우석대학교 에너지전기공학과

우석대학교 에너지공학과

이우금 교수

 삼각함수(Trigonometrical function)

 60분법과 호도법(복습)

1) 60분법  직각을 90등분한 1등분을 1도 (1°), 1도의 1/60을 1분, 1분의 1/60을 1초라 함. 2) 호도법  반지름 r인 원(그림 4-1.1) 에서 반지름과 같은

길이의 원호에 대한 중심각 ∠AOB의 크기를 ※ ∠AOB = 1 [rad]

1호도(radian)라 하고, 1[rad]로 표시함. 3) 호도법과 60분법의 관계

 원의 둘레: 2π𝑟 (반지름의 2π 배) 2π𝑟: 𝑟 = 360°_{: 1}  360°= 2π [rad] O B A

r

r

60분법 0° ₃₀° ₄₅° ₆₀° ₉₀° ₁₂₀° ₁₈₀° ₂₇₀° ₃₆₀° 호도법 0 π 6 π 4 π 3 π 2 2π₃ π 3π₂ 2π (그림 4-1.1)

중간시험 총정리 II

 삼각함수의 정의

1) 그림 4-3.1 과 같이 r 인 OP가 𝑥 축 양의 방향과 이루는 각을 θ 라 하고, 점 P의 좌표를 P(x, y)라 할 때, θ 에 대응하는 값을 삼각비로 구하면:

사인함수(sine function): sin θ = 𝑦_𝑟 코사인함수(cosine function): cos θ = 𝑥_𝑟 탄젠트함수(tangent function): tan θ = 𝑦_𝑥

2) 역수관계

코시컨트함수(cosecant function): csc θ = _{sin θ}1 = _𝑦𝑟 시컨트함수(secant function): sec θ =_{cos θ}1 =_𝑥𝑟 코탄젠트함수(cotangent function): _{c𝑜𝑡 θ =} 1 tan θ = 𝑥 𝑦 o

r

θ

𝑥

𝑦

𝑥 𝑦 (그림 4-3.1) P (x, y)

(예제 2) 점 P(-4, 3)을 동경으로 하는 각을 θ 라 할 때, 다음 삼각함수의 값을 구하라.

1)

sin θ

2)

cos θ

(예제 3) 다음의 주어진 삼각함수의 값을 구하라.

1)

sin 690

°

2)

cos(−120

°

)

o r=?

𝑥

𝑦

−𝟒 (예제2) P (-4, 3) θ

·

o r

𝑥

𝑦

P (-3, -4) θ

·

 삼각함수의 기본공식

1) 그림 5-5.1 과 같이 반지름이 1인 단위 원과 동경좌표를 P 𝑥, 𝑦 라하면,

cos θ =

𝑥 𝑟

= 𝑥, sin θ =

𝑦 𝑟

= 𝑦

그러므로,

tan θ =

𝑦 𝑥

=

sin θ cos θ 2) 그림 5-5.1 과 피타고라스의 정리를 이용하여

cos

2

θ + sin

2

θ = 1

이 됨을 증명하라. 3) 『피타고라스의 정리』

cos

2

θ = 𝑥

2

, sin

2

θ = 𝑦

2

𝑥

2

+ 𝑦

2

= 𝑟

2

= 1

그러므로,

cos

2

θ + sin

2

θ = 1

o r=1

𝑥

𝑦

P (x, y) θ

 삼각함수의 성질

1) 𝑦 = 𝐴sin(ω𝑥), (𝐴 ≠ 0) 의 진폭과 주기  최대값:

𝐴

, 최소값:

− 𝐴

 각속도: ω  주기:

𝑇 =

2π ω

(=

360° ω

)

 주파수:

𝑓 =

1 𝑇

=

ω 2π

(=

ω 360°

)

2π ω 주기= 2π ω 0 𝑦 𝑥 2) 위상(phase) 이동



𝑦 = 𝐴sin(ω𝑥 − ∅), (𝐴 ≠ 0)

는

𝑥 =

∅ ω 에서 시작하여,

𝑥 =

2π ω

+

∅ ω 에서 한 주기가 끝난다.

