는? ① ② ③ ④ ⑤
2.
두 다항식 , 에 대하여 를 만족시키는 다항식 는? ① ② ③ ④ ⑤ 3.
일 때, 의 값을 구하여라.4.
을 만족하는 모든 실수 에 대하여 이 항상 성립할 때, 상수 에 대하여 의 값을 구하여라.5.
그림과 같이 모든 모서리 길이의 합이 인 직육면체 ABCD EFG H 가 있다. AG
일 때, 직육면체 ABCD EFG H 의 겉넓이는? B A C D E F G H ① ② ③ ④ ⑤ 6.
삼각형의 세 변의 길이 에 대하여 이 성립할 때, 이 삼각형은 어떤 삼각 형인가? ① 직각삼각형 ② 이등변삼각형 ③ 정삼각형 ④ 직각이등변삼각형 ⑤ 둔각삼각형8.
다음 중에서 겉넓이가 , 모서리의 길이의 합이 인 직육 면체의 대각선의 길이는? ①
②
③
④
⑤ 유일하지 않다.9.
실수 가 을 만족할 때, 의 값을 구하시오.10.
일 때, 의 값을 구하시오.11.
, 일 때, 이다. 의 값을 구하시오. (단, , 는 서로소인 자연수이다.)12.
그림과 같이 가로의 길이, 세로의 길이, 높이가 각각 인 직육면체 모양의 상자가 있다. 이 직육면체 의 겉 넓이가 , 모든 모서리의 길이의 합이 일 때, 대각선 P Q 의 길이를 구하시 오.13.
다음 식
의 값을 구하시오.
14.
다음은 에 대한 다항식 이 다항식 로 나누어떨어지기 위한 정수 , 의 값을 구하는 과 정의 일부이다. 방정식 의 두 근을 , 라 하면 , 이다. 따라서 가 , 나 이다. 에 대한 다항식 이 로 나누어떨어지면 ……① ……② 이다. ①, ②의 양변에 각각 , 을 곱하여 정리하면 ……③ ……④ 이다. ③에서 ④를 뺀 식으로부터 이고, ≠ 이므로 이다. 따라서 다 이다. ⋮ 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 , , 라 할 때, 의 값은? ① ② ③ ④ ⑤ 15.
사면체 O ABC 가 다음 조건을 만 족한다. (가) 세 모서리 O AO BO C 는 점 O 에서 서로 수직이다. (나) O A O B O C 이다. (다) 세 삼각형 O ABO BCO CA 의 넓이의 합은 이다. 이 때 O A O B O C의 값을 구하시오16.
그림과 같이 점 O 를 중심으로 하 는 반원에 내접하는 직사각형 ABCD 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) O C CD (나) D A AB BO 직사각형 ABCD 의 넓이를 , 의 식으로 나타내면? ① ② ③ ④ ⑤ 17.
그림과 같이 반지름의 길이가 cm 이고 중 심각의 크기가 인 부채꼴에 내접하는 직사각 형이 있다. 이 직사각형의 넓이가 cm일 때, 이 직사각형의 둘레의 길이는? ① cm ② cm ③ cm ④ cm ⑤ cm18.
그림과 같이 중심이 O 이고 반지름 의 길이가 m 인 반원 모양의 땅에 넓 이가 m인 직사각형 모양의 땅에 접해 있다. 이곳에 그림과 같이 A B C D E 지점을 지나는 도로를 만 들려고 할 때, 이 도로의 길이의 총합을 구하시오. (단, 선분 CD 의 연장선은 선분 AO 와 수직이고, 직사각형의 한 변은 반 원 O 의 지름 위에 있고, 도로의 폭은 고려하지 않는다.)19.
을 으로 나눈 나머지를 각각 라 할 때, 의 값을 구하시오.20.
에 대한 다항식 에 대하여 이 로 나누어떨어질 때, 상수 의 값을 구하시오.21.
, 을 만족하는 실수 에 대하여 항상 이 성립할 때, 의 값을 구하시오.22.
두 삼차다항식 ′ ′ ′ 은 로 나누면 나머지가 서로 같고, 을 만족시킨다. 이때, 의 값은? ① ② ③ ④ ⑤ 23.
