2020 비상 수학교과서 수학1 답지 정답

지수함수와 로그함수

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지수와 로그

06 _{r= mn}, _{s= pq(m}, _n, _p, _q는 정수, _n->2, _q->2)로 놓으면

⑴ _{a^rdiva^s =a}mndivapq=amqnqdivanpnq

= ^nqrta^mqs_^nqrta^n^ps=^nq5 a^mq_{a^n^p =}nq_rta^mq-^n^px =amq-npnq =amn -pq=a^r-^s

⑵ _{(a^r)^s =(a}mn)pq=(nrta^m~&)pq

=q_#(n_rta^m~&)^pc=q_#n_rta^m^px&sd =nq_rta^m^px=amp_nq=ars

⑶ _{(ab)^r =(ab)}mn=nrt(ab)^ms=nrta^m&b^mx =n_rta^m~&`n_rtb^m~=am_nbm_n=a^r&b^r 07 ⑴ ₄ ⑵ ₂₅ ⑶ ₅ ⑷ _2/25 08 ⑴ _b ⑵ _a+b 09 _rt2 배 지수가 유리수일 때, 지수법칙은 밑이 양수일 때만 성립 하므로 _{(-2)^2}&3/2_not=(-2)2\3/2_이다. 따라서 민혁이의 풀이가 옳지 않다. 수학 역량 기르기 21쪽 스스로확인하기 ⑶ ₂rt6 ⑷ _3^2, ₁₄₄ 10 ⑴ ₅8rt2 ⑵ _rt3 ⑶ _a^4 ⑷ a^4 b^2 11쪽 2^41, 2^3^3, 2^8 01 ⑴ _a^4&b^6 ⑵ _a^9&b^6 ⑶ _b/a 02 ⑴ _-2 ⑵ _-4, ₄ 03 ⑴ ₂ ⑵ _-5 ⑶ _-3 ⑷ ₂ 04 ⑴ _n, _a/b, _n ⑵ _n, _a, _mn 스스로확인하기 ⑵ _1/3 ⑷ ₂ 05 ⑴ ₃ ⑵ _1/2 ⑶ ₅ ⑷ ₆ 1 ‘미’음은 ‘도’음에서 반음이 ₄번 올라간 것이므로 주 파수는 _(1^2rt2&)^4배이다. _{(1^2rt2&)^4=1^2rt2^4=^33^4rt2^4d=^3rt2=1.259.c3} 따라서 _1.26배이다. 2 예 [문제] ‘미’를 ‘시’로, ‘도’를 ‘파’로 바꾼다. [답] _1.41배 수학 역량 기르기 15쪽

0

1

거듭제곱과 거듭제곱근

11~15쪽 23쪽 _{x 1.55 1.56 1.57 1.58 1.59} 2 ^x 2.93 2.95 2.97 2.99 3.01 스스로확인하기 ⑵ _-2 01 ⑴ _{3=log_5`125</sub> ⑵ <sub>3^4=81</sub> ⑶ <sub>-3=log_2`1/8} ⑷ _(1/7)^^-1=7 02 ⑴ ₃ ⑵ ₀ ⑶ _-2 ⑷ ₂ 25쪽 15_, 15 03 _a^m, _mk 스스로확인하기 ⑶ ₁ ⑷ ₂ 04 ⑴ ₂ ⑵ ₁ ⑶ _-5 ⑷ _-2 05 ⑴ _-1 ⑵ _2/5

0

3

로그의 뜻과 성질

23~28쪽 16쪽 10^2, 10^2 스스로확인하기 ⑵ ₁ 01 ⑴ ₁ ⑵ _1/81 ⑶ _-1/32 ⑷ _27/8 02 ⑴ _-p, _aq, _m-n ⑵ _q, _bq, _-q, _n 스스로확인하기 ⑶ ₉ ⑷ _1/5, _1/15 03 ⑴ ₇ ⑵ _1/4 ⑶ _a^5 ⑷ _ab^8 04 ① - _{㉣, ② - ㉡, ③ - ㉢, ④ - ㉠} 05 ⑴ ₄ ⑵ _1/9 ⑶ ₂ ⑷ _1/8

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2

지수의 확장

16~22쪽 10쪽 1 _⑴ 5 _⑵ 6 _⑶ 2 _⑷ 2 2 ⑴ _4-2rt2` ⑵ _-2

29쪽 _{x 0.1 1 10} I 1 2.5 4 _{, 1.5, 1.5} 스스로확인하기 ⑵ ₁₀ 01 N 10000 100 3_{rt100 11/00} log`N 4 2 2/3 -3/2 -2 1 rt1000 02 ⑴ <sub>0.4983</sub> ⑵ <sub>0.8904</sub> 03 ⑵ <sub>log`82.3 =log~(10\8.23)=log`10+log`8.23</sub> =1+0.9154=1.9154 ⑶ _{log`0.823 =log~(10&-1&\8.23)</sub> =log`10&-1&+log`8.23 =-1+0.9154=-0.0846 ⑷ <sub>log`0.0823 =log~(10&-^2&\8.23)} =log`10&-^2&+log`8.23 =-2+0.9154=-1.0846 04 _7.9 05 ₂시간 ₅₄분

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상용로그

29~31쪽 06 ⑴ 3a+2b-2₂ ⑵ _3a+b-1 스스로확인하기 ⑵ ₉, _3/2 07 ⑴ _3/2 ⑵ ₈

08 ⑴ _{log_a`b= log_b`blog_b`a =log_b`a}1 ⑵ _{log_a`b\log_b`c\log_c`a =log_a`b\ log_a`clog_a`b \}log_a`a<sub>log_a`c =1</sub>

alog_b`c_{=x로 놓으면 로그의 정의에 따라}

_{log_a`x=log_b`c}

양변을 각각 _c를 밑으로 하는 로그로 나타내면 log_c`x<sub>log_c`a = log_c`b</sub>1

즉, <sub>log_c`x=</sub> log_c`a_{log_c`b =log_b`a}이므로 로그의 정의에 따라 _x=clog_b`a 따라서 <sub>a</sub>log_b`c_=clog_b`a 수학 역량 기르기 28쪽 1 ○ 2 ○ 3 × 4 ○ 32~34쪽 1 ⑴ _-5 ⑵ _-1/3, _1/3 2 ⑴ ₂₅ ⑵ _1/7 ⑶ ₂₇ ⑷ ₉ 3 ⑴ ₁ ⑵ _-1/3 ⑶ ₃ ⑷ ₁ 4 ⑴ _2.6201 ⑵ _-1.3799 5 _{2(-3)^2&\(x-3)^4x& =@(-3)^6s=rt3^6w~} =(rt3^3w~)^2=3^3=27 따라서 처음으로 틀린 곳은 ㉡이다. 6 ⑴ (문제의 식)_=a3/2_&b^1/2\a-5/2_b1/2_{diva&-^2&b&-^2=ab^3} ⑵ (문제의 식)_=a^3&b-1/4_diva1/2_b^3/4\a1/2

= a^3b ⑶ (문제의 식) _{={(a^1/2)^1/2}^1/2\{a(a\a}1/2₎1/2_}^1/2 =a^1/8\a^7/8=a ⑷ (문제의 식)_{= (a^1/2-b^1/2)(a^1/2+b^1/2)=a-b} 7 _(a\a^1/2\a3/4_)^1/3div(a\ak/3₎1/6_{=1 a}3/4- 3+k18 =1에서 _{3/4- 3+k18 =0} 따라서 _k=21/2 8 ⑴ _{a^2k&+a&-^2k=(ak&+a}-k_{)^2&-2ak&\a&-&k=23} ⑵ _(ak/2_+a-k/2_)^2=ak&+a-k_+2ak/2_\a-k/2₌₇ ak/2_+a-k/2_{>0이므로 a}k/2_+a-k/2_=rt7 9 진수의 조건에서 _{-a^2&+3a+10>0}이므로 _a^2&-3a-10<0, _{-2<a<5 .c3.c3`</sub>① 밑의 조건에서 <sub>a-2>0</sub>, <sub>a-2not=1</sub>이므로 <sub>a>2</sub>, <sub>anot=3 .c3.c3`}② ①, ②에서 구하는 정수 _a의 값은 ₄이다.

