전기회로 요점정리 자료

요점정리

IT CookBook, 기초 회로이론(개정판)

전류

q 전류 : (+)전하 흐름 •전하 : 단위는 쿨롱을 사용, [Coulomb] 혹은 [C]로 표기 •전하가 흐르는 방향은 전류의 방향과 같지만, 자유전자가 흐르는 방향과는 정반대 6.2415 x 1018_{개 전자의 전하 값 = -1[C]} 전자 1개의 전하량 = -1.6019 x 10-19_[C]

[C/s=A]

3/20

전압

q

전압

•단위 전하량에 의하여 변환된 위치에너지 •단위 [Volt] = [V]는 식에 의해 [Joule/Coulomb] = [J/C]로 표기

전력과 에너지

q

전력의 단위

•[Watt] 또는 [W] q

일(에너지)

•전력은 단위 시간당 에너지, 즉 일의 양 •전력을 일정 시간 동안 적분하면 에너지(일)를 얻을 수 있다. •예 : 가정에서의 전력소모 :

₁

₃

_.

₆

₁₀

6

_[

_]

J

kWh

=

´

5/20

직류(DC)와 교류(AC)

q 직류 (DC: Direct Current)

•전류의 값이 시간이 지나도 변하지 않고 일정한 값을 가지는 전류 •대문자I 로 표기 (예: 건전지)

q

교류 (AC: Alternative Current)

•시간에 따라 그 위상이 변하는 전류 •소문자i로 표기 (예: 220V 가정용 전원)

평균값과 실효값(RMS)

q

직류(DC)

•직류 값 = 평균 값 = •정현파( )의 경우 직류 값은 0이다. q

교류(AC)

•교류 값 = RMS 값= 실횻값 = •정현파의 경우 실횻값은 이 된다.

7/20

수동 소자

q

수동소자와 능동소자

•능동소자: 전압을 공급, 수동소자 : 전압을 다운 (전류와 전압의 참조방향에 따라 수동소자인지 능동소자인지 알 수 있다.) •수동소자의 대표적 예 : 저항(R ), 인덕터(L ), 커패시터(C ) •능동소자의 대표적 예 : 건전지 면적 S 간격 d 유전률 e

]

[F

d

S

C

=

e

] [W = S R

r

l 길이 ℓ 저항률 e (도전률 s 역수) 면적 S

]

[

2

H

s

n

L

l

m

=

면적 S 투자율 m 권선수 n q 전기회로 수동소자

수동 소자

9/20

독립전원과 종속전원

q 독립전원

•다른 소자의 에너지 값에 상관없이 그 자체가 가지고 있는 에너지를 직접 또는 독립적으로 공급하는 전원 •대표적인 예 : 건전지 q

종속전원

독립전원과 종속전원

q

4 가지 형태의 종속전원

11/20

저항소자

q

저항소자

•R 로 표현, 회로상 기호 •전력소비소자, 저항 값 단위 : Ohm[Ω] q 전도 값 •전항 값의 반대 개념 •따라서 저항 값의 역수인 1/R 로 표현 •전도 값 단위 : Siemens[ ]=mhoΩ

저항값 읽기

13/20

전압계 및 전류계 연결

q

전압계와 전류계

저항 à0

저항 à∞

Ohm의 법칙

q

옴의 법칙

•직류 및 실효치 : •교류 :

IR

V =

iR

v =

15/20

부유전압과 접지전압

q 전압전원

•접지와 연결되어 있는 상태에 따라서 부유전압과 접지전압

q 부유전압

•직접 접지에 연결되어 있지 않은 전압 •대표적인 예 : 건전지 q

접지전압

•접지에 직접 연결되어 있는 전압 •접지지점의 전압 값을 0으로 했을 때의 상대적인 단자 전압 값 •대표적인 예 : 가정용 전원, 계측기 전원

회로해석을 위한 기본단위

q노드

•여러 개의 소자가 만나는 지점

q 폐루프

•여러 개의 소자가 연결되어 하나의 닫힌 고리를 만드는 것

q 메시

•폐루프 중에서 그 루프 안에 또 다른 폐루프가 없는 가장 작은 단위

17/20

키르히호프의 법칙 : KCL

q 키르히호프(Kirchhoff)의 법칙

•

전류법칙 (

KCL

) : 노드에 기반

å

=

0

n k node k

i

KCL의 적용 예

q

전류분배기(current divider)