그림은 직사각형 모양의 운동장을 함께 사용하는 A B 두 학교의 땅 모양을 나타낸 것 이다. 두 학교의 땅은 운동장을 포함하여 한 변의 길이가 각각 , 인 정사각형 모 양일 때, 운동장을 제외한 두 학교 땅의 넓이 의 차 를 두 다항식의 곱으로 나타내시오. (단, )나누어떨어지고, 로 나누면 나머지가 이다. 를 으로 나눌 때의 나머지를 라고 할 때, 의 값을 구하시오. (단, , , 는 상수)
25.
그림과 같이 크기가 다른 직사각형 모양의 색종이 A , B , C 가 각각 장, 장, 장 있다. 이들을 모두 사용하여 겹치지 않게 빈틈없이 이어 붙여서 하나 의 직사각형을 만들었다. 이 직사각형의 둘레의 길이가
일 때, 의 값을 구하시오. (단, , 는 자연수이 다.)26.
AB AC 인 이등변삼각형 ABC 가 있다. 그림과 같이 변 AB 위에 두 점 L, L를 잡고, 점 L, L에서 변 AC 와 평행한 직선을 그어 변 BC 와 만나는 점을 각각 M, M라 하고, 또한 점 M, M에서 변 AB 와 평행한 직 선을 그어 변 AC 와 만나는 점을 각각 N, N라 하자. AL⋅LB 이고 어두운 부분 전체의 넓이가 삼각형 ABC 의 넓이의 이 되도록 두 점 L, L를 잡을 때, LL의 값을 구하시오.27.
단면의 반지름의 길이가 이고 길이가 인 원기둥 모양의 혈관이 있다. 단면의 중심에서 혈관의 벽면 방향으로 만큼 떨 어진 지점에서의 혈액의 속력을 라 하면, 다음 관계식이 성립 한다고 한다. (단, 는 혈관 양끝의 압력차, 는 혈액의 점도이고 속력의 단위는 cm초 , 길이의 단위는 cm 이다.) , , , 가 모두 일정할 때, 단면의 중심에서 혈관의 벽 면 방향으로 , 만큼씩 떨어진 두 지점에서의 혈액의 속력 을 각각 , 라 하자. 의 값은? ① ② ③ ④ ⑤ A , B
을 꼭짓점으로 하는 삼각형 P AB 의 넓이를 구하는 과정이다. (단, 이다.) 점 B 를 지나고 축과 평행한 직선이 직선 P A 와 만나는 점을 M , 축과 만나는 점을 N 이라 하자. O P A M B Q N R 두 점 Q , R 에 대하여 사각형 P ARQ 는 사다리꼴이다. 두 점 M 과 N 은 각각 두 선분 P A , Q R 의 중점이므로 MN ×
P Q AR
가 이다. 또한 MB MN BN 가
나 이다. 따라서 삼각형 P AB 의 넓이를 라 하면 × ∆MAB × × MB × NR 다 이다. 위의 과정에서 가 , 나 에 알맞은 식을 각각 , 라 하고 다 에 알맞은 수를 라 할 때, 의 값은? ① ② ③ ④ ⑤ 29.
한 모서리의 길이가 인 정육면체 모양의 나무토막이 있 다. [그림1]과 같이 이 나무토막의 윗면의 중앙에서 한 변의 길 이가 인 정사각형모양으로 아랫면의 중앙까지 구멍을 뚫었다. 구멍은 정사각기둥 모양이고, 각 모서리는 처음 정육면체의 모 서리와 평행하다. 이와 같은 방법으로 각 면에서 구멍을 뚫어 [그림2]와 같은 입체를 얻었다. [그림1] [그림2] 이때, [그림2]의 입체의 부피를 , 로 나타낸 것은? ① ② ③ ④ ⑤
30.
두 양수 , ( )에 대하여 그림과 같은 직육면체 P , Q , R , S, T 의 부피를 각각 , , , , 라 하자. 일 때, 의 값은? ① ② ③ ④ ⑤ 31.
다항식 이 로 나누어떨어지도록 하는 상수 의 값은? ① ② ③ ④ ⑤ 32.