10 ⑴ ₅log_5`3\log_3`11 ₌₅log_5`3\ log_5`11<sub>log_5`3=5</sub>log_5`11

=11log_5`5₌₁₁

⑵ _{(log_3`5-logrt3`25)(log_5`3+ log1/5`}3_rt3&)

_{=(log_3`5- log_3`25}

log_3`rt3 )^^(log_5`3+ log_5` 3<sub>rt3</sub> log_5`1/5 ^^)

_{=(log_3`5-4`log_3`5) (log_5`3- 13 `log_5`3) =-3`log_3`5\ 23 `log_5`3=-2}

11 _{log`a</sub>log`c _Û log`c<sub>log`b =3 Û 2}이므로 log`b<sub>log`a =3/2</sub> 따라서 _{log_a`b+log_b`a = log`a +</sub>log`b log`a<sub>log`b =13/6}

12 _I=600, _S=0.7이므로 _{0.7 =k`log`600=k`log~(10^2&\6)</sub> =k(log`10^2&+log`6)=2.8k <sub>0.7=2.8k</sub>에서 <sub>k=1/4</sub>이므로 구하는 감각의 세기는 <sub>1/4`log`60 =1/4`log~(10\6)} =1/4(log`10+log`6)=0.45 13 _a=3^1/3, _{b= 5^1/4}, _c=71/6_{이므로 (abc)^n=(3^1/3\5^1/4\7}1/6_)^n=33/n_\5n/4_\7n/6 _(abc)^n이 자연수가 되려면 자연수 _n은 ₃, ₄, ₆의 공배 수이어야 하므로 _n의 최솟값은 ₁₂이다. 14 _{x=log_2`10=1+log_2`5}, _{y=log_5`10=1+log_5`2} 따라서 _{(x-1)(y-1)=log_2`5\log_5`2=1}

15 _{log_90`18 = log_3`18log_3`90 =} log_3~(2\3^2)

log_3~(2\3^2&\5) = a+2

a+2+ 1b = ab+2bab+2b+1

16 두 로켓 _A, _B의 추진체의 분사 속력을 각각 _vA`km/s, vB`km/s라고 하면 9=vA`log_a`16 .c3.c3`① <sub>3=v</sub>B`log_a`10 .c3.c3`② ①_div②를 하면 _{9/3= vv}A`log_a`16 B`log_a`10 _{3 = vv}A B`log`16= v A vB`log`(10\1.6) = vA vB(log`10+log`1.6)= v A vB\1.2 v_vA B=2.5 따라서 _2.5배이다.

2

지수함수와 로그함수

37쪽 1 _⑴ -5 _⑵ 4/3

2 ⑴ _y=1/2&x-1/2 ⑵ _y=x^2(x->0)

38쪽 1 3^3 2 3^x 스스로확인하기 ⑵ 지수함수가 아니다 01 ⑴, ⑶ 02 O 4 6 8 2 4 -2 -4 x y ⑴ y=3^x ⑵ y=Ñ&1/3&Ò 2 03 ⑴ 점근선: 직선 _y=-2 ⑵ 점근선: 직선 _y=1 O 2 4 6 8 -2 -4 -2 2 4 x y _y=3^x^+^1&-2 y=-2 O 2 -2 4 6 8 -2 -4 2 4 x y y=Ñ&1/2&Ò^x^-^1&+1 y=1 04 예 _y=2^x-1, _{y=(1/2)^^x^^-1}

0

1

지수함수의 뜻과 그래프

38~42쪽 1 음원에서 떨어진 거리가 _{d_1`m</sub>, <sub>d_2`m}인 두 지점에서 소리의 세기를 각각 _{I_1`W/m^2</sub>, <sub>I_2`W/m^2}라고 하면 _{S_2&-S_1 =10`log` I_2I0- 10`log` I_1I0}

=10`log` I_2I_1=10`log` k d_2&^2 k d_1&^2 =10`log`^( d_1_{d_2 )^^2= 20`log` d_1d_2} 따라서 _{S_2=S_1&+20` log` d_1} d_2 35쪽 2 _{d_1=2}, _{S_1=100}, _{d_2=10}이라고 하면 _{S_2 =100+20`log`2/10} =100+20(log`2-log`10)=86 따라서 _{86`dB</sub>이다. 3 예 전투기가 이착륙할 때, 소음원에서 <sub>1`m} 떨어진 곳의 소리의 크기를 _{120`dB</sub>, <sub>x`m} 떨어진 곳의 소리의 크기를 <sub>60`dB</sub>이라고 하면 <sub>60=120+20`log` 1x</sub>, <sub>-60=-20`log`x</sub> log`x=3에서 _x=1000 따라서 _1000`m 떨어져 있어야 한다.

43쪽 log_2`3<sub>,</sub> 2 스스로확인하기 ⑵ 로그함수가 아니다 01 ⑴, ⑶ 44쪽 1 x .c3 1/4 1/2 1 2 4 8 .c3 y .c3 -2 -1 0 1 2 3 .c3 O y x 2 4 6 8 -2 -4 -2 2 4 2 2 4 6 8 -2 -2 2 4 6 8 x y=x y <sub>y=2^x</sub> O 3 같다. 02 ⑴ O 2 4 6 -2 -2 2 4 6 y=3^x y=À_3&`x x y=x y _⑵ O 2 4 6 -2 -2 4 y=x 6 y=Ñ&1/2&Ò^x x y 2 y=À㉩`x

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로그함수의 뜻과 그래프

43~47쪽 05 최댓값: ₁₂, 최솟값: ₄ 1 2 3 _{parr1 a>1}일 때, _x>0이면 _a의 값이 클수록 그래프 가 _y축에 더 가까워지고, _x<0이면 _a의 값이 클 수록 그래프가 _x축에 더 가까워진다. _{parr2 0<a<1}일 때, _x>0이면 _a의 값이 작을수록 그 래프가 _x축에 더 가까워지고, _x<0이면 _a의 값 이 작을수록 그래프가 _y축에 더 가까워진다. 수학 역량 기르기 42쪽 03 ⑴ 점근선: 직선 _x=1 ⑵ 점근선: 직선 _{x=-2 O} 2 -4 -2 4 2 4 6 8 x y y=À_3&(x-1)+1 x=1 O 2 4 6 -2 2 4 6 8 x y y=À㉪&(x+2)+3 x=-2 04 _x>0일 때만 _{log_2`x^2=2`log_2`x</sub>가 성립한다. 또 함수 <sub>y=log_2`x^2}의 정의역은 _{x|xnot=0인 실수_}이 고, 함수 _{y=2`log_2`x}의 정의역은 _{x|x>0}이므로 두 함수의 그래프는 다르다. 따라서 다은이의 말이 옳지 않다. 05 최댓값: ₃, 최솟값: ₀ 06 예 [문제] 정의역을 _{x|4-<x-<12}로 정한다. [답] 최댓값: ₁, 최솟값: _-1 1 2 3 _{parr1 a>1}일 때, _x>1이면 _a의 값이 클수록 그래프 가 _x축에 더 가까워지고, _0<x<1이면 _a의 값 이 클수록 그래프가 _y축에 더 가까워진다. _{parr2 0<a<1}일 때, _x>1이면 _a의 값이 작을수록 그 래프가 _x축에 더 가까워지고, _0<x<1이면 _a의 값이 작을수록 그래프가 _y축에 더 가까워진다. 수학 역량 기르기 47쪽 48쪽 1 12.5`g 2 60_년 01 ⑴ _x=-5 ⑵ _x=3 02 ⑴ 예 _{(1/2)^^3^^x-<(1/2)^^2^^x+4}, 작으므로, _3x->2x+4, x->4 ⑵ 예 _2^4^x>21/3+2x, 크므로, _4x>1/3+2x, _x>1/6 03 ⑴ ₂년 ⑵ ₃년 04 ⑴ _x=6 ⑵ _x=3 ⑶ _x>3 ⑷ _4<x-<6 05 ⑴ ₁₀₀1 기압 ⑵ ₁₀₀₀1 기압 이상 ₁₀1 기압 이하

