민코프스키의 4차원 시공간(space-time)
▶민코프스키는 4차원 시공간에서 물체의 위치를 나타내는 세계선(world-line)이란 개념을 만듬. ▶세계선으로 특수상대성이론에 나오는 동시성 문제, 시간의 지연, 길이의 축소 등이 일어나는 이유를 간단하게 그림으로 설명 ▶세계선(Wolld line)은 4차원 민코프스키 시공간에서 각각의 사건 질점들이 만들어 내는 운동의 궤도를 말하며, 세계선은 사건마다 고유하게 발생됨. ■ 4차원 시공간 ▶ 시간과 공간이 서로 얽혀있음 ▶ 로렌츠 변환, 곧 상대성이론에서는 시간과 공간이 대칭적으로 얽혀있음. ▶ 공간을 나타내는 (x,y,z)와 시간 t가 따로 있지 않고 서로 어울려 있음. ▶ '사건'(물체의 운동)을 기술할 때 위치와 시간을 함께 지정해서 (x,y,z,t)로 표시해야 타당하고, 네 개의 좌표가 필요하니까 4차원이라고 부름-4차원 시공간(space-time)▶ 4차원 시공간의 물리적인 의미: 어떤 공간(x,y,z)에서 어떤 시간(t)에 일어난 사건을 의미. ▶ 3차원 공간에서 위치처럼 세 성분을 지닌 벡터로 표시. ▶ 4차원 시공간에서 위치 (x,y,z,t)같이 네 성분을 가진 물리량을 4차원 벡터라 부름. ▶ 여기서 x,y,z는 모두 공간을 나타내므로 단위를 맞추려면 t대신에 ct가 들어가야함. - 민코프스키 공간(Minkowski space) ▶ 민코프스키 시공간에서 빛이 지나는 길의 집합을 빛원뿔(light cone)이라 부름. ▶ 4차원은 그릴 수 없으므로 공간을 2차원이라 간주하고 시간을 더해서 3차원 시공간 (x,y,t)를 생각하면, 그림 1: 빛원뿔. 아래 쪽의 과거 원뿔과 위의 미래 원뿔이 점 현재에서 만남.
▶ 시간을 세로축으로 나타내고 바로 이 순간 이 자리를 원점으로 정함. (곧 t=0이 현재이고, x=y=0 이 우리의 위치) ▶ 원점에서 퍼져나가는 빛을 기술하는 식은 s² = x² + y²- c²t² 임. ▶ 민코프스키 시공간에 그리면 원뿔이 됨. ▶ t < 0인 경우에 이 식은 과거에 다른 곳에서 출발해서 원점, 즉 현재 우리에게 다가온 빛을 기술함. ▶ 민코프스키 시공간에서 모든 물체는 운동에 따라 정해지는 고유한 선으로 나타낼 수 있음 - 물체의 세계선(world line) ▶ 빛보다 느린 모든 물체의 세계선은
≺ 이므로 - 이를 시간꼴 간격(time-like interval) 이라 부름(언제나 원뿔의 안쪽에 있게 됨). ▶ 움직이지 않는 물체의 세계선은 세로축, 곧 시간 축에 평행 ▶ 빛과 같은 속도로 움직이는 물체는
빛꼴 간격(light-like interval) ▶ 원뿔의 바깥쪽은 빛보다 빠른 속도로 움직이는 물체이며
≻ 로서 공간꼴 간격(space-like interval)인데 이 지역은 원점, 곧 우리와 물리적인 신호로 연결되지 않음. (인과관계로 연결되지 않으며, 아무런 연관을 맺을 수 없음(시공간 이해를 돕기 위해 사고실험) ▶ 2010년 10월 10일 10시 정각에 태양을 관찰하기 위해 망원경을 보고 있는데, 태양 표면에서 큰 폭발이 일어났다. 그런데 이 순간 옆에 있는 물 컵을 손으로 쳐서 물을 쏟았다고 한다면, 태 양 표면의 폭발과 물이 쏟아진 사건은 동시에 일어났다고 이야기할 수 있다. 그런데 태양 표면 에서 일어난 폭발은 사실 8분 전인 9시 52분에 일어난 것이다. (폭발 장면이 지구까지 오는데 8 분 정도 걸리니까.) 하지만 지구에서는 10시 정각에 폭발이 일어났다고 말한다. 그림 2. 9시 52분에 일어난 태양 표면의 폭발이 지구에서는 10시 정각에 관찰
▶ 태양 표면에서 폭발이 일어난 사건을 4차원 좌표로 기술해보면 (x,y,z,9시52분). 이때 x,y,z는 지구의 나를 기준(원점)으로 한 태양의 좌표라고 가정. ▶ 지구에 있는 나의 관점에서 이 사건을 4차원 좌표로 기술해보면 (0,0,0,10시)가 되고 내가 물 을 쏟은 사건도 (0,0,0,10시)가 됨. 그림 3. 태양 표면에서 폭발이 일어난 사건을 지구와 태양의 4차원 좌표 (x,y,z,t)로 표현
▶ 위의 사건들을 조금 정리를 해보면, (1) 지구에서 내가 물을 쏟은 사건: 4차원 좌표로 (0,0,0,10시) (2) 지구에서 본 태양 표면의 폭발 사건: 4차원 좌표로 (0,0,0,10시) (3) 태양에서 표면이 폭발한 사건: 4차원 좌표로 (x,y,z,9시52분) ▶ (1)과 (2)는 동시(같은 시간)에 일어난 사건이라는 것은 이해가 됨. ▶ (2)와 (3)은 동일한 폭발 사건이지만, 공간 좌표와 함께 시간 좌표가 달라짐. ▶ 민코프스키는 (2)와 (3)을 '동시'에 일어난 사건으로 간주, ('동시(同時)'라는 낱말은 '같은 시간'이란 뜻을 가졌지만, 여기에서는 그런 뜻으로 사용되는 것은 아니며 시공간이 같은 지점임.) ▶ 민코프스키는 두 점 - (0,0,0,10시)와 (x,y,z,9시52분) - 간의 거리를 피타고라스 정리를 이용하여 구하였을 때 0(zero)이 되면 동시가 된다고 했음.
