3. 이차원에서의 운동

(1)

3장. 이차원에서의 운동

3.1 위치, 속도 및 가속도 벡터

3.2 이차원 등가속도 운동

3.3 포물체 운동

3.6 상대 속도와 상대 가속도

숭실대학교 일반물리 강의자료

(2)

위치 벡터

i f

r

≡

−

∆

t

avg

∆

≡

r

v

평균속도

dt

d

t

r

v

=

∆

≡

→ ∆

lim

0

순간속도

j

i

r

≡

x

(

t

)

ˆ

+

y

(

t

)

ˆ

변위

j

i

ˆ

dt

dy

dt

dx +

=

입자의 경로 i

t

i

r

t

f f

r

∆

3.1 위치, 속도, 가속도 벡터

The Position, Velocity, and Acceleration Vectors

1

∆r

2

∆r

3

∆r

순간속도 방향은 경로 에서 접선 방향

(3)

3.2 이차원 등가속도 운동

Two-Dimensional Motion with Constant Acceleration

이차원 운동은 x와 y축 방향 의 각각 독립된 두 개의 운동 으로 기술될 수 있다.

j

i

r

=

x

ˆ

+

y

ˆ

j

i

j

i

r

v

ˆ

v

_x

ˆ

v

_y

ˆ

dt

dy

dt

dx

dt

d

₌

₊

₌

₊

=

j

i

j

i

v

a

x

ˆ

y

ˆ

a

_x

ˆ

a

_y

ˆ

dt

dv

dt

dv

dt

d

₌

₊

₌

₊

=

dt

dy

v

dt

dx

v

_x

=

_y

=

dt

dv

a

dt

dv

a

_x

=

x _y

=

y 에어 테이블을 가로질러 x 방향으로 등속 운동하는 하키 퍽 y방향으로 바람이 휙 분 후 퍽은 y 성분의 속도를 얻는다.

(4)

등가속도 운동의 경우

t

a

v

t

a

v

t

a

v

y x yi xi y yi x xi f

)

ˆ

(

)

ˆ

(

ˆ

)

(

ˆ

)

(

j

i

j

i

j

i

v

+

=

+

=

t

a

v

_yf

=

_yi

+

_y

t

a

v

_xf

=

_xi

+

_x

t

i f

v

a

v

=

+

2 2 1

_a

_t

t

v

x

_f

=

_i

+

_xi

+

_x 2 2 1

_a

_t

t

v

y

_f

=

_i

+

_yi

+

_y 2 2 1 2 2 1 2 2 1

)

ˆ

(

)

ˆ

(

)

ˆ

(

ˆ

)

(

ˆ

)

(

t

a

t

v

y

x

t

a

t

v

y

t

a

t

v

x

y x yi xi i i y yi i x xi i f

j

i

j

i

j

i

j

i

r

+

=

+

=

2 2 1

_t

t

i i f

r

v

a

r

=

+

(5)

평면에서의 운동 예제 3. 1

xy

평면에서 입자가 시간

t = 0

일 때,

x

성분은

20 m/s

, y 성분은

-

15m/s의 처음 속도 로 원점에서 운동하기 시작한다. 이 입자는

_x

성분의 가속도

_a

_x 4.0 m/s2으로 운동 한다. (A) 임의의 시간에서 전체 속도 벡터를 구하라. 시간

_{t =5.0 s}

일 때 입자의 속 도와 속력, 속도 벡터가

x

축과 이루는 각도를 구하라. (C) 임의의 시간

t

에서 입자 의

_x

_및

_y

좌표와 그 시간에서 입자의 위치 벡터를 구하라. 2

20 m/s,

15 m/s ,

4.0 m/s ,

0,

0.

xi yi x y i i

v

=

v

= −

a

=

a

=

x

=

y

=

(A) v_f = v_xfˆˆi+ v_yf j. 속도는 m/s, 시간은 s의 단위로 주어진 값들을 대입한다.

ˆˆ

(20 4.0 )

15 .

f

=

+

t

−

v

i

j

ˆˆ

(

v

_xi

a t

_x

)

(

v

_yi

a t

_y

) .

=

+

i

+

j

(B) t =5.0 s일 때

_v

_f

=

₄₅

ˆˆ

_i

−

_{15 .}

_j

v_f와 x가 이루는 각을 θ라고 하면 15m/s tan 0.375 40 m/s yf xf v v θ = = − = − 1 tan ( 0.375)

θ

₌ − ₋ ₌ _o 21 − (C) 12 2 2 1 2 f i xi x f i yi y

x

v t

a t

y

v t

a t

= +

+

= +

+

의 두식에 가속도는 m/s2, 속도는 m/s, 시 간은 s의 단위로 주어진 값들을 대입한다. 2

20

2.0

15

f f

x

t

y

t

=

+

= −

ˆˆ

f

=

x

f

+

y

f

r

i

j

2

ˆˆ

(20

t

2.0 )

t

15 t

=

+

i

−

j

(6)

y

x

θ

xi

v

yi

v

i

v

xi

v

y

v

0 =

y

v

xi

v

y

v

xi

v

y

v

g

θ

3.3 포물체 운동

Projectile Motion

포물체 운동 수직 방향: 등가속도 운동 수평 방향: 등속 운동 초기조건 :

