고급수학 1 기말고사
(2020년 6월 13일 오후 3:00 - 14일 오후 11:59) 학번: 이름: 모든 문제의 답에 풀이과정을 명시하시오. (총점 200점) 문제 1 [10점] 공간 속의 두 점 A1, A2와 일차독립인 두 단위벡터 v1, v2에 대하여 공간 속의 두 직선 Ai+ tvi, i = 1, 2 사이의 최단거리는 |det((A1− A2), v1, v2)| |v1× v2| 임을 보이시오. 문제 2 [10점] R4의 점 (x, y, z, w)들 중 x + y + z + w = 1 x + 2y + 3z + 4w = 1 ax + by + z + w = 1 을 만족하는 점들의 집합이 직선이 되기 위한 a, b의 조건을 구하시오. 이 때 위 조건을 만족하는 점들의 집합과 원점 사이의 거리를 구하시오. 문제 3 [30점] V 를 벡터공간이라 하고, d를 V 위에 정의된 거리함수로 평행이동에 대해 거리가 보존 되는 거리함수라 하자. 즉, d는 임의의 x, y, v ∈ V 에 대하여 d(x + v, y + v) = d(x, y)를 만족하는 거리함수이다. 선형사상 T : V → V 가 점 v ∈ V 에서 다음을 만족하면, v에서 연속이라고 한다: lim d(w,v)→0T (w) = T (v). 즉, d(w, v) → 0이면 d(T (w), T (v)) → 0이다. (a) (10점) T 가 영벡터 0 ∈ V 에서 연속이면 모든 점 v ∈ V 에서 연속임을 보이시오. (b) (10점) V = Rn일 때, 모든 선형사상 T : Rn → Rn 는 연속임을 보이시오. (Rn의 거리함수는 d(x, y) = |x − y|이다.) (c) (10점) 구간 [−1, 1]을 포함하는 적당한 열린 구간에서 정의된 무한급인 함수들 전체로 이루어진 집합 V := C∞ ([−1, 1])는 점별로 정의된 덧셈과 상수곱에 대해 벡터공간이 되며 또한 d(f, g) = max{|f (x) − g(x)| : −1 ≤ x ≤ 1} (f, g ∈ V ) 으로 정의된 거리함수 d를 갖는다. 이 때, D(f ) = f0으로 정의된 선형사상 D는 벡터공간 V 위에서 연속이 아님을 보이시오. (힌트: d(fn, 0) → 0이나 d(D(fn), 0) 9 0인 함수열을 구하면 된다.) 문제 4 [10점] T : Rn→ Rn(n은 자연수)를 선형사상이라 하자. T 가 전사 사상이기 위한 필요충분 조건은 단사 사상임을 증명하시오. 문제 5 [30점] v = (v1, v2, v3)t ∈ R3를 단위벡터라 하고 Ev : R3 → R3를 Ev(X) = X − (X · v)v로 정의된 선형사상이라 하자. (a) (5점) 모든 X ∈ R3에 대하여 E2 v(X) = Ev(X)가 성립함을 보이시오. (b) (5점) R3의 부분공간인 W := {X ∈ R3 : Ev(X) = 0}의 차원을 구하시오. (c) (10점) Ev에 대응하는 행렬을 Av라 할 때, 대각합 tr(Av)는 v와 무관하게 항상 일정한 값을 가짐을 보이시오. (> 일반적으로 n × n 정사각행렬 B = (bij)의 대각합은 tr(B) =Pni=1bii로정의한다.) (d) (10점) 선형사상 L : R3 → R3의 치역 L(R3 )이 R3의 2차원 부분공간(평면)이라 하고, 평면 L(R3) 로의 정사영을 E : R3 → R3 라 하자. (즉, E(X)는 L(R3 )에 속하는 점들 중 X와 가장 가까운 점을 뜻한다.) E에 대응하는 행렬 A = (aij)에 대해P1≤i,j≤3(ai,j)2을 구하시오.문제 6 [10점] 집합 B1 = {(0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)}, B2 = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}가 기저임을 보이시오. x ∈ R3와 기저 B에 대하여 [x] B를 기저 B에 대한 x의 좌표라고 두자. 사상 F : R3 → R3가 F ([x] B1) = [x]B2로정의되어 있을 때, 이 사상이 선형사상임을 보이시오. 또한 이 선형사상에 대응하는 행렬을 구하시오. 1
문제 7 [10점] 두 번 미분 가능한 함수 f : R → R들 전체의 집합 V 는 점별 덧셈과 상수곱에 대하여 벡터공간을 이룬다. y1, y2, y3∈ V 가 일차종속이면, 즉 자명하지 않은 상수 c1, c2, c3에 대하여 c1y1(x) + c2y2(x) + c3y3(x) = 0 (∀x)를 만족하면, det y1 y2 y3 y10 y20 y30 y100 y200 y300 이 항등적으로 0임을 보이시오. 문제 8 [10점] 다음 함수 f (x)에 대하여 도함수를 구하시오. f (x) = det 1 1 2 2 3 3 0 3 4 x 5 0 0 3 4 x 3 1 2 17 9 0 0 0 2 문제 9 [10점] det a b 1 c d 1 e f 1 = 5 , det a 1 b c 2 d e 3 f = 11 일 때, 다음 행렬의 행렬식을 구하시오. (a) (5점) det a b 2 c d 3 e f 4 (b) (5점) det a 3 2b c 5 2d e 7 2f 문제 10 [10점] 곡선 X(t) = Rt 0cos( 1 2πθ 2)dθ i + Rt 0sin( 1 2πθ 2)dθ j의 곡률을 X(0)에서부터 잰 호의길이 s를 매개변수로 하여 나타내시오. 문제 11 [40점] X(t)는 3차원 공간의 단위구면 S 위의 곡선으로서, 입체사영(stereographic projection) 에 의해 xy-평면 위의 반직선 Y (t) = (1, t, 0) (t ≥ 0)로 보내지는 곡선이다. (a) (10점) 곡선 X(t)와 속력 |X0(t)|를 구하시오. (b) (10점)R∞ 0 |X 0 (t)|dt를 계산하여 곡선 X의 길이를 구하시오. (c) (10점) X 주변에서 온도분포 함수가 f (x, y, z) = x로 주어져 있을 때, 곡선 X의 평균 온도를 구하시오. (d) (10점) xy-평면에서 원점을 중심으로 하는 한변의 길이가 2인 정사각형을 Y1(t)라 하고 입체사영에 의해 Y1(t)로 보내지는 S 위의 곡선을 X1(t)라 할 때, X1의 길이를 구하시오. 문제 12 [20점] 정규곡선 X(t)에 대하여 s :=Rt 0|X 0 (t)|dt, t := X 0 (t) |X0(t)|라고 두자. (a) (5점) 벡터 dt ds와 t는 서로 수직임을 보이시오. (b) (5점) n := 1 κ dt ds (κ는 곡률), b := t × n이라고 두자. db ds는 t와 b에 수직임을 보이고, 따라서 db ds = −τ n 을 만족하는 τ 가 존재함을 보이시오. (c) (10점) X(t) = (a cos t, a sin t, bt)에 대하여 τ 값을 구하시오. 2
