2008학년도 대학수학능력시험 해설지 가-홀수형

(1)

2008학년도 대학수학능력시험 (수리영역-가형) 정답 및 해설

1 -1. 8 23_{+ log} 28 =(23₎ 23_{+ log} 223 = 22₊₃ = 7  ③ 2. X=2B-A =

(

4 0_{2 - 2}

)

-

(

1 - 2_{3 0}

)

=

(

_{- 1 - 2}3 2

)

 ① 3. f(x) 는 x= 3 에서 연속이므로 lim x→3f(x) =f( 3) 이어야 한다. lim x→3f(x) = limx→3 x2₊_x_-12 x- 3 = lim x→3 (x- 3)(x+ 4 ) x- 3 = lim x→3(x+ 4) = 7 ∴ f( 3) =a= 7  ④ 4. f(x) =A(x+ 3) ,g(x) =B(x+ 3) (A,B는 서로소인 두 일차식)으로 놓으면 L=AB(x+ 3) =x(x+ 3)(x-4) 에서 A=x,B=x- 4 또는 A=x- 4,B=x 1 f(x) + g(1x) ≤0 ⇔ B+A L ≤0 ⇔ _x₍_xx_{+ 3)(}+x- 4_x_{-4) ≤0} ⇔ 2(x- 2)x(x+ 3)(x- 4)≤ 0 , x≠ - 3,x≠0,x≠4 ⇔ - 3 <x< 0, 2≤x< 4 따라서, 정수 x는 - 2,- 1,2, 3의 4개이다.  ④ 5. y= log2(x+a) +b의 점근선은 x=-a, 포물선y2₌_x_{의 준선은} x_{=- 14 이므로} a_{= 14} y= log2(x+a) +b가 y2₌_x_{의 초점}

(

1 4 , 0

)

을 지나므로 0 = log2

(

1_{4 +}1₄

)

+b = log₂ 1_{2 +}b =- 1+b ∴ b= 1 ∴ a+b_{= 54}  ① 6. ㄱ. f '(x) = 0 은 최고차항의 계수가 양수인 삼차방정식이고, 서로 다른 세 실근을 가지므 로 y=f '(x) 의 그래프의 개형은 다음과 같 다. x y=f '(x) γ β α x= β 의 좌우에서 f '(x) 의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 f(x) 는 x= β 에서 극대 값을 갖는다. (참) ㄴ. 사차함수y=f(x) 의 그래프의 개형은 다음과 같다. y=f(x) x= α x= β x= γ 따라서, f( α)f( β)f( γ) < 0 인 경우는 다음 과 같다. (ⅰ) f( α) < 0 ,f( β) < 0 ,f( γ) < 0 x α β γ (ⅱ) f( α) < 0 ,f( β) > 0 ,f( γ) > 0 x α β γ (ⅲ) f( α) > 0 ,f( β) > 0 ,f( γ) < 0 x α _β γ 그러므로 방정식f(x) = 0 은 서로 다른 두 실근을 갖는다. (참) ㄷ. ㄴ의 (ⅲ)에서 방정식f(x) = 0 의 두 실 근은 모두 β 보다 크다. (거짓) 따라서, 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.  ③ 7. 점P의 좌표를 ( 3,t, 1) (t는 실수)로 놓으 면 OP= 32₊_t2_{+ 1}2 = t2_{+ 10} 이므로 t= 0 일 때, OP의 최소값은 10 이다.  ② 8. ㄱ. lim x→ - 0f(x)=- 1 , limx→ + 0f(x) = 1 이므로 lim x→0f(x) 는 존재하지 않는다. (거짓) ㄴ. y=f( -x) 의 그래프는 y=f(x) 의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동한 것이므 로 다음과 같다.