•KCL의 대표적인 응용회로 •노드 1에서 KCL을 적용 2 1 2 1

R

V

R

V

I

I

I

=

+

=

+

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

+

=

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

+

=

2 1 2 1 2 1

1

1

R

R

R

R

V

R

R

V

2 1 2 1

R

R

R

R

I

V

+

=

\

2 1 2 1 1

R

R

R

I

R

V

I

+

=

=

2 1 1 2 2

R

R

R

I

R

V

I

+

=

=

19/20

키르히호프의 법칙 : KVL

q

키르히호프(Kirchhoff)의 법칙

•

전압법칙 (

KVL

) : 폐회로에 기반

å

=

0

n k loop k

v

KVL 적용 예

q

전압분배기(voltage divider)

•KVL 의 대표적인 응용회로

(

1 2

)

2 1 2 1 1

R

R

I

IR

IR

V

V

V

_{R R}

+

=

+

=

+

=

2 2 2

V

IR

V

=

_R

=

2 1 2 1 2

R

R

R

V

V

+

=

21/20

노드해석법

q 노드해석법(node analysis) •회로의 노드를 중심으로KCL을 적용하여 노드 전압을 구하는 방법 •노드에 걸리는접지전원 값을 계산하여 소자의 v, i 값을 구한다. •연립방정식의 차수는 (노드 개수 -1), 1개는 접지(0V) •종속전원이 있는 경우, 종속변수만큼의 별도 방정식이 필요 o 슈퍼노드(super node) •부유전압전원이 연결되어 있는 노드가 2개 일 때 슈퍼노드를 이용 •양단 전압차(방정식 1)와슈퍼노드를 만들어 KCL을 적용(방정식 2)

메시해석법

q 메시해석법(mesh analysis) •회로의 메시를 중심으로KVL을 적용하여 메시 전류를 구하는 방법 •회로해석에 필요한독립 수식의 개수 = 메시의 개수 •종속전원이 있는 경우, 종속변수만큼의 별도 방정식이 필요 q슈퍼 메시 •전류전원이 두 개의 메시 사이에 있는 경우 슈퍼 메시를 이용 (KVL을 적용X) •두 메시에 의한 전류 차(방정식 1)과 두 개의 메시 사이의전류전원을 제거한 후슈퍼메시에 KVL을 적용 (방정식 2)

23/20

전원변환이론

q 전원변환이론

중첩의 원리

q 중첩의 원리 •임의의 시스템 함수 f(·)가 선형함수일 때 중첩의 원리를 적용 (a, b는 상수) q 비활성화(deactivating) •독립전압전원의 경우는v0= 0, 즉 단락회로(short circuit)를 의미 •독립전류전원의 경우는i₀= 0, 즉 개방회로(open circuit)를 의미

25/20

테브난과 노턴의 정리

테브난 등가회로 •블랙박스 회로 내부를 하나의 전압전원과 직렬로 연결된 저항소자로 표현

Section 5.3

테브난과 노턴의 정리

q 테브난의 정리 (1) voc(개방회로전압)의 계산 (2) R_th의 계산 - 독립전원을 비활성화

27/20

테브난과 노턴의 정리

q 노턴의 등가회로 •블랙박스 회로를 한 개의 독립전류전원과 병렬로 연결된 저항 회로로 표현

Section 5.3

테브난과 노턴의 정리

(1) Isc의(단락회로전류) 계산 (2) Rth의 계산 - 독립전원을 비활성화

29/20

테브난과 노턴의 정리

독립전원과 종속전원이 있는 회로 •Rth은 종속전원이 있으면 비활성화시킬 수 없다. •Rth은 테브난 정리로voc을, 노턴 정리로Isc를 구해서 계산

Section 5.4

최대전력전달 정리

q 최대전력전달 정리 •회로에서 발생한 전력이 부하에 전달될 때 최대전력이 전달되는 조건 •테브난 등가회로로 변환하면

31/20

최대전력전달 정리

q 최대전달전력P_max •단자 a, b에 연결된 부하에서 소비하는 전력이PL일 때 •PL(t)를 최대로 만드는RL값을 구하기 위해 위 식을 최적화시키면 •위 식을 만족시키려면 분자가 0이 되면 되므로, Rth-RL= 0 •최대전력은 다음과 같다.

