÛ`+1로 나누었을 때의 몫을. x+c`(c는 상수)라 하면. 0056. xÜ`+axÛ`+bx+3=(xÛ`+1)(x+c). 주어진 등식의 양변에 x=-1을 대입하면. 1-a-1+b=0, 즉 a-b=0. 이 등식이 x에 대한 항등식이므로. 주어진 등식의 양변에 x=2를 대입하면 16+8a+2+b=0, 즉 8a+b=-18. =xÜ`+cxÛ`+x+c. yy`㉠ yy`㉡. a=c, b=1, 3=c. ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, b=-2. 따라서 a=3, b=1, c=3이므로. 이것을 주어진 등식에 대입하면. 10a+b=31. xÝ`-2xÜ`+x-2=(x+1)(x-2)f(x). 계수가 1이므로 몫을 x+c`(c는 상수)로 놓을 수 있다.. 양변에 x=1을 대입하면 1-2+1-2=-2f(1) ∴ f(1)=1. 0057. ④. 0062. xÝ`+axÛ`+bx-8을 (x+1)(x+2)로 나누었을 때의. 몫을 xÛ`+cx+d`(c, d는 상수)라 하면 xÝ`+axÛ`+bx-8=(x+1)(x+2)(xÛ`+cx+d)+x-8. x+ay-2b =k (k는 상수)라 하면 2x-y+1. 이 등식이 x에 대한 항등식이므로. x+ay-2b=k(2x-y+1). 양변에 x=-1을 대입하면. ∴ (1-2k)x+(a+k)y-2b-k=0. 1+a-b-8=-1-8, 즉 a-b=-2. 이 등식이 x, y에 대한 항등식이므로. 양변에 x=-2를 대입하면. 1-2k=0, a+k=0, -2b-k=0. 16+4a-2b-8=-2-8, 즉 2a-b=-9. ∴ k=;2!;, a=-;2!;, b=-;4!;. ㉠, ㉡을 연립하여 풀면. ∴ a+b=-;4#;. 010. 정답과 풀이. 31. 참고 xÜ`+axÛ`+bx+3의 최고차항의 계수가 1이고, xÛ`+1의 최고차항의. -;4#;. yy`㉠ yy`㉡. a=-7, b=-5 ∴ a+b=-12. ①.

(11) 0063. f(x)=xÜ`+axÛ`+3x+b라 하면 나머지정리에 의하여. 두 식을 연립하여 풀면. f(1)=6, f(2)=10이므로. a=-1, b=1. 1+a+3+b=6, 8+4a+6+b=10. ∴ f(x)=(x+1)(x-2)Q(x)-x+1. ∴ a+b=2, 4a+b=-4. 따라서 f(x)를 x-3으로 나누었을 때의 나머지는. 두 식을 연립하여 풀면. f(3)=4Q(3)-2. ②. a=-2, b=4 ∴ f(x)=xÜ`-2xÛ`+3x+4. 0068. 따라서 f(x)를 x-3으로 나누었을 때의 나머지는 f(3)=27-18+9+4=22. ⑤. 0064 f(x)=axà`+bxÞ`+cxÜ`+dx+1이라 하면 나머지정리 에 의하여 f(-1)=8이므로. 나머지정리에 의하여. 다항식 P(x)를 x-k로 나누었을 때의 나머지는 P(k)=kÜ`+kÛ`+k+1 다항식 P(x)를 x+k로 나누었을 때의 나머지는 P(-k)=-kÜ`+kÛ`-k+1 이때 나머지의 합이 8이므로. -a-b-c-d+1=8. P(k)+P(-k)=kÜ`+kÛ`+k+1+(-kÜ`+kÛ`-k+1). ∴ a+b+c+d=-7. =2kÛ`+2=8. 따라서 f(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지는 f(1)=a+b+c+d+1=-7+1=-6. -6. 2kÛ`=6    ∴ kÛ`=3 따라서 P(x)를 x-kÛ`, 즉 x-3으로 나누었을 때의 나머지는 P(3)=3Ü`+3Û`+3+1=40. 0065. 40. 나머지정리에 의하여. f(9)=a_10Ý`+b_10Ü`+c_10Û`+d_10+e=12321 이때 a, b, c, d, e가 한 자리 자연수이므로. 0069. a=1, b=2, c=3, d=2, e=1. Q(x), 나머지를 R(x)=axÛ`+bx+c`(a, b, c는 상수)라 하면. ∴ f(x)=(x+1)Ý`+2(x+1)Ü`+3(x+1)Û`+2(x+1)+1. x47+x23+x7+x=(xÜ`-x)Q(x)+axÛ`+bx+c. x47+x23+x7+x를 xÜ`-x로 나누었을 때의 몫을 . =x(x+1)(x-1)Q(x)+axÛ`+bx+c. 따라서 f(x)를 x+2로 나누었을 때의 나머지는 f(-2)=1-2+3-2+1=1. 1. 이 식의 양변에 x=0, x=-1, x=1을 각각 대입하면 c=0. 0066. 나머지정리에 의하여 f(1)=3, f(-1)=7. 다항식 (xÛ`-x-1)f(x)를 xÛ`-1로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 ax+b`(a, b는 상수)라 하면. -4=a-b+c    ∴ a-b=-4. yy ㉠. 4=a+b+c    ∴ a+b=4. yy ㉡. ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=0, b=4. (xÛ`-x-1)f(x)=(xÛ`-1)Q(x)+ax+b. 따라서 R(x)=4x이므로. =(x+1)(x-1)Q(x)+ax+b. R(2)=8. 이 식의 양변에 x=1, x=-1을 각각 대입하면. 8. -f(1)=a+b, f(-1)=-a+b ∴ a+b=-3, -a+b=7. 0070. 두 식을 연립하여 풀면. 나머지를 axÛ`+bx+c`(a, b, c는 상수)라 하면. a=-5, b=2 따라서 구하는 나머지는 -5x+2이다.. f(x)를 (xÛ`+1)(x-1)로 나누었을 때의 몫을 Q(x), yy`㉠. f(x)=(xÛ`+1)(x-1)Q(x)+axÛ`+bx+c -5x+2. f(x)를 xÛ`+1로 나누었을 때의 나머지가 x+1이므로 ㉠에서 axÛ`+bx+c를 xÛ`+1로 나누었을 때의 나머지가 x+1이다.. 0067. 나머지정리에 의하여 f(-1)=2, f(2)=-1. ∴ axÛ`+bx+c=a(xÛ`+1)+x+1. f(x)를 xÛ`-x-2로 나누었을 때의 나머지를. 이것을 ㉠에 대입하면. ax+b`(a, b는 상수)라 하면. f(x)=(xÛ`+1)(x-1)Q(x)+a(xÛ`+1)+x+1. f(x)=(xÛ`-x-2)Q(x)+ax+b. 한편, f(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지가 4이므로. =(x+1)(x-2)Q(x)+ax+b. f(1)=2a+2=4. 이 식의 양변에 x=-1, x=2를 각각 대입하면. ∴ a=1. f(-1)=-a+b, f(2)=2a+b. 따라서 구하는 나머지는. ∴ -a+b=2, 2a+b=-1. xÛ`+1+x+1=xÛ`+x+2. xÛ`+x+2 02. 항등식과 나머지정리. 011.