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3

지수함수와 로그함수의 활용

48~52쪽 Ⅰ. 지수함수와 로그함수

179

즉, _{1=21-^m&+n .c3.c3`</sub>①, <sub>2=2^2-^m&+n .c3.c3`}② ②_-①을 하여 정리하면 _{21-^m&=1 1-m=0}에서 _{m=1 m=1}을 ①에 대입하여 풀면 _n=0 11 처음 자외선 양을 _a라고 하면 _x장의 필름을 통과한 후 자외선 양은 _{a^( 15)^^x}이므로 _{a^( 15)^^x=0.008a}, _{^( 15)^^x=^(}1_{5 )^^3}, _x=3 따라서 ₃장의 필름을 통과해야 한다. 12 현재 미세 먼지 농도를 _a라고 하면 _x년 후 미세 먼지 농도는 _a\1.04^x이므로 _a\1.04^x->2a, _1.04^x->2 양변에 상용로그를 취하면 _{log`1.04^x->log`2 x`log`1.04->log`2}, _{x-> 0.300.02 =15} 따라서 최소 ₁₅년 후이다. 13 _{y=9^( 13 )^^x=^(}1_{3 )^^x^^-^^2} O A 3 x y y=3 y=1 S_1 S_2 B C D 2 1

y=Ñ&1/3&Ò^x y=9Ñ&1/3&Ò^x 이므로 오른쪽 그림에 서 빗금 친 두 부분 _{S_1}, S_2의 넓이는 같다. 따라서 구하는 넓이는 평행사변형 _ABCD의 넓이와 같으므로 _2\2=4 14 _k>0이므로 _{log_2`k(x+2)=log_2`(x+2)+log_2`k</sub> 따라서 이 함수의 그래프는 함수 <sub>y=log_2`x}의 그래프 를 평행이동한 것과 같으므로 제₂사분면을 지나지 않 으려면 ( _y축과 만나는 점의 _y좌표)_-<0이어야 한다. _{log_2`2k-<0</sub>, <sub>log_2`2k-<log_2`1 2k-<1</sub>, <sub>k-<1/2 k>0</sub>이므로 <sub>0<k-<1/2</sub> 따라서 양수 <sub>k</sub>의 최댓값은 <sub>1/2</sub>이다. 15 <sub>a>2</sub>이므로 <sub>a-<x<a^2</sub>의 각 변에 밑이 <sub>a</sub>인 로그를 취 하면 <sub>log_a`a-<log_a`x<log_a`a^2}, _{1-<log_a`x<2 log_a`x=t}로 놓으면 _1-<t<2

_{(log_a`x)^2=t^2</sub>, <sub>log_a`x^2=2t}, _{log_a~(log_a`x)=log_a`t} 세 함수 _y=t^2, _y=2t, _{y=log_a`t}

O 1 2 2 1 4 y=t^2 y=2t y=À_a`t t y 의 그래프를 그리면 오른쪽 그림 과 같으므로 <sub>log_a`t<t^2<2t</sub> 따라서 _{log_a~(log_a`x) <(log_a`x)^2} <log_a`x^2 1 ○ 2 × 3 ○ 4 × 1 ① - ㉢, ② - ㉡, ③ - ㉠, ④ - ㉣ 2 ⑴ <sub>x=-6</sub> ⑵ <sub>x<</sub> 9<sub>4</sub> 3 ⑴ <sub>x=4</sub> ⑵ <sub>x>8</sub> 4 밑이 <sub>1</sub>보다 커야 하므로 <sub>a^2&+a-5>1</sub> 따라서 <sub>a<-3</sub> 또는 <sub>a>2</sub> 5 점근선이 직선 <sub>y=-3</sub>이므로 <sub>b=-3</sub> 점 <sub>(1</sub>, <sub>0)</sub>을 지나므로 <sub>0=(1/3)1+a&-3</sub>, <sub>(1/3)1+a=3 1+a=-1</sub>에서 <sub>a=-2</sub> 6 <sub>log_2`a=1</sub>이므로 _{a=2 log_2`b=2</sub>이므로 <sub>b=4 log_2`c=4}이므로 _c=16 따라서 _a+b+c=22 7 _{y=log_3~(3x-9)=log_3`3(x-3)=log_3~(x-3)+1</sub> 이 함수의 그래프는 함수 <sub>y=log_3~(x-2)+3</sub>의 그래 프를 <sub>x</sub>축의 방향으로 <sub>1</sub>만큼, <sub>y</sub>축의 방향으로 <sub>-2</sub>만큼 평행이동한 것과 같으므로 <sub>a=1</sub>, <sub>b=-2</sub> 8 ⑴ 밑을 모두 <sub>2</sub>로 바꾸면 <sub>2rt2=2</sub>3/2, <sub>^( 12 )^^-^^2=2^2</sub>, <sub>8</sub>1/6<sub>=2^1/2</sub> 함수 <sub>y=2^x</sub>은 <sub>x</sub>의 값이 증가하면 <sub>y</sub>의 값도 증가하 므로 <sub>8</sub>1/6<sub><2rt2<^( 12 )^^-^^2</sub> ⑵ 밑을 모두 <sub>2</sub>로 바꾸면 <sub>log_1/2`rt3=log_2` 1</sub> rt3, log_1/4`1/3=log_2`rt3 <sub>2`log_4`3=log_2`3} 함수 _{y=log_2`x</sub>는 <sub>x</sub>의 값이 증가하면 <sub>y</sub>의 값도 증 가하므로 <sub>log_1/2`rt3<log_1/4`</sub> 1<sub>3 <2`log_4`3} 9 ⑴ _x=2일 때, 최댓값은 _{3^2-1&-1=2 x=-1}일 때, 최솟값은 _{3&-1-1&-1=- 89} ⑵ _x=-1일 때, 최댓값은 _{log_1/3~{2\(-1)+5}+3=2 x=2}일 때, 최솟값은 _{log_1/3~(2\2+5)+3=1} 10 두 그래프의 교점은 직선 _y=x 위에 있으므로 두 교 점의 좌표는 ₍₁, ₁₎, ₍₂, ₂₎이다. 53~55쪽

1 _c=0.3, _P0=100이므로 100 (t+1)0.3-<50, (t+1)0.3->2 양변에 상용로그를 취하면 _log~(t+1)0.3_{->log`2 0.3`log~(t+1)->0.3 log~(t+1)->1}, <sub>log~(t+1)->log`10 t+1->10</sub>, <sub>t->9</sub> 따라서 최소 <sub>9</sub>개월 후이다. 2 <sub>c=0.2</sub>, <sub>P0=90</sub>, <sub>t=4</sub>이므로 <sub>P= 90</sub> 50.2 양변에 상용로그를 취하면 <sub>log`P=log` 90</sub> 50.2 <sub>log`P =log`(3^2&\10)-0.2`log`5</sub> =2`log`3+1-0.2(1-log`2)& =1.82=1+0.82 =log`10+log`6.6=log`66 즉, _P=66 따라서 ₆₆이다. 3 ₆개월 후 두 시험 _A, _B에 대한 기억 상태를 각각 _{P_A}, P_B라고 하면 _{P_A= P0} 70.3=P0(1/7) 0.3 , _{P_B= P0} 70.2=P0(1/7) 0.2 함수 _y=(1/7)^^x은 _x의 값이 증가하면 _y의 값은 감소 하므로 _(1/7)0.3_<(1/7)0.2, 즉 _{P_A<P_B} 따라서 시험 _B의 점수가 더 높을 것으로 예상할 수 있다. 56쪽 1 ③ 2 _{3^x=4^y=(1/12)^^z=t}라고 하면 _t>0, _tnot=1이고, _3=t1/x, _4=ty/1, _1/12=t1/z _t1/x+1/y+1/z_{=3\4\1/12=1이므로 1/x+1/y+1/z=0} 3 ⑴ a^x&-a-x a^x&+a-x= &a^x&(a^x&-a -x₎