(2)

2008학년도 대학수학능력시험 (수리영역-가형) 정답 및 해설

3 -θ Q P C 3 3 2 6 x y O 1 1 2 2 - 1 - 1 - 2 - 2

◦

•

y=f( -x)

•

• ◦

◦

따라서, g(x) =f(x) +f( -x) 의 그래프는 다음과 같다. x y O 1 2 - 1 - 2

◦

•

y=g(x)

◦

- 1 lim x→ - 0g(x) = limx→ + 0g(x) = 0 이므로 lim x→0g(x) = 0 (참) ㄷ. ㄴ에서 g(x) 는 x= 1 에서 연속이다. (참) 따라서, 보기 중 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.  ⑤ 9. 구(x- 1)2_{+ (}_y_{- 1)}2_{+ (}_z_{- 1)}2_{= 9 의 반} 지름의 길이가 3이므로 |CP| = |CQ| = 3 두 벡터CP,CQ가 이루는 각의 크기를 θ 라 하면 CP•CQ= |CP| |CQ| cos θ = 9 cos θ 이므로 cos θ 의 값이 최소일 때, CP•CQ 의 값도 최소값을 갖는다. 또한, 0≤θ < π 일 때 θ 의 값이 클수록 cos θ 의 값이 작아지므로 구와 평면의 교선 인 원S 위의 점P,Q가 지름의 양끝점일 때 cos θ 는 최소값을 갖는다. 구의 중심C( 1, 1, 1) 에서 평면x+y+z= 6 에 이르는 거리는 | 1 + 1 + 1 - 6 | 12_{+ 1}2_{+ 1}2 = 3 이고, 구의 반지름의 길이가 3이므로 원 S의 반지름의 길이를 r라 하면 r= 32_{- ( 3)}2_{= 6} 삼각형CPQ에서 제이코사인법칙에 의하여 cos θ = 32+ 3_2⋅3⋅32+ ( 2 6)2 _{=- 13} 이므로 구하는 CP•CQ의 최소값은 9 cos θ = 9⋅

(

_{- 13}

)

=- 3  ① 10. f(x) 의 그래프와 그 역함수의 그래프의 교 점은 f(x) 의 그래프와 직선y=x의 교점 과 같고, 두 교점의 x좌표가 1, 3이므로 교 점의 좌표는 ( 1, 1), ( 3, 3) 이다. f( 1) = 1 에서 a1 -m_{= 1 이므로 1 -}_m_{= 0} ∴ m= 1 f( 3) = 3 에서 a3 -m_{= 3 이므로}_a2_{= 3} a> 0 이므로 a= 3 ∴ a+m= 1 + 3  ③ 11. ( 12_{+ 1)⋅1! + ( 2}2_{+1) ⋅2! + ⋯} + (k2_{+ 1) ⋅}_k_{! +}_{₍_k_{+ 1)}2_{+ 1}_}_⋅(_k_{+ 1)!} = [k⋅(k+ 1)! ] +{(k+ 1)2_{+ 1}_}_⋅(_k_{+ 1)!} ={k+ (k+ 1)2_{+ 1}_}_⋅(_k_{+ 1)!} =([k2_{+ 3}_k2_{+ 2 ]}₎_⋅(_k_{+ 1)!} = (k+ 1)(k+ 2 )(k+ 1)! = (k+ 1) ⋅[ (k+ 2)! ]  ② 12. 2장의 카드에 적혀있는 두 수의 합이 홀수인 사건을 E라 하고, 주머니 A, B에서 꺼낸 카 드에 적혀있는 수가 짝수인 사건을 각각 A,B라 하면 구하는 확률은 P(A|E) 이다. ∴ P(A|E) = P(_PA₍∩_E₎E) = _P₍_A_∩P_E(A_{) +}∩_PE₍)_B_∩_E₎ = 2 5 ⋅25 2 5 ⋅25 +35 ⋅35 = 4₁₃  ② 13. 신입사원의 키를 확률변수X라고 하면 X는 정규분포N(m,102_{) 을 따른다.} P(X≥ 177) =P

(

Z≥ 177 -₁₀ m

)

= 0.242 P

(

0≤Z≤ 177 -₁₀ m

)