(12) 0071. f(x)를 2xÛ`-5x-3으로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라. 0074. f(x)=2xÚ`â`+xá`+x-1이라 하고 f(x)를 x+1로 나. 하면. 누었을 때의 나머지를 R라 하면. f(x)=(2xÛ`-5x-3)Q(x)+x+7. f(x)=(x+1)Q(x)+R. =(2x+1)(x-3)Q(x)+x+7. yy`㉠. 양변에 x=-1을 대입하면. 이때 f(2x+1)을 x-1로 나누었을 때의 나머지는. f(-1)=R    ∴ R=-1. f(2_1+1)=f(3). ∴ f(x)=(x+1)Q(x)-1. 따라서 ㉠에서 구하는 나머지는. Q(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지는 Q(1)이므로 ㉠의 양. f(3)=3+7=10. 10. yy`㉠. 변에 x=1을 대입하면 f(1)=2Q(1)-1. 다른풀이. f(x)를 2xÛ`-5x-3으로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면. 3=2Q(1)-1    ∴ Q(1)=2. ⑤. f(x)=(2xÛ`-5x-3)Q(x)+x+7 =(2x+1)(x-3)Q(x)+x+7. 0075. 양변에 x 대신 2x+1을 대입하면. 의 나머지를 R라 하면. f(2x+1)=(4x+3)(2x-2)Q(2x+1)+2x+8 이때 (4x+3)(2x-2)Q(2x+1)은 x-1로 나누어떨어지므 로 f(2x+1)을 x-1로 나누었을 때의 나머지는 2x+8을 . f(x)=(x-1)Q(x)+R 양변에 x=1을 대입하면 f(1)=R    ∴ R=2n+1. x-1로 나누었을 때의 나머지와 같다.. ∴ f(x)=(x-1)Q(x)+2n+1. 따라서 구하는 나머지는 2_1+8=10. 0072. f(x)=1+x+xÛ`+`y`+x2n을 x-1로 나누었을 때. yy`㉠. Q(x)를 x+1로 나누었을 때의 나머지는 Q(-1)이므로 ㉠의 양변에 x=-1을 대입하면. P(x)=(xÛ`-x-1)(ax+b)+2. yy`㉠. f(-1)=-2Q(-1)+2n+1. P(x+1)을 xÛ`-4로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면. 1=-2Q(-1)+2n+1. P(x+1)=(xÛ`-4)Q(x)-3. 2Q(-1)=2n    ∴ Q(-1)=n. ②. =(x+2)(x-2)Q(x)-3 이 식의 양변에 x=-2, x=2를 각각 대입하면 P(-1)=-3, P(3)=-3. 0076. ㉠의 양변에 x=-1을 대입하면. 의 몫을 Q(x), 나머지를 R라 하면. P(-1)=-a+b+2=-3. (x+1)100=x Q(x)+R. ∴ -a+b=-5. yy`㉡. 79100=(78+1)100에서 (x+1)100을 x로 나누었을 때. ㉠의 양변에 x=0을 대입하면 R=1. ㉠의 양변에 x=3을 대입하면. ㉠의 양변에 x=78을 대입하면 79100=78 Q(78)+1. P(3)=5(3a+b)+2=-3. 따라서 79100을 78로 나누었을 때의 나머지는 1이다.. ∴ 3a+b=-1. 46. 0077. 1723=(18-1)23에서 (x-1)23을 x로 나누었을 때의. 몫을 QÁ(x), 나머지를 RÁ이라 하면 (x-1)23=xQÁ(x)+RÁ. 0073. f(x)를 xÛ`-x+1로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머. 지가 2x+1이므로 f(x)=(xÛ`-x+1)Q(x)+2x+1. yy`㉠. ㉠의 양변에 x=0을 대입하면 RÁ=-1 ㉠의 양변에 x=18을 대입하면. yy`㉠. Q(x)를 x+1로 나누었을 때의 몫을 Q'(x)라 하면 나머지가 1. 1723=18QÁ(18)-1 =18{QÁ(18)-1}+17 따라서 1723을 18로 나누었을 때의 나머지는 17이다.. 이므로 Q(x)=(x+1)Q'(x)+1. 1. yy`㉢. ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=1, b=-4 ∴ 50a+b=50+(-4)=46. yy`㉠. yy`㉡. ∴ rÁ=17. ㉡을 ㉠에 대입하면. 한편, 3_2101=3_2_2100=6_(24)25=6_1625에서. f(x)=(xÛ`-x+1){(x+1)Q'(x)+1}+2x+1. 6x25을 x+1로 나누었을 때의 몫을 Qª(x), 나머지를 Rª라 하면 6x25=(x+1)Qª(x)+Rª. =(xÜ`+1)Q'(x)+xÛ`+x+2 따라서 R(x)=xÛ`+x+2이므로 R(2)=4+2+2=8. 012. 정답과 풀이. ㉡의 양변에 x=-1을 대입하면 Rª=-6 ③. ㉡의 양변에 x=16을 대입하면. yy`㉡.

(13) 0080. 6_1625=17Qª(16)-6 =17{Qª(16)-1}+11 25. f(x)+g(x)가 x-1로 나누어떨어지므로 yy`㉠. f(1)+g(1)=0. 101. 따라서 6_16 , 즉 3_2 을 17로 나누었을 때의 나머지는 11. 또한, f(x)-g(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지가 2이므로. 이다.. f(1)-g(1)=2. ∴ rª=11. ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 f(1)=1, g(1)=-1. ∴ rÁ+rª=17+11=28. ④. 참고 다항식의 나눗셈에서는 나머지가 음수일 수 있지만 자연수의 나눗셈 에서는 나머지가 0 또는 양수이어야 한다.. 0078. yy`㉡. f(x)=2xÜ`+axÛ`+bx+6이라 하면 f(x)가 xÛ`-1,. 즉 (x+1)(x-1)로 나누어떨어지므로 인수정리에 의하여. 한편, 다항식 h(x)가 x-1로 나누어떨어지려면 h(1)=0이어 야 한다. ㄱ. h(x)=x+f(x)라 하면. ㄴ. h(x)=x+g(x)라 하면. f(-1)=0, f(1)=0. h(1)=1+f(1)=1+1=2 h(1)=1+g(1)=1+(-1)=0. ㄷ. h(x)=f(x)g(x)+1이라 하면. f(-1)=0에서 -2+a-b+6=0 yy`㉠. ∴ a-b=-4 f(1)=0에서 2+a+b+6=0. h(1)=f(1)g(1)+1=-1+1=0. 따라서 x-1로 나누어떨어지는 것은 ㄴ, ㄷ이다.. ④. yy`㉡. ∴ a+b=-8 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-6, b=-2 ∴ ab=12. ④. 0081. f(x)=xÜ`+axÛ`+bx-1이라 하면 f(x)가 (x+1)Û`. 으로 나누어떨어지므로 f(-1)=0. 다른풀이. 2xÜ`+axÛ`+bx+6을 xÛ`-1로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하. -1+a-b-1=0, a-b=2. 면. ∴ b=a-2. 2xÜ`+axÛ`+bx+6=(xÛ`-1)Q(x). ∴ f(x)=xÜ`+axÛ`+(a-2)x-1. =(x+1)(x-1)Q(x). 이때 다음과 같이 조립제법을 이용하면. 다음과 같이 조립제법을 이용하면 -1 1. 2 2 2. -1. a. b. 6. -2. -a+2. a-b-2. a-2. -a+b+2. a-b+4. 2. a. a. b+2. 1 1. a. a-2. -1. -a+1. -1 1. a-1. -1. 0. ∴ f(x)=(x+1){xÛ`+(a-1)x-1} f(x)를 x+1로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 Q(x)=xÛ`+(a-1)x-1. 따라서 a-b+4=0, b+2=0이므로. Q(x)도 x+1로 나누어떨어지므로 Q(-1)=0. a=-6, b=-2. 1-a=0    ∴ a=1. ∴ ab=12. 0079. yy`㉠. a=1을 ㉠에 대입하면 b=-1 ∴ a+b=0. f(x+2)가 x-1로 나누어떨어지므로. Lecture. f(1+2)=f(3)=0. 다항식 f(x)가 (x+a)Û`으로 나누어떨어지면    f(x)=(x+a)Û`Q(x)=(x+a){(x+a)Q(x)} 이므로 f(x)를 x+a로 나누었을 때의 몫인 (x+a)Q(x)는 다시 x+a로 나누어떨어진다.. f(x-2)가 x+1로 나누어떨어지므로 f(-1-2)=f(-3)=0 f(3)=0에서 27+3a+b=0 ∴ 3a+b=-27. 0. yy`㉠. f(-3)=0에서 -27-3a+b=0 ∴ -3a+b=27. yy`㉡. ㉠, ㉡을 연립하여 풀면. 0082. a=-9, b=0. f(2-x)를 x-2로 나누었을 때의 나머지가 3이므로. ∴ f(x)=xÜ`-9x. f(2-2)=f(0)=3    ∴ c=3. 따라서 f(x)를 x+2로 나누었을 때의 나머지는. x{ f(x)+x}가 xÛ`-1, 즉 (x+1)(x-1)로 나누어떨어지므로. f(-2)=-8+18=10. 10. f(x)=axÛ`+bx+c`(a, b, c는 상수, a+0)라 하면. -{ f(-1)-1}=0, f(1)+1=0 02. 항등식과 나머지정리. 013.

