우석대학교 에너지전기공학과

우석대학교 에너지전기공학과

이우금 교수

예제) 다음 값을 구하라. (복습) (5+5 3𝑖)(−4+4𝑖) (5+5𝑖) + (2 + 3𝑖) 1) 5 + 5 3𝑖 = 10 ∠60° 2) −4 + 4𝑖 = 4 2 ∠135° 3) 5 + 5𝑖 = 5 2 ∠45° 그러므로, 1) ~ 3) 으로부터, (10+5 3𝑖)(−4+4𝑖) (5+5𝑖) = (10 ∠60°)(4 2 ∠135°) (5 2 ∠45° ) = 10×4 2 5 2 ∠(135° + 60° − 45°) = 8∠150° = 8 cos 150° + sin 150° = 8 − ₂3+1₂𝑖 = −4 3 + 4𝑖 Finally, (10+5 3𝑖)(−4+4𝑖) (5+5𝑖) + (2 + 3𝑖) = (−4 3 + 4𝑖) + (2 + 3𝑖) = (2− 4 3)+ (4+ 3)𝑖 = (2− 4 3)+ 7𝑖

6-5. 복소수의 연산 (정리)

 복소수의 합과 차

 ሶA + ሶB = 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 + 𝑐 + 𝑏 + 𝑑 𝑖  ሶA − ሶB = 𝑎 + 𝑏𝑖 − 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 − 𝑐 + 𝑏 − 𝑑 𝑖  복소수의 곱셈

 ሶA = A(cos θ₁+ 𝑖 sin θ₁), ሶB = B (cos θ₂+ 𝑖 sin θ₂)  ሶA ∙ ሶB = AB{cos( 𝜃₁+ θ₂) + 𝑖 sin(𝜃₁+θ₂)}

= AB∠(𝜃1+ θ2)

= AB𝑒𝑖(𝜃1+θ2)

 복소수의 나눗셈

 ሶA_ሶB = A_B{cos( 𝜃₁− θ₂) + 𝑖 sin(𝜃₁−θ₂)} =A B∠(𝜃1− θ2) =A_B𝑒𝑖(𝜃1−θ2) 0 𝑦 (허축) 𝑥 (실축) θ₁ θ₂ 𝜃1− θ2 ሶA ሶB ሶA ሶB 0 𝑦 (허축) 𝑥 (실축) θ1 θ2 𝜃1+ θ2 ሶA ∙ ሶB ሶA ሶB

6-6. 복소수의 n제곱과 n제곱근 6-6-1. 복소수의 n제곱

 복소수의 n제곱을 좌표형식으로 표시하면, ሶA𝑛 _{= 𝑎 + 𝑏𝑖} 𝑛

이를 지수함수형식(또는 극좌표형식)을 이용하여 표시하면 (드 므와브르 정리), ሶA𝑛 _{= (A𝑒}𝑖θ₎𝑛 _{= A}𝑛_𝑒𝑖𝑛θ _{= A}𝑛_{{cos 𝑛𝜃 + 𝑖 sin(𝑛𝜃)} = A}𝑛 _{∠ 𝑛𝜃}

예제) 다음의 주어진 식을 계산하라. 1) {cos(2𝜋 3) + 𝑖 sin( 2𝜋 3)} 3 _{= cos(2𝜋) + 𝑖 sin(2𝜋) = 1} 2) 1 + 𝑖 −3 1 + 𝑖 = 2(cos𝜋₄+ 𝑖 sin𝜋₄) 그러므로, 1 + 𝑖 −3 _{= { 2(cos}𝜋 4+ 𝑖 sin 𝜋 4)} −3 = 2−32 cos −3𝜋 4 + 𝑖 sin − 3𝜋 4 =_{2 2}1 − ₂2− ₂2𝑖 = −1₄(1 + 𝑖)

6-6-2. 복소수의 n제곱근  아래의 이항방정식을 만족하는 𝑥를 𝑎의 𝑛제곱근이라함. 𝑥𝑛 _{= 𝑎, 𝑜𝑟 𝑥}𝑛_{− 𝑎 = 0} ※ 여기서 𝑎의 𝑛제곱을 만족하는 복소수는 𝑛개 존재한다.  그러므로, 수의 범위를 확장하여 복소수 ሶA와 ሶB 에 대한 이항방정식을 구하면, ሶA𝑛 _{= ሶB, 𝑜𝑟 ሶA}𝑛 _{− ሶB = 0} ※ 복소수 ሶB의𝑛제곱은 만족하는 복소수 ሶA는 𝑛개 존재한다.  복소수 ሶA와 ሶB 를 극형식으로 표시하고, 이항방정식의 근인 복소수 ሶA를 구하면,

ሶA = A𝑒𝑖𝜑 _{= A ∠φ = A(cos 𝜑 + 𝑖 sin 𝜑) ሶA}𝑛 _{= (A𝑒}𝑖𝜑₎𝑛 _{= A}𝑛_{{cos 𝑛𝜑 + 𝑖 sin(𝑛𝜑)}}

ሶB = B𝑒𝑖θ _{= B ∠θ = B(cos θ + 𝑖 sin θ)}

A𝑛_{{cos 𝑛𝜑 + 𝑖 sin(𝑛𝜑)} = B(cos θ + 𝑖 sin θ) (즉, ሶA}𝑛 _{= ሶB)}

 위의 등식으로 부터 크기와 편각 θ 를 구하면, 크기: A𝑛 _{= B A=}𝑛 _B

편각: 𝑛𝜑 = θ θ 를 일반각 (즉, θ = θ + 2𝑘𝜋)으로 고치면, 𝑛𝜑 = θ + 2𝑘𝜋 𝜑 = θ+2𝑘𝜋_𝑛 , (𝑘 = 0, 1, 2, … , 𝑛 − 1)

6-6-2. 복소수의 n제곱근 (계속)  위의 등식으로부터 크기는 같고, 편각 θ 를 일반각 (즉, θ = θ + 2𝑘𝜋)으로 고치면, 크기: A𝑛 = B A=𝑛 B 편각: 𝑛𝜑 = θ + 2𝑘𝜋 𝜑 = θ+2𝑘𝜋_𝑛  즉, 복소수 ሶA의 크기와 편각이 도출됨.  복소수 ሶB의 𝑛제곱근 ሶA_𝑘는 ሶA_𝑘 = A ∠𝜑 = 𝑛 B ∠θ+2𝑘𝜋_𝑛 = 𝑛 B(cosθ+2𝑘𝜋_𝑛 + 𝑖 sinθ+2𝑘𝜋_𝑛 ) , (𝑘 = 0, 1, 2, … , 𝑛 − 1)  특히, 𝑘 = 0 에 대한 근을 주근 이라하며, 나머지 근을 부근. 주근: ሶA₀ = 𝑛 B ∠θ_𝑛 = 𝑛 B(cosθ_𝑛+ 𝑖 sinθ_𝑛) 부근: ሶ_{A1 =} 𝑛 _{B ∠}θ+2𝜋 𝑛 = 𝑛 B(cosθ+2𝜋_𝑛 + 𝑖 sinθ+2𝜋_𝑛 ) ሶA₂ = 𝑛 B ∠θ+4𝜋_𝑛 = 𝑛 B(cosθ+4𝜋_𝑛 + 𝑖 sinθ+4𝜋_𝑛 )

※ 부근의 기하학적 의미: 주근의 점에서 원점을 중심으로 2𝜋