2
ℝ
에서의 위상적 구조
이 단원에서는 실수체 ℝ위에서의 벡터 공간 ℝ의 위상적 성질에 대해 공부하고 그 개념을 일반화하여서 이후에 연결짓기 위상수학- 편에서는 일반화된 거리공간으로 그 개념을 좀 더 일반화시켜서 위상수학의 개념과 연결지어서 공부하려고 합니다.열린 집합(Open Set)
0
1
열린 구와 닫힌 구(1) (Open n-Ball and Closed n-Ball) ❶ 열린 구
다음과 같이 정의된 집합을 a를 중심으로 하는 열린 구(Open n-Ball)이라 한다.
∈ ℝ ∥ ∥
❷ 닫힌 구
다음과 같이 정의된 집합을 a를 중심으로 하는 닫힌 구(Open n-Ball)이라 한다.
∈ ℝ ∥ ∥≤
내점 (2) (Interior Point) 집합 에 대하여 다음 조건을 만족하는 점 를 의 내점(Interior Point)라 한다. 적당한 의 열린구 가 존재해서 ∈⊂ 열린집합 (3) (Open Set) 집합 가 한 점을 포함할 때 그 점의 열린 구를 포함하면, 를 열린집합(Open Set) 이라 한다 즉. , ∀∈, ∃:열린 구 s.t ⊂ 이면 를 열린집합이라 한다. 즉 ( , 의 모든 점이 내점인 경우를 가 열린집합이다.) 1 다음 집합이 열린집합인지 판별하시오. (1) (2)ℝ (1) ∀ ∈ , ∥ ∥∥ ∥라 하면 다음이 성립한다. ∈ ⊂ 그러므로 열린구간 는 열린집합이다. 임의의 (2) ∈ ℝ에 대하여 ℝ는 전체집합이므로 를 포함하는 임의의 열린구 를 포함한다 그러므로. ℝ는 열린집합이다.집합론에서 공부했던 집합을 원소로 갖는 집합족 에 대한 정의를 가져와 보겠습니다.
정의 2.1
집합족 의 교집합(The intersection of the sets )전체집합 에 대하여 다음과 같이 표기한다. (1) 집합족 의 합집합
∈
∈ 모든 ∈ 에 대하여 ∈ (2) 인덱스의 집합 에 대한 합집합 인덱스의 집합 에 대하여
∈
∈ 모든 ∈ 에 대하여 ∈
(3) 유한개의 인덱스의 집합 에 대한 합집합 유한개의 인덱스의 집합 ⋯ 에 대하여
∈ 모든 ∈ 에 대하여 ∈
2 다음 합집합을 구하시오.
∞
∈
∞
라 가정하여 모순됨을 보이자. 인 고정점 이지만 아르키메데스의 원리에 의하여 충분히 큰 이 존재해서 을 만족시킨다. 이는 모든 자연수 에 대하여 라는 사실에 모순이다. 그러므로
∞
∅이다.정리 2.2
집합족
∈
에 대하여 ∅라 하면 다음이 성립한다 단. ( , 는 전체집합) (1)
∈ ∅ (2)
∈ (1)∀ ∈, ∉
∈ ⇔ ∼
∈
∈
(∵표기) ⇔ ∼
적당한 ∈ ∅가 존재해서 ∈
(∵정의) ⇔ ∀ ∈ ∅ ∉ 그러므로
∈ ∅이다. (2)∀ ∈, ∈
∈ ⇔ ∀ ∈ ∅ ∈ 그러므로
∈ 이다.정리 2.3
(
위상의 조건
1)
ℝ의 임의의 개수의 열린집합들의 합집합은 열린집합이다.
∈
를 열린집합들의 모임이라고 하자. ∈
이라 하면 적당한 ∈가 존재해서 ∈ 이다 이 때. , 은 열린집합이므로 정의에 의하여 적당한 가 존재해서 ∈ ⊂ 임이 성립한다 결과적으로. ∈ ⊂ ⊂
이므로 열린집합의 정의에 의하여
또한 열린집합이다. 위 정리는 위상공간에서 위상을 정의하는 조건 중에 하나가 됩니다 잘 기억하고 계셨다가 위상공간을. 공부하실 때 비교하시면 좋습니다 위 정리를 통하면 열린집합을 판별하는데 도움이 됩니다. . 다음 정리 또한 위상의 조건 중 하나인 명제입니다.ℝ
에서의 위상적 구조
정리 2.4
(
위상의 조건
2)
유한개의 열린집합들의 공통집합은 열린집합이다.