(14) 즉, f(-1)=1, f(1)=-1이므로. 0085. a-b+3=1, a+b+3=-1. f(xÛ`)=axÝ`+bxÛ`+c. 두 식을 연립하여 풀면. f(x)f(-x)=(axÛ`+bx+c)(axÛ`-bx+c). f(x)=axÛ`+bx+c (a, b, c는 상수, a+0)라 하면. a=-3, b=-1. =(axÛ`+c)Û`-(bx)Û`. 따라서 f(x)=-3xÛ`-x+3이므로. =aÛ`xÝ`+(2ac-bÛ`)xÛ`+cÛ`. f(3)=-27-3+3=-27. ④. f(xÛ`)=f(x)f(-x)이므로 axÝ`+bxÛ`+c=aÛ`xÝ`+(2ac-bÛ`)xÛ`+cÛ` ∴ a=aÛ`, b=2ac-bÛ`, c=cÛ` a=aÛ`에서 a+0이므로 a=1 c=cÛ`에서 c=0 또는 c=1 Ú c=0일 때, b=2ac-bÛ`에서 b(b+1)=0 ∴ b=0 또는 b=-1. 본문 23~26쪽. 0083. b=2ac-bÛ`에서 bÛ`+b-2=0, (b+2)(b-1)=0. 2 1 f {x+;[!;+1}=xÜ`+2xÛ`-3x-;[#;+ + xÛ` xÜ` =xÜ`+. ∴ b=-2 또는 b=1. 1 1 +2{xÛ`+ }-3{x+;[!;} xÜ` xÛ`. x+;[!;=t로 놓으면 xÛ`+. Û c=1일 때,. Ú, Û에서 구하는 이차식 f(x)의 개수는 4이다.. 0086. 1 ={x+;[!;}Û`-2=tÛ`-2 xÛ`. ㄱ. 주어진 등식의 양변에 x=-1을 대입하면. 2_(-1)10-1=a¼, 즉 a¼=1. 1 xÜ`+ ={x+;[!;}Ü`-3{x+;[!;}=tÜ`-3t xÜ`. 주어진 등식의 우변에서 x10의 계수는 aÁ¼이므로. aÁ¼=2. 이므로. ∴ a¼+aÁ¼=1+2=3. f(t+1)=tÜ`-3t+2(tÛ`-2)-3t. ㄴ. 주어진 등식의 양변에 x=0을 대입하면. =tÜ`+2tÛ`-6t-4. -1=a¼+aÁ+aª+`y`+aÁ¼. t+1=y라 하면 t=y-1이므로. 주어진 등식의 양변에 x=-2를 대입하면. f(y)=(y-1)Ü`+2(y-1)Û`-6(y-1)-4. 211-1=a¼-aÁ+aª-a£+`y`+aÁ¼. =yÜ`-yÛ`-7y+3. ㉠+㉡을 하면. ∴ f(x)=xÜ`-xÛ`-7x+3. 211-2=2(a¼+aª+a¢+a¤+a¥+aÁ¼). 따라서 a=-1, b=-7, c=3이므로. ∴ a¼+aª+a¢+a¤+a¥+aÁ¼=210-1. 이때 a¼=1이므로. aª+a¢+a¤+a¥+aÁ¼=210-2. abc=21. 21. 4. yy`㉠ yy`㉡. 0084 x+y+z=3. yy`㉠. ㉠-㉡을 하면. 3x-3y-z=5. yy`㉡. -1-(211-1)=2(aÁ+a£+a°+a¦+a»). ∴ aÁ+a£+a°+a¦+a»=-210. yy`㉢. 즉, 210-2>-210이므로. ㉠_3+㉡을 하면 6x+2z=14   . aª+a¢+a¤+a¥+aÁ¼>aÁ+a£+a°+a¦+a». ∴ z=-3x+7. yy`㉣. ㄷ. a¼+aª+a¢+a¤+a¥+aÁ¼=210-1=1023이므로 3의 배수. ㉠+㉡을 하면 4x-2y=8    ∴ y=2x-4. ㉢, ㉣을 axy+byz+czx=28에 대입하면. 이다.. ax(2x-4)+b(2x-4)(-3x+7)+c(-3x+7)x=28. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.. ⑤. ∴ (2a-6b-3c)xÛ`+(-4a+26b+7c)x-28b=28 이 등식이 x에 대한 항등식이므로 2a-6b-3c=0, -4a+26b+7c=0, -28b=28. 0087. ∴ a=18, b=-1, c=14. 이 등식이 x에 대한 항등식이므로 양변에 x=-1을 대입하면. ∴ a+b+c=31. 014. 정답과 풀이. ①. xÛ`f(x)+f(2-x)=2x-xÝ`. f(-1)+f(3)=-2-1=-3. yy`㉠.

(15) 양변에 x=3을 대입하면 9f(3)+f(-1)=6-81=-75. yy`㉡. ㉠, ㉡을 연립하여 풀면. ∴ a=;2#;, f(x)=(x-1){x+;2#;} ∴ f(3)=(3-1){3+;2#;}=9. ③. f(-1)=6, f(3)=-9 이때 f(2x+1)-f(2-x)를 x+1로 나누었을 때의 나머지는 x=-1을 대입한 것과 같으므로 f(-1)-f(3)=6-(-9)=15. 15. 0090. f(x)를 (x+1)Ü`으로 나누었을 때의 몫을 Q₁(x)라 하면. f(x)=(x+1)Ü` Q₁(x)+xÛ`+4x+2 =(x+1)Ü` QÁ(x)+(x+1)Û`+2x+1 =(x+1)Û`{(x+1)QÁ(x)+1}+2x+1. 0088. 따라서 f(x)를 (x+1)Û`으로 나누었을 때의 나머지는 2x+1이다.. fn(x)=(ax+b)Qn(x)+Rn이므로. axÜ`+b=(ax+b)Q£(x)+R£. yy`㉠. axÝ`+b=(ax+b)Q¢(x)+R¢. yy`㉡. x=-;aB; 를 ㉠, ㉡에 각각 대입하면 R£=-. bÜ` bÝ` +b, R¢= +b aÛ` aÜ`. R£=R¢이므로 -. 또, f(x)를 (x-2)Û`으로 나누었을 때의 몫을 Qª(x)라 하면 f(x)=(x-2)Û`Qª(x)+4x+6 yy ㉠. ∴ f(2)=14. 한편, f(x)를 (x+1)Û`(x-2)로 나누었을 때의 몫을 Q£(x), yy`㉢. bÜ` bÝ` +b= +b aÛ` aÜ`. 나머지를 axÛ`+bx+c (a, b, c는 상수)라 하면 yy ㉡. f(x)=(x+1)Û`(x-2)Q£(x)+axÛ`+bx+c. f(x)를 (x+1)Û`으로 나누었을 때의 나머지가 2x+1이므로 ㉡에서 axÛ`+bx+c=a(x+1)Û`+2x+1. bÜ` bÝ` - = , -aÜ`bÜ`=aÛ`bÝ` aÛ` aÜ`. ∴ f(x)=(x+1)Û`(x-2)Q£(x)+a(x+1)Û`+2x+1 yy ㉢. ∴ f(2)=9a+5. aÛ`bÝ`+aÜ`bÜ`=0, aÛ`bÜ`(a+b)=0. ㉠, ㉢에서 9a+5=14    ∴ a=1. ∴ b=-a (∵ ab+0). 따라서 구하는 나머지는. 이것을 ㉢에 대입하면 R£=R¢=0. (x+1)Û`+2x+1=xÛ`+4x+2. 즉, ㉠에서 axÜ`-a=(ax-a)Q£(x)이므로. xÛ`+4x+2. a(xÜ`-1)=a(x-1)Q£(x) ∴ Q£(2)=. 2Ü`-1 =7 2-1. 0091. f(x)는 삼차다항식이므로 조건 ㈏에서 f(x)를. ㉡에서 axÝ`-a=(ax-a)Q¢(x)이므로. (x-1)Û`으로 나누었을 때의 몫을 ax+b`(a, b는 상수)라 하면. a(xÝ`-1)=a(x-1)Q¢(x). 나머지도 ax+b이다.. ∴ Q¢(2)=. ∴ f(x)=(x-1)Û`(ax+b)+ax+b. 2Ý`-1 =15 2-1. yy`㉠. 조건 ㈎에서 f(1)=2이므로. ∴ Q£(2)+Q¢(2)=7+15=22. 22. f(1)=a+b=2    ∴ b=2-a 이것을 ㉠에 대입하면 f(x)=(x-1)Û`{ax+(2-a)}+ax+(2-a). 0089. f(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지를 RÁ이라 하면. f(x)=(x-1)QÁ(x)+RÁ. yy`㉠. f(x)를 x-2로 나누었을 때의 나머지를 Rª라 하면 f(x)=(x-2)Qª(x)+Rª. =(x-1)Û`{a(x-1)+2}+a(x-1)+2 =a(x-1)Ü`+2(x-1)Û`+a(x-1)+2 따라서 f(x)를 (x-1)Ü`으로 나누었을 때의 나머지는. yy`㉡. R(x)=2(x-1)Û`+a(x-1)+2. ㉡의 양변에 x=2를 대입하면 조건 ㈎에서. 이때 R(0)=R(3)이므로. f(2)=Rª=Qª(1). 2-a+2=8+2a+2, -3a=6. f(x)=(x-2)Qª(x)+Qª(1)의 양변에 x=1을 대입하면. ∴ a=-2. f(1)=-Qª(1)+Qª(1)=0. 즉, R(x)=2(x-1)Û`-2(x-1)+2이므로. 이때 ㉠의 양변에 x=1을 대입하면 f(1)=RÁ=0. R(5)=2_4Û`-2_4+2=26. 26. f(x)는 최고차항의 계수가 1인 이차식이므로 QÁ(x)=x+a`(a는 상수)라 하면 f(x)=(x-1)(x+a) QÁ(1)=1+a, f(2)=2+a=Qª(1)이므로 조건 ㈏에서. 0092. QÁ(1)+Qª(1)=(1+a)+(2+a). ㄱ. ㉠의 양변에 x=0을 대입하면 { f(0)}Ü`=1이므로. =2a+3=6. { f(x)}Ü`=4xÛ`f(x)+8xÛ`+6x+1. yy`㉠. f(0)=1 02. 항등식과 나머지정리. 015.

