우석대학교 에너지전기공학과

공업수학 I

강의 (4)

우석대학교 에너지전기공학과

이우금 교수

(지난 시간 주요내용 복습)  행렬의 곱 (1) 두 행렬 𝑨와 𝑩의 곱 𝑨𝑩 는 A의 열과 B 의 행의 수가 같은 경우에 만 정의 됨. (2) 즉, 행렬 𝑨(𝑚 × 𝑛)와 𝑩(𝑛 × 𝑝) 의 곱은 𝑨𝑩(𝑚 × 𝑝) 행렬이 된다.  𝑨 의 열 = 𝑩 의 행 = 𝑛 (3) 행렬 곱의 순서가 바뀌면 일반적으로 바뀐 행렬의 곱은 정의되지 않음.  𝑩 의 열 _≠ 𝑨 의 행: 𝑝 ≠ 𝑚 (4) 행렬의 곱에서 바뀐 행렬의 곱이 정의되는 경우: 곱의 결과는 같지않음 (즉, AB ≠ BA )  행렬 𝑨의 행과 𝑩의 열이 같음과 동시에 A의 열과 B 의 행이 같은 경우.  행렬 𝑪와 𝑫가 같은 차수의 정방행렬: 이 경우도 곱의 결과는 같지않음 (즉, CD ≠ DC )

𝑨

_𝑚×𝑛

𝑩

_𝑛×𝑝 행 열 행 열

= 𝑨𝑩

_𝑚×𝑝

𝑩

_𝑛×𝑝

𝑨

_𝑚×𝑛 행 열 행 열

=

행 열

𝑪

_5×5

𝑫

_5×5 행 열 행 열

= 𝑪𝑫

_5×5 행 열

𝑫

_5×5

𝑪

_5×5 행 열 행 열

= 𝑫𝑪

_5×5 행 열

?

복습

𝑨

_4×2

𝑩

_2×4 행 열 행 열

= 𝑨𝑩

_4×4 행 열

𝑩

행 2×4열

𝑨

행 4×2열

= 𝑩𝑨

행 열 2×2

 행렬의 곱을 구하는 방법: 𝑨𝑩 = 𝑪 (Step 1) 두 행렬의 곱이 정의 되는지 Check: 즉, 행렬𝑨의 열과 행렬 𝑩의 행이 일치하는지 검토. (Step 2) 행렬𝑨 와 𝑩 를 곱한다: 𝑨𝑩 = 𝑪 1) 행렬𝑨에서 첫째 행의 원소와 행렬𝑩 의 첫째 열에 위치한 원소들을 각각 곱한다. 2) 곱한 원소의 들의 합이 행렬𝑪 의 원소 𝐶₁₁ 이 된다. 3) 같은 방법으로 행렬𝑨 첫째 행의 원소와 행렬 𝑩 의 둘째 열에 위치한 원소들을 각각 곱한다. 4) 곱한 원소의 들의 합이 행렬𝑪 의 원소 𝐶₁₂가 된다. 5) 같은 방법으로 행렬𝑨 첫째 행의 원소와 행렬𝑩 의 그 다음 열에 위치한 원소들을 각각 곱하고, 그 합을 구해서 행렬𝑪 의 첫째 행의 다음 원소들을 구한다. (Step 3) 행렬𝑨 의 다음 행에 위치한 원소로 (Step 2)의 과정을 반복해서 행렬𝑪 의 다음 행의 모든 원소를 구한다. 예시1)

𝑨 =

𝑎

_𝑎

11

𝑎

12 21

𝑎

22

& 𝑩 =

𝑏

₁₁

𝑏

₁₂

𝑏

₁₃

𝑏

₂₁

𝑏

₂₂

𝑏

₃₃ 에서 두 행렬의 곱

𝑨𝑩

를 구하라. (Step 1) 𝑨𝑩 가 정의 되는지 𝑪𝒉𝒆𝒄𝒌‼

𝑨𝑩 = 𝑨

_2×2

𝑩

_2×3

=

행 열 행 열 열 𝑨의 열 = 𝑩의 행 = 2 행

𝑨𝑩

_2×3 복습

(예시 1) 계속

𝑨 =

𝑎

_𝑎

11

𝑎

12 21

𝑎

22

& 𝑩 =

𝑏

₁₁

𝑏

₁₂

𝑏

₁₃

𝑏

₂₁

𝑏

₂₂

𝑏

₃₃ 에서 두 행렬의 곱

𝑨𝑩

를 구하라. (Step 2) 행렬 𝑨 와 𝑩 를 곱한다: 𝑨𝑩 = 𝑪 1) 행렬𝑨 에서 첫째 행의 각 원소와 행렬𝑩 의 각 열에 위치한 원소들을 각각 곱한다. 2) 위에서 구한 원소들이 행렬𝑪 의 첫째 행에 위치하는 원소가 된다. (Step 3) 행렬𝑨의 둘째 행에 위치한 원소로 (Step 2)의 과정을 반복해서 행렬𝑪 의 둘째 행의 모든 원소를 구한다. 1-5. 행렬의 연산