모든 실수 에 대하여 등식 가 성립할 때, 의 값은? (단, , 는 상수이다.) ① ② ③ ④ ⑤ 33.
다항식 를 로 나눈 나머지가 이 고, 로 나눈 나머지가 일 때, 의 값을 구하시오. (단, , 는 상수이다.)34.
다항식 를 로 나눈 몫은 , 나머지는 이고, 를 로 나눈 나머지는 이다. 를 로 나눈 나머지를 라 할 때, 두 상수 , 에 대하여 의 값을 구하시오.35.
에 대한 다항식 를 로 나눈 몫을 , 나머지를 이라 하고, 에 대한 다항식 를 로 나눈 몫을 , 나머지를 라 하자. 가 되도록 하는 두 실수 , 에 대하여 의 값을 구하시오. (단, ≠ )36.
그림과 같이 반지름의 길이가 인 원 O 의 내부에 반지름의 길이가 각각 , , 인 세 원 O, O, O이 있다. 네 원 O , O, O, O의 중심이 한 직선 위에 있고 원 O, O은 각각 원 O 와 내접하며 원 O는 원 O, O과 동시에 외접한다. 원 O, O, O의 넓이의 합이 어두운 부분의 넓이와 같을 때, 의 값을 구하시오.(단, 원 O, O, O의 중심의 위치는 서로 다르다.)37.
두 다항식 에 대하여 와 가 모두 로 나누어떨어질 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? <보기> ㄱ. 와 중 하나는 로 나누어떨어지고, 다른 하나는 로 나누어 떨어 지지 않는다. ㄴ. 는 으로 나누어떨어진다. ㄷ. 는 로 나누어떨어진다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ38.
삼차다항식 에 대하여 는 로 나누어 떨어지고, 는 로 나누어 떨어진다. 일 때, 의 값을 구하시오.39.
을 로 나눈 몫과 나머지를 이용하여 을 으로 나누었을 때의 나머지를 라고 할 때, 의 값을 구하시오.40.
에 관한 다항식 를 으로 나눈 나머지가 일 때, 상수 의 값을 구하여라. (단, 은 자연수이다.)41.
일 때, 의 값을 구하시오.42.
다항식
을 인수분해 하시오.43.
분모를 으로 하지 않는 모든 실수 에 대하여 다음 등식 ⋯ ⋯ 이 성립할 때, ⋯ 의 값을 구하시오.(가) (나) 를 로 나눈 나머지는? ① ② ③ ④ ⑤
45.
자연수 에 대하여 차 다항식 ⋯ 이라 할 때, 는 에 대한 항등식이다. 상수 의 합 의 값을 구하시오.46.
≠ 인 세 실수 , , 에 대하여 , 일 때, 의 값을 구하시오.47.
이차다항식 가 P 을 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? <보기> ㄱ. ㄴ. 다항식 의 최고차항의 계수는 이다. ㄷ. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ48.
단면의 반지름의 길이가 이고 길이가 인 원기둥 모양의 혈관이 있다. 단면의 중심에서 혈관의 벽면 방향으로 만큼 떨어진 지점에서의 혈액의 속력을 라 하면, 다음 관계식이 성립한다고 한다.
(단 는 혈관 양끝의 압력차, 는 혈액의 점도이고 속력의 단위 는 cm초 , 길이의 단위는 cm 이다.) 가 모두 일정할 때, 단면의 중심에서 혈관의 벽면 방향으로 만큼씩 떨어진 두 지점에서의 혈액의 속력을 각각 라 하자. 의 값은? ① ② ③ ④ ⑤ 이고, 을 으로 나누었을 때의 나머지가 일때, 의 값을 구하시오50.
에 대한 이차 다항식 가 다음 조건을 만족한다. (가) 를 로 나눈 나머지는 이다. (나) 를 로 나눈 나머지는 이다. 이 때, 의 값은? ① ② ③ ④ ⑤ 51.
일 때, 의 값은? ① ② ③ ④ ⑤ 52.
를 로 나누었을 때의 몫을 라고 할 때, 의 상수항을 포함한 모든 항의 계수의 합은? ① ② ③ ④ ⑤ 53.