(16) ㄴ. f(x)의 차수를 n이라 하면 ㉠의 좌변의 차수는 3n, 우변의 차수는 n+2이므로 3n=n+2에서 n=1. 이 식에 ㉢을 대입하면 A(x)=x{(x+1)Q(x)+1}+1. 이때 f(x)=ax+b`(a, b는 상수, a>0)라 하면 좌변의 최. =x(x+1)Q(x)+x+1. 고차항의 계수는 aÜ`, 우변의 최고차항의 계수는 4a이므로 aÜ`=4a, a(a+2)(a-2)=0 ∴ a=2 (∵ a>0). =(xÛ`+x)Q(x)+x+1 따라서 A(x)를 xÛ`+x로 나누었을 때의 나머지는 x+1이다. x+1. . 즉, f(x)의 최고차항의 계수는 2이다.. ㄷ. ㄱ과 ㄴ에서 f(x)=2x+1이므로 { f(x)}Ü`을 xÛ`-1로 나. 0095. xÇ`(xÛ`+ax+b)를 (x-2)Û`으로 나누었을 때의 몫을 . 누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 cx+d`(c, d는 상수)라. Q(x)라 하면. 하면. xÇ`(xÛ`+ax+b)=(x-2)Û` Q(x)+2Ç`(x-2). { f(x)}Ü`=(xÛ`-1)Q(x)+cx+d. ㉠의 양변에 x=2를 대입하면. 양변에 x=1, x=-1을 각각 대입하면. 2Ç`(4+2a+b)=0   . { f(1)}Ü`=c+d    ∴ c+d=27. ∴ b=-4-2a (∵ 2Ç`+0). { f(-1)}Ü`=-c+d    ∴ -c+d=-1. ㉡을 ㉠에 대입하면. 두 식을 연립하여 풀면 c=14, d=13. xÇ`(xÛ`+ax-4-2a)=(x-2)Û` Q(x)+2Ç`(x-2). 즉, { f(x)}Ü`을 xÛ`-1로 나누었을 때의 나머지는 14x+13 이다. ③. 0093. ∴ ab=(-3)_2=-6. P(1)=0, P(5)=0 P(x)를 xÛ`+3x-2로 나누었을 때의 몫을. 0096. ax+b`(a, b는 상수, a+0)라 하면. yy`㉠. P(5)=0에서 38(5a+b)=0 yy`㉡. ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=-5 따라서 P(x)=(xÛ`+3x-2)(x-5)-2x+10이므로 ②. 0094 조건 ㈎에서 yy`㉠. 조건 ㈏에서 P(x)=(xÜ`-x)B(x)+xÛ`-x+3. yy`㉡. 면 ㉠, ㉡에서. yy`㉢. yy`㉠. ㄱ. ㉠은 x에 대한 항등식이므로 x=a를 대입하면. f(a)=R(a)    ∴ f(a)-R(a)=0. ㄴ. R(x)=x라 하면. f(x)=(x-a)(x-b)Q(x)+x이므로. f(a)-R(b)=a-b. f(b)-R(a)=b-a. 이때 a+b이므로. f(a)-R(b)+f(b)-R(a). ㄷ. R(x)=px+q`(p, q는 상수)라 하면. f(a)=pa+q, f(b)=pb+q에서. af(b)-bf(a)=abp+aq-(abp+bq) =(a-b)q. 조건 ㈐에서 B(x)를 x+1로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하 B(x)=(x+1)Q(x)+1. 다항식 f(x)를 (x-a)(x-b)로 나누었을 때의 몫을. f(x)=(x-a)(x-b)Q(x)+R(x). 이때 P(1)=0에서 2(a+b)+8=0. P(x)=(xÛ`-1)A(x)-x+4. -6. Q(x)라 하면. P(x)=(xÛ`+3x-2)(ax+b)-2x+10. P(-2)=42. ㉢의 양변에 x=2를 대입하면 a=-3을 ㉡에 대입하면 b=2. 양변에 x=1, x=7을 각각 대입하면. ∴ 5a+b=0. yy ㉢. 2Ç`(4+a)=2Ç`, 4+a=1    ∴ a=-3. (x-1)P(x-2)=(x-7)P(x)에서. ∴ a+b=-4. yy ㉡. xÇ`(x-2)(x+a+2)=(x-2)Û` Q(x)+2Ç`(x-2) ∴ xÇ`(x+a+2)=(x-2)Q(x)+2Ç`. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.. yy ㉠. 이때 R(0)=q이므로. af(b)-bf(a)=(a-b)R(0). 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.. ③. (xÛ`-1)A(x)-x+4=(xÜ`-x)B(x)+xÛ`-x+3 (xÛ`-1)A(x)=(xÜ`-x)B(x)+xÛ`-1. 0097. ∴ (x-1)(x+1)A(x). 을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R라 하면. =x(x-1)(x+1)B(x)+(x-1)(x+1). 2n=x라 하면 8n+1=8xÜ`이므로 8xÜ`을 x-1로 나누었. 8xÜ`=(x-1)Q(x)+R. x+Ñ1일 때에도 등식이 성립해야 하므로. 양변에 x=1을 대입하면 R=8. A(x)=xB(x)+1. ∴ 8n+1=(2n-1)Q(2n)+8. 016. 정답과 풀이.

(17) 이때 2n-1É8이면 8n+1을 2n-1로 나누었을 때의 나머지는 8. 0100. 을 2n-1로 나누었을 때의 나머지와 같다. 즉,. x10=(x-2)(a¼+aÁ x+aª xÛ`+`y`+a» xá`)+R. Ú n=1이면 2Ú`-1=1이므로. ㉠의 양변에 x=2를 대입하면. ∴ x10=(x-2)(a¼+aÁ x+aª xÛ`+`y`+a» xá`)+1024. 8을 3으로 나누었을 때의 나머지는 rª=2. ㉡의 양변에 x=1을 대입하면. 8을 7로 나누었을 때의 나머지는 r£=1. 1=-(a¼+aÁ+aª+`y`+a»)+1024. Ý n¾4이면 2 -1>8이므로 n. n+1. 8. yy`㉡. . Ü n=3이면 2Ü`-1=7이므로. yy`㉠. 210=R    ∴ R=1024. 8을 1로 나누었을 때의 나머지는 rÁ=0. Û n=2이면 2Û`-1=3이므로. x10을 x-2로 나누었을 때의 나머지를 R라 하면. yy`㉢. ∴ a¼+aÁ+aª+`y`+a»=1023. n. 을 2 -1로 나누었을 때의 나머지는 8이다.. ㉡의 양변에 x=-1을 대입하면. Ú ~ Ý에서. 1=-3(a¼-aÁ+aª-`y`-a»)+1024. rÁ+rª+r£+`y`+rÁ¼ =0+2+1+8+8+`y`+8 =3+8_7=59. yy`㉣. ∴ a¼-aÁ+aª-`y`-a»=341 59. ㉢+㉣을 하면 2(a¼+aª+a¢+a¤+a¥)=1364 ∴ a¼+aª+a¢+a¤+a¥=682. 0098. f(x)=2xÛ`-4x+3이라 하면 f(x)를 x-a, x-b로. ㉡의 양변에 x=0을 대입하면. 각각 나누었을 때의 나머지가 모두 2이므로. 0=-2a¼+1024   ∴ a¼=512. f(a)=f(b)=2, 즉 f(a)-2=f(b)-2=0. ∴ aª+a¢+a¤+a¥ =(a¼+aª+a¢+a¤+a¥)-a¼ =682-512=170. 에서 f(x)-2=2(x-a)(x-b). 170. ∴ f(x)=2(x-a)(x-b)+2 =2xÛ`-2(a+b)x+2ab+2. 0101. 즉, 2xÛ`-4x+3=2xÛ`-2(a+b)x+2ab+2에서. 2x20-xÛ`+4를 x-2로 나누었을 때의 몫 Q(x)를. Q(x)=a¼+aÁ x+aª xÛ`+`y`+aÁ» xÚ`á`. -2(a+b)=-4, 2ab+2=3. (a¼, aÁ, aª, y, aÁ»는 상수),. . ∴ a+b=2, ab=;2!;. 나머지를 R라 하면. ∴ aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab=3. 2xÛ`â`-xÛ`+4=(x-2)(a¼+aÁ x+aª xÛ`+`y`+aÁ» xÚ`á`)+R. 따라서 f(x)를 x-3으로 나누었을 때의 나머지는. . f(3)=18-12+3=9. ④. yy`㉠. ㉠의 양변에 x=2를 대입하면 R=2Û`Ú` ∴ 2xÛ``â -xÛ`+4=(x-2)(a¼+aÁ x+aª xÛ`+`y`+aÁ» xÚ``á )+2Û``Ú yy`㉡. . 0099. ㉡의 양변에 x=1을 대입하면. 조건 ㈎, ㈏에서 A(x)=x(x-1)(2x+k),. B(x)=(x+1)(ax+3) (a+0)으로 놓을 수 있다.. 5=-(a¼+aÁ+aª+`y`+aÁ»)+2Û`Ú`. 이때 f(x)와 g(x)는 이차식을 공통인수로 가지므로. ∴ a¼+aÁ+aª+`y`+aÁ»=2Û`Ú`-5. a=-3, k=2. 따라서 Q(x)의 모든 문자의 계수와 상수항의 합은 2Û`Ú`-5이다.. ∴ A(x)‌=x(x-1)(2x+2). . ②. =2x(x-1)(x+1) B(x)‌=(x+1)(-3x+3). 0102. =-3(x+1)(x-1) 1 ∴ A(5)_ =240_{-;2Á4;}=-10 B(3). 로 -10. Lecture. f(x)와 g(x)는 이차식을 공통인수로 가지므로 A(x)와 B(x)도 이 차식을 공통인수로 갖는다. 즉, B(x)의 인수 x+1을 A(x)도 인수로 가져야 하므로 A(-1)=(-1)_(-2)_(-2+k)=0에서 k=2이다. 또한, A(x)의 인수 x-1을 B(x)도 인수로 가져야 하므로 B(1)=2(a+3)=0에서 a=-3이다.. f(x)+g(x)를 x-2로 나누었을 때의 나머지가 3이므. f(2)+g(2)=3 { f(x)}Ü`+{g(x)}Ü`을 x-2로 나누었을 때의 나머지가 9이므로 { f(2)}Ü`+{g(2)}Ü`=9 f(x)g(x)를 x-2로 나누었을 때의 나머지는 f(2)g(2)이므로 { f(2)}Ü`+{g(2)}Ü` ={ f(2)+g(2)}Ü`-3 f(2)g(2){ f(2)+g(2)} 에서 9=3Ü`-3 f(2)g(2)_3 2. ∴ f(2)g(2)=2 02. 항등식과 나머지정리. 017.