= 0.5 - 0.242 = 0.258 이므로 177 -m 10 = 0.7 에서 m=170 ∴ P(X≥ 180) =P

(

Z≥ 180 - 170₁₀

)

=P(Z≥1) = 0.5 -P( 0≤Z≤1) = 0.5 - 0.3413 = 0.1587  ① 14. (ⅰ) n이 짝수일 때, Bn - 1 Bn P • • • Bn에 이르는 최단경로는 A→Bn - 1→Bn 또는 A→P→Bn ∴ an=an - 1×1 + 1× 3!_2!1! =an - 1+3 (ⅱ) n이 홀수일 때,

(3)

2008학년도 대학수학능력시험 (수리영역-가형) 정답 및 해설

5 -Bn - 1 Bn Q • • • •R B_n에 이르는 최단경로는 A→Bn - 1→Bn 또는 A→Q→R→Bn ∴ an=an - 1×1 + 1× 3!_{2!1! ×1} =an - 1+3 (ⅰ),(ⅱ)에서 an=an - 1+3 (n= 2,3,4,⋯ ) 이므로 수열{an} 은 공차가 3인 등차수열이 다. a1= 4!_{3! 1! = 4}이므로 a3= 4 + 2×3 = 10 , a7= 4 +6×3 = 22 ∴ a₃+a7= 32  ④ 15. ㄱ. a=b이면 AB=

( )

a₀ 0_a =aE (E는 단위행렬) 이므로 A⋅

(

_{a B}1

)

=E ∴ A- 1_{= 1} a B (참) ㄴ. ㄱ에서 A- 1_{= 1} a B이므로 A⋅ 1_{a B}= 1_{a B}⋅A =E ∴ AB=BA (참) ㄷ. AB=

( )

1 0 1 1 B=

( )

a0 0b 이므로 B=

( )

1 0_{1 1} - 1

( )

a₀ 0 b =

(

1 0

)

- 1 1

( )

a0 0b =

(

a 0

)

-a b BA=

(

_-a_{a b}0

)

( )

1 0_{1 1} =

(

_-_aa₊_{b b}0

)

a≠b이므로 -a+b≠0 ∴ AB≠BA (거짓) 따라서, 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.  ③ 16. x y O (x2,y2) 4 3 2 2 1 1 • • (x1,y1) y= log2x y= log3x y= 2 -x ㄱ. x1> 1 ,y2< 1 이므로 x₁>y2 (참) ㄴ. (x1,y1), (x2,y2) 는 직선y= 2 -x 위 의 점이므로 y_x2-y1 2-x1 =- 1 ∴ x2-x1=- (y2-y1) =y1-y2 (참) ㄷ. x1y1-x2y2=x1(2-x1) -x2( 2 -x2) = (x22-x12) - 2(x2-x1) = (x2-x1)(x2+x1- 2) x2-x1> 0 이고, x1> 1,x2> 1 에서 x1+x2> 2 이므로 x1y1-x2y2> 0 ∴ x1y1>x2y2 (참) 따라서, 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.  ⑤ 17. O Q P D C B A 8 6 AC= 10,PQ= 2 이므로 AP_{= 12 (10-2) = 4} 따라서, 모양의 닮은 도형들을 크기순 으로 나열할 때, 인접하는 두 도형의 닮음비 는 10 : 4 = 5 : 2 이고, 넓이의 비는 25 : 4 이다. R1에 있는 원의 넓이는 π 이고, 닮은꼴의 원의 개수는 크기순으로 1, 4, 42_{, 4}3_{, ⋯} 이므로 lim n→∞Sn= π + 4× 425 π+ 4 2_×

(

4 25

)

2 π + 43_×

(

4 25

)

3 π+ ⋯ = π 1 - 16₂₅ = 25₉ π  ⑤ 18. f '(x) = 3x2_{- 12} = 3(x+ 2)(x- 2 ) = 0 에서 x= - 2, 2 따라서, f(x) 는 x=- 2 일 때 극대값을 갖 고, 극대값은 f( - 2) =- 8 + 24= 16 ∴ a=- 2,b= 16 ∴ a+b= 14  14 19.