 그러므로, 𝑦 = 𝐴sin(ω𝑥 − ∅) 의 그래프는 𝑦 = 𝐴sin(ω𝑥) 의 그래프를 ∅ ω 만큼 수평으로 평행이동.  이때 ∅ ω 를 𝑦 = 𝐴sin(ω𝑥 − ∅) 의 위상이동 . ∅ ω> 0 일 때: 오른쪽 방향으로 수평 이동 ∅ ω < 0 일 때: 왼쪽 방향으로 수평이동 ∅ ω 2π ω + ∅ ω 주기= 2π ω 0 𝑦 𝑥 위상이동=∅ ω

 역 삼각함수

1) 역함수: 오직 1:1 함수에만 존재함. 사인함수 𝑦 = sin 𝑥 의 역함수가 존재하는가? 2) 1:1 함수가 아닌 경우: 정의역을 축소함으로써, 축소된 범위 내에서 1:1 함수가 되도록 할 수 있음.  사인함수의 역함수: 아크사인 함수 (arcsine function) −1 ≤ 𝑥 ≤ 1, −π₂ ≤ 𝑦 ≤ π₂ 에 대해서 𝑥 = sin 𝑦 𝑦 = sin−1_𝑥 그러므로, 『 𝑦 는 사인함수 값이 𝑥 일 때의 각』  아크코사인 함수 (arccosine function)의 정의 −1 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ π 에 대해서 𝑦 = cos−1_{𝑥 𝑥 = cos 𝑦}  아크탄젠트 함수 (arctangent function)의 정의 −∞ < 𝑥 < ∞, −π < 𝑦 < π 에 대해서

예제) 다음 값을 구하라. (1) cos[(sin−1₍₋1 3)] 𝑦 = sin−1₍₋1 3) − 1 3= sin 𝑦  𝑦 는 사인함수의 값이 −1₃ 이 되기 위한 각.  또한, −1₃= sin 𝑦 < 0 이므로, 각 𝑦 는 3/4분면 또는 4/4분 면의 각.  아크사인 정의에 의해 −π₂ ≤ 𝑦 ≤ π₂ 이므로, 각 𝑦 는 4/4분면 또는 1/4분 면의 각.  그러므로, 각 𝑦 는 4/4분 면의 각이 되어야 함. −π₂ < 𝑦 < 0  직각삼각형 (피타고라스 정리) sin 𝑦 = −1₃  최종적으로, cos[(sin−1₍₋1 3)] = cos 𝑦 = 2 2 3 3 1 2 2 𝑦 𝑦 𝑥 (2 2, −1) −1 o 𝑥 𝑦 (양의 삼각함수) sin _all tan cos

6. 복소수 (complex number)

6-1. 복소수 개념 6-1-1. 복소수의 정의  복소수: 실수 외에 허수까지 포함하는 수.  실수: 실수의 기본단위는 1이며, 실수는 이의 배수로 나타내며, 제곱하여 0 또는 양수로 표시됨.  허수: 제곱하여 -1이 되는 수를 기본단위로 하는 새로운 가상의 수. _𝑖2 _{= −1 𝑖 = −1 (허수 기본단위)}  복소수의 구성: 실수와 허수의 합으로 이루어지고, A 또는

A

로 표시함. A = A = 𝑎 + 𝑏𝑖, (𝑎, 𝑏 는 각각 실수)

 A 의 실수 부(real part):

𝑎 𝑎 = 𝑅𝑒 A = 𝑅𝑒(A )

6-1-2. 복소수의 표시

 실수는 기하학적으로 일직선상의 한 점으로 표시되나, 복소수는 두 개의 실수로 구성되므로 일직 선상에 표시할 수 없음.

 복소평면(complex plan) or 가우스평면(Gauss plan)

 복소수는 실수를 가로축(𝑥축)으로 하는 실축과 허수를 세로축(𝑦축)으로 하는 허축의 직교좌표의 한 점으로 표시됨.  직교좌표에서 한 점 𝑃(𝑎, 𝑏)는 복소수 A = 𝑎 + 𝑏𝑖 의 한 점으로 대응 됨. 0 𝑎 𝑃(𝑎, 𝑏) 𝑦 (허축) 𝑥 (실축) A = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑏 0 𝑎 𝑃(𝑎, 𝑏) 𝑦 (허축) 𝑥 (실축) A = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑏

6-2. 복소수의 연산 6-2-1. 복소수의 사칙연산  두 복소수가 각각 다음과 같을 때, A = 𝑎 + 𝑏𝑖 , B = 𝑐 + 𝑑𝑖  덧셈: A + B = 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 + 𝑐 + 𝑏 + 𝑑 𝑖  뺄셈: A − B = 𝑎 + 𝑏𝑖 − 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 − 𝑐 + 𝑏 − 𝑑 𝑖  곱셈: A B = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑖 + 𝑏𝑑𝑖2 _{= (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑖}  나눗셈: A B

=

𝑎+𝑏𝑖 𝑐+𝑑𝑖

=

(𝑎+𝑏𝑖)(𝑐−𝑑𝑖) (𝑐+𝑑𝑖)(𝑐−𝑑𝑖)