⋯
를 ℝ의 유한개의 열린집합의 모임이라 하자. ∈
라 하면 모든 에 대하여 ∈이고 각 들은 열린집합이므로 정의에 의하여 적당한 열린구 가 존재하여 다음이 성립한다. ∈ ∈ min
⋯
라 하면 ∈ ⊂
⊂
그러므로 유한개의 열린집합들의 공통집합은 열린집합이다. 무한개의 교집합을 하면 위 명제에서는 유한개에 대한 조건을 무한개로 바꿔도 성립하는지 고려를 해봐야 합니다 다음 예제를 보시면서 무한개인 경우는. 성립하지 않음을 확인하겠습니다. 3 다음 집합이 열린집합인지 판별하시오. (1) ∪ (2)
∈ ℕ
(1) 은 열린구간이므로 열린집합이고, (2)
∞
이고 한 점 집합은 열린집합이 아니므로 항상 열린집합의 무한개의 교집합은 열린집합이 아니다. 열린집합에 대하여 공부를 했으니 닫힌집합에 대하여 공부해 보겠습니다.정의 2.5
닫힌집합(Closed Set) 열린집합 에 대하여 이면 를 닫힌집합(Closed set)라 한다.정리 2.6
(
닫힌집합의 성질
)
공집합 (1) ∅와 ℝ은 닫힌집합이다. 유한개의 닫힌집합의 합집합은 닫힌집합이다 (2) . 임의의 개수의 닫힌집합 (3) , ∈들의 교집합
∈ 는 닫힌집합이다. 생략 (1) 유한개의 닫힌집합의 합집합의 여집합 (2)
임이 성립한다 닫힌집합의 정의에 의하여 각. 는 열린집합이고 정리, 2.2 에 의하여
는 열린집합이다 정의에 의하여.
는 닫힌집합이다. 임의의 개수의 닫힌집합 (3) , ∈들의 교집합의 여집합
∈
∈ 임이 성립한다 닫힌집합의 정의에 의하여 각. 는 열린집합이고 정리, 2.1 에 의하여
∈ 는 열린집합이다 정의에 의하여.
∈ 는 닫힌집합이다. 위상(Topology)에서는 닫힌집합의 정의를 열린집합의 여집합으로 정의하지만 유클리드 거리공간에선 보통 다음과 같이 정의합니다. ⊂ ℝ: 닫힌집합 ⇔ ′ ⊂ 이 정의를 통해서 여집합이 열린집합임을 보이는 작업을 하지만 이 책에선 위상과의 연결성을 고려하여 닫힌집합의 정의를 열린집합의 여집합으로 정의하고 위 정의가 필요충분조건이 됨을 보이겠습니다.ℝ
에서의 위상적 구조
ℝ
에서의 위상적 구조
폐포과 집적접
0
2
집적점 (1) (Cluster Point) 집합 에 대하여 다음 조건을 만족하는 점 를 집적점(Cluster Point)라 한다. 임의의 의 열린집합 에 대하여 ∩
≠ ∅ 유도집합 (2) (Derived Set) 집합 의 집적점 전체의 집합을 유도집합(derived set)이라 하고 ′로 표기한다. 폐포 (3) (Closure) 폐포 는 다음과 같이 정의한다. ∪′ 먼저 위 정의들에 관련된 정의들에 대하여 알아보도록 하겠습니다.정리 2.7
(
집합의 필요충분조건
)
다음 명제는 항상 참이다. (1) ⊂ ℝ: 열린집합 ⇔ 각 점 ∈가 의 내점 (2) ⊂ ℝ: 닫힌집합 ⇔ ′ ⊂ (2) ⇒ 집합 를 ℝ의 닫힌 부분집합이라 가정하자. ∉ ⇒ ∈: 열린집합 ⇒ ∈
(∵(1)) ⇒ 적당한 의 열린근방 가 존재해서 ∈ ⊂을 만족한다. ⇒ ∩ ∅ 그러므로 ∉ 이다. ⇐ ′ ⊂라 하면 ∈ ⇒ ∉ ⇒ ∉′ ⇒ 적당한 의 열린근방 가 존재해서 ∩⊆ ⇒ ∩ ∅(∵ ∉) ⇒ ⊂정리 2.8
(
집적점의 필요충분조건
)
점 ∈ ℝ가 집합 ⊂ ℝ의 집적점일 필요충분조건은 각 자연수 에 대하여 부등식
를 만족시키는 에서의 수열〈
〉
이 존재하는 것이다. (2) ⇒ 점 ∈ ℝ가 집합 ⊂ ℝ의 집적점이라 가정하자. 적당한 자연수 이 존재해서 ∈ 를 만족한다. 가정에 의하여 ∈ ℝ가 집합 ⊂ ℝ의 집적점이므로 적당한 가 아닌 원소 가 존재해서 다음이 성립한다. ∈ 라 하면
이다. ⇐ 아르키메데스 원리에 의하여 모든 양수 에 대하여 적당한 자연수 ∈ ℕ이 존재해서 임이 성립하고 ⊂이다. 가정에 의하여 적당한 수열 이 존재해서
이므로 다음이 성립한다. ∈ ⊂ 그러므로 는 의 집적점이다. 4 다음 집합의 유도집합을 구하시오. (1) ℚ (2) ℕ (3) ℤ (4) ℚ (5) (6) (유한집합) (1) ℚ′ ℝ (2) ℕ′ ∅ (3) ℤ′ ∅ (4)
ℚ
′ ℝ (5) ′ (6) ′ ∅ℝ
에서의 위상적 구조
따름정리 2.9
(
폐포의 성질
1)
⊂ ℝ: 닫힌집합 ⇔ 정리2.7에 의하여 다음 조건을 얻었다. ⊂ ℝ: 닫힌집합 ⇔ ′ ⊂ 폐포의 정의 ∪′를 고려해보면 다음과 같은 결론을 얻을 수 있습니다. ⊂ ℝ: 닫힌집합 ⇔ ′ ⊂ ⇔ (∵ ′ ∪) 따름정리 을 직관적으로 생각을 해보면 다음과 같습니다8 . 첫 번째는 폐포 는 닫힌집합이다. 두 번째는 폐포 는 를 포함하는 최소의 닫힌집합이다. 구체적인 이유는 연결짓기 위상수학 편에서 보시도록 하고- 자기 자신이 닫힌집합이 된 경우 가 되므로 결국 폐포는 는 를 포함하는 가장 작은 닫힌집합임을 알 수 있고 다음과 같이 생각해도 됩니다.