𝑨𝑩 =

𝑎

_𝑎

11

𝑎

12 21

𝑎

22

𝑏

₁₁

𝑏

₁₂

𝑏

₁₃

𝑏

₂₁

𝑏

₂₂

𝑏

₃₃

=

𝑐

₁₁

𝑐

₁₂

𝑐

₁₃

= 𝑪

𝑎₁₁𝑏₁₁ + 𝑎₁₂𝑏₂₁ 𝑎₁₁𝑏₁₂ + 𝑎₁₂𝑏₂₂ 𝑎₁₁𝑏₁₃ + 𝑎₁₂𝑏₃₃ 𝐶₁₁ 𝐶₁₂ 𝐶13

𝑨𝑩 =

𝑎

_𝑎

11

𝑎

12 21

𝑎

22

𝑏

₁₁

𝑏

₁₂

𝑏

₁₃

𝑏

₂₁

𝑏

₂₂

𝑏

₂₃

=

𝑐

₁₁

𝑐

₁₂

𝑐

₁₃

𝑐

₂₁

𝑐

₂₂

𝑐

₂₃

= 𝑪

𝑎₂₁𝑏₁₁ + 𝑎₂₂𝑏₂₁ 𝑎₂₁𝑏₁₂ + 𝑎₂₂𝑏₂₂ 𝑎₂₁𝑏₁₃ + 𝑎₂₂𝑏₂₃ 𝐶₂₁ 𝐶23 𝐶₂₂

예제1) 다음행렬의 곱 𝑨𝑩와 𝑩𝑨를 구하라.  행렬 𝑨와 𝑩의 꼴을 검토  행렬 𝑨𝑩와 𝑩𝑨 가 존재하는지 검토  행렬 BA 𝑨 = 1 2 − 1 0 1 2 𝑩 = 0 2_{−1 1} 1-5. 행렬의 연산 𝑨 = 1 2 − 1 0 1 2 = 𝑨 2×3 & 𝑩 = 0 2−1 1 = 𝑩 2×2 𝑨𝑩 = 𝑨 _2×3 𝑩 _2×2 = 𝑩𝑨 = 0 2 −1 1 1 2 − 1 0 1 2 = 0 × 1 + 2 × 0 0 × 2 + 2 × 1 0 × −1 + 2 × 2 −1 × 1 + 1 × 0 −1 × 2 + 1 × 1 −1 × −1 + 1 × 2 = 0 2 4 −1 − 1 3 2×3 & 𝑩𝑨 = 𝑩 _2×2 𝑨 _2×3 = 정의되지 않음 𝑩𝑨 _2×3

𝑨 = 𝑎11 𝑎12 𝑎13 & 𝑩 = 𝑏₁₁ 𝑏₂₁ 𝑏₃₁ 1-5. 행렬의 연산 예제2) 다음 행렬의 곱 𝑨𝑩와 𝑩𝑨 를 구하라.  행렬 𝑨와 𝑩의 꼴을 검토  행렬 𝑨𝑩 와 𝑩𝑨가 존재하는지 검토  행렬 𝑨𝑩 & 𝑩𝑨 𝑨 = 𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₁₃ = & 𝑩 = 𝑏₁₁ 𝑏₂₁ 𝑏₃₁ = 𝑨 _1×3 𝑩 _3×1 𝑨𝑩 = 𝑨 _1×3 𝑩 _3×1 = 𝑨𝑩 _1×1 & 𝑩𝑨 = 𝑩 _3×1 𝑨 _1×3 = 𝑩𝑨 _3×3 𝑨𝑩 = 𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₁₃ 𝑏₁₁ 𝑏₂₁ 𝑏₃₁ = 𝑩𝑨 = 𝑏₁₁ 𝑏₂₁ 𝑏₃₁ 𝑎11 𝑎12 𝑎13 = 𝑎₁₁𝑏₁₁ + 𝑎₁₂𝑏₂₁ + 𝑎₁₃𝑏_{31 1×1} 𝑏₁₁𝑎₁₁ 𝑏₁₁𝑎₁₂ 𝑏₁₁𝑎₁₃ 𝑏₂₁𝑎₁₁ 𝑏₂₁𝑎₁₂ 𝑏₂₁𝑎₁₃ 𝑏₃₁𝑎₁₁ 𝑏₃₁𝑎₁₂ 𝑏₃₁𝑎₁₃