(4)

2008학년도 대학수학능력시험 (수리영역-가형) 정답 및 해설

7 -x y O y_{= 14} x2 4 y_{= 14} x2_에서 _x2_{= 4}_y_이므로 구하는 회전체의 부피는 V= ⌠_⌡4 0 πx 2_dy = ⌠_⌡4 0 4 πy dy =[2 πy2_]4 0 = 32π ∴ k= 32  32 20. lim n→∞ 1 n

∑

n k= 1f

(

1 + 2 k n

)

= lim n→∞

∑

n k= 1f

(

1 + 2 k n

)

⋅ 2n ⋅ 12 = 12 ⌠⌡ 3 1f(x)dx = 12 ⌠⌡ 3 1 (x 3₊_x₎_dx = 12

[

14 x4+ 12 x2

]

3 1 = 12

(

814 +92 -14 -12

)

= 12 (20+4) = 12  12 21. 쌍곡선_{16 -}x2 y_{9 = 1}2 의 주축의 길이는 2×4 = 8 이므로 쌍곡선의 정의에 의하여 PF '-PF=QF- QF '= 8 ∴ PF '=PF+ 8 ⋯㉠ QF '=QF- 8 ⋯㉡㉠-㉡에서 PF '-QF '=PF-QF+ 16 PF '-QF '= 3 이므로 QF-PF= 16 - 3 = 13  13 22. M=4 일 때, N=64 이므로 log 64 =a- 0.9×4 ∴ a= 3.6 + log 64 = 3.6 + 6 log 2 = 3.6 + 6×0.3 = 5.4 M=x일 때, N=1 이므로 log 1 =a- 0.9x에서 0.9x=a= 5.4 ∴ 9x= 54  54 23. x y z O D( 0, 0, 2) _C B( 0, 1, 0) A - 3 2 P • 직선BD의 방정식은 y 1 =z- 2 ,- 2 x= 0 이고, 직선 위의 임의의 점P의 좌표를 ( 0,t,- 2t+ 2) 로 놓으면 PA2₊_PC2_{= 2}2_{+ ( -}_t₎2_{+ ( 2}_t_{- 2)}2 + ( - 3)2_{+ ( -}_t₎2_{+ ( 2}_t_{- 2)}2 = 10t2_{- 16}_t_{+ 21} = 10

(

t_{- 45}

)

2+ 73₅ t_{= 45 일 때,} PA2₊_PC2_{의 값은 최소이} 고, 점P의 좌표는

(

_{0, 45 ,}2₅

)

이므로 점P 는 선분BD 위에 있다. ∴ a+b+c_{= 0 + 45 +}2_{5 =}6₅ ∴ p+q= 5 + 6 = 11  11 24. O A B C θ H M 두 평면OAB,ABC가 이루는 각을 θ 라 하 면 cos θ = MH AM = MH CM = 13 O A B C 위의 그림과 같이 △OAB에서 어두운 부분 을 평면ABC 위로 정사영시키고, △OBC, △OCA에서도 같은 방법으로 정사영시키면 이들은 서로 겹치지 않고 S1,S2,S3로 둘러 싸인 부분과 일치한다. △OAB에서 내접원의 반지름의 길이를 r 라고 하면 1 2 r( 6 + 6 + 6) = 34 ×62 ∴ r= 3 따라서, 어두운 부분의 넓이는 1 3

(

4 ×63 2- 3π

)

= 3 3- π 이므로 구하는 넓이S는 S= ( 3 3- π)× cos θ × 3

(5)

