(1) 정의 : 가 폐구간 에서 연속일 때
lim
→ ∞
∆
단 ∆
⋅∆
예제 : 정적분의 정의에 의해서
의 값을 구하여라.예제 :
lim
→∞
⋯
의 값을 구하여라.(2) 무한급수의 정적분 변환
lim
→ ∞
(3) 기본 성질 및 정의
,
,
,
,
(4)치환적분
가 에서 연속이고, 가 에서 1:1 함수이고 미분가능이며,
가 되면
⋅ ′ (5) 우함수, 기함수의 정적분
(6) 주기함수의 정적분 : 의 주기가 일 때
(단, 는 임의의 상수) (7) 부분적분법◀
′
′ (8) 극한과 정적분
◀
lim
→
◀
lim
→
(9) 정적분과 미분
◀
◀
◀
⋅ ′ ⋅′(10) 정적분의 평균값 정리
함수 가 에서 연속일 때
단 인 값 가 적어도 하나 존재한다.63
▶ 연습문제 ◀
다음에서 f(x),g(x)를 구하여라.
(1) ⌠⌡f(x)dx=x3+4x2-5x+C
(2) ⌠⌡(3-x)g(x)dx= 6x-x2+ 4x3-x4+C 답. (1) 3x2+8x-5 (2) 4x2+2
다음 각 식을 간단히 하여라.
(1) dxd ( ⌠⌡x3dx) (2) ⌠⌡(dx xd 3)dx
답. (1) x3 (2) x3+C
다음 부정적분을 구하여라.
(1) ⌠⌡2dx (2) ⌠⌡(-3)dx (3) ⌠⌡dx
답. (1) 2x+C (2) -3x+C (3) x+C
다음 부정적분을 구하여라.
(1) ⌠⌡(2x- 1)2dx (2) ⌠⌡(1- 4x)3dx (3) ⌠⌡(x+1)4dx
답. (1) 16 (2x- 1)3+C (2) - 116 (1- 4x)4+C (3) 15 (x+ 1)5+C
다음 부정적분을 계산하여라.
(1) ⌠⌡x(x+1)(x+2)dx
(2) ⌠⌡ xx3+2+8 dx (3) ⌠⌡( 1
cos2y - sin
2y cos2y )dy (4) ⌠⌡(x+ 1)3dx- ⌠⌡(x-1)3dx (5) ⌠⌡ x3
x-1 dx- ⌠⌡ 1 x-1 dx
(6) ⌠⌡ 2x2+1+ 2x x2+1dx- ⌠⌡ 2x2+1- 2x x2+1dx
답. (1) 14 x4+x3+x2+C (2) 13 x3-x2+4x+C (3) y+C (4) 2x3+2x+C (5) 13 x3+ 12 x2+x+C (6) x2+C
다음 각 물음에 답하여라.
(1) f '(x) = 2 + 4x+ 3x2이고, f(0) = 3인 함수 f(x)를 구하여라.
(2) 3x2-ax의 부정적분 중 x= 0일 때, 그 값이 1이고, x= 2일 때 그 값이 5인 것을 구하여라.
(3) 두 점 ( 0,- 2), (1,0)을 지나는 곡선 y=f(x) 위의 점 (x,y)에서의 접선의 기울기가 3x2- 6x+ 4에 비례할 때, f(x)를 구하여라.
답. (1) f(x) =x3+2x2+2x+3 (2) f(x) =x3-x2+1 (3) f(x) =x3- 3x2+4x-2
사차함수 f(x)의 도함수 f '(x)의 그래프가 그림과 같이 주어졌다. f(x)의 극대 값이 0이고, 극소값이 -16일 때, 함수 f(x)를 구하여라.
답. f(x)=x4-8x2
곡선 y=x3과 x축 그리고 직선 x= 1로 둘러싸인 도형의 넓이를 구분구적법에 의해서 구하여라.
65 답. 14
밑면의 반지름이 r, 높이가 h인 직원뿔의 부피 V를 구분구적법에 의해서 구하여 라.
답. 13 πr2h
다음 정적분의 값을 구하여라.
(1) ⌠⌡1
03x2dx (2)⌠⌡2
0 2xdx (3) ⌠⌡2
- 1x2dx
답. (1) 1 (2) 4 (3) 3
다음 정적분의 값을 계산하여라.
(1) ⌠⌡2
1(x2-3x+2)dx (2) ⌠⌡3
2(t-2)(t2+2t+4)dt 답. (1) - 16 (2) 334
다음 정적분의 값을 구하여라.
(1) ⌠⌡1 + 3
1 - 3 3(x2-2x-2)dx (2) ⌠⌡2
1( x+1)3dx+ ⌠⌡
1
2( t- 1)3dt (3) ⌠⌡π
0( sinα+cosα)2dα+ ⌠⌡
π
0( sinβ- cosβ)2dβ 답. (1) - 12 3 (2) 11 (3) 2π
f(x) =
{
x2x2-x2 (0≤(x≥1)x≤1)일 때, 다음 정적분의 값을 각각 구하여라.(1) ⌠⌡1
0f(x)dx (2) ⌠⌡2
0f(x)dx (3) ⌠⌡3
0f(x)dx
답. (1) 13 (2) 1 (3) - 13
그림은 함수 y=f(x)의 그래프이다. 이 때, ⌠⌡2
0x2f(x)dx를 구하여라.