a^x&(a^x&+a-x_{) =} a^2^x&-1_{a^2^x&+1 =1}/2

⑵ a^3^x&-a-3x

a^3^x&+a-3x = a^3^x&(a^3^x&-a -3x₎

a^3^x&(a^3^x&+a-3x_{) =}&(a^2^x&)^3&-1_{(a^2^x&)^3&&+1 =13}/14

58~60쪽

4 _{a=log_2`3</sub>, <sub>b=log_5`2}

⑴ _{log_5`3= log_2`3log_2`5 =log_2`3\log_5`2=ab</sub> ⑵ <sub>log_3`4/25 =}log_2` 425

log_2`3 =2- 2ba =2b-2ab

5 ⑴ _{log_2~(4^3/4\rt2^5&)^1/2 = 12 `log_2~(2</sub>3/2<sub>\2</sub>5/2<sub>)=2</sub> ⑵ <sub>-2`log`rt10&+log`}3_{rt100&-log`5 11000 g =-2\1/2&+2/3-^(-3/2&)=7/6}

6 _{log`x^2&-log`rtx~ =2`log`x-1/2`log`x=3/2`log`x 10<x<100}의 각 변에 상용로그를 취하면 _{log`10<log`x<log`100</sub>, <sub>3/2<3/2`log`x<3</sub> 따라서 <sub>3/2`log`x=2</sub>이므로 <sub>log`x=4/3} 7 _x->-1일 때, _{y=2^x+1&+2 .c3.c3`</sub>① <sub>x<-1</sub>일 때, <sub>y=2&-^x-1&+2 .c3.c3`}② 함수 _y=2|x+1|_&+2의 그래 O x y y=2^-^x^-^1&+2 y=2^x^+^1&+2 -1 3 프는 오른쪽 그림과 같고, ①, ②의 그래프의 교점의 좌표는 _(-1, ₃₎이다. 따라서 구하는 실수 _k의 값의 범위는 _k<3 8 ① 정의역은 _{x|x<1}이다. ② 치역은 실수 전체의 집합이다. ④ 그래프는 점 ₍₀, ₂₎를 지난다. ⑤ _x의 값이 증가하면 _y의 값은 감소한다. 따라서 옳은 것은 ③이다. 9 점근선이 직선 _x=-3이므로 _a=3 점 ₍₀, ₃₎을 지나므로 _{3=log_3~(0+3)+b 3=1+b}에서 _b=2 10 ⑴ ₃x^2&+1-2(x-1)_=3^2에서 _{x^2&+1-2(x-1)=2 x^2&-2x+1=0}, _x=1 ⑵ _{log_1/3 (x-4)^2>log_1/3(x-2)}에서 밑이 ₁보다 작 으므로 _(x-4)^2<x-2, _3<x<6 진수의 조건에서 _x>4이므로 _4<x<6 11 _{^( 11024 )}1/n_=(2&-10)n/1₌₂-10/n ▶ 50 % 이때 ₂-n10이 자연수가 되려면 _-n은 ₁₀의 양의 약수 이어야 하므로 _n의 값은 _-1, _-2, _-5, _-10 ▶ 50 % 4 _{a=log_2`3</sub>, <sub>b=log_5`2}이므로 ⑴ <sub>log_5`3= log_2`3log_2`5 =</sub> log_2`3₁

log_5`2 = a1b =ab

⑵ <sub>log_3`4/25 =</sub>log_2` 425

log_2`3 =2-2`log_2`5log_2`3 =log_2` 2<sub>log_2`3 =</sub>log_5`2 2- 2b_{a =}2b-2ab

8 ㄱ. _y=3^x의 그래프를 _x축에 대하여 대칭이동한 다음 y축의 방향으로 ₂만큼 평행이동한 것이다. ㄴ. _y=3^x의 그래프를 _x축의 방향으로 _-2만큼, _y축 의 방향으로 _-1만큼 평행이동한 것이다. ㄹ. _y=3^x의 그래프를 _y축에 대하여 대칭이동한 것이 다. 따라서 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다. 7 _M, _N은 자연수이므로 _{log`M->0</sub>, <sub>log`N->0} ㈎에서 _{[log`M]=0</sub>, <sub>[log`N]=0} ㈏에서 _{[log`M]=0</sub>이므로 <sub>log`M=0}, _M=1 ㈐에서 _N^2=49M=49이므로 _N=7 Ⅰ. 지수함수와 로그함수

181

12 근과 계수의 관계에 따라

_{log`a+log`b=10}, _{log`a\log`b=2} ▶ 30 %

_{log_a`b+log_b`a = log`blog`a +}log`a<sub>log`b</sub>

= (log`a+log`b)^2&-2`log`a\log`b<sub>log`a\log`b</sub>

= 10^2&-2\2₂ =48 ▶ 70 %

13 ⑴ _{y=^( 12)1^^-^^x&+3=2 ^x-1&+3}

O x y y=3 y=Ñ&1/2&Ò^1^-^x&+3 7/2 따라서 이 함수의 그래프 는 오른쪽 그림과 같다. ▶ 50 % ⑵ 함수 _{y=^( 12)1^^-^^x&+3}은 _x의 값이 증가하면 _y의 값 도 증가한다. 따라서 _x=3일 때, 최댓값은 _{^( 12)1^^-^^3&+3=7 x=-1}일 때, 최솟값은 _{^( 12)}1-(-1)_+3=13/4 ▶ 50 % 14 _{`f(x)=log_2`^(1+ 1x+3 )=log_2`</sub>x+4<sub>x+3</sub>이므로 <sub>`f(1)+f(2)+f(3)+ .c3 +f(n)}

_{=log_2`5/4+log_2`6/5+log_2`7/6+ .c3 +log_2`n+4n+3 =log_2`^(5/4\6/5\7/6\ .c3 \ n+4n+3 ) =log_2` n+44} ▶ 60 % 따라서 <sub>log_2` n+44 =3</sub>이므로 n+4<sub>4 =8</sub>, <sub>n=28</sub> ▶ 40 % 15 진수의 조건에서 <sub>x-1>0</sub>, <sub>7-x>0</sub>이므로 <sub>1<x<7 y =log_3~(x-1)+log_3~(7-x)</sub> =log_3~(-x^2&+8x-7) =log_3`{-(x-4)^2&+9} ▶ 50 % 이 함수는 밑이 ₁보다 크므로 _-(x-4)^2&+9의 값이 최대일 때 _y의 값이 최대가 된다. 따라서 _1<x<7에서 _x=4일 때, 구하는 최댓값은 _{log_3`9=2</sub> ▶ 50 % 16 <sub>m=4</sub>, <sub>M=-5</sub>이므로 <sub>4-(-5)=5`log`x-5 log`x =2.8} ▶ 30 % =2+0.8 =log`10^2&+log`6.31=log`631 따라서 _x=631이므로 ₆₃₁파섹이다. ▶ 70 %

1

삼각함수

64쪽 1 sin`A=3/5<sub>,</sub> cos`A=4/5_, tan`A=3/4

2 ⑴ _1/2 ⑵ rt2₂ ⑶ _rt3 ⑷ ₁ 65쪽 1 _{시계 방향} 2 _{시계 반대 방향} 스스로확인하기 _⑵ 120° _⑶ -45° 01 X P P P _P O ⑷ ⑵ ⑶ ⑴ 스스로확인하기 50°, _50° 02 ⑴ _{360°\n+60°~} (단, _n은 정수) ⑵ _{360°\n+80°~} (단, _n은 정수) ⑶ _{360°\n+150°~} (단, _n은 정수) ⑷ _{360°\n+120°~} (단, _n은 정수) 03 예 _45°, _225° 스스로확인하기 ⑵ _-3 04 ⑴ 제₂사분면 ⑵ 제₁사분면 ⑶ 제₃사분면 ⑷ 제₄사분면 y축에 대하여 대칭인 두 동경을 각각 _OP, _{OP'이라 하} 고, 두 동경이 나타내는 일반각을 각각 _{gakXOP=360°\l+alpha°~}( _l은 정수) _{gakXOP'=360°\m+180°-alpha°~}( _m은 정수) 라고 하면 이 두 일반각의 합은 _{gakXOP+gakXOP' =360°\(l+m)+180°} 즉, _360°\(정수)_+180°이다. 수학 역량 기르기 67쪽 68쪽 1 2 _같다. 스스로확인하기 A O B P Q 2 3 ⑴ ₁₈₀pai ⑵ 180° pai