× × 의 값을 구하시오.54.
에 대한 이차 이상의 다항식 를 과 로 나눈 나머지가 각각 이다. 를 로 나 눈 나머지를 구하시오. (단, 은 상수이다.)55.
삼각형의 세 변의 길이 , , 에 대하여 을 만족하는 삼각형은 어떤 삼각형인지 구하시오.
56.
삼차다항식 가 다음 조건을 만족시킨다.(가)
(나)
를
으로 나눈 몫과 나머지가 같다.
를 으로 나눈 나머지를 라 하자. 일 때, 의 값을 구하시오.57.
세 양수 가 를 만족할 때, 의 값을 구하시오.58.
다항식 에 대하여 서로 다른 두 실수 가 , 을 만족시킬 때, 의 값은? ① ② ③ ④ ⑤ 59.
이 아닌 두 자연수 에 대하여 × 로 나타낼 때, 의 값을 구하시오.60.
자연수 가 의 배수가 되도록 하는 자연수 의 최댓값을 구하시오.61.
의 값은? ① ② ③ ④ ⑤ 62.
다항식 가 로 인수분해될 때, 세 상수 , , 에 대하여 의 값은? ① ② ③ ④ ⑤ 63.
다항식 이
로 인수분해될 때, 세 정수 , , 의 합 의 값은? ① ② ③ ④ ⑤ 64.
그림과 같이 여덟 개의 정삼각형으로 이루어진 정팔면체가 있다. 여섯 개의 꼭짓점에는 자연수를 적고 여덟 개의 정삼각형의 면에는 각각의 삼각형의 꼭짓점에 적힌 세 수의 곱을 적는다. 여덟 개의 면에 적힌 수들의 합이 일 때, 여섯 개의 꼭짓점에 적힌 수들의 합을 구하시오.65.
직육면체의 가로, 세로의 길이와 높이를 라고 할 때, 그림과 같이 세 개의 정육면체 A B C 와 한 개의 직육면체 D 가 있다. 세 정육면체 A B C 의 부피의 합이 직육면체 D 의 부피의 배와 같을 때, 의 값을 구하시오.66.
에 대한 다항식 을 인수분해 하였을 때, 계수가 정수인 일차식의 개수를 라고 하자. 예를 들어 을 인수분해 하였을 때 계수가 정수인 일차식의 개수는 이다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, 는 상수이다.) <보기> ㄱ. ㄴ. 를 만족시키는 상수 의 개수는 이다. ㄷ. 일 때, 를 만족시키는 의 모든 값의 합은 이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ67.
을 × 로 나눈 몫은? ① ② ③ ④ ⑤ 자리의 자연수 의 값의 합을 구하여라.
69.
[그림1]은 한 변의 길이가 인 정사각형 모양의 흰색 종이 위에 두 변의 길이가 인 직사각형 개를 수직 또는 평행하게 그려 색칠한 것이다. [그림2]는 [그림1]에서 색칠한 부분만을 오려 낸 것일 때, 색칠한 부분의 넓이는? (단, 이다.) [그림1] [그림2] ① ② ③ ④ ⑤ 70.
다음은 다항식 을 로 나누는 과정이다. 의 값은? (단, , 는 상수이다.) ① ② ③ ④ ⑤ 71.
세 실수 , , 에 대하여 , 일 때, 의 값을 구하시오. 길이가 각각 , 이고 높이가 인 직육면체가 있다. 이 직육면체를 한 모서리의 길이가 인 정육면체로 조각낼 때, 한 모서리의 길이가 인 정육면체의 최대 개수는? (단, 남은 조각을 붙여서 정육면체를 만들 수는 없다.) ① ② ③ ④ ⑤ 73.
서로소인 두 자연수 에 대하여 세 모서리의 길이가 각각 인 직육면체가 있다. 이 직육면체를 그림과 같이 각 모서리의 길이가 또는 가 되도록 개의 작은 직육면체로 나누었을 때, 부피가 인 직육면체는 개다. 의 값을 구하시오.(단, ≠ , ≠ )74.