𝑨 = −2 3 1 & 𝑩 = 2 1 −1 1-5. 행렬의 연산 예제3) 다음 행렬의 곱 𝑨𝑩와 𝑩𝑨를 구하라.  행렬 𝑨 와 𝑩 의 꼴을 검토  행렬 𝑨𝑩 와 𝑩𝑨 ※ 𝑛𝑜𝑡𝑒: 행렬간 곱셈의 교환법칙은 일반적으로 성립하지 않는다: 𝑨𝑩 ≠ 𝑩𝑨 𝑨 = −2 3 1 = 𝑨 _1×3 & 𝑩 = 2 1 −1 = 𝑩 _3×1 𝑨𝑩 = −2 3 1 _1×3 2 1 −1 3×1 = 𝑩𝑨 = 2 1 −1 3×1 −2 3 1 _1×3 = 2 × −2 2 × 3 2 × 1 1 × (−2) 1 × 3 1 × 1 −1 × −2 (−1) × 3 (−1) × 1 _3×3 = −4 6 2−2 3 1 2 − 3 − 1 3×3 −2 × 2 + 3 × 1 + 1 × (−1) _1×1 = −2 _1×1

1-6. 특수 행렬의 곱 1-6-1. 대칭행렬의 곱

 대칭행렬 (symmetric matrix): 주 대각선을 중심으로 대칭인 정방행렬

 대각행렬 (diagonal matrix): 주 대각 원소를 제외한 모든 원소가 0인 정방행렬.

 단위행렬 (identity or unit matrix): 대각행렬에서 주대각 원소가 1인 정방행렬, I 로 표기 함. 예시1) 아래 행렬 𝑨 와 대각행렬 𝑩 에 대해 𝑨𝑩 와 𝑩𝑨 를 구하라.  ※ 𝑛𝑜𝑡𝑒: 𝑨𝑩 _3×3 ≠ 𝑩𝑨 _3×3 1-6. 특수행렬의 곱 𝑨 = 1 4 −23 −1 5 6 1 2 & 𝑩 = 1 0 00 2 0 0 0 −1 𝑨𝑩 = 1 4 −23 −1 5 6 1 2 1 0 0 0 2 0 0 0 −1 = 1 + 0 + 0 0 + 8 + 0 0 + 0 + 23 + 0 + 0 0 − 2 + 0 0 + 0 − 5 6 + 0 + 0 0 + 2 + 0 0 + 0 − 2 = 1 83 −2 −5 2 6 2 −2 𝑩𝑨 = 1 0 00 2 0 0 0 −1 1 4 −2 3 −1 5 6 1 2 = 1 + 0 + 0 4 + 0 + 00 + 6 + 0 0 − 2 + 0 0 + 10 + 0−2 + 0 + 0 0 + 0 − 6 0 + 0 − 1 0 + 0 − 2 = 1 6 −2 10 4 −2 −6 −1 −2 𝑨𝑩 = 대각행렬 𝑩의 주 대각 원소 (1 2 − 1) 를 행렬 𝑨 의 각각의 행에 곱함 𝑩𝑨 = 대각행렬 𝐵의 주 대각 원소 (1 2 − 1) 를 행렬 A 의 각각의 열에 곱함 대각행렬: 주 대각 원소 (1, 2, −1)

예시2) 아래 행렬 𝑩 와 단위행렬의 곱을 구하라.  𝑩 와 𝑰 의 곱: ※ 𝑛𝑜𝑡𝑒: 𝑩𝑰 = 𝑩  𝑰 와 𝑩 의 곱: ※ 𝑛𝑜𝑡𝑒: 𝑰𝑩 = 𝑩 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑙𝑦, 𝑩𝑰 = 𝑰𝑩 = 𝑩 𝑩 = 1 −2 43 −1 1 0 5 2 & 𝑰 = 1 0 00 1 0 0 0 1 𝑩𝑰 = 𝑩 _3×3 𝑰 _3×3 = 𝑩𝑰 _3×3 1 −2 4 3 −1 1 0 5 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = 1 + 0 + 0 0 − 2 + 0 0 + 0 + 43 + 0 + 0 0 − 1 + 0 0 + 0 + 1 0 + 0 + 0 0 + 5 + 0 0 + 0 + 2 = 1 −2 43 −1 1 0 5 2 𝑰𝑩 = 𝑰 _3×3 𝑩 _3×3 = 𝑰𝑩 _3×3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 −2 4 3 −1 1 0 5 2 = 1 + 0 + 0 −2 + 0 + 00 + 3 + 0 0 − 1 + 0 0 + 1 + 04 + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 + 0 + 5 0 + 0 + 2 = 1 −2 43 −1 1 0 5 2  어떤 행렬에 단위 행렬 𝑰 를 곱하면, 결과는 그 행렬이 된다.  단위행렬의 곱에서는 교환법칙이 성립함. 1-6. 특수행렬의 곱