=

𝑎𝑐+ 𝑏𝑐−𝑎𝑑 𝑖−𝑖2𝑏𝑑 𝑐2−(𝑑𝑖)2

=

(𝑎𝑐+𝑏𝑑)+ 𝑏𝑐−𝑎𝑑 𝑖 𝑐2+𝑑2 6-2-2. 복소수의 상등  두 복소수 A = 𝑎 + 𝑏𝑖 , B = 𝑐 + 𝑑𝑖 가 A = B 일 때, 두 복소수는 같다고 하며, 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑐 + 𝑑𝑖 𝑎 = 𝑐, 𝑏 = 𝑑

6-2-3. 공액(conjugate) 복소수  복소수에서 실수부는 같고 허수부의 부호만 바뀐 관계의 복소수를 공액복소수 함.  공액복소수의 표시: 복소수 A 의 공액복소수는 A 로 표시함. A = 𝑎 + 𝑏𝑖 (공액복소수) A = 𝑎 − 𝑏𝑖  공액복소수의 연산  A + A = 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑎 − 𝑏𝑖 = 2𝑎  A − A = 𝑎 + 𝑏𝑖 − 𝑎 − 𝑏𝑖 = 2𝑏𝑖  A A = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑎 − 𝑏𝑖 = 𝑎2_{− 𝑏𝑖} 2 _{= 𝑎}2 _{+ 𝑏}2 0 𝑎 A = 𝑎 − 𝑏𝑖 𝑦 (허축) 𝑥 (실축) A = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑏 −𝑏 −𝑎 −A = −𝑎 − 𝑏𝑖

예제 1) 다음을 간단히 하라. 1-1) 𝑖5 _{= 𝑖}4_{× 𝑖 = (−1)}4_{× 𝑖 = −𝑖} 1-2) 𝑖 × −𝑖 = −𝑖2 _{= 1} 1-3) 𝑖999 _=? 예제 2) 두 복소수 A = 8 + 6𝑖 , B = −2 + 𝑖 에 합, 차, 곱셈, 나눗셈을 각각 구하라. 2-1) A + B = 8 + 6𝑖 + −2 + 𝑖 = 8 − 2 + 6 + 1 𝑖 = 6 + 7𝑖 2-2) A − B = 8 + 6𝑖 − −2 + 𝑖 = 8 + 2 + 6 − 1 𝑖 = 10 + 5𝑖 2-3) A B = 8 + 6𝑖 −2 + 𝑖 = −16 + 8 − 12 𝑖 + 6𝑖2 = −22 − 4𝑖 2-4) A B

=

8+6𝑖 −2+𝑖

=

(8+6𝑖)(−2−𝑖) (−2+𝑖)(−2−𝑖)

=

−16+ −8−12 𝑖−6𝑖2 (−2)2_−𝑖2

=

−10−20𝑖 5

= −2 − 4𝑖

6-3. 복소수의 극형식 6-3-1. 극형식 (polar form)  아래 복소평면에서 복소수 A = 𝑎 + 𝑏𝑖 를 나타내는 점을 𝑃(𝑎, 𝑏)라 하고, A 의 절대값을 𝑟, A의 할 때 편각을 θ 라 할 때, cos θ = 𝑎_𝑟 𝑎 = 𝑟 cos θ sin θ = 𝑏_𝑟 𝑏 = 𝑟 sin θ 그러므로 점 𝑃(𝑎, 𝑏)는 𝑃(𝑟 cos θ , 𝑟 sin θ)가 되며, 복소수 A 는

_{A = 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑟 cos θ + 𝑖𝑟 sin θ = 𝑟(cos θ + 𝑖sin θ)}

 여기서 𝑟, θ 는 각각 복소수의 절대값(크기)과 편각이므로, 𝑟 = A = 𝑎2_{+ 𝑏}2 θ = arg A = tan−1₍𝑏 𝑎) 0 𝑎 𝑃(𝑎, 𝑏) 𝑦 (허축) 𝑥 (실축) A = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑏 θ

예제 3) 다음복소수를 극형식으로 나타내라. 3-1) A = 1 + 𝑖, (1/4분면의 각)  크기: 𝑟 = A = 12 _{+ 1}2 _{= 2}  편각: θ = tan−1₍1 1) θ = 45° = π 4  극형식: A = 1 + 𝑖 = 2(cosπ 4+ 𝑖 sin π 4) 3-2)) A = −3 − 3𝑖, (3/4분면의 각)  크기: 𝑟 = A = (−3)2₊₍₋₃₎2_{= 3 2}  편각: θ = tan−1(−3₋₃) θ = 45°_{+ 180}° ₌ π 4 + π = 5π 4  극형식: A = −3 − 3𝑖 = 3 2(cos5π₄ + 𝑖 sin5π₄)