(18) 0103. x30-1을 (x-1)Û`으로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나. 본문 27쪽. 머지를 R(x)=ax+b`(a, b는 상수)라 하면 x30-1=(x-1)Û` Q(x)+ax+b. 0106. 29 ∴ (x-1)(x  +x28+x27+`y`+xÛ`+x+1). =(x-1)Û` Q(x)+ax+b. yy`㉠. ㉠의 양변에 x=1을 대입하면 0=a+b    ∴ b=-a. yy`㉡. ㉡을 ㉠에 대입하면. 반복되는 다항식의 나눗셈을 하나의 식으로 나타낸다. 100. x +1 =(x-1)Q0(x)+a0 =(x-1){(x-1)QÁ(x)+aÁ}+a0 =(x-1)Û` QÁ(x)+aÁ(x-1)+a0. (x-1)(x29+x28+x27+`y`+xÛ`+x+1). =(x-1)Û`{(x-1)Qª(x)+aª}+aÁ(x-1)+a0. =(x-1)Û` Q(x)+ax-a =(x-1)Û` Q(x)+a(x-1). =(x-1)Ü` Qª(x)+aª(x-1)Û`+aÁ(x-1)+a0. =(x-1){(x-1)Q(x)+a}. ⋮. 29. 28. =a100(x-1)100+a99(x-1)99+`y`+aÁ(x-1)+a0. 27. ∴ x +x +x +`y`+xÛ`+x+1=(x-1)Q(x)+a yy`㉢.  ㉢의 양변에 x=1을 대입하면. ㉠의 양변에 x=2를 대입하면 2100+1=a100+a99+a98+`y`+aª+aÁ+a0. 1+1+1+`y`+1=a    ∴ a=30. `yy`㉠. . `yy`㉡. ㉠의 양변에 x=0을 대입하면. 30개. a=30을 ㉡에 대입하면 b=-30. 1=a100-a99+a98-a97+`y`+aª-aÁ+a0. 따라서 R(x)=30x-30이므로. `yy`㉢. ㉡+㉢을 하면. R(20)=30_20-30=570. ④. 2100+2=2(a100+a98+a96+`y`+aª+a0) ∴ a0+aª+a¢+`y`+a98+a100=299+1. 0104. ④. f(x)를 xÛ`-x로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 . ax+b`(a, b는 상수)라 하면. 0107. f(x)=(xÛ`-x)Q(x)+ax+b =x(x-1)Q(x)+ax+b. 주어진 식의 양변의 최고차항의 계수를 비교해 보면 f(x)의 차수를 알 수 있다.. yy`㉠. f(x)=f(1-x)의 양변에 x=0을 대입하면. (x+5)f(3x)=27xf(x+2). f(0)=f(1)=2. f(x)를 n차다항식이라 하면 최고차항의 계수가 2이므로. ㉠의 양변에 x=0, x=1을 각각 대입하면 f(0)=b, f(1)=a+b. f(x)=2xn+axn-1+`y (a는 상수). ∴ b=2, a+b=2. 라 할 수 있다.. 두 식을 연립하여 풀면 a=0, b=2. 이때. 따라서 구하는 나머지는 2이다.. yy`㉠. 2. f(3x)=2_(3x)n+a_(3x)n-1+`y =2_3nxn+a_3n-1xn-1+`y f(x+2)=2(x+2)n+a(x+2)n-1+`y. 0105. =2xn+`y. P(1)=P(-2)=P(3)=k라 하면. P(1)-k=P(-2)-k=P(3)-k=0. ㉠에서 좌변의 최고차항은 x_2_3nxn, 우변의 최고차항은. 이므로 P(x)-k는 x-1, x+2, x-3을 인수로 갖는다.. 27x_2xn이므로. 이때 P(x)는 xÜ`의 계수가 1인 삼차식이므로. 2_3n=27_2. P(x)-k=(x-1)(x+2)(x-3). 즉, 3n=27에서 n=3이므로 f(x)는 삼차식이다.. ∴ P(x)=(x-1)(x+2)(x-3)+k. ㉠의 양변에 x=0을 대입하면. 한편, P(x)는 x-2로 나누어떨어지므로. 5f(0)=0    ∴ f(0)=0. P(2)=1_4_(-1)+k=0. ㉠의 양변에 x=-5를 대입하면. ∴ k=4. 0=27_(-5)_f(-3)    ∴ f(-3)=0. ∴ P(x)=(x-1)(x+2)(x-3)+4. ㉠의 양변에 x=-2를 대입하면. 따라서 P(x)를 x로 나누었을 때의 나머지는. 3f(-6)=27_(-2)_f(0)=0   . P(0)=(-1)_2_(-3)+4=10. 018. 정답과 풀이. ④. ∴ f(-6)=0. yy`㉡ yy`㉢. yy`㉣.

(19) ㉡, ㉢, ㉣에서 f(x)는 x, x+3, x+6을 인수로 갖는다.. { f(x)}Ü`+{g(x)}Ü`+{h(x)}Ü`. ∴ f(x)=2x(x+3)(x+6). ={ f(x)+g(x)}Ü`-3f(x)g(x){ f(x)+g(x)}+{h(x)}Ü`. 따라서 f(x)를 xÛ`+3x=x(x+3)으로 나누었을 때의 몫은 . ={-h(x)}Ü`+3f(x)g(x)h(x)+{h(x)}Ü`. 2x+12이다.. =3f(x)g(x)h(x). 2x+12. 즉, 3f(x)g(x)h(x)=-h(x)Q(x)이므로 Q(x)=-3f(x)g(x) =-3(2xÛ`+x)(xÛ`-3x-1). 0108. 따라서 Q(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지는. 두 조건 ㈎, ㈏에서 g(x)의 차수를 구한다.. Q(1)=(-3)_3_(-3)=27. ③. 조건 ㈎에서 f(x)는 이차식이므로 조건 ㈏에서 P(x)를 f(x) 로 나누었을 때의 나머지인 g(x)는 일차식이고, 조건 ㈐에서 P(x)를 g(x)로 나누었을 때의 나머지인 f(x)-xÛ`은 상수이 다. 즉, f(x)-xÛ`=a`(a는 상수)라 하면 f(x)=xÛ`+a 조건 ㈏에서 P(x)를 f(x)로 나누었을 때의 몫을 QÁ(x)라 하 면 2xÜ`-4xÛ`+3x-6=(xÛ`+a)QÁ(x)+g(x) 이때 2xÜ`-4xÛ`+3x-6을 xÛ`+a로 직접 나누어 보면 2x-4 xÛ`+a`<Ô 2xÜ`-4xÛ`+ 3x -6 2xÜ` +2ax -4xÛ`+(3-2a)x-6 -4xÛ` -4a (3-2a)x-6+4a 2xÜ`-4xÛ`+3x-6=(xÛ`+a)(2x-4)+(3-2a)x-6+4a ∴ g(x)=(3-2a)x-6+4a =(3-2a)(x-2) 조건 ㈐에서 P(x)를 g(x)로 나누었을 때의 몫을 Qª(x)라 하 면 2xÜ`-4xÛ`+3x-6=g(x)Qª(x)+f(x)-xÛ` =(3-2a)(x-2)Qª(x)+a 위의 식의 양변에 x=2를 대입하면 16-16+6-6=a    ∴ a=0 따라서 f(x)=xÛ`, g(x)=3(x-2)이므로 f(1)+g(1)=1+(-3)=-2. -2. 0109 f(x)+g(x)=-h(x)임을 이용한다.. f(x)+g(x)=(2xÛ`+x)+(xÛ`-3x-1) =3xÛ`-2x-1 =-h(x) 이므로 등식 { f(x)}Ü`+{g(x)}Ü`+{h(x)}Ü`=(3xÛ`-2x-1)Q(x) 의 좌변을 정리하면. =-h(x). 02. 항등식과 나머지정리. 019.