1-6-2. 삼각행렬의 곱  삼각행렬 (triangular matrix): 주 대각 원소의 위 또는 아래의 모든 원소가 0인 정방행렬. 예시) 아래 행렬 𝑨와 삼각행렬 𝑩에 대해 𝑨𝑩와 𝑩𝑨를 구하라. (1) (2) ※ 𝑛𝑜𝑡𝑒: 𝑨𝑩 _3×3 ≠ 𝑩𝑨 _3×3 1-6. 특수행렬의 곱 𝑨𝑩 = 1 3 −22 −1 1 1 1 2 1 1 −2 0 −1 1 0 0 1 = 1 + 0 + 0 1 − 3 + 0 −2 + 3 − 22 + 0 + 0 2 + 1 + 0 −4 − 1 + 1 1 + 0 + 0 1 − 1 + 0 −2 + 1 + 2 = 1 −2 −12 3 −4 1 0 1 𝑨 = 1 3 −22 −1 1 1 1 2 & 𝑩 = 1 1 −20 −1 1 0 0 1 삼각행렬: 주 대각 원소 (1, −1, 1) 𝑪 = 1 0 −1 2 2차 삼각행렬 𝑨 = 𝑎₁₁ 0 0 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 0 𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑎₃₃ or 𝑩 = 𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₁₃ 0 𝑎₂₂ 𝑎₂₃ 0 0 𝑎₃₃ 𝑨𝑩 = 𝑨 _3×3 𝑩 _3×3 = 𝑨𝑩 3×3 𝑩𝑨 = 1 1 −20 −1 1 0 0 1 1 3 −2 2 −1 1 1 1 2 = 1 + 2 − 2 3 − 1 − 2 −2 + 1 − 40 − 2 + 1 0 + 1 + 1 0 − 1 + 2 0 + 0 + 1 0 + 0 + 1 0 + 0 + 2 = −1 2 1 1 0 −5 1 1 2 𝑩𝑨 = 𝑩 _3×3 𝑨 _3×3 = 𝑩𝑨 3×3

1-7. 전치행렬의 성질 (1) 𝑨𝑻 𝑻 = 𝑨 (2) 𝑨 ± 𝑩 𝑻 = 𝑨𝑻 ± 𝑩𝑻 𝑨 = 1 − 1 3 2 0 1 𝑨𝑻 = 1 2 −1 0 3 1 1-7. 전치행렬의 성질 𝑨𝑻 𝑻 =  𝑨 + 𝑩 = 𝑎₁₁ + 𝑏₁₁ 𝑎₁₂ + 𝑏₁₂ 𝑎₂₁ + 𝑏₂₁ 𝑎₂₂ + 𝑏₂₂ 𝑎₃₁ + 𝑏₃₁ 𝑎₃₂ + 𝑏₃₂ 𝑨 + 𝑩 𝑻 ₌  𝑨 = 𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑨 𝑻 ₌ 𝑎11 𝑎21 𝑎31 𝑎₁₂ 𝑎₂₂ 𝑎₃₂ & 𝑩 = 𝑏₁₁ 𝑏₁₂ 𝑏₂₁ 𝑏₂₂ 𝑏₃₁ 𝑏₃₂ 𝑩 𝑻 ₌ 𝑏11 𝑏21 𝑏31 𝑏₁₂ 𝑏₂₂ 𝑏₃₂  𝑨𝑻 + 𝑩𝑻 = 𝑎_𝑎11 𝑎21 𝑎31 12 𝑎22 𝑎32 + 𝑏₁₁ 𝑏₂₁ 𝑏₃₁ 𝑏₁₂ 𝑏₂₂ 𝑏₃₂ = 𝑎₁₁ + 𝑏₁₁ 𝑎₂₁+ 𝑏₂₁ 𝑎₃₁+ 𝑏₃₁ 𝑎₁₂+ 𝑏₁₂ 𝑎₂₂+ 𝑏₂₂ 𝑎₃₂+ 𝑏₃₂ 𝑎₁₁ + 𝑏₁₁ 𝑎₂₁+ 𝑏₂₁ 𝑎₃₁+ 𝑏₃₁ 𝑎₁₂+ 𝑏₁₂ 𝑎₂₂+ 𝑏₂₂ 𝑎₃₂+ 𝑏₃₂ 1 − 1 3 2 0 1 = 𝑨