이상적인 연산증폭기

q 이상적인 연산증폭기

•입력저항R_i는 무한대, 출력저항Ro은 0 •이상적인 연산증폭기의 조건 ①i_-= i₊= 0 ②v_P = v_N

33/20

실제 연산증폭기

q [참고 6-1] 실제 연산증폭기

반전 증폭기 저항회로

q 반전 형태 회로 분석

•노드x 에 KCL을 적용 : •전압이득

i

R

v

v

R

v

v

x x

=

-+

-2 2 1 1

þ

ý

ü

=

=

=

=

=

=

+ -+

-0

0

i

i

i

v

v

v

_x 1 2 1 2

R

R

v

v

-=

0

2 2 1 1

₊

₌

Þ

R

v

R

v

35/20

비반전 증폭기 저항회로

q 비반전 형태 회로 분석

•노드 x에서 KCL을 적용 : •전압이득

i

R

v

v

R

v

_{x x}

=

-+

2 2 1

þ

ý

ü

=

=

=

=

=

+

-0

1

i

i

i

v

v

v

_x

0

2 2 1 1 1

₊

-

₌

Þ

R

v

v

R

v

1 2 1 2

1

R

R

v

v

+

=

부하 효과

q 부하효과

•전압 v₁을 오른쪽부하 R_L의 입력전압전원으로 사용 •R_L을 회로에 연결하기 전에 v₁ : •R_L을 회로에 접속한 후에 v1: Ü즉, 부하 연결 후 입력전압 v1의 값은 연결되기 전의 값과 달라져 0 2 1 2 1

v

R

R

R

v

+

=

0 2 1 2 1

//

//

v

R

R

R

R

R

v

L L

+

=

37/20

전압추종기

q 연산증폭기를 이용한 전압추종기 회로

•이상적인 연산증폭기의 입력저항 R_in= ∞ •v1의 값은R1,R2값에 의해서만 영향을 받는다. •전압 값이 이상적 연산증폭기의 조건인 vx= v+= v-에 의해 부하에 손실 없이 그대로 전달 à 부하효과를 방지할 수 있다.

반전 가산기(Summer)

q 가산기의 구현 •연산증폭기에 의한 가산기는 반전 형태와 비반전 형태가 있음능 q 반전 형태 가산기 •중첩의 원리를 사용

39/20 •마찬가지로 입력 v2, v3에 의한 출력 vout2, vout3는 각각 다음과 같다. •최종 출력은 중첩의 원리에 의해 다음과 같이 정리된다.

반전 가산기(Summer)

반전 가산기(Summer)

q 비반전 형태 회로에 의한 합산기

•중첩의 원리에 의해 같은 방법으로 해석하면 출력전압은 (단, n은 입력전압 개수. 입력전압이v, v , v 3 개이므로 n= 3) c b a out v v v v = + + in v 4 3 3 a a in v v R R R v = + = a out a out in out

v

v

R

nR

v

v

v

v

=

Þ

=

+

=

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

=

1

4

4

• v_b와 v_c를 접지 시킴

41/20

적분증폭기

dt dv C dt dq i out C= = R v i i R = 0 = = + = + i -dt dv C R v i i i out C R R i C i ) 0 ( 1 ) ( 0 out t i out i out v dt v RC t v RC v dt dv + -= Þ -=

_ò

미분증폭기

dt dv C dt dq i i C = = R v i out R = 0 = = + = + i -dt dv C R v i i out i C R dt dv RC t v dt dv C R v i out i out _{=- Þ ( )=} -R i C i

43/20

직류(DC)와 교류(AC)

q교류 (AC: Alternative Current)

•시간(t)에 따라 그 위상이 변하는 전류 •소문자 i(t), v(t)로 표기 (예: 220V 가정용 전원)

(

w

+

f

)

=

(

p

+

f

)

=

V

t

V

ft

t

v

(

)

_P

cos

2

cos

2

(

w

+

f

¢

)

=

®

i

(

t

)

I

_P

cos

t

(

)