2008학년도 대학수학능력시험 (수리영역-가형) 정답 및 해설

9 _{= ( 3 3- π)× 13 ×3} = 3 3- π ∴ (S+ π )2_{= ( 3 3)}2_{= 27}  27 25. 체험 프로그램을 1, 2, 3, 4, 5라 하자. A, B가 함께 1을 선택하는 경우 2, 3, 4, 5 중 각각 1개씩을 선택하는 경우 의 수는 ₄P2= 12 (가지) A, B가 함께 2, 3, 4, 5를 선택하는 경우도 마찬가지이므로 구하는 경우의 수는 5×4P2= 60 (가지)  60 미분과 적분 26. cos2α = 1 -2 sin2_α = 1-2×( 34 )2 _{= 1 - 98 = -}1 8  ③ 27. ㄱ. f(x) =x+ sinx에서 f'(x) = 1 + cosx, f''(x) = - sinx 0 ＜x＜π에서 0 ＜ sinx＜1 ∴ -1 ＜f''(x) ＜ 0 따라서, f(x)는 0 ＜x＜π에서 위로 볼록하 다. (참) ㄴ. g'(x) =f'(f(x) )f'(x) = ( 1+ cosf(x) ) ( 1+ cosx) 0 ＜x＜π에서 -1 ＜ cosx＜1, cosf(x) ＞ 0 이므로 1+ cosf(x) ＞0 , 1+ cosx＞ 0 ∴ g '(x) ＞ 0 따라서, g(x)는 0 ＜x＜π에서 증가한다. (참) ㄷ. g(0) =f(f(0)) =f(0) = 0 g(π) =f(f(π)) =f(π) = π g(x)가 [0 , π]에서 연속이고, (0,π)에서 미분가능하므로 f'(x) = g(π)-_π_-0g(0) = 1인 x ( 0 ＜x＜ π ) 가 적어도 하나 존재한다. (평균값 정리) (참) 따라서, 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 이다.  ⑤ 28. 사각형AODE에서

∠ DAE = π-2θ, ∠ADO =∠AEO = 90〫 이므로 ∠DOE = 2θ 한편, O에서 선분 BC에 내린 수선의 발을 H라 하고, 내접원의 반지름의 길이를 r라 하면 tanθ_{2 =} OH CH= r1 =r ∴ S_{(θ) = △OED = 12} r2_sin2θ = 12 tan2θ

2 sin 2θ= sinθ cos θ tan2θ2

∴

lim

θ→ + 0

S(θ) θ3 = limθ→ + 0

sinθ cos θ tan2θ

2 θ3 = lim θ→ + 0cosθ sin θ θ tan2θ 2 4(θ_{2 )}2 _{= 14}  ② 29. 어두운 부분의 넓이를 _S(t)라 하면 (ⅰ) 0 ≦t≦1 일 때 (호AP의 길이) =π₂t, ∠AOP = π₂ t, OQ = 1-t 이므로 S(t) = π₄t_{- 12 (1-}t) sinπ₂ t lim h→ - 0 S(1+h)-S(1) h = limh→ - 0 π 4 (1+h)+ 12hcosπ2h-π4 h = lim_h → - 0( π 4 +12 cosπ2 ) = π_{4 +} 1₂ (ⅱ) 1＜t≦2 일 때 ( 호 AP의 길 이 ) =π₂ t, ∠AOP = π₂ t, OQ =t- 1 이므로 S(t) = π₄t_{+ 12 (}t-1) sin π₂ t lim h→ + 0 S(1+h)-S(1) h = lim h→ + 0 π 4 (1+h)+ 12 hcos π2 h-π4 h = lim h→ - 0( π 4 +12 cosπ2 ) = π_{4 +} 1₂ (ⅰ),(ⅱ)에서 S '( 1 ) = π_{4 +} 1₂  ④ 30. f(x_{) = 13 (}x2_{+ 2)} 32_{라 하면 구하는 길이는} ⌠_⌡6 0 1+ {f'(x)} 2_dx = ⌠_⌡6 0 1+

{

1 2 (x2+ 2 ) 1 2₂_x

}

2 dx = ⌠_⌡6 0 1+{x 2₍_x2_{+ 2 )}_}_dx = ⌠_⌡6 0 (x 2_{+ 1)}2_dx = ⌠_⌡6 0(x 2_{+ 1)}_dx = [ 13 x3₊_x_]6 0 = 72 +6 = 78  78 확률과 통계