θ

cos

i x

v

=

x

=

v

_i

cos

θ

⋅

t

0 =

x

a

g

a

_y

=

−

v

_y

=

v

_i

sin

θ

−

gt

2 2 1

sin

t

gt

v

y

=

_i

θ

⋅

−

0,

_i _i

0,

_xi _i

cos ,

_yi _i

sin

t

=

x

=

y

=

v

=

v

θ

v

=

v

θ

(7)

최고점 도달 시간과 최대 높이

0 sin

−

=

_i _A y

v

gt

v

θ

g

v

t

_A

=

i

sin

θ

∴

2

sin

2

1 sin

)

sin

(

_











−

=

g

v

g

v

h

_i

θ

i

θ

i

θ

수평도달거리

A y

t

v

h

y

=

,

=

0 @

=

g

v

h

i

2 sin

2 2

θ

=

∴

B

t

y

R

x

=

,

=

0 @

=

0 sin

2 2 1

=

−

⋅

=

v

_i

t

_B

gt

_B

y

θ

A i B

t

g

v

t

=

2 sin

=

2 ∴

θ

g

v

R

=

_i

cos

θ

⋅

2

i

sin

θ

g

v

R

i

sin

2 θ

2

=

∴

o

45 =

i

θ

일 때 수평도달거리는 최대 값 를 갖는다.

_R

=

_v

_i2

_/

_g

t

v

x

=

_i

cos

θ

⋅

cos

x i i

v

x

v

t

θ

=



 =

⋅



₁ 2 2 sin sin y i i v v gt y v t gt

θ

= −   = ⋅ − 

(8)

2

sin 2

i

v

R

g

θ

=

(9)

예제 3. 2 o o cos (20.0m/s) cos 30 17.3 m/s sin (20.0 m/s) sin 30 10.0 m/s xi i i yi i i v v v v θ θ = = = = = = 2 sin f i i i y y = +y v

θ

⋅ +t a t 돌의 속도의 처음 성분은 (A) 에 주어진 값들을 2 45 10= t −5 .t 2 0, 10.0 m/s , 20.0 m/s, 0, 75.0 m. x y i i i f a = a = − = −g v = x = y = y = 가속도는 m/s2, 속도는 m/s, 시간은 s의 단위 로 대입하면 .

5.0 s

t

=

(B) 2a yy( f − yi) = vyf2 −vyi2 에 주어진 값들을 대입하면 2 2 2( 10)( 75)− − = v_yf −10 , v2_yf =1600 (m/s) .2 17.3 m/s. xf xi v = v = 2 2 2 17.3 1600 m/s= f xf yf v = v +v = + 43.6 m/s

(10)

A

S

P B

S

관찰자의 운동 상태에 따라 대상 물체의 운동이 다르게 표현된다.

3.6 상대 속도와 상대 가속도

Relative Velocity and Relative Acceleration

관찰자

A, B

가 입자

P

의 운동을 관측한다. 관찰자

_A

는 기준틀

S

_A에 있고

B

는 기준틀

S

_B에 있다. 기준틀

S

_B는

S

_A에 대해 속도

v

_BA로 운동 한다. ⇔ 관찰자

B

는

A

에 대해 속도

v

_BA로 운동 한다. B A BA

r

PA

r

PB BA PB PA

r

=

+

PA r _{: A에 대한 P의 상대적 위치} PB r : B에 대한 P의 상대적 위치 BA r : A에 대한 B의 상대적 위치 dt d dt d _PB _BP PB r r u = = − dt d dt d _PA _AP PA r r u = = − dt d dt d _BA _AB AB BA r r v v = − = = −

(11)

양변 dt d BA PB PA

u

v

u

=

+

: 갈릴레이 변환식 BA PB PA

r

=

+

양변 dt d

dt

d

dt

d

dt

d

u

_PA

₌

u

_PB

₊

v

_BA 관찰자

A, B

가 서로에 대해 일정하게 움직인다고 가정하면

=

0 dt

d

v

_BA PB PA

a

=

한 기준틀에 있는 관찰자가 측정한 입자의 가속도는 그 기준틀에 대 해 등속도로 상대운동하는 다른 관찰자가 측정한 가속도와 같다. P B A BA

r

PA

r

PB

(12)

BA PB PA

v

=

+

BA PB PA

u

v

u

=

+

W G BW BG

v

=

+

PG

=

PA

+

AG

v

(13)

강을 가로질러 가는 배 예제3.6 넓은 강을 건너는 배가 물에 대해 상대적으로 10.0km/h의 속력으로 움직인다. 강 물은 지구에 대해 동쪽으로 5.00km/h의 일정한 속력으로 흐르고 있다. (A) 만약 배가 북쪽을 향하고 있다면, 강둑에 서 있는 관찰자에 대한 배의 상대 속도를 구 하라. (B) 만약 최단거리로 북쪽으로 이동하려 한다면, 배가 향해야 하는 방향은? (A) rE br bE