∈ (는 를 포함하는 모든 닫힌집합) 이러한 폐포에 대한 직관적인 해석은 다음과 같이 증명에 유용하게 사용됩니다.정리 2.10
(
폐포의 성질
2)
부분집합 ⊂ ℝ에 대하여 ⊂ 이면 ⊂ 이고 또한 ∪ ∪ 이다. ⊂ 이면 정의에 의하여 ′ ⊂′이므로 ⊂ 이다. 이제, ⊂ 이면 ⊂ 이라는 성질을 통해서 증명하자. ⊂ ∪ 이므로 ⊂ ∪ ⊂ ∪이고 따라서 ∪ ⊂ ∪이다. 반면에, ∪는 를 포함하는 최소의 닫힌집합이고 ∪ 는 를 포함하는 임의의 닫힌집합이므로 다음과 같은 포함관계를 얻는다. ∪ ⊃ ∪ 그러므로 ∪ ∪ 임이 성립한다.ℝ
에서의 위상적 구조
내부 외부 경계
,
,
0
3
내부 (1) (Interior) 를 위상공간 의 부분집합이라 할 때 점, ∈가 에 포함되는 열린집합 에 속할 때 점 를 의 내점(interior point) 이라 한다 즉. , ∈ ⊂ 의 내점 전체의 집합은 다음과 같이 표기한다. int Ả 또는이것을 의 내부(interior) 또는 열린 핵(open kernel)이라 한다.
외부 (2) (Exterior) 의 외부(Exterior)는 로 표기되고 의 여집합의 내부 즉, int이다. 경계 (3) (Boundary) 의 경계(Boundary)는 로 표기되고 이것은 의 내부에도 외부에도 속하지 않는 점의 집합이다.
5
보통위상에서 정의된 끝점이 와 인 네 개의 구간 와 에 대하여 내부와 경계 외부, 를 모두 구하시오. 네 개의 구간 모두 내부는 열린 구간 이고 각각의 경계는 끝점인 집합 즉, , 이다 외부는. ∞ ∪ ∞이다.6
보통위상 공간에 대하여 유리수의 집합 ℚ의 내부 외부 경계, , 를 모두 구하시오. ℝ의 모든 열린 부분집합에는 조밀성에 의하여 반드시 유리수와 무리수를 포함한다. 그러므로 ℚ의 내점 또는 외점이 존재하지 않는다. 따라서 intℚ ∅ 이고 intℚ ∅이다. ℚ의 경계는 실수 전체의 집합 즉, ℚ ℝ이다.ℝ
에서의 위상적 구조
정리 1.9
(
축소구간정리
)
닫힌 구간열〈
〉
에 있어서 모든 자연수 에 대하여 이 유계이고, ⊂이면 다음이 성립한다.
∞ ≠ ∅
이라고 하면 은 닫힌 구간이므로
은 에 의해 위로 유계하고 증가수열,
은 에 의해 아래로 유계이고 감소수열이다. 그러므로 유계한 단조수열은 수렴한다는 사실에 의해 적당한 ∈ ℝ이 존재해서 다음이 성립한다. → , → 이 때 모든 자연수, 에 대하여 이므로 다음이 성립한다. ≤ ≤ ≤ 그러면 모든 자연수 에 대해서 다음이 성립한다. ≤ ≤ ≤ ≤ 7
다음을 구하시오. (1)
∞
(2)
∞
충분히 큰 (1) 에 대하여
축소구간열에 의하여 다음이 성립한다.
∞
(2)
∞
∅ 이라고 하면 아르키메데스 원리에 의하여 적당한 ∈ ℕ이 존재해서 다음이 성립한다. 그러므로 ∉
∞
만약 ≤ 라고 하면 ∉
∞
이다. 결과적으로
∞
∅이다.앞에서 완비성 공리를 통해서 축소구간정리를 증명하였습니다. 즉, 완비성 공리 ⇒ 축소구간정리 인 관계가 되고 그 역이 성립함, 을 보일 수 있습니다. 공부하시는 분들께서 직접증명을 해보시기 바랍니다 다음 볼 정리는 축소구간정리를 통해 얻을 수 있는. 볼차노 바이어슈트라스 정리입니다 볼차노 바이어슈트라스 정리는 수열에 관한 것과 집적점에 관한 것이- . -있습니다.
