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Chapter 1 확인학습
[집합 및 함수] 이름 : 1. [정리1.1] 드모르간(De Morgan)의 법칙을 완성하시오. (1)
∈
(2)
∈
2. [정리1.1]을 증명하시오. (1) (2) 3. [정리1.2] 분배법칙을 완성하시오. (1) ∩
∈
(2) ∪
∈
4. [정리1.2] (1)을 증명하시오.5. [정의1.2] 집합 에 대하여 ∼ 가 동치관계가 되기 위한 3가지 공리를 쓰시오. (1) (2) (3) 6. [예제1.1] 전체집합 에 대하여 ∼ 가 동치관계인지 판정하시오. (1) ℝ, ∼ ⇔ ⊂ (2) ℝ, ∼ ⇔ 인 가역행렬 가 존재한다. (단, ℝ는 × 실계수 행렬 전체의 집합이다. 7. [정의1.3] ∼ 가 상의 동치관계일 때, ∈에 대하여 (1) 동치류 (2) 상(몫)집합 ∼ 8. [예제1.2] ℝ 의 두 원소 x y에 대하여 x∼ y ⇔ y cx인 양의 실수 가 존재한다. 라 정의할 때, ∼ 가 동치관계임을 보이고 동치류와 상집합을 구하시오.
9. [정리1.3] ∼ 를 상의 동치관계, 를 ∈의 동치류라 할 때, (1) 모든 ∈에 대해서 ( ) (2) ∼ ⇔ ( ) (3) 또는 ( ) 10. [정리1.3]을 증명하시오. (1) (2) (3) 11. [정의1.4] 분할의 정의를 서술하시오. 12. [정리1.4] ∼ 를 상의 동치관계라 하면, ( )은 의 분할이다.
14. [정의1.5] (1) 단사함수의 정의를 서술하시오. (2) 전사함수의 정의를 서술하시오. (3) 전단사함수의 정의를 서술하시오. 15. [정의1.6] →, ⊂, ⊂에 대하여 (1) (2) 16. [예제1.3] ℕ→ℕ × ,
에 대하여 × ,
ℕ ×
을 구하시오. (단, 는 소수 전체의 집합이다.) 17. [예제1.4] 주어진 함수 와 ⊂ ℝ에 대하여 를 구하시오. ℝ→ℝ , , × 18. [정리1.6, 예제1.5] 다음 포함관계를 채워 넣고, 등호가 성립하지 않는 것은 예를 구하시오. 등호가 성립하지 않는 예 (1)
∈
∈
(2)
∈
∈
(3)
∈
∈
(4)
∈
∈
(5) (6) 19. [정리1.6]을 증명하시오. (1) (4) (5)20. [정리1.7, 예제1.6] →, ⊂, ⊂에 대하여 빈칸을 채우고, 등호가 성립하지 않는 예를 구하시오. (1) , 가 ( )함수이면 등호성립 등호가 성립하지 않는 예 : (2) , 가 ( )함수이면 등호성립 등호가 성립하지 않는 예 : 21. [정리1.7]을 증명하시오. (1) (2) 22. [정의1.7] (1) 가부번집합의 정의를 서술하시오. (2) 가산집합의 정의를 서술하시오. 23. [정리1.8] (1) 가산집합의 부분집합은 ( )이다. (2) 임의의 ( )은 ( )을 부분집합으로 가진다. (3) 가산집합의 ( )은 가산집합이다.
24. [예제1.7] 다음을 보이시오. (1) ℕ , ℤ , ℚ 는 가부번 집합이다. (2) ℚ, ℝ 는 비가산 집합이다. 25. [예제1.8] 다음을 보이시오. (1) , 가 가부번 집합이면 × 역시 가부번 집합이다. (2) ℕ × ℕ × ℕ × ⋯ 는 비가산 집합이다.