답. 52
다음 정적분의 값을 구하여라.
(1)⌠⌡2
0(|x-1|+3x)dx (2) ⌠⌡1
- 1|x(x-2)|dx 답 (1) 7 (2) 2
다음 극한값을 구하여라.
lim
x→1
x-11 ⌠
⌡
x
1(t3+2t2-3t+1)dt 답. 1
다음 관계식을 만족시키는 함수 f(x)를 구하여라.
(1) f(x) =x3-3x+ ⌠⌡
2 0f(t)dt
67 (2) f(x) = 4x+ ⌠⌡
3
0 xf '(x)dx
답. (1) f(x) =x3- 3x+ 2 (2) f(x) = 4x+ 18
다음 관계식을 만족시키는 함수 f(x)를 구하여라.
f(x) =4x3+3x2+ 2
{
⌠⌡01f(x)dx}
x+ ⌠⌡02f(x)dx 답. f(x) =4x3+3x2- 11x- 2연속함수 f(x)가 f(2+x) =f(2-x)를 만족시키고 ⌠⌡3
1f(x)dx= 4, ⌠⌡5
2 f(x)dx= 7일 때, ⌠⌡1
- 1f(x)dx의 값을 구하여라.
답. 5
다음 극한값을 정적분의 형태로 나타내어 구하여라.
(1) lim
n→∞k∑n
= 1(2 + (t- 2)k
n )3⋅ t- 2 n (2) lim
n→∞k∑n
= 1( 1 + 2k n )3⋅ 2n (3) lim
n→∞k∑n
= 1( 1 + 2k n )3⋅ 5n
답. (1) 14 (t4-16) (2) 20 (3) 50
다음 직선과 곡선 또는 곡선과 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하여라.
(1) y=x+ 1, y=x2-1
(2) y=x(x- 1)(x-2), y=x(x- 1) 답. (1) 92 (2) 3712
다음과 같이 나타내어지는 두 곡선이 있다.
y=x(a-x)⋯ y=x2(a-x)⋯
(1) 곡선 ①과 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이가 곡선 ②에 의하여 이등분되도록 상수 a의 값을 정하여라. 단, 0 <a≤1이다.
(2) 곡선 ①과 ②로 둘러싸인 두 부분의 넓이가 같아지도록 상수 a의 값을 정하여라. 단, a> 1이다.
답. (1) a= 1 (2) a= 2
밑면으로부터의 높이가 x인 밑면에 평행한 평면으로 자른 단면이 한 변의 길이 가 x2인 정사각형으로 된 입체의 밑면으로부터의 높이 9까지의 부피를 구하여라.
답. 955
어떤 용기에 깊이가 xcm가 되도록 물을 넣으면 그 때의 물의 부피 Vcm3는 다 음 식으로 표시된다고 한다.
V=x3- 3x2+ 4x
(1) 물의 깊이가 5cm일 때의 수면의 넓이를 구하여라.
(2) 수면의 넓이가 13cm2일 때의 물의 깊이를 구하여라.
답. (1) 49 (2) 3
곡선 y=x-x2위의 점 P에서 x축에 내린 수선의 발을 Q라 하고, 선분 PQ를 대각선으로 하는 정사각형을 xy평면에 수직이 되도록 만든다. 점 P가 이 곡선 위 를 원점에서 점 ( 1, 0)까지 움직일 때, 이 정사각형이 만드는 입체의 부피를 구하 여라.
답. 601
69
-포물선 y=1 -x2과 x축으로 둘러싸인 도형이 있다.
(1) 이 도형을 x축 둘레로 회전시킨 입체의 부피 Vx를 구하여라.
(2) 이 도형을 y축 둘레로 회전시킨 입체의 부피 Vy를 구하여라.
답. (1) 1615 π (2) 12 π
곡선 y=x2-1과 x축으로 둘러싸인 부분을 직선 y= 3의 둘레로 회전한 입체의 부피를 구하여라.
답. 13615 π
원점을 출발하여 수직선 위를 7초 동안 움직이는 점 P의 t초 후의 속도 v(t)가 그림과 같을 때,
(1) 점 P의 위치 x를 t로 나타내어라.
(2) 점 P가 진행방향을 바꾼 횟수를 구하여라.
(3) 점 P가 처음으로 진행방향을 바꿀 때까지 점 P의 운동거리를 구하여라.
(4) 점 P가 원점에서 가장 멀리 떨어져 있을 때, 원점으로부터의 거 리를 구하여라.
(5) 출발하고 나서 7초 동안 점 P의 운동거리를 구하여라.
답. (1) 생략 (2) 2회 (3) 4 (4) 4 (5) 8