(

p

f

)

f

w

+

=

+

=

t

V

t

V

t

v

_P

120

cos

2

cos

)

(

home

f

p

w

2

,

=

여기서

위상차에 따른 평균전력

ò

+

=

T

v

t

i

t

dt

T

P

0

(

)

(

)

1

)

(

f

f

45/20

커패시터 (Capacitor, 콘덴서)

q 커패시터의 심볼과 전류, 전압의 참조 방향 q 커패시터와 그 내부 구조

Cv

q =

dt

dv

C

dt

dq

i

=

=

÷

ø

ö

ç

è

æ

+

=

=

=

2

sin

cos

)

(

sin

)

(

p

w

w

w

t

CV

t

CV

t

i

t

V

t

v

P P P

로

가정하면

à즉, 전압이 전류보다 위상이 90o_늦음

컨덴서의 용량, 내압, 오차 읽는법

세라믹 콘덴서 세라믹 콘덴서 마일러 콘덴서

47/20

컨덴서의 용량, 내압, 오차 읽는법

q예) 2H223K à 500V 0.022mF ±10%

3C474J à 1600V 0.47mF ±5%

A B C P D E F V G W H J K 0 1.0 0.25 1.6 1.8 2.0 2.5 3.15 3.5 4.0 4.5 5.0 6.3 8.0 1 10 12.5 16 18 20 25 31.5 35 40 45 50 63 80 2 100 125 160 180 200 250 315 350 400 450 500 630 800 3 1000 1250 1600 1800 2000 2500 3150 3500 4000 4500 5000 6300 8000 • 내압 읽는 방법 • 오차 읽는 방법 A B C D F G J K M N V X 허용 오차 ±0.05 ±0.1 ±0.25 ±0.5 ±1 ±2 ±5 ±10 ±20 ±30 +20 -10 +40 -10

커패시터 (Capacitor, 콘덴서)

q 커패시터에서의 전류-전압 관계식 (적분)

•커패시터의 회로해석을 위하여커패시터에 걸리는 초기 전압 값을 아는 것이 반드시 필요 •항상vc(t0-) = vc(t0+)이지만,전류는ic(t0-) ≠ ic(t0+)

q

커패시터의 저장(정전) 에너지

)

(

)

(

1

)

(

₀ 0

t

v

d

i

C

t

v

t t

+

=

Þ

_ò

t

t

dt

dv

C

dt

dq

i

=

=

2

2

1

)

(

)

(

t

p

t

dt

Cv

w

=

=

Þ

_ò

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

=

=

2

2

1

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

Cv

dt

d

dt

t

dv

C

t

v

t

i

t

v

t

p

49/20

커패시터의 직병렬연결

q

커패시터의 직렬연결 회로

q

커패시터의 병렬연결 회로

인덕터 (inductor, Coil)

q 인덕터의 심볼과 전류, 전압의 참조 방향

q 인덕터의 구조

•인덕터는 코일이라고도 하며, 철심과 같은 자성체에 코일을 감은 구조를 가진다.

총 쇄교자속(λ)

Li

N =

=

f

l

dt

di

L

dt

d

v

=

l

=

÷

ø

ö

ç

è

æ

+

=

=

2

sin

)

(

sin

)

(

p

w

w

t

LI

t

v

t

I

t

i

P P

로

가정하면

à 즉, 전압이 전류보다 위상 이 90o_빠름

51/20

인덕터 읽는 방법

q 코일(Coil)

•

Chip Inductor :

1R2 à 1.2mH, R22à0.22 mH, 22N=22nH 150 à15´100_{mH=15 mH, 152K à15´10}2_{mH=1500 mH=1.5mH±10%} 색 검정 갈색 빨강 주황 노랑 초록 파랑 보라 회색 흰색 금색 은색 1, 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 - -3 (승수) 0 1 2 3 4 - - - -1 -2 4(오차,%) ±10(M) ±5(J) ±10(K) 권선형 적층형

인덕터 (inductor, Coil)

q 인덕터에서의 전류-전압 관계식 (미분)

• 인덕터가 있는 회로해석을 하려면 인덕터에 걸리는 초기 전류 값을 반드시 알아야만 한다. • 인덕터 전류는i_L(t₀-_{) = i} L(t0+)이지만 인덕터전압은vL(t0-) ≠ vL(t0+)

q 인덕터 저장(자기) 에너지

)