가로 세 칸, 세로 세 칸으로 이루어진 표에 세 다항식 을 그림과 같이 한 칸에 하나씩 써 넣었다. 가로, 세로, 대각선으로 배열된 각각의 세 다항식의 합이 와 같도록 나머지 칸에 써 넣으려 할 때, (가)의 위치에 알맞은 다항식은 이다. 의 값을 구하시오.
(가)
75.
반지름의 길이가 , 높이가 인 원기둥 모양의 통나무가 있다. 이 통나무에서 그림과 같이 반지름의 길이가 , 높이가 인 원기둥을 파냈을 때, 남아 있는 통나무의 부피는? ① ② ③ ④ ⑤ 76.
그림과 같이 AB , BC 인 직사각형 A B C D 가 있다. 세 사각형 A B F E , G F C H , I J H D 가 모두 정사각형일 때, 사각형 E G J I 의 넓이를 , 에 대한 식으로 나타낸 것은? (단, 이다.) ① ② ③ ④ ⑤ 77.
그림과 같이 선분 AB 위의 점 C 에 대하여 선분 AC 를 한 모서리로 하는 정육면체와 선분 BC 를 한 모서리로 하는 정육면체를 만든다. AB 이고 두 정육면체의 부피의 합이 일 때, 두 정육면체의 겉넓이의 합을 구하시오. (단, 두 정육면체는 한 모서리에서만 만난다.) A C B78.
세 실수 , , 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) , , 중에서 적어도 하나는 이다. (나) 의 값을 구하시오.
79.
원 O 에 내접하는 정사각형 ABCD 의 내부에 한 점 P 를 잡는다. 그림과 같이 점 P 를 지나고 정사각형의 각 변에 평행한 두 직선이 정사각형의 네 변과 만나는 점을 각각 E , F , G , H 라 하자. 다음은 네 직사각형 AEP H , EBFP , P FCG , HP G D 의 외접원의 넓이를 각각 , , , 라 할 때, 의 값이 원 O 의 넓이보다 크거나 같음을 증명한 것이다. <증명> AH , HD , D G , G C 라 하면 이다. 또, (가)
이고 원 O 의 넓이는(나)
이다. 한편 (다)
≥ 이므로 의 값은 원 O 의 넓이보다 크거나 같다. 위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 값을 모두 더하면? ① ② ③ ④ ⑤ 80.
자연수 에 대하여 이 어떤 자연수의 제곱이 되는 의 개수를 구하는 과정이다. ( 는 자연수) 라 하자. (가) ⋯ ㉠ ⋯ ㉡ 이면 ㉡ 에서 이고 ㉠ 에서 (가) 이므로 만족하는 자연수 는 존재하지 않는다. 따라서 ≦ 이므로 ≦ ≦ 이다. 그러므로 을 어떤 자연수의 제곱이 되게 하는 자연수 의 개수는 (나) 개이다. 위의 과정에서 (가), (나) 에 알맞은 것은 ? [4점] (가) (나) ① ② ③ ④ ⑤ 대하여 의 값을 구하시오. (단,
이다.)82.
등식 를 만족시키는 두 정수 , 에 대하여 의 값은? (단,
) ① ② ③ ④ ⑤ 83.
복소수
에 대하여 의 값은? (단,
)①
②
③
④
⑤
84.
복소수
에 대하여 이 되도록 하는 자연수 의 최솟값은? (단,
이다.)①
②
③
④
⑤
85.
복소수 ( , 는 이 아닌 실수)에 대하여
가 실수일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로
고른 것은? (단,
이고,
는
의 켤레복소수이다.)
<보 기>ㄱ.
는 실수이다.
ㄴ.
ㄷ.
①
ㄱ②
ㄴ③
ㄱ ㄴ④
ㄱ ㄷ⑤
ㄱ ㄴ ㄷ86.
등식
를 만족하는 두 실수 에 대하여 의 값은? (단,
) ① ② ③ ④ ⑤ 의 값은? (단,
) ① ② ③ ④ ⑤ 88.
양의 실수 와 음의 실수 에 대하여 은 실수부분이 이고 허수부분은 일 때 의 값은? (단,
) ①
② ③
④
⑤ 89.
일 때, 은? (단,
) ① ② ③ ④ ⑤ 90.