(20) Ⅰ. 다항식. 03. 이때 xÛ`-5x=t로 놓으면 (xÛ`-5x+4)(xÛ`-5x+6)-8=(t+4)(t+6)-8. 인수분해. =tÛ`+10t+16 =(t+2)(t+8) 본문 29~31쪽. 0110. aÝ`+aÛ`bÛ`-bÛ`cÛ`-cÝ`. =(xÛ`-5x+2)(xÛ`-5x+8) Ú f(x)=xÛ`-5x+2, g(x)=xÛ`-5x+8일 때,. f(0)=2, g(1)=4이므로. f(0)+g(1)=6. =(aÝ`-cÝ`)+bÛ`(aÛ`-cÛ`). Û f(x)=xÛ`-5x+8, g(x)=xÛ`-5x+2일 때,. =(aÛ`+cÛ`)(aÛ`-cÛ`)+bÛ`(aÛ`-cÛ`). f(0)=8, g(1)=-2이므로. =(aÛ`-cÛ`)(aÛ`+bÛ`+cÛ`). f(0)+g(1)=6. =(a+c)(a-c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`). Ú, Û에서 f(0)+g(1)=6. 0115. 0111. ③. ②. 따라서 인수인 것은 ㄱ, ㄹ이다.. xÝ`+5xÛ`yÛ`+9yÝ`=xÝ`+6xÛ`yÛ`+9yÝ`-xÛ`yÛ`. 64xÜ`-27yß`=(4x)Ü`-(3yÛ`)Ü`. =(xÛ`+3yÛ`)Û`-(xy)Û`. =(4x-3yÛ`){(4x)Û`+4x_3yÛ`+(3yÛ`)Û`} =(4x-3yÛ`)(16xÛ`+12xyÛ`+9yÝ`). =(xÛ`+xy+3yÛ`)(xÛ`-xy+3yÛ`) 따라서 a=1, b=3 또는 a=-1, b=3이므로. 따라서 64xÜ`-27yß`의 인수는 4x-3yÛ`, 16xÛ`+12xyÛ`+9yÝ`이. aÛ`+bÛ`=10. ⑤. 므로. 0116. p=12, q=9 ∴ p+q=21. ⑤. x-1=X로 놓으면. (x-1)Ý`-20(x-1)Û`+4 =XÝ`-20XÛ`+4. 0112. xÛ`-x=t로 놓으면. =(XÝ`-4XÛ`+4)-16XÛ`. (xÛ`-x)Û`+2xÛ`-2x-15=(xÛ`-x)Û`+2(xÛ`-x)-15. =(XÛ`-2)Û`-(4X)Û`. =tÛ`+2t-15. =(XÛ`-4X-2)(XÛ`+4X-2). =(t+5)(t-3). ={(x-1)Û`-4(x-1)-2}{(x-1)Û`+4(x-1)-2}. =(xÛ`-x+5)(xÛ`-x-3). =(xÛ`-6x+3)(xÛ`+2x-5). 따라서 a=-1, b=5, c=-3 또는 a=-1, b=-3, c=5이. 따라서 a=-6, b=3, c=2이므로. 므로. a+b+c=-1. a+b+c=1. 0117 0113. (x-1)(x+1)(x+2)(x+4)+k. z에 대하여 내림차순으로 정리하면. xÛ`-yÛ`-zx+yz+2y-z-1. ={(x-1)(x+4)}{(x+1)(x+2)}+k. =(y-x-1)z+xÛ`-yÛ`+2y-1. =(xÛ`+3x-4)(xÛ`+3x+2)+k. =(y-x-1)z+xÛ`-(y-1)Û`. 이때 xÛ`+3x=t로 놓으면. =-(x-y+1)z+(x+y-1)(x-y+1). (xÛ`+3x-4)(xÛ`+3x+2)+k. =(x-y+1)(x+y-z-1). =(t-4)(t+2)+k. 따라서 a=-1, b=-1이므로. =tÛ`-2t-8+k. ③. ④. yy`㉠. ab=1. ①. 주어진 식이 x에 대한 이차식의 완전제곱식으로 인수분해되려면. 0118. ㉠이 t에 대한 완전제곱식으로 인수분해되어야 하므로 -8+k=1    ∴ k=9. ④. x에 대하여 내림차순으로 정리하면. xÛ`+xy-6yÛ`+ax+11y-3 =xÛ`+(y+a)x-6yÛ`+11y-3. 0114. (xÛ`-3x+2)(xÛ`-7x+12)-8. =xÛ`+(y+a)x-(3y-1)(2y-3). =(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)-8. 주어진 다항식이 두 일차식의 곱으로 인수분해되려면. ={(x-1)(x-4)}{(x-2)(x-3)}-8. (3y-1)-(2y-3)=y+a. =(xÛ`-5x+4)(xÛ`-5x+6)-8. ∴ a=2. 020. 정답과 풀이. ④.

(21) 0119. 따라서 a=1, b=2, c=6이므로. a에 대하여 내림차순으로 정리하면. a+b+c=9. ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a). ⑤. =aÛ`b-abÛ`+bÛ`c-bcÛ`+cÛ`a-caÛ` =(b-c)aÛ`-(bÛ`-cÛ`)a+bÛ`c-bcÛ`. 0123. =(b-c)aÛ`-(b+c)(b-c)a+bc(b-c). f(1)=1+1-5+3=0. =(b-c){aÛ`-(b+c)a+bc}. 이므로 다음과 같이 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면. =(b-c)(a-b)(a-c). 1. f(x)=xÜ`+xÛ`-5x+3이라 하면. 1. =(a-b)(b-c)(a-c) 따라서 인수가 아닌 것은 ③ a+b이다.. ③. 참고 b 또는 c에 대하여 내림차순으로 정리한 후 인수분해해도 그 결과는. 같다.. 1. 1. -5. 3. 1. 2. -3. 2. -3. 0. ∴ xÜ`+xÛ`-5x+3=(x-1)(xÛ`+2x-3) =(x-1)Û`(x+3). 0120. 이때 직원기둥의 밑면인 원의 반지름을 r, 높이를 h라 하면 직원. [a, b, c]+[b, c, a]+[c, a, b]. =a(bÛ`-cÛ`)+b(cÛ`-aÛ`)+c(aÛ`-bÛ`). 기둥의 부피는. a에 대하여 내림차순으로 정리하면. prÛ`h=(xÜ`+xÛ`-5x+3)p =(x-1)Û`(x+3)p. a(bÛ`-cÛ`)+b(cÛ`-aÛ`)+c(aÛ`-bÛ`) =abÛ`-acÛ`+bcÛ`-baÛ`+caÛ`-cbÛ`. 이므로 r=x-1, h=x+3. =(c-b)aÛ`-(cÛ`-bÛ`)a+bcÛ`-bÛ`c. 따라서 직원기둥의 겉넓이는. =(c-b)aÛ`-(c+b)(c-b)a+bc(c-b). 2prÛ`+2prh. =(c-b){aÛ`-(c+b)a+bc}. =2p(x-1)Û`+2p(x-1)(x+3). =(c-b)(a-b)(a-c). =2(x-1){(x-1)+(x+3)}p (a-b)(b-c)(c-a). =(a-b)(b-c)(c-a). I. LS. =2(x-1)(2x+2)p. S. =4(x-1)(x+1)p. 0121. =4(xÛ`-1)p. z에 대하여 내림차순으로 정리하면. ②. xyz+xÛ`y-xy+x+z-1 =(xy+1)z+xÛ`y-xy+x-1. 0124. =(xy+1)z+xy(x-1)+(x-1). h(x)=xÜ`-xÛ`-8x+12라 하면. =(xy+1)z+(x-1)(xy+1). h(2)=8-4-16+12=0. =(xy+1)(z+x-1). 이므로 다음과 같이 조립제법을 이용하여 h(x)를 인수분해하면. 이때 x+y+z=1이므로 z+x=1-y. 2. xÝ`-xÜ`-8xÛ`+12x=x(xÜ`-xÛ`-8x+12)에서. 1. ∴ (xy+1)(z+x-1)=(xy+1)(1-y-1) =-y(xy+1). ④. 다른풀이. x+y+z=1에서 z=1-x-y이므로 xyz+xÛ`y-xy+x+z-1 =xy(1-x-y)+xÛ`y-xy+x+1-x-y-1 =xy-xÛ`y-xyÛ`+xÛ`y-xy-y =-xyÛ`-y=-y(xy+1). 0122. f(x)=xÜ`+3xÛ`+8x+6이라 하면. f(-1)=-1+3-8+6=0 이므로 다음과 같이 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면 -1. 1 1. 3. 8. 6. -1. -2. -6. 2. 6. 0. ∴ xÜ`+3xÛ`+8x+6=(x+1)(xÛ`+2x+6). 1. -1. -8. 12. 2. 2. -12. 1. -6. 0. ∴ xÜ`-xÛ`-8x+12=(x-2)(xÛ`+x-6) =(x-2)Û`(x+3) 즉, xÝ`-xÜ`-8xÛ`+12x=x(x-2)Û`(x+3) 이때 f(x), g(x)는 각각 이차식이고 f(-3)+0, g(0)+0이 므로 f(x)는 x+3을 인수로 갖지 않고, g(x)는 x를 인수로 갖 지 않는다. 즉, f(x)=x(x-2), g(x)=(x-2)(x+3) ∴ g(5)=3_8=24. 0125. 24. f(x)=2xÝ`+axÜ`+bxÛ`+4라 하면 f(x)가. (x-2)Û`P(x)로 인수분해되므로 f(x)는 (x-2)Û`을 인수로 갖 는다. 즉, f(2)=32+8a+4b+4=0 ∴ b=-2a-9. yy`㉠ 03. 인수분해. 021.