(6)

2008학년도 대학수학능력시험 (수리영역-가형) 정답 및 해설

11 -26. 계급0 이상_~ 10미만 10~20 20~30 30~40 40~50 도수 0 1 2 4 4 50~60 60~70 70~80 80~90 90~100 계 5 4 5 3 0 28 ㄱ. 위 도수분포표에서 학생의 수는 28명이 다. <참> ㄴ. 중앙값은 28_{2 + 1 = 15}번째의 수이므로 50점이상 60점 미만이다. <참> ㄷ. 30점 이상 40점 미만의 두수는 4이므로 상대도수는 _{28 =}4 1₇ 이다. <거짓> 따라서, 옳은 것은 ㄱ, ㄴ 이다.  ③ 27. P(X= 0) + P(X= 2) = 1이므로 확률변수 X의 확률분포표는 다음과 같다. X 0 2 계 P(X) a b 1 E(X) = 2b 이고 E(X2_{) = 2}2_b_{= 4}_{b 이므로} V(X)=E(X2_{) - {}_E₍_X_)}2 = 4b- 4b2 따라서 {E(X)}2_{= 2}_V₍_X_{) 에서} 4b2_{= 2×( 4}_b_{- 4}_b2_), _b_{=2 - 2}_b ∴ P(X= 2) =b_{= 23}  ④ 28. 구하고자 하는 확률은 1 - 4P2×4! 6! = 1 - 4×3×4!6! = 1 - 4×3_6×5 _{= 1 - 25 =}3₅  ② 29. P_{( 14 <}Y_{≤ 34 )=}P(Y_{> 14 )-}P(Y_{> 34 )} = 0.8 - 0.2 = 0.6 P(X>k) =G(k) =-k+ 1= 0.6 ∴ k_{=0.4 = 25}  ⑤ 30. 모비율 에 대한 신뢰구간    







   



  







     이 때, 주어진 신뢰구간이  이므 로 신뢰구간의 양끝 값을 더하면   



  



 ∴   



 300명의 학생 중에서 오전 시 이전에 등교 한 학생수를 라 하면   _이므로



  



 A B D E C F A B D E C 3 2 3 1 ∴



   225 이산수학 26. 9 = 7+1+1=5+3+1 = 3+3+3 = 5+1+1+1+1 = 3+3+1+1+1 = 3+1+1+1+1+1+1 =1+1+1+1+1+1+1+1+1  ② 27. ㄱ. 해밀턴회로 ADBECFA가 존재한다. (참) ㄴ. 점A와 점C를 잇고 점D와 점E를 이으면 오일러회로가 존재하는 그래 프로 만들 수 있다. (참) ㄷ. 오른쪽과 같이 꼭 지 점 에 서 만 만나게 평면 위에 다시 그릴 수 있으 므로 평면그래프이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ  ⑤ 28. 5개의 지역을 다음과 같이 연결하면 최소 비용은 3 + 2 + 1 + 3 = 9 (억원) 이다.  ③ 29. n= 1 일 때 a1=3 n= 2 일 때

AC, BA, BC, CA, CB

이므로 a2=5 그런데 수열 {an} 은 점화식 an+ 2=an+ 1+an 을 만족하므로 a3=a2+a1= 5+3 = 8 a4=a3+a2= 8+ 5 = 13 a5=a4+a3= 13+ 8 = 21 a6=a5+a4= 21+13 = 34  ④ 30. 모든 점이 변으로 연결되기 위해서는 6개 의 변을 추가해야 한다. ∴a= 6 한 편 생성수형도를 만들기 위해서는 다음 과 같이 모두 4개의 변을 지우면 된다. ∴b= 4 ∴ab=6×4 = 24  24

(7)

2008학년도 대학수학능력시험 (수리영역-가형) 정답 및 해설