0

1

일반각과 호도법

65~70쪽

삼각함수

71쪽 1 3.4`m 2 17/40로 같다. 스스로확인하기 5, ₃

01 _{sin`θ=- rt53</sub>, <sub>cos`θ=-2/3}, _{tan`θ= rt52}

02 ⑴ _{sin`θ=1/2</sub>, <sub>cos`θ=- rt32}, _{tan`θ=- rt33</sub> ⑵ <sub>sin`θ=- rt32}, _{cos`θ=1/2</sub>, <sub>tan`θ=-rt3}

03

θ 각 _{놓인 사분면}θ의 동경이  _{값의 부호}sin`θ의  <sub>값의 부호</sub>cos`θ의  _{값의 부호}tan`θ의  

⑴ 30° 제1사분면 + + +

⑵ 235° 제3사분면 - - +

⑶ 11/6&pai 제4사분면 - + -⑷ -6/5&pai 제2사분면 + - -04 제₂사분면

74쪽 1 sin`θ=12/13, cos`θ=5/13, tan`θ=12/5 2 같다. 05 <sub>sin`θ=-</sub> 2rt6₅ , _tan`θ=-2rt6 06 ⑴ _-3/8 ⑵ _{- rt72} 또는 rt7₂

0

2

삼각함수의 뜻

71~75쪽 76쪽 1, 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213141516(분) 01 ⑴ rt3₂ ⑵ _1/2 ⑶ _{- rt22} ⑷ _1/2

0

3

삼각함수의 그래프

76~88쪽 02 ⑴ 주기: _pai, 치역: _{y|-1-<y-<1} x y y=cos`2x π 2π O 2 -1 -2 1 -π -π/2 π/2 3/2&π -3/2&π -2π ⑵ 주기: <sub>4pai</sub>, 치역: <sub>{y|-1-<y-<1}</sub> y=-sin`x/2 π 2π O -1 -2 1 2 -π -2π x y 03 ⑴ 주기: _2pai, 치역: _{y|-2-<y-<2} y x y=2sin`x π 2π O -2 -1 1 -π -π/2 π/2 3/2&π -3/2&π -2π 2

⑵ 주기: _2pai, 치역: _{^{y^|1/2-<y-<3/2^}}

y=1/2cos`x+1 π 2π O -π -2π x y -1 1 -2 2 04 ① - <sub>㉡ - ㉯, ② - ㉢ - ㉱, ③ - ㉠ - ㉮, ④ - ㉣ - ㉰</sub> 05 ① - <sub>㉣ - ㉰, ② - ㉢ - ㉯, ③ - ㉠ - ㉮, ④ - ㉡ - ㉱</sub> 83쪽 1 <sub>θ 80° 89° 89.9° 89.99°</sub> tan`θ 5.67 57.29 572.96 5729.58 2 급격히 커진다. 스스로확인하기 ⑴ _pai/3 ⑵ _pai/4 06 ⑴ _-rt3 ⑵ rt3₃ 07 ⑴ 주기: _2pai 점근선: 직선 _x=2npai+pai (단, _n은 정수) y=tan`x/2 O <sub>π/2</sub> -π/2 π -π -1 1 2 -2 x y 05 ① - ㉣, ② - ㉢, ③ - ㉡, ④ - ㉠ 스스로확인하기 3/4&pai 06 호의 길이: <sub>8pai`cm</sub>, 넓이: _{48pai`cm^2</sub> 07 반지름의 길이: <sub>6~`cm}, 중심각의 크기: _pai 08 _196pai`cm^2 Ⅱ. 삼각함수

183

1 ○ 2 × 3 ○ 4 ×

1 _{육십분법 50° 135° 210° 300°}

호도법 5/18&pai 3/4&pai 7/6&pai 5/3&pai

89~91쪽 ⑵ 주기: _pai 점근선: 직선 _{x=npai+ pai2} (단, _n은 정수) O _π/2 -π/2 π -π -1 -2 1 2 x y _y=2tan`x 08 ⑴ _-0.4226 ⑵ _0.8387 ⑶ _-5.1446 86쪽 1 10, 18 2 8

09 ⑴ _x=pai/3 또는 _x=23&pai/ ⑵ _{5/4&pai-<x-< 7/4&pai}

10 ⑴ _x=pai/3 또는 _x=5/3&pai

⑵ _{0-<x-<5/6&pai} 또는 _{7/6&pai-<x<2pai}

11 ⑴ _x=pai/3 또는 _x=4/3&pai

⑵ _0-<x<pai/2 또는 _{3/4&pai<x<3/2&pai} 또는 _{7/4&pai<x<2pai}

1 5+4.8`sin`pai/6&x->7.4 _(0-<x<24) 2 [민혁] 네 교점의 좌표는 각각 ₍₁, _7.4), ₍₅, _7.4), (13, _7.4), ₍₁₇, _7.4)이므로 부등식 5+4.8`sin`pai/6&x->7.4의 해는 _1-<x-<5 또는 _13-<x-<17 따라서 ₈시간이다. [소윤] _0-<t<4pai일 때, _sin`t->1/2에서 _{pai/6-<t-<5/6&pai} 또는 _{13/6&pai-<t-<17/6&pai} 즉, _1-<x-<5 또는 _13-<x-<17 따라서 ₈시간이다.

수학 역량 기르기 88쪽

2 중심각의 크기: _2/3, 넓이: _{3`cm^2 ~}

3 _{sin`θ=-12/13</sub>, <sub>cos`θ=5/13}, _tan`θ=-12/5

4 ⑴ _x=pai/4 또는 _x=7/4&pai

⑵ _{pai/2<x<5/6&pai} 또는 _{3/2&pai<x<11/6&pai}

5 _{7θ-θ=2npai~}( _n은 정수)에서 _{θ= n3pai pai<θ<3/2&pai}이므로 _θ=4/3&pai

6 _{sin`θ`cos`θ<0</sub>에서 각 <sub>θ</sub>는 제<sub>2</sub>사분면 또는 제<sub>4</sub>사분 면의 각이고, <sub>cos`θ`tan`θ<0}에서 각 _θ는 제₃사분면 또는 제₄사분면의 각이다. 따라서 각 _θ는 제₄사분면의 각이다. 7 _{sin`θ=3/5</sub>이므로 <sub>cos^2`θ=1-sin^2`θ=16/25 cos θ<0</sub>이므로 <sub>cos`θ=- 45}

_{tan`θ= sin`θcos`θ</sub>에서 <sub>tan`θ=-3/4}

따라서 _{20(cos`θ-tan`θ)=20(-45+3/ /4)=-1} 8 _{sin`θ+cos`θ=1/2}의 양변을 제곱하여 정리하면 <sub>sin`θ`cos`θ=-3/8</sub> 따라서 <sub>sin^3`θ+cos^3`θ =(sin`θ+cos`θ)^3& -3`sin`θ`cos`θ~(sin`θ+cos`θ) =(1/2)^^3&-3\(-3/8)\1/2=11/16</sub> 9 ⑴ 함수 <sub>y= 12 `cos`2(x-pai/3)+1</sub>의 주기는 함수 y=cos`2x의 주기와 같으므로 _pai이다. 최댓값은 1_{2 +1=3/2}, 최솟값은 _-1/2+1=1/2 ⑵ 함수 <sub>y=3`sin~(x/2-pai/6)-2</sub>의 주기는 함수 y=sin`x/2의 주기와 같으므로 _4pai이다. 최댓값은 _3-2=1, 최솟값은 _-3-2=-5