(22) 따라서 f(x)=2xÝ`+axÜ`+(-2a-9)xÛ`+4이므로 다음과 같. 0128. 이 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면. 998Ü`+8 xÜ`+2Ü` = 998_996+4 x(x-2)+4. 2. 2. 2. 2 2. a. -2a-9. 0. 4. 4. 2a+8. -2. -4 0. a+4. -1. -2. 4. 2a+16. 4a+30. a+8. 2a+15. 4a+28. 998=x로 놓으면. =. =x+2=998+2=1000. 0129. 이때 4a+28=0에서 a=-7. ③. P(-1)=0, P(3)=0이므로 다음과 같이 조립제법을. 이용하여 P(x)를 인수분해하면. 이것을 ㉠에 대입하면 b=5. -1. ∴ 2xÝ`-7xÜ`+5xÛ`+4=(x-2)Û`(2xÛ`+x+1) 즉, P(x)=2xÛ`+x+1이므로 P(1)=4 ∴ a+b+P(1)=-7+5+4=2. 3. 1 1. 2 1. 0126. (x+2)(xÛ`-2x+4) xÛ`-2x+4. bÝ`-aÛ`bÛ`-cÝ`-cÛ`aÛ`=0에서. -8. 18. 0. -27. -1. 9. -27. 27. -9. 27. -27. 0. 3. -18. 27. -6. 9. 0. ∴ P(x)=(x+1)(x-3)(xÛ`-6x+9). (bÝ`-cÝ`)-(aÛ`bÛ`+cÛ`aÛ`)=0. =(x+1)(x-3)Ü`. (bÛ`-cÛ`)(bÛ`+cÛ`)-aÛ`(bÛ`+cÛ`)=0. ∴ P(13)=14_10Ü`=14000. ③. (bÛ`+cÛ`)(bÛ`-cÛ`-aÛ`)=0 이때 bÛ`+cÛ`>0이므로 bÛ`-cÛ`-aÛ`=0. 0130. ∴ bÛ`=aÛ`+cÛ`. 100=x로 놓으면. 99_97_95_93+a. 따라서 주어진 조건을 만족시키는 삼각형은 빗변의 길이가 b인 ④. 직각삼각형이다.. =(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+a ={(x-1)(x-7)}{(x-3)(x-5)}+a =(xÛ`-8x+7)(xÛ`-8x+15)+a. 개념 Plus. 세 변의 길이에 따른 삼각형의 모양 삼각형 ABC의 세 변의 길이를 a, b, c라 하면 ⑴ cÛ`=aÛ`+bÛ` ⇨ 직각삼각형 ⑵ a=b=c ⇨ 정삼각형 ⑶ a=b 또는 b=c 또는 c=a ⇨ 이등변삼각형. 이때 xÛ`-8x=t로 놓으면 (xÛ`-8x+7)(xÛ`-8x+15)+a =(t+7)(t+15)+a =tÛ`+22t+105+a yy`㉠. =(t+11)Û`-16+a. 주어진 등식이 성립하려면 ㉠이 완전제곱식이어야 하므로. 0127. aÜ`+bÜ`+cÜ`-3abc=0에서. a=16. (a+b+c)(aÛ`+bÛ`+cÛ`-ab-bc-ca)=0. 즉,. ;2!;(a+b+c)(2aÛ`+2bÛ`+2cÛ`-2ab-2bc-2ca)=0. 'Ä99_97_95_93+a="Ã(t+11)Û`=t+11. ;2!;(a+b+c){(aÛ`-2ab+bÛ`)+(bÛ`-2bc+cÛ`). 이므로 n=100Û`-8_100+11=9211. =xÛ`-8x+11. +(cÛ`-2ca+aÛ`)}=0. . ∴ a+n=16+9211=9227. ④. ;2!;(a+b+c){(a-b)Û`+(b-c)Û`+(c-a)Û`}=0 이때 a+b+c>0이므로 (a-b)Û`+(b-c)Û`+(c-a)Û`=0. 본문 32~34쪽. ∴ a=b=c 즉, 주어진 조건을 만족시키는 삼각형은 정삼각형이다.. 0131. 이때 이 정삼각형의 둘레의 길이가 12이므로. =xÛ`-2(3y+2)x+9yÛ`+3ky+4. a+b+c=3a=12. 이 식이 x에 대한 완전제곱식이 되려면. ∴ a=4. (3y+2)Û`=9yÛ`+3ky+4. 따라서 구하는 삼각형의 넓이는 '3 _4Û`=4'3 4. 022. 정답과 풀이. (x-2)Û`-3y(2x-3y-k). 9yÛ`+12y+4=9yÛ`+3ky+4 ②. 즉, 12=3k에서 k=4. yy`㉠.