(

)

(

1

)

(

₀ 0

t

i

d

v

C

t

i

t t

+

=

Þ

_ò

t

t

dt

di

L

dt

d

v

=

l

=

2

2

1

)

(

)

(

t

p

t

dt

Li

w

=

=

Þ

_ò

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

=

=

2

2

1

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

Li

dt

d

t

i

dt

t

di

L

t

i

t

v

t

p

53/20

인덕터의 직병렬연결

q

인덕터의 병렬연결 회로

q

인덕터의 직렬연결 회로

RL

/

RC

회로의 (병렬)회로 해석

o

병렬 RL 회로

: i

_L

(t )에 대한 미분방정식 (초기값

i

_L

(

t

₀

)

)

o

병렬 RC

회로

:

v

_c

(

t

)에 대한 미분방정식 (초기값

v

_c

(

t

₀

)

)

)

(

)

(

)

(

)

(

i

t

dt

t

di

R

L

t

i

R

v

t

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KCL

L L L R S

=

+

=

+

®

)

(

)

(

)

(

t

i

L

R

t

i

L

R

dt

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di

S L L

=

+

Þ

s C C

v

C

t

v

RC

dt

t

dv

1

)

(

1

)

(

=

+

Þ

dt

t

dv

C

R

v

t

i

R

v

t

i

KCL

C C C R S

)

(

)

(

)

(

=

+

=

+

®

55/20

RL

/

RC

회로의 (직렬)회로 해석

o

직렬 RL 회로

:

i

_L

(

t

)에 대한 미분방정식 (초기값

i

_L

(

t

₀

)

)

o

직렬 RC

회로

:

v

_c

(

t

)에 대한 미분방정식 (초기값

v

_c

(

t

₀

)

)

dt

t

di

L

t

Ri

t

v

t

Ri

v

KVL

L L L L s

)

(

)

(

)

(

)

(

+

=

+

=

®

)

(

1

)

(

)

(

t

v

L

t

i

L

R

dt

t

di

s L L

=

+

Þ

)

(

)

(

)

(

)

(

v

t

dt

t

dv

RC

t

v

t

Ri

v

KVL

C C C C s

=

+

=

+

®

)

(

1

)

(

1

)

(

t

v

RC

t

v

RC

dt

t

dv

s C C

=

+

Þ

RL/RC 회로 : 1차 미분방정식

q

RC/RL 회로해석 = 1차 미분방정식 해 구하기

•1차 미분방정식 : •일반해 :등차해 + 특수해 (회로해석에서는 완전응답) •등차해 :f(t)=0일 때 해(회로해석에서는 입력전원이 없는 경우, 과도응답) •특수해 :f(t)의에 의존하는 정상상태 해 (회로해석에서는정상상태응답) ) ( 1 ) ( ) ( t v L t i L R dt t di RL L _{L s} SÞ + = ) ( 1 ) ( 1 ) ( t v RC t v RC dt t dv RC C s C SÞ + = ) ( ) ( ) ( t i L R t i L R dt t di RP L _{L S} PÞ + =

)

(

1

)

(

1

)

(

t

v

C

t

v

RC

dt

t

dv

RC

C _{C s} P

Þ

+

=

÷ ø ö ç è æ = ® = ® R L RL RC RC

t

,

t

)

(

)

(

1

)

(

t

f

t

x

dt

t

dx

=

+

t

57/20

1차 미분방정식의 등차해(과도응답) 구하기

q

가상해에 의한 등차해(과도응답) 계산법

•등차해를 지수함수로 가정해 미분방정식에 대입해서 해를 구하는 방법 •여기에 초기값x (0)을 대입해서A값을 계산하면 최종적으로 등차해는 다음과 같다. st

Ae

t

x

(

)

=

à 근이 지수형태임

(

)

_sx

₍

_t

₎

dt

t

dx

=

0

)

(

1

1

1

=

÷

ø

ö

ç

è

æ

+

=

÷

ø

ö

ç

è

æ

+

=

+

Þ

Ase

st

Ase

st

s

Ae

st

s

x

t

t

t

t

t

1

-=

Þ\ s

0

)

(

1

)