10 ⑴ _{2`sin5/3&pai-rt3`tan`7/3&pai-3`sin`3/2&pai =-2`sin`pai/3-rt3`tan`pai/3+3`sin`pai/2=-rt3</sub> ⑵ <sub>cos`720°`sin~(-90°)+sin`840°`tan~(-480°) =cos`0°\(-sin`90°)+sin`60°`tan`60°=1/2}

11 ⑴ _{2`cos^2`x-cos`x-1=0 (2`cos`x+1)(cos`x-1)=0 cos`x=-1/2</sub> 또는 <sub>cos`x=1 0-<x<2pai}이므로 _x=0 또는 _x=2/3&pai 또는 _x=4/3&pai ⑵ _{4`sin^2`x-1<0}, _{(2`sin`x+1)(2`sin`x-1)<0 -1/2<sin`x<1/2 0-<x<2pai}이므로

_0-<x<pai/6 또는 _{5/6&pai<x<7/6&pai} 또는 _{11/6&pai<x<2pai}

12 _{4`sin` pai12 x->2}에서 _{sin`pai/12&x->1/2 12</sub>pai <sub>x=t</sub>로 놓으면 <sub>0-<t-<pai sin`t->1/2}에서 _{pai/6-<t-<5/6&pai} 즉, _2-<x-<10

따라서 ₈시간이다.

13 _a>0, 최댓값이 ₃, 최솟값이 _-3이므로 _{a=3 b>0}, 주기는 _{11/6&pai-5/6&pai=pai}이므로 2pai_{b =pai}, _b=2 함수 _{y=3`cos~(2x+c)</sub>의 그래프는 점 <sub>^(0</sub>, <sub>3/2)</sub>을 지 나므로 <sub>3/2=3`cos`c</sub>, <sub>cos`c=1/2 0<c<pai/2}이므로 _c=pai/3 14 함수 _{y=sin` pai6 x}의 주기는 ₁₂이므로 두 점 _B, _C는 직선 _x=3에 대하여 대칭이다. _^-BC^-=4이므로 _B(1, ₀₎, _C(5, ₀₎

_x=1일 때, <sub>y=sin` pai6=1/2</sub>이므로 <sub>A^(1</sub>, 1<sub>2 &)</sub> 따라서 직사각형 <sub>ABCD</sub>의 넓이는 <sub>4\1/2=2</sub> 15 ㄱ. 오른쪽 그래프에서 O x y 1 y=sin`x y=cos`x y=tan`x απ/4 _{0<x< pai4}일 때, _sin`x<cos`x ㄴ. 오른쪽 그래프에서 두 함 수 _{y=cos`x</sub>, <sub>y=tan`x}

의 교점의 _x좌표를 _alpha라고 하면 _{alpha<x< pai4}일 때, _cos`x<tan`x 1 예 _{y=sin`x</sub>, <sub>y=-sin`x} 2 예 오른쪽 그림과 같이 두 함수 y=2cos`x y=cos`x y=cos`x, <sub>y=2`cos`x</sub>의 그래프의 일부분으로 새로운 무늬를 만들 수 있다. 92쪽

2

사인법칙과 코사인법칙

94쪽 1 _⑴ 90° _⑵ 40° 2 6rt3 95쪽 1 ^-AC^-=24`m<sub>,</sub> ^-BC^-=12rt2&`m 2 24rt2 로 같다. 01 _R=2rt2, _c=2rt2 02 ⑴ _a=b인 이등변삼각형 ⑵ _C=90°인 직각삼각형 03 _{875`m</sub> 04 <sub>180`m} 05 ⑴ _rt10 ⑵ _60° 06 코사인법칙에서 _{c^2=a^2&+b^2&-2ab`cos`C C<90°}일 때, _{cos`C>0</sub>이므로 <sub>a^2&+b^2>c^2</sub>이다. <sub>C=90°</sub>일 때, <sub>cos`C=0}이므로 _a^2&+b^2=c^2이다. _C>90°일 때, _{cos`C<0</sub>이므로 <sub>a^2&+b^2<c^2</sub>이다. 따라서 ① - <sub>㉢, ② - ㉡, ③ - ㉠이다.</sub> 07 <sub>4540`m} 08 ⑴ 5₇ ⑵ <sub>5`km</sub> 102쪽 1 4rt3`cm 2 120rt3`cm^2 스스로확인하기 1/2 09 ⑴ _6rt3 ⑵ ₈ 10 _6rt6 11 ₃₇₆

0

1

사인법칙과 코사인법칙

95~104쪽 ㄷ. 오른쪽 그림에서 _{0<θ< pai4} x θ O TP -1 1 -1 1 y A x=1 H 일 때, <sub>sin`θ=^-PH^-</sub>, tan`θ=^-TA^-이므로 _{tan`θ>sin`θ} 즉, _{0<x< pai4}일 때, _tan`x>sin`x 따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. Ⅱ. 삼각함수

185

8 _{cos`A= 4^2&+5^2&-6^22\4\5 =1/8 sin`A>0}이므로 _{sin`A=@1-cos^2x`Ax= 3rt78} 9 <sub>c^2=3^2&+5^2&-2\3\5\cos`120°=49</sub>, <sub>c=7</sub> 삼각형 <sub>ABC</sub>에서 외접원의 반지름의 길이를 <sub>R</sub>라고 하면 <sub>R=</sub> 7 2`sin`120° =7rt33

10 삼각형 _ACB에서 _^-AC^-=100, _{^-BC^-=50rt2&}, _gakACB=45°이므로 _^-AB^- ^2 _{=100^2&+(50rt2&)^2&-2\100\50rt2\cos`45°</sub> =5000 <sub>^-AB^-=50rt2</sub> 따라서 두 지점 <sub>A</sub>, <sub>B</sub> 사이의 거리는 <sub>50rt2`m}이다. 11 _{sin~(B+C)=sin~(180°-A)=sin`A= 13</sub> 따라서 <sub>semoABC= 12 \6\5\1/3=5</sub> 12 <sub>AB'x=12/10 ^-AB^-</sub>, <sub>AC'x=9/10</sub> ^-AC^- <sub>S= 12 \^-AC^-\^-AB^-\sin`A}이므로

_{semoAB'C' = 12 \9/10 ^-AC^-\12/10^-AB^-\sin`A}

=27/25 _S 13 _{a^2=5^2&+8^2&-2\5\8\cos`60°=49</sub>, <sub>a=7</sub> 오른쪽 그림과 같이 삼각형 A B <sub>C</sub> 8 <sub>5</sub> 7 I ABC의 내접원의 중심을 <sub>I</sub>, 반지름의 길이를 <sub>r</sub>라고 하면 <sub>semoABC=semoIAB+semoIBC +semoICA semoABC= 12 \5\8\sin`60°=10rt3} 이므로 _{10rt3= 12 \8\r+}1_{2 \7\r+}1_{2 \5\r 10rt3=10r} 따라서 _r=rt3 14 _{a=2R`sin`A=6rt3}, _{b=2R`sin`B=6rt2} 꼭짓점 _C에서 선분 _AB에 내린 수선의 발을 _H라고 하면 _{^-AB^- =^-AH^-+^-BH^-=b`cos`A+a`cos`B} =6rt2`cos`60°+6rt3`cos`45°=3rt2&+3rt6& 15 삼각형 _CDM에서 _C=120°, _^-MC^-=3, _^-CD^-=6이므로 _^-MD^- ^2=3^2&+6^2&-2\3\6\cos`120°=63 <sub>^-MD^-=3rt7</sub> 따라서 <sub>cos`θ= 3^2&+(3rt7&)^2&-6^2</sub> 2\3\3rt7 =2rt77 1 ○ 2 ○ 3 × 1 ₆ 2 _2rt3 3 _rt5 4 ⑴ ₉ ⑵ ₉