(23) 이것을 ㉠에 대입하면. 0135. xÛ`-2(3y+2)x+9yÛ`+12y+4. ={x(x-3)}{(x-1)(x-2)}-5x(x-3)-4. =xÛ`-2(3y+2)x+(3y+2)Û`. =(xÛ`-3x)(xÛ`-3x+2)-5(xÛ`-3x)-4. ={x-(3y+2)}Û`. 이때 xÛ`-3x=t로 놓으면. =(x-3y-2)Û. (xÛ`-3x)(xÛ`-3x+2)-5(xÛ`-3x)-4. 따라서 a=1, b=-3, c=-2이므로. =t(t+2)-5t-4. abc+k=1_(-3)_(-2)+4=10. ③. x(x-1)(x-2)(x-3)-5x(x-3)-4. =tÛ`-3t-4 =(t+1)(t-4). 0132. =(xÛ`-3x+1)(xÛ`-3x-4). { f(x)}Ü`+{g(x)}Ü`. =(xÛ`-3x+1)(x+1)(x-4). ={ f(x)+g(x)}[{ f(x)}Û`-f(x)g(x)+{g(x)}Û`]. ④. 따라서 인수인 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.. =(2xÛ`-x-1)h(x) f(x)+g(x)=(xÛ`+x)+(xÛ`-2x-1). 0136. =2xÛ`-x-1. p=nÝ`-11nÛ`+25. 이므로. =nÝ`-10nÛ`+25-nÛ`. h(x)={ f(x)}Û`-f(x)g(x)+{g(x)}Û`. =(nÛ`-5)Û`-nÛ`. 이때 h(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지는 h(1)이고. =(nÛ`+n-5)(nÛ`-n-5). f(1)=1+1=2, g(1)=1-2-1=-2이므로. 이때 p는 소수이고 nÛ`-n-5<nÛ`+n-5이므로. h(1)={ f(1)}Û`-f(1)g(1)+{g(1)}Û`. nÛ`-n-5=1. yy`㉠. nÛ`+n-5=p. yy`㉡. =2Û`-2_(-2)+(-2)Û`=12. ⑤. ㉠에서 nÛ`-n-6=0. 0133. (n+2)(n-3)=0    ∴ n=3 (∵ n은 자연수). aÜ`-bÜ`+(aÛ`-bÛ`)c+ab(a-b). n=3을 ㉡에 대입하면 p=7. =(a-b)(aÛ`+ab+bÛ`)+c(a+b)(a-b)+ab(a-b). ∴ n+p=3+7=10. =(a-b)(aÛ`+ab+bÛ`+ca+bc+ab) =(a-b){(a+b)Û`+c(a+b)}. ④. =(a-b)(a+b)(a+b+c)=221. 0137. 이때 221=13_17이고 a-b<a+b<a+b+c이므로. (a+b)Û`(a-b)Û`+cÝ`-2cÛ`(aÛ`+bÛ`)=0. a-b=1, a+b=13, a+b+c=17. (aÛ`-bÛ`)Û`+cÝ`-2cÛ`(aÛ`+bÛ`)=0. 세 식을 연립하여 풀면. (aÛ`+bÛ`)Û`-2cÛ`(aÛ`+bÛ`)+cÝ`-4aÛ`bÛ`=0. a=7, b=6, c=4. (aÛ`+bÛ`-cÛ`)Û`-(2ab)Û`=0. ∴ aÛ`+bÛ`+cÛ`=7Û`+6Û`+4Û`=101. 101. (a+b)Û`(a-b)Û`+cÝ`=2cÛ`(aÛ`+bÛ`)에서. ← (aÛ`-bÛ`)Û`=(aÛ`+bÛ`)Û`-4aÛ`bÛ`. (aÛ`+bÛ`-cÛ`+2ab)(aÛ`+bÛ`-cÛ`-2ab)=0 {(a+b)Û`-cÛ`}{(a-b)Û`-cÛ`}=0 (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)=0. 0134. P(n)=nÜ`+7nÛ`+14n+8이라 하면. ∴ a+b+c=0 또는 a+b=c 또는 a+c=b 또는 b+c=a. P(-1)=-1+7-14+8=0. 따라서 세 수의 합이 0이거나 두 수의 합이 나머지 한 수와 같아. 다음과 같이 조립제법을 이용하여 P(n)을 인수분해하면. 야 하므로 조건을 만족시키는 순서쌍은 ㄱ, ㄷ이다.. -1. 1 1. 7. 14``. -1. -6. -8. 6. 8. 0. 0138. P(n)=(n+1)(nÛ`+6n+8). 1. 1. 2. 1. =(n+1)(n+2)(n+4) 1. 한편, nÛ`+4n+3=(n+1)(n+3)이므로 한 변의 길이가 . 0. 1. 0. -2. 1 1. 1. 2. 2. 2. 2. 0. 2. 6. 16. 3. 8. 18. n+1인 정사각형 모양의 타일이 가로 방향으로. 위의 조립제법에서. (n+2)(n+4)개, 세로 방향으로 (n+3)개 필요하다.. nÝ`+nÛ`-2=(n-1)(nÜ`+nÛ`+2n+2) =(n-1){(n-2)(nÛ`+3n+8)+18}. 따라서 필요한 타일의 개수는 (n+2)(n+3)(n+4). ②. 8. ⑤. =(n-1)(n-2)(nÛ`+3n+8)+18(n-1) 03. 인수분해. 023.

(24) 이때 (n-1)(n-2)(nÛ`+3n+8)은 (n-1)(n-2)로 나누. 이때 다항식 f(x)가 x+a로 나누어떨어지므로 a의 값이 될 수. 어떨어지므로 nÝ`+nÛ`-2가 (n-1)(n-2)의 배수가 되려면. 있는 것은 -1, 2이다.. 18(n-1)이 (n-1)(n-2)의 배수이어야 한다.. 또한, 다항식 f(x)를 x+a로 나누었을 때의 몫이 Q(x)이므로 . 즉, 18(n-1)=(n-1)(n-2)k`(k는 자연수)이므로. Q(2a)의 값은 a의 값에 따라 다음과 같다.. 18=(n-2)k. Ú a=-1일 때,. k가 가장 작은 값을 가질 때 n이 가장 큰 값을 가지므로 k=1일. f(x)=(x-1)Q(x)=(x-1)(x-1)Û`(x+2). 때 n이 가장 크다.. 즉, Q(x)=(x-1)Û`(x+2)이므로. Q(2a)=Q(-2)=0. 따라서 구하는 n의 값은 20이다.. 20. Û a=2일 때,. 0139. f(x)=2xÜ`-10xÛ`+30x-54라 하면. f(3)=54-90+90-54=0 이므로 다음과 같이 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면 3. 2 2. -10. 30. -54. 6. -12. 54. -4. 18. 0. f(x)=(x+2)Q(x)=(x+2)(x-1)Ü`. 즉, Q(x)=(x-1)Ü`이므로. Q(2a)=Q(4)=27. Ú, Û에서 Q(2a)의 값은 0, 27이므로 그 합은 0+27=27. 0141. ∴ 2xÜ  `-10xÛ`+30x-54=(x-3)(2xÛ`-4x+18). 27. f(x)=xÜ`-(b+c)xÛ`-(bÛ`+cÛ`)x+(b+c)(bÛ`+cÛ`). 이라 하면 f(x)는 x-a로 나누어떨어지므로 f(a)=0. =2(x-3)(xÛ`-2x+9). ∴ f(a)=aÜ`-(b+c)aÛ`-(bÛ`+cÛ`)a+(b+c)(bÛ`+cÛ`). 따라서 주어진 식은. =aÛ`(a-b-c)-(bÛ`+cÛ`)(a-b-c). 2xÜ`-10xÛ`+30x-54 xÛ`-5x+6 2(x-3)(xÛ`-2x+9) = (x-2)(x-3). n=. =(a-b-c)(aÛ`-bÛ`-cÛ`) 즉, (a-b-c)(aÛ`-bÛ`-cÛ`)=0이고 a-b-c+0이므로 aÛ`-bÛ`-cÛ`=0    ∴ aÛ`=bÛ`+cÛ`. 2(xÛ`-2x+9) 2{x(x-2)+9} = x-2 x-2 18 =2x+ x-2. 이때 이 삼각형은 빗변의 길이가 a인 직각삼각형이므로. =. b+c=17, bÛ`+cÛ`=13Û`에서. 18 이때 2x는 자연수이므로 n이 자연수가 되려면 도 자연수 x-2. bc=;2!;{(b+c)Û`-(bÛ`+cÛ`)}=;2!;(17Û`-13Û`)=60 따라서 구하는 삼각형의 넓이는 ;2!;bc=;2!;_60=30. 이어야 한다. x>4에서 x-2>2이므로 x-2=3, 6, 9, 18    ∴ x=5, 8, 11, 20. 30. 따라서 모든 자연수 x의 값의 합은 5+8+11+20=44. ②. 0142. 주어진 식의 좌변을 a에 대하여 내림차순으로 정리하면. bÜ`-bÛ`c+bcÛ`-aÛ`b-cÜ`+caÛ`. 0140. f(x)=xÝ`-xÜ`-3xÛ`+5x-2에서. f(1)=1-1-3+5-2=0, 이므로 다항식 f(x)는 x-1과 x+2를 모두 인수로 갖는다. 다항식 f(x)를 (x-1)(x+2)로 나누었을 때의 몫을 조립제 법을 이용하여 구하면 다음과 같다.. -2. 1 1 1. -1. -3. 5. -2. 1. 0. -3. 2. 0. -3. 2. 0. -2. 4. -2. -2. 1. 0. ∴ f(x)=(x-1)(x+2)(xÛ`-2x+1) =(x-1)Ü`(x+2). 024. 정답과 풀이. =(c-b)aÛ`-bÛ`(c-b)-cÛ`(c-b) =(c-b)(aÛ`-bÛ`-cÛ`). f(-2)=16+8-12-10-2=0. 1. =(c-b)aÛ`+bÜ`-bÛ`c+bcÛ`-cÜ`. 이므로 (c-b)(aÛ`-bÛ`-cÛ`)=0. yy`㉠. ㄱ. a=b이면 ㉠에서 (c-b)_(-cÛ`)=0이고. -cÛ`<0이므로 c-b=0    ∴ b=c. 즉, a=b=c이므로 주어진 삼각형은 정삼각형이다.. ㄴ. b>a이면 aÛ`-bÛ`-cÛ`+0이므로 ㉠에서. c-b=0    ∴ b=c. 따라서 주어진 삼각형은 b=c인 이등변삼각형이다.. ㄷ. c>b이면 c-b+0이므로 ㉠에서. aÛ`-bÛ`-cÛ`=0    ∴ aÛ`=bÛ`+cÛ`. 따라서 주어진 삼각형은 빗변의 길이가 a인 직각삼각형이다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.. ㄱ, ㄷ.

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이때 공비를

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모두 합동이므로 밑면인 원의 반지름의 길이는  DN이고, 높이는 회전축을 포함하는 평면으로 자른. 단면의 세로의 길이와

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개념과