(

=

+

x

t

dt

t

dx

t

t

Ae

t

x

t 1

)

(

=

-\

t

e

x

t

x

t 1

)

0

(

)

(

=

-\

시정수(Time Constant)

q

시정수τ의 값

•시정수의 값은 회로의 과도응답의 속도와 관계가 있다.

q

RL/RC

회로의 과도응답 그래프

τ의 값은 초기시간 t₀에서 함수 의 접선의 기울기(미분 값)

t

)

0

(

)

(

0

x

dt

t

dx

t

-=

= t

e

x

t

x

t 1

)

0

(

)

(

=

-)

(t

x

) 0 ( x

59/20

1차 미분방정식의 특수해 구하기

q

1차 미분방정식의 특수해

•1차 미분방정식의 특수해는 입력함수 f(t)에 의존 •즉, 입력함수의 모양과 같은 형태의 특수해 출력함수를 얻게 된다.

)

(

)

(

1

)

(

t

f

t

x

dt

t

dx

=

+

t

RL

/

RC

회로의 DC 전원응답

•일반화된 미분방정식 •이러한 1차 미분방정식의 완전응답x (t) = 과도응답xT(t) +정상상태응답xS(t)

)

20

.

8

(

)

(

1

)

(

K

t

x

dt

t

dx

=

+

t

• 과도 응답 x

_T

(t) : Transient Response

61/20

RL

/

RC

회로의 DC 전원응답

q 과도응답

•과도응답은 우변의 K값을 0으로 하는 등차방정식의 해 •x (t) = Aest_{로 가정하고 미분방정식에 대입하면 과도응답을 구할 수} 있다. RC t v t x RC® _T( )= _CT(),

t

=

R

L

t

i

t

x

RL

®

_T

(

)

=

_LT

(

),

t

=

,

여기서

0

)

(

1

)

(

=

+

x

t

dt

t

dx

t

t T

t

Ae

x

t 1

)

(

=

-RL

/

RC

회로의 DC 전원응답

q

정상상태응답

•정상상태응답은 우변의입력함수 모양에 의존하는 응답 •상수K가 입력되었으면 출력응답 역시 상수가 된다. 따라서 출력의 미분 값은 0이 된다. •그러므로, 최종 정상상태응답은 다음과 같다. •따라서 완전응답은 다음과 같다.

K

t

x

K

t

x

K

t

x

dt

t

dx

S S S S

_t

t

t

=

Þ

=

Þ

=

+

1

(

)

1

(

)

(

)

)

(

K

t

x

_S

(

)

=

t

K

Ae

t

x

t

x

t

x

₌

_T

₊

_S

₌

-tt

₊

t

1

)

(

)

(

)

(

63/20

RL

/

RC

회로의 DC 전원응답

•이때, 상수 A값은 초기값x(t0)을 완전 응답식에 대입하여 얻을 수 있다. •그러므로 최종 완전응답 x (t)는 다음과 같다. •즉, 식 (8.25)는 다음과 같이 표현될 수 있다. 단, 여기에서 최종 값은 정상상태 응답 값과 같다.

K

Ae

t

x

t

x

t

x

=

T

+

SS

=

tt

+

t

-1₀ 0 0 0

)

(

)

(

)

(

(

)

0 1 0

)

(

t

K

e

t

x

A

₌

_-

_t

t

(

(

)

)

(

8

.

25

)

)

(

( ) 1 0 0 t t

e

K

t

x

K

t

x

=

_t

+

-

_t

-t

-RL

/

RC

회로의 DC 전원응답

•따라서 원래 DC 전원RL 회로와RC 회로에서iL(t)와 vc(t )의 완전 응답은 위의 결과를 주어진 값에 대입하면 각각 다음과 같다. •만약 초기시간t0= 0이라면 다음과 같다.

(

(

)

)

(

8

.

27

)

)

(

)

26

.

8

(

)

(

)

(

) ( 1 0 ) ( 0 0 0 t t RC s C s C t t L R s L s L

e

v

t

v

v

t

v

e

R

v

t

i

R

v

t

i

-+

=

÷

ø

ö

ç

è

æ

-+

=

(

(

0

)

)

(

8

.

29

)

)

(

)

28

.