5 _{sin`A=a/4</sub>, <sub>sin`B=b/4}, _{sin`C= c4}이고, 삼각형

ABC의 둘레의 길이가 ₉이므로 _a+b+c=9 따라서 _{sin`A+sin`B+sin`C=94/</sub> 6 삼각형 <sub>ABC</sub>에서 <sub>A=180°-(45°+75°)=60°</sub> 외접원의 반지름의 길이를 <sub>R</sub>라고 하면 <sub>R=</sub> 12 2`sin`60° =4rt3, pai(4rt3&)^2=48pai 따라서 구하는 넓이는 <sub>48pai`m^2}이다. 7 삼각형 _ABC에서 외접원의 반지름의 길이를 _R라고 하자. ⑴ _{sin~(A+C)=sin~(180°-B)=sin`B sin^2`A+sin^2`B=2`sin`A`sin~B}에서 _{^( a2R )^^2&+^(2R )^^2&=2\}b _{2R \}a _2Rb _{a^2&-2ab+b^2=0}, _(a-b)^2=0, _a=b 따라서 삼각형 _ABC는 _a=b인 이등변삼각형이다. ⑵ _{sin`A=2`cos`B`sin`C}에서 _{2R =2\}a c^2&+a^2&-b^2_{2c&a \ c2R}, _{b^2=c^2 b>0}, _c>0이므로 _b=c 따라서 삼각형 _ABC는 _b=c인 이등변삼각형이다. 105~107쪽 1 오른쪽 그림에서 사각 C' A' D' B' A B D C 6 8 π / 3 π / 3 형 _{A'B'C'D'은 평행} 사변형이고 gakA'B'C'_{= pai3}이므로 _{nemoA'B'C'D' =2semoA'B'C'} =2^( 12 \6\8\sin~pai/3&)=24rt3 _{nemoA'B'C'D'=2nemoABCD}이므로 _{nemoABCD= 12 \24rt3=12rt3} 2 예 [문제] _^-AC^-=4, _^-BD^-=6, 두 대각선 _AC, _BD가 이루는 각의 크기를 pai₆로 바꾼다. [답] ₆ 수학 역량 기르기 104쪽

16 오른쪽 그림과 같이 선분 _{BD A} B C D 4 3 2 1 를 그으면 삼각형 _ABD에서 _^-BD^- ^2 _{=1^2&+4^2 -2\1\4\cos`A</sub> =17-8`cos`A <sub>.c3.c3`}① 삼각형 _BCD에서 _^-BD^- ^2 <sub>=2^2&+3^2&-2\2\3\cos`C</sub> =13-12`cos`C =13-12`cos~(180°-A) =13+12`cos`A .c3.c3`② ①, ②에서 <sub>17-8`cos`A=13+12`cos`A</sub> 즉, <sub>cos`A=1/5 sin`A>0</sub>이므로 <sub>sin`A=@1-cos^2x`Ax= 2rt65</sub> 따라서 nemoABCD =semoABD+semoBCD = 12\1\4\sin`A+12 \2\3\sin~(180°-A) =5`sin`A=2rt6 1 ④ 2 _{2npai+pai<θ<2npai+ 32 &pai} ( _n은 정수)이므로 2n_{3 pai+pai/3<theta/3< 2n3 pai+pai/2} (단, _n은 정수) _{parr1 n=3k} ( _k는 정수)일 때,

_{2kpai+pai/3<theta/3<2kpai+pai/2} 즉, 각 _theta/3는 제₁사분면의 각이다. _{parr2 n=3k+1} ( _k는 정수)일 때,

_{2kpai+pai<theta/3<2kpai+7/6&pai} 즉, 각 _theta/3는 제₃사분면의 각이다. _{parr3 n=3k+2} ( _k는 정수)일 때,

_{2kpai+5/3&pai<theta/3<2kpai+11/6&pai} 즉, 각 _theta/3는 제₄사분면의 각이다.

_parr1, _parr2, _r3par에서 각 θ₃는 제₁사분면 또는 제₃사분면 또 는 제₄사분면의 각이다. 3 각 _θ가 제₃사분면의 각이므로 _{cos`θ<0</sub>, <sub>sin`θ<0} 따라서 _{|1-2`cos`θ|-2cos^2`θx-rt(sin`θ+cosx`θ)^2x =1-2`cos`θ+cos`θ+sin`θ+cos`θ =1+sin`θ} 4 각 함수의 주기는 ① _pai ② ₄ ③ ₂ ④ ₃ ⑤ ₄ 따라서 ③이다.

5 _{sin~(-pai/6)+cos`7/3&pai-tan`5/4&pai =-sin` pai6+cos`}pai_{3 -tan`}pai₄

=-1 6 _{sin`359°=sin~(360°-1°)=-sin`1°}, _{sin`358°=sin~(360°-2°)=-sin`2°}, _.c3, _{sin`181°=sin~(360°-179°)=-sin`179°}이므로 _{sin`1°+sin`2°+ .c3 +sin`359°+sin`360° =sin`1°+sin`2°+ .c3 +sin`179°+sin`180° -sin`179°- .c3 -sin`2°-sin`1°+sin`360° =sin`180°+sin`360° =0} 110~112쪽 1 예 지적도상의 길이는 오른 A E D B C 46。 50。 2.2`cm 2.2`cm _{2.3`cm</sub> 4.1`cm 지역 A 22。 쪽 그림과 같고, 축척이 1 500이므로 ^-AB^-, ^-BE^-, ^-BD^-, _^-BC^-의 실제 길이는 각각 _{11`m</sub>, <sub>11.5`m}, 20.5`m, <sub>11`m}이다. 세 삼각형 _ABE, _BDE, _BCD의 실제 넓이의 합은 1_{2 \11\11.5\sin`22° + 12 \11.5\20.5\sin`46° + 12 \20.5\11\sin`50° =194.8.c3</sub> 따라서 지역 <sub>A</sub>의 실제 넓이는 <sub>195`m^2}이다. 2 예 오른쪽 그림의 축척이 6.7`cm 6.7`cm 43。 38。 9。 4.9`cm 5.3`cm 1 500일 때, 이 지역의 실 제 넓이는 _641`m^2이다. 108쪽 Ⅱ. 삼각함수

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7 함수 <sub>y=cos`2x</sub>의 그래프와 직선 <sub>y= 13</sub> 은 다음 그림 과 같다. y=cos`2x x y O a b c d y=1/3 π / 2 π _3/2&π 2π -1 1 _a<b<c<d라고 하면

_b=pai-a, _c=pai+a, _d=2pai-a 따라서 _{a+b+c+d =4pai}

8 _x/2+pai/6=t로 놓으면 _{pai/6-<t<7/6&pai cos`t->1/2</sub>에서 <sub>pai/6-<t-<pai/3&</sub> 따라서 <sub>0-<x-<pai/3</sub> 9 지점 <sub>P</sub>는 삼각형 <sub>ABC</sub>의 외접원의 중심이므로 섬 <sub>A</sub> 에서 지점 <sub>P</sub>까지 거리는 삼각형 <sub>ABC</sub>에서 외접원의 반지름의 길이와 같다. 삼각형 <sub>ABC</sub>에서 <sub>C=180°-(40°+110°)=30°</sub>이 므로 <sub>^-AP^-=2`sin`30° =12</sub>12 따라서 섬 <sub>A</sub>에서 지점 <sub>P</sub>까지 거리는 <sub>12`km}이다. 10 _gakBPA=90°이므로 직각삼각형 _BPA에서 _{^-BP^-=3^-AB^-} ^2-c^-AP^- ^2c=2 오른쪽 그림과 같이_~ 선분 _OP를 P A B O θ 2θ 4 2RT5 2 그으면 _gakPOB=2θ이고, 삼각 형 _POB에서 _{^-OB^-=^-OP^-=rt5}, ^-BP^-=2이므 로 _{cos`2θ = (rt5&)^2&+(rt5&)^2&-2^2} 2\rt5\rt5 = 35 11 원의 중심을 _O라고 하면