일 때
을 간단히 한 것은? ①
②
③
④
⑤
91.
다음 두 등식을 만족시키는 정수 의 개수는?
① ② ③ ④ ⑤ 92.
복소수 의 켤레복소수를 라 할 때, 다음 조건을 모두 만족하는 복소수 는? (가) (나) 의 실수부분은 양의 실수이다. ① ② ③ ④ ⑤ 93.
등식 를 만족시키는 실수 에 대하여 의 값을 구하시오. (단, 이고
)
94.
복소수 에 대하여 이 음의 실수가 되도록 하는 자연수 의 값을 구하시오. (단,
)95.
복소수 가 를 만족시킬 때, 옳은 것만 을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단,
) <보기> ㄱ. ㄴ. ㄷ. 는 실수이다. ① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ96.
두 복소수 , 가 , 을 만 족할 때,
의 값은? (단, , 는 각각 , 의 켤레복소수이다.) ① ② ③ ④ ⑤ 97.
등식 를 만족시키는 실수 에 대하여 의 값을 구하시오. (단,
)98.
등식 ⋯ 가 성립하도 록 하는 이하의 자연수 의 개수를 구하시오. (단,
)99.
그림과 같이 개의 면에 각각 , , , , , 가 적힌 정육면체 모양의 주사위가 있다. 이 주사위를 번 던져서 나온 수들을 모두 곱하였 더니 가 되었다. 가능한 모든 의 값의 합을 구하시오. (단,
)100.
등식 를 만족시키는 실수 에 대하여 의 값을 구하시오. (단, 이고
)101.
이 아닌 실수 , , 가 다음 조건을 만족시킨다. (가)
(나) 세 수 , , 의 대소 관계로 옳은 것은? ① ② ③ ④ ⑤ 102.
이차방정식 의 두 근, 에 대하여 이 성립한다. 이 때, 방정식 의 모든 근들의 합을 구하시 오.103.
복소수 와 그 켤레복소수 에 대하여 일 때, <보 기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?(단, 는 복소수이다.) <보기> ㄱ. ≥ ㄴ. ㄷ. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ104.
복소수 에 대하여 일 때, 이 정수가 되도록 하는 이하의 두 자 리 자연수 의 개수를 구하여라. (단, 는 의 켤레복소수이다.)105.
세 복소수 에 대하여 , 일 때,
의 값을 구하시오. (단, 는 의 켤 레복소수이다.) 의 값을 구하시오.
107.
에 대한 이차방정식 이 허근을 갖도록 하는 정수 의 개수를 구하시오.108.
한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD 가 있다. 그림과 같 이 정사각형 ABCD 의 내부에 한 점 P 를 잡고, 점 P 를 지나고 정사각형의 각 변에 평행한 두 직선이 정사각형의 네 변과 만나 는 점을 각각 E , F , G , H 라 하자. A B C D P E F G H직사각형
P FCG의 둘레의 길이가
이고 넓이가
일
때, 두 선분
AE와
AH의 길이를 두 근으로 하는 이차방
정식은? (단, 이차방정식의 이차항의 계수는
이다.)
①
②
③
④
⑤
109.
세 유리수 , , 에 대하여 에 대한 이차방정식
의 한 근이
이다. 다른 한 근을
라 할 때,
의 값은?
①
②
③
④
⑤
누어 가지려고 한다. (단계1) 학생 가 사탕 개를 가져와 개는 자신이 가지고, 나머지 사탕은 두 학생 , 에게 같은 개수로 나누어 준다. (단계2) 학생 는 학생 가 가져가고 남은 사탕 중에서 개를 가져와 개는 자신이 가지고, 나머지 사탕은 두 학생 , 에게 같은 개수로 나누어준다. (단계3) 학생 는 학생 , 가 가져가고 남은 사탕 개를 가 져와 개는 자신이 가지고, 나머지 사탕은 두 학생 , 에게 같은 개수로 나누어준다.위의 방법으로 사탕을 모두 나누어 가졌을 때,
,
,
가
갖게 된 사탕의 개수는 각각
,
,
개였다.
의 값을 구하시오.
111.