8

(

)

0

(

)

(

1 t RC t L R s L s L

e

v

v

v

t

v

e

R

v

i

R

v

t

i

-+

=

÷

ø

ö

ç

è

æ

-+

=

65/20

Section 8.5

RL

/

RC

회로의 DC 전원응답

•예를 들어vc(t )의 그래프로 그려 보면 [그림 8-6]과 같다. •커패시터는 초기 전압 값부터 최종 전압 값(정상상태응답 값)까지 충전 •최종 전압 값은 입력전압v_s와 같은 값이므로 입력전압 값까지만 충전 가능

(

)

RCt s C s C

t

v

v

v

e

v

1

)

0

(

)

(

=

+

-

-RL

/

RC

회로의 DC 전원응답

DC

DC 전원회로에서

전원회로에서 회로해석을

회로해석을 통한

통한 정상상태응답

정상상태응답 계산

계산

•입력과 출력의 정상상태응답이 상수 값이라고 가정하면 •인덕터의 경우: Ü DC 전원 입력에 대한 인덕터 소자는단락회로와 같이 작용 •커패시터의 경우: Ü DC 전원 입력에 대한 커패시터 소자는개방회로와 같이 작용

67/20

표준

RLC

회로의 완전응답

•표준RLC 회로는 병렬RLC 회로와 직렬 RLC회로를 말한다.

예제 9-5

예제 9-4

q비표준 RLC 회로 à 상태변수를 이용해서 회로해석

비표준

RLC

회로 : 상태변수

69/20

표준

RLC

회로의 완전응답

q 직렬RLC회로

ò

+

+

+

=

®

t

i

t

dt

v

C

C

dt

t

di

L

t

Ri

V

KVL

0

(

)

(

0

)

1

)

(

)

(

0

)

0

(

0

)

0

(

:

v

v

i

i

C L

-=

=

=

초기조건

Þ

=

+

+

₂

1

0

2

i

C

dt

i

d

L

dt

di

R

_{2차 미분방정식}

ò

=

+

+

+

t

i

t

dt

V

v

C

dt

t

di

L

t

Ri

0

(

)

0

1

)

(

)

(

이 식의 양변을 미분하면

0

1

2 2

=

+

+

i

LC

dt

di

L

R

dt

i

d

-v0 +

표준

RLC

회로의 완전응답

q 표준 병렬RLC회로 •양변을 미분하여 정리하면 다음의 2차 미분방정식을 얻을 수 있다.

dt

t

dv

C

i

vdt

L

R

v

i

i

i

I

KCL

_{R L C}

1

t _L

(

0

)

(

)

0

+

+

+

=

+

+

=

®

_ò

+ v(t)

-Þ

=

+

+

1

0

1

2 2

dt

v

d

C

v

L

dt

dv

R

0

1

1

2 2

=

+

+

v

LC

dt

dv

RC

dt

v

d

71/20

표준

RLC

회로의 완전응답

q 표준 2차 미분방정식

•직렬 및 병렬 RLC 회로를 통합한 표준 2차 미분방정식을 만들면 •결국 인덕터 전류 iL(t)와 커패시터 전압vc(t)의 일반해(완전응답)은 위 표준회로의 2차 미분방정식의 해를 구하는 문제로 귀결된다.

0

1

1

2 2

=

+

+

®

v

LC

dt

dv

RC

dt

v

d

병렬

0

1

2 2

=

+

+

®

i

LC

dt

di

L

R

dt

i

d

직렬

0

1

1

2 2

=

+

+

x

LC

dt

dx

dt

x

d

t

단, 직렬 RLC 회로 : τ=L/R, 병렬RLC 회로 : τ =RC

Þ

=

+

+

1

1

(

)