_{gakBOA ÛgakCOB ÛgakAOC=3 Û4 Û5} 따라서 _gakBOA=90°, _gakCOB=120°, _gakAOC=150°이므로 _{semoABC =semoBOA+semoCOB+semoAOC} = 12\4\4\sin`90°+12 \4\4\sin`120° + 12 \4\4\sin`150° =12+4rt3 12 두 동경이 원점에 대하여 대칭이므로 _{5θ-θ=2npai+pai~}(단, _n은 정수) 즉, _{θ=n/2&pai+pai/4~}(단, _n은 정수) ▶ 70 %

그런데 _{pai<θ<3/2&pai}이므로 _θ=5/4&pai ▶ 30 %

13 부채꼴의 반지름의 길이를 _r, 중심각의 크기를 _θ, 호 의 길이를 _l이라고 하면 부채꼴의 둘레의 길이가 ₈이 므로 _2r+l=8 부채꼴의 넓이는 _{1/2&rl=1/2&r(8-2r)=-(r-2)^2&+4} ▶ 60 % 즉, _r=2일 때 부채꼴의 넓이가 최대가 된다. 이때 _l=4이고, _l=r&θ이므로 _θ=2 ▶ 40 % 14 근과 계수의 관계에 따라 _{sin`θ+cos`θ=1/3}, _{sin`θ`cos`θ=k/3</sub> ▶ 30 % <sub>sin`θ+cos`θ=1/3</sub>의 양변을 제곱하면 <sub>sin^2`θ+2`sin`θ`cos`θ+cos^2`θ=1/9 1+2\k/3=1/9} 따라서 _k=-4/3 ▶ 70 %

15 _a>0이므로 최댓값은 _a+c, 최솟값은 _-a+c이다. 즉, _a+c=5, _-a+c=1 위의 두 식을 연립하여 풀면 _a=2, _c=3 ▶ 50 % _b>0이므로 주기는 _{2pai/bpai=3/2} 따라서 _b=4/3 ▶ 50 % 16 직각삼각형 _ACD에서 _{^-AD^-= rt3cos`30° =2</sub> ▶ 20 % 삼각형 <sub>BCD</sub>에서 <sub>B=180°-(45°+75°)=60°</sub>이므로 <sub>^-BD^-= rt3`sin`45°sin`60° =rt2} ▶ 30 % 삼각형 _ADB에서 _D=45°이므로 _^-AB^- ^2 _{=2^2&+(rt2&)^2&-2\2\rt2\cos`45°=2 ^-AB^-=rt2</sub> 따라서 두 지점 <sub>A</sub>, <sub>B</sub> 사이의 거리는 <sub>rt2` km}이다. ▶ 50 % 17 ⑴ _{semoABC = 12 \6\12\sin`120°</sub> =18rt3 ▶ 40 % ⑵ <sub>semoABC=semoABD+semoADC</sub>이므로 <sub>18rt3=1/2\6\^-AD^-\sin`60°} +1/2\^-AD^-\12\sin`60° 따라서 _^-AD^-=4 ▶ 60 %

17 _{alpha+beta+pai/2=pai}이므로 _{alpha+beta=pai/2 .c3.c3} ㈎ _{sin~(3alpha+4beta) =sin`{4(alpha+beta)-alpha}}

=sin~(2pai-alpha)=sin`alpha <sub>.c3.c3</sub> ㈏ 직각삼각형 <sub>ABC</sub>에서 <sub>^-AC^-=3^-AB^-</sub> ^2+c^-BC^- ^2c=5 따라서 <sub>sin~(3alpha+4beta)=sin`alpha=</sub> ^-BC^-^-AC^-=4/5 .c3.c3 ㈐ 평가 기준 배점 ㈎ _alpha+beta의 각의 크기를 구한다. <sub>20`%</sub> ㈏ sin~(3alpha+4beta)를 sin`alpha로 나타낸다. _{40`%</sub> ㈐ sin~(3alpha+4beta)의 값을 구한다. <sub>40`%}

1

등차수열과 등비수열

116쪽 1 _⑴ 11 _⑵ 40 2 ⑴ ₂, ₃, ₅, ₇, ₁₁, ₁₃, ₁₇, ₁₉ ⑵ ₅, ₁₀, ₁₅, ₂₀ 117쪽 9_, 25 스스로확인하기 12 01 첫째항: ₁, 제₄항: _1/4 스스로확인하기 2, ₃, ₄ 02 ⑴ ₁, ₈, ₂₇, ₆₄ ⑵ ₀, ₂, ₆, ₁₂ ⑶ _1/3, _1/6, _1/9, _12/1 ⑷ _1/2, _3/2, _3/4, _4/5 03 예 수열: ₁, _rt2, _rt3, ₂, _.c3, 일반항: _rtn

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수열의 뜻

117~118쪽 119쪽 6, 8 스스로확인하기 -2 01 ⑴ ₃ ⑵ _-1/3 스스로확인하기 3 02 ⑴ _{a_n=5n-3} ⑵ _{a_n=-2n+12} ⑶ _{a_n=6n-5} ⑷ _{a_n=-4n+34} 03 ⑴ ₇ ⑵ 제₁₀항 04 _{a_n=4n-14} 05 예 [문제] 제₃항을 ₄, 제₁₀항을 _-10으로 정한다. [답] _{a_n=-2n+10} 06 제₁₅항 스스로확인하기 2 07 ⑴ _x=8, _y=20 ⑵ _x=6, _y=-2 08 ₂, ₉, ₁₆ 등차수열 _{{a_n}}의 첫째항을 _a, 공차를 _d라고 하면

a_1&+a_2=2a+d, _{a_3&+a_4=2a+5d}, _{a_5&+a_6=2a+9d},

.c3이므로 첫째항이 _2a+d, 공차가 _4d인 등차수열 이다. 수학 역량 기르기 122쪽 123쪽 101_, 5050

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2

등차수열

119~126쪽

수열

스스로확인하기 ⑴ ₁₉ ⑵ ₁₀ 09 ⑴ ₁₆₉ ⑵ ₁₁₉ ⑶ _-95 10 ₉₉₉ 11 ₁₂₀₀ [아영] 등차수열의 일반항을 _{a_n}이라고 하면 _{a_n=4n-26<0}에서 _n<26/4=6.5 즉, 첫째항부터 제₆항까지의 합이 최소가 된다. 따라서 최솟값은 6{2\(-22)+(6-1)\4}_{2 =-72} [정현] 등차수열의 첫째항부터 제_n항까지의 합은 n{2\(-22)+(n-1)\4}_{2 =2n^2&-24n=2(n-6)^2&-72} 따라서 첫째항부터 제₆항까지의 합이 최소가 되 고 최솟값은 _-72이다. 수학 역량 기르기 125쪽 12 _{a_n=4n+3} 13 _n->2일 때, _{a_n=S_n&-&S_n-_1=2n-1 .c3.c3`</sub>① <sub>n=1</sub>일 때, <sub>a_1=S_1=2 .c3.c3`}② 그런데 ①에 _n=1을 대입하여 풀면 _{a_1=1}이므로 ②와 일치하지 않는다. 따라서 일반항은 _{a_1=2}, _{a_n=2n-1(n->2)}이므로 승수의 말은 옳지 않다. 127쪽 _{접은 횟수 1 2 3 4 .c3} 정사각형의 넓이 8 4 2 1 .c3 스스로확인하기 2 01 ⑴ _-3 ⑵ _rt2 스스로확인하기 2 02 ⑴ _{a_n=2^n-1} ⑵ _{a_n=3\(-5)^n-1} ⑶ _{a_n=4\(1/2)^^n^^-1} ⑷ _{a_n=-2\(-1)^n-1} 03 ₂ 04 예 [문제] 첫째항을 ₂, 공비를 _-3으로 정한다. [답] _-54 05 ₆번째 06 _{a_n=-6\(-2)^n-1} 07 제₆항 스스로확인하기 12

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3

등비수열

127~133쪽 Ⅲ. 수열

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