1-7. 전치행렬의 성질 (계속) (3) 𝑘𝑨 𝑻 = 𝑘𝑨𝑻 (4) 𝑨𝑩 𝑻 = 𝑩𝑻𝑨𝑻  𝑘𝑨 = 𝑘 × 𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₃₁ 𝑎₃₂ = 𝑘𝑎₁₁ 𝑘𝑎₁₂ 𝑘𝑎₂₁ 𝑘𝑎₂₂ 𝑘𝑎₃₁ 𝑘𝑎₃₂ 𝑘𝑨 𝑻 ₌ 1-7. 전치행렬의 성질  𝑨𝑩 = 𝑎_𝑎11 𝑎12 21 𝑎22 𝑏₁₁ 𝑏₁₂ 𝑏₂₁ 𝑏₂₂ = 𝑎₁₁𝑏₁₁ + 𝑎₁₂𝑏₂₁ 𝑎₁₁𝑏₁₂ + 𝑎₁₂𝑏₂₂ 𝑎₂₁𝑏₁₁ + 𝑎₂₂𝑏₂₁ 𝑎₂₁𝑏₁₂ + 𝑎₂₂𝑏₂₂  𝑨 = 𝑎_𝑎11 𝑎12 21 𝑎22 𝑨 𝑻 ₌ 𝑎11 𝑎21 𝑎₁₂ 𝑎₂₂ & 𝑩 = 𝑏_𝑏11_{21 𝑏}𝑏₂₂12 𝑩𝑻 = 𝑏_𝑏11₁₂ 𝑏_𝑏21₂₂  𝑩𝑻𝑨𝑻 = 𝑏_𝑏11 𝑏21 12 𝑏22 𝑎₁₁ 𝑎₂₁ 𝑎₁₂ 𝑎₂₂ =  𝑨 = 𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑨 𝑻 ₌ 𝑎11 𝑎21 𝑎31 𝑎₁₂ 𝑎₂₂ 𝑎₃₂ 𝑘𝑨𝑻 = 𝑨𝑩 𝑻 = 𝑘𝑎₁₁ 𝑘𝑎₂₁ 𝑘𝑎₃₁ 𝑘𝑎₁₂ 𝑘𝑎₂₂ 𝑘𝑎₃₂ 𝑘𝑎₁₁ 𝑘𝑎₂₁ 𝑘𝑎₃₁ 𝑘𝑎₁₂ 𝑘𝑎₂₂ 𝑘𝑎₃₂ 𝑎₁₁𝑏₁₁ + 𝑎₁₂𝑏₂₁ 𝑎₂₁𝑏₁₁ + 𝑎₂₂𝑏₂₁ 𝑎₁₁𝑏₁₂ + 𝑎₁₂𝑏₂₂ 𝑎₂₁𝑏₁₂ + 𝑎₂₂𝑏₂₂ 𝑏₁₁𝑎₁₁ + 𝑏₂₁𝑎₁₂ 𝑏₁₁𝑎₂₁ + 𝑏₂₁𝑎₂₂ 𝑏₁₂𝑎₁₁ + 𝑏₂₂𝑎₁₂ 𝑏₁₂𝑎₂₁ + 𝑏𝑎₂₂

예시) 아래 행렬 𝑨와 𝑩의 전치행렬을 각각 구하고, 𝑨𝑩 𝑻 = 𝑩𝑻𝑨𝑻 가 성립함을 보여라. ∴ 𝑨𝑩 𝑻 = 𝑩𝑻𝑨𝑻 = 1 5 3 8 1-7. 전치행렬의 성질  𝑨𝑩 = 1 0 − 1 2 − 2 1 _2×3 2 3 0 1 −1 0 _3×2 = 2 + 0 − 1 3 + 0 + 04 + 0 + 1 6 + 2 + 0 2×2 = 1 35 8 2×2  𝑨 = 1 0 − 1 2 − 2 1 𝑨𝑻 = 1 2 0 − 2 −1 1  𝑩 = 2 30 1 −1 0 𝑩 𝑻 _{= 2 0 1} 3 − 1 0  𝑩𝑻_𝑨𝑻 _{= 2 0 1} 3 − 1 0 2×3 1 2 0 − 2 −1 1 3×2

= 2 + 0 − 1 4 + 0 + 1_{3 + 0 + 0 6 + 2 + 0} 2×2 = 1 53 8 2×2 1 5 3 8 𝑨𝑩 𝑻 𝑨𝑩 𝑻 ₌