2 2

t

x

LC

dt

dx

dt

x

d

t

일반

RLC

회로해석을 위한 상태변수 기법

q 상태변수 기법을 이용한 일반 회로해석 순서

① 상태변수를 모든 인덕터의 전류iL(t)와 커패시터의 전압vc(t)로 잡는다. ② 초기값iL(0+), vc(0+)을 구한다. ③ KCL과 KVL을 이용하여각 상태변수에 관한 1차 연립 미분방정식을 세운다. ④ 미분연산자s를 이용하여s의 연립방정식을 만든다. ⑤ 크래머법칙 수식의 분모를 0으로 두는특성방정식을 만든다. ⑥ 특성방정식의 근으로과도응답을 구한다. ⑦ 크래머법칙에 의하여 선택된 변수xn(t)에 대한 2차 미분방정식을 구한다. ⑧ 미분방정식에서 적절한정상상태응답을 구한다. ⑨ 과도응답과 정상상태응답을 합하여완전응답을 구한다. ⑩ ③에서 구한 1차 미분방정식에서dxn(0+)/dt의 값을 구한다. ⑪ 초기값xn(0+), dxn(0+)/dt에서 과도응답의 상수 값A1, A2의 값을 구한다.

73/20

전기회로를 위한 기본 수학

q

근의 공식

q

삼각함수 공식

a

ac

b

b

x

2

4

2

-±

-=

Þ

c

b

=

q

sin

0

2

=

+

+

bx

c

ax

0

2

2

=

+

¢

+

b

x

c

ax

a

ac

b

b

x

=

-

¢

±

¢

-Þ

2 3 1 2 o 30 =

q

c

a

=

q

cos

q

q

q

cos

sin

tan

=

=

a

b

a b c

q

1

cos

sin

2

q

+

2

q

=

1

2 2

=

+ b

a

전기회로를 위한 기본 수학

All

sin

tan

cos

75/20

오일러 공식 (Euler¢s Formula)

(

f

)

f

f

f

_exp(

_j

₎

_cos

_j

_sin

e

j

=

=

+

전기회로를 위한 기본 수학

삼각함수의 np±a 각 변형공식

radian

o

_p

2

360 =

77/20

전기회로를 위한 기본 수학

q

삼각함수의 덧셈공식

q

삼각함수 합성

)

cos(

cos

sin

x

+

b

x

=

a

2

+

b

2

x

-

f

a

or

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

tan

tan

1

tan

tan

)

tan(

)

3

sin

sin

cos

cos

)

cos(

)

2

sin

cos

cos

sin

)

sin(

)

1

m

m

±

=

±

=

±

±

=

±

b a 2 2 b a +

q

2 2 2 2

sin

cos

b

a

b

b

a

a

+

=

+

=

f

f

a b 2 2 b a +

q

)

sin(

cos

sin

x

+

b

x

=

a

2

+

b

2

x

+

f

a

전기회로를 위한 기본 수학

q

미분공식

(

t

)

t t sinw =wcosw ¶ ¶

(

f(x)g(x)

)

f (x)g(x) f(x)g(x) x = ¢ + ¢ ¶ ¶

( )

t t e e t = ¶ ¶

(

_{( )}

)

_{= ( )}-1 ¶ ¶ _axn _{an ax}n x

(

x

)

x x sin =cos ¶ ¶

(

x

)

x x cos =-sin ¶ ¶

(

x

)

x x 2 sec tan = ¶ ¶

(

t

)

t t cosw =-wsinw ¶ ¶

( )

w ₌ w w _=-wsinw ₊ wcosw ₌wcos(w ₊p)₊ wsin(w ₊p) ¶ t j t t j t e j ej t j t 2 ) ( ) ( ) ( ) ( g g f g f x g x f x g x f x ¢ -¢ = ¢ ÷÷ ø ö çç è æ = ÷÷ ø ö çç è æ ¶ ¶

( )

₌ -1 ¶ ¶ _xn _nxn x

( )

t t e e t w w w = ¶ ¶

_{( )}

j t t e j e t w w w = ¶ ¶

₍

j t

₎

t Ae j Ae t w w w = ¶ ¶

(

)

x x x 1 ln = ¶ ¶

79/20

전기회로에서의 복소수

q

복소수 : 진폭 ´ 위상

(

)

f

f

f

j

Z

e

j

b

a

b

a

b

j

b

a

a

b

a

jb

a

Z

=

+

+

=

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

+

+

+

+

=

+

=

sin

cos

2 2 2 2 2 2 2 2 ÷ ø ö ç è æ = Þ = -a b a b 1 tan tan ,

f

f

여기서 실수축 허수축 2 2 b a + a b

f

실수축 허수축 Z a b

f

f j

e

Z

Z =

jb

a

Z

=

+

1 2 -= j 0장 요점정리