그림과 같이 삼각형 ABC 의 변 AB 와 변 AC 를 각각 지 름으로 하는 두 원 , 가 두 점 A , D 에서 만난다. A B D C AD
,
AC,
BC,
AB가 이 순서대로 네 개의 연속된 짝수
일 때, 두 원
,
의 넓이의 합은
이다.
의 값을 구
하시오.
112.
서로 다른 두 실수 에 대하여 두 이차방정식 , 을 동시에 만족하는 근이 존재 할 때, 상수 에 대하여 의 값을 구하시오. (단, ≠ )
113.
이차방정식 의 두 근을 라 할 때
의 값은? ① ② ③ ④ ⑤ 114.
에 대한 이차방정식 의 두 근 , 가 모두 자연수일 때, 모든 정수 의 값의 합을 구하시오. (단, )115.
이차방정식 의 근 중에서 큰 것을 라 하고, 이차방정식 × 의 근 중에서 작은 것을 라 할 때, 의 값은? ① ② ③ ④ ⑤ 116.
이차방정식 의 서로 다른 두 실근 , 가 을 만족시킬 때, 상수 에 대하여 의 값을 구하시오.117.
계수가 실수인 에 대한 두 이차방정식 , 의 근에 대한 설명이다. <보기> 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? <보기> ㄱ. 두 이차방정식에서 각각의 두 근의 곱은 서로 같다. ㄴ. 이면 두 이차방정식은 실수인 공통근을 갖지 않는다. ㄷ. 이 허근을 가지면 도 허근 을 가진다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ118.
에 대한 이차방정식 이 다음 두 조건을 만족시킬 때, 의 값은? (가) 는 한 자리의 자연수이다. (나) 두 근 에 대하여 이다. ① ② ③ ④ ⑤ 119.
에 대한 이차방정식 의 두 근을 라고 할 때, 에 대한 이차방정식 의 두 근을 구하시오.120.
에 대한 이차방정식 ⋯ 의 두 근을 이 라 할 때,
⋯
⋯
의 값을 구 하시오.121.
① ② ③ ④ ⑤ 122.
를 만족하는 0이 아닌 복소수 에 대하여 이 짝수일 때, 의 값을 구하시오.옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? <보기> ㄱ. 이면 는 실수이다. ㄴ. 이면 이다. ㄷ. 이면 이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
124.
후드로 흡입된 오염된 공기는 덕트를 통해 이동된다. 덕트 안의 공기의 밀도를 , 공기의 속력을 , 압력을 라 하면 다음과 같은 관계가 성립한다고 한다. (단, 는 중력가속도이다.) 집 에 있는 덕트 안의 공기의 밀도는 이고 압력은 , 집 에 있는 덕트 안의 공기의 밀도는 이고 압력은 이다. 집 와 집 에 있는 덕트 안의 공기의 속력의 비가 일 때, 이다. 상수 의 값은? ① ② ③ ④ ⑤ 125.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ ⋯ 일 때, <보기>에 서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? <보기> ㄱ. ㄴ. 임의의 자연수 에 대하여 이다. ㄷ. 이 자연수 일 때 이면 , 또는 이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ127.
에 대한 이차 방정식 이 실근을 갖도록 하는 실수 의 범위는? ① ≤ ② ≤ ③ ≤ ≤ ④ ≥ ⑤ ≤ 128.
이차방정식 의 두 실근의 절댓값의 합이 일 때, 상수 의 값을 구하시오.129.
이차방정식 의 두 근의 비가 일 때, 양수 의 값과 크기가 작은 근의 합은? ① ② ③ ④ ⑤ 130.
의 두 근을 라 할 때, 두 근의 합이 이고, 두 근의 곱이 이다. 의 값은? ① ② ③ ④ ⑤ 131.
이차방정식 의 두 근을 라고 할 때, 의 값은? ① ② ③ ④ ⑤ <해설지> 1. 정답 2. 정답 ① 에서 3. 정답 에서 ∴ 또한, 에서
∴ 따라서, 에서 ⋅ ∴ 4. 정답 [해설] 에서 을 주어진 식에 대입하면 ∴ 위의 등식이 에 대한 항등식이므로 ∴ ∴ 5. 정답 이웃하는 세 모서리의 길이를 각각 라 하자
이므로 이다. 모든 모서리의 길이의 합은 이므로 이다. 따라서 직육면체의 겉넓이는 6. 정답 ③ 에서
이고, 는 실수이므로 ∴ 따라서, 주어진 삼각형은 정삼각형이다. 7. 정답 곱셈공식에 의하여 이므로 의 계수는 이다. 8. 정답
겉넓이 : 모서리 : 대각선 : ∴
9. 정답 ⋯⋯ ㉠ ⋯⋯ ㉡ ㉠ ㉡을 연립하여 풀면 ∴ ∙ ∙ 10. 정답 의 양변을 제곱하면 ∴ ∴ ⋅ ⋅ 11. 정답 …㉠ , 이므로 ㉠에 각 식의 값을 대입하면 즉, …㉡
그런데 그러므로 따라서 , 이므로 12. 정답 3 13. 정답
= 14. 정답 ③ , 이므로 이고 이다. 따라서 이다. × × 이므로 이다. 따라서 이다. <참고> 에 대한 다항식 이 로 나누어 떨어지므로 의 꼴로 나타낼 수 있다. 양변에 , 를 각각 대입하면 ①, ②를 얻을 수 있다. ①, ②의 양변에 각각 을 곱하면 이고 이므로 을 대입하여 정리하면 ③, ④를 얻을 수 있다. 15. 정답 로 놓으면 (i) (ii) 세 직각삼각형의 넓이의 합이 이므로 ∴ 이 때, 16. 정답 ⑤ O C , CD 라고 하면 D A , AB , BO 이고 O C CD 에서 ⋯ ㉠ D A AB BO 에서 ⋯ ㉡ ㉡-㉠에서 , ⋯ ㉢ ㉢을 ㉠에 대입하면 직사각형 ABCD의 넓이 를 구하면 D A × AB × 17. 정답 ③ 18. 정답
m 19. 정답 로 치환하고 다항식을 세우면 라 하면 , 이므로 을 로 나눈 나머지가 , 로 나눈 나머지가 가 돼. ∴ ∴ 20. 정답 이 로 나누어 떨어지므로 · ∴ 에서 ∴ 21. 정답 22. 정답 ⑤ 에서 이므로 ∴ 23. 정답 24. 정답 를 으로 나눈 몫을 라고 하면 이므로 , ∴ 25. 정답 .
라고 하면 A색종이 한 장의 넓이는 , B색종이 한 장의 넓이는 C색종이 한 장의 넓이는 , A색종이 장, B색종이 장, C색종이 장을 겹치지 않게 빈틈없이 이어 붙여서 만든 직사각형의 넓이는 이다. 이 식을 자연수 계수를 갖는 두 일차식의 곱으로 표현하면 즉, 직사각형의 두 변의 길이는 , 로 나타낼 수 있다. ∴ 구하는 직사각형의 둘레의 길이는
. 따라서 , 이고 [참고] 색종이 장 각각의 넓이의 합 는 ⋅
×
⋅ ×
⋅ × ⋅
⋅
이므로
와
를 두 변으로 하는 직사각형의 넓이
와 같다. 따라서 24장의 색종이를 겹치지 않게 빈틈없이 이어 붙인 직사각형의 두 변의 길이는
와
이다. 26. 정답 AL 라 하면, NM NC , AL⋅ LB 이므로 LB LM 또한, LM과 MN의 교점을 점P라 하고, LL 라 하면 P M P M 평행선의 성질에 의해 ∆ABC, ∆LBM, ∆P MM, ∆NMC 는 모두 닮음이고 닮음비는 이므로 넓이의 비는 이다. 삼각형 ABC의 넓이를 , 어두운 부분 전체의 넓이를 라 하면 이므로
(는 비례상수)
∴ 또는 이고 이므로 ≥ 즉, ≤ 이므로 구하는 ∴ LL 27. 정답 ③ i) 을 주어진 관계식에 대입하면 ×
× ii) 을 주어진 관계식에 대입하면 ×
× 따라서 i), ii)에 의해 이다. P Q , AR 이므로 MN ×