▶ 4차원 공간에서 원점 (0,0,0,0)과 점 (x,y,z,t) 간의 거리 s는 s = (x²+y²+z²+t²)1/2 ▶ 민코프스키는, 위의 예에서 (2)와 (3)을 동시에 일어난 사건으로 간주하여, (0,0,0,10시)와 (x,y,z,9시52분)의 거리가 0이 되도록, 시간을 거리로 환산 ▶ 즉, 허수 i와 광속 c를 곱한 ic를 사용하여, 4차원 거리를 구하는 공식을 만듬. s = [x²+y²+z²+(ict)²]1/2 = [x²+y²+z²-(ct)²]1/2 ▶ 즉, 3차원 공간 상에서 두 점 간의 거리 (x²+y²+z²)1/2와 빛이 t초 동안 가는 거리([(ct)²]1/2 = ct)가 같으면 두 점 간의 거리는 0이 됨. (예를 들어, (2)와 (3) 사이에는 8분간의 시간 차이가 있는데, 태양에서 지구까지 거리 (x²+y²+z²)1/2와 빛이 8분 동안 가는 거리([(ct)²]1/2 = ct)가 같으면, 거리 s는 0이 되고, 따라서 두 사건은 동시임.
그림 4. 태양에서 지구까지 거리와 빛이 8분 동안 가는 거리가 같으면, 두 사건 간의 4차원 거리는 0이 되고, 따라서 두 사건은 동시가 됨.
▶ 공간과 시간으로 이루어진 이런 4차원 공간을 시공간(spacetime)이라 부르는데,
▶ 벡터개념으로 보면, 3차원 벡터에서 (x,y,z) 일 때, 스칼라량은 벡터의 크기인 (x²+y²+z²)1/2 으 로 정의하고 아무리 좌표변환(회전 변환 등)을 해보아도 벡터의 크기는 변하지 않음. ▶ 즉, 스칼라의 정의는 좌표변환을 하였을 때 불변이 되는 양인 셈인데, 위의 시공4차원에서는 스칼라가 다음과 같은 양이 됨. (민코프스키 시공간 방정식) s² = x² + y²+ z²-c²t² ▶ s를 interval(간격) 이라고 하며 로렌츠변환하에서 불변하는 양. (로렌쯔 변환은 4차원 시공간에서 회전변환과 동등!) ▶ 즉, P(ct, x, y, z) 에서 P'(c't', x', y',z') 으로 로렌츠변환이 일어났더라도 interval 값은 불변, 수식으로 표현하면 x² + y² + z²-c²t² = x'² + y'² + z'²-c²t'²
<로렌쯔변환하에서 시공간 간격의 불변 증명>
▶ 만약, c²t² < x²+y²+z² 이라면 s는 실수가 나오게 됨 - time-like(시간적)이라 하는데, 이 사건들은 우리에게 영향을 끼칠 수 있음. 시간이 흐름에 따라 위쪽cone의 안쪽을 이리저리 움직일 때 조우할 수 있음. 따라서 시간적으로 격리되어 있으므로 time-like에 해당됨. (단지 아직 일어나지 않았을 뿐이라는 개념) ▶ 만약, c²t² > x²+y²+z² 이라면, s²이 음수가 되면서 interval이 허수가 나오게 됨. - space-like(공간적) 이라 하며 이러한 사건들은 우리에게 영향을 끼칠 수 없음. 공간상으로 이격되어있기 때문에 우리에게 영향을 줄 수가 없음(지금 당장은) ▶ s=0, 즉 c²t² = x²+y²+z² 인 경우는 시간 t동안 공간좌표가 c 곱하기 t 만큼 변했다는 것이며 즉 빛만이 이럴 수 있음- light-like 라고 함
▶ light cone 라고 하는데 cone의 경계선이 빛에 해당되고
원점을 지금 현재라고하면, 빛이 번쩍 했을 때, 시간이 지남에 따라 cone의 위쪽모양처럼 빛이 퍼져나갈 것이고, 그것의 과거는 퍼져있던 빛이 모이는 것이므로
▶ 시공간은 여러 가지 차원으로 나타낼 수 있으나 보통의 경우는 ( x, y, z ) 공간축을 모두 x축 하나에 표시하여 (x, ct)의 2차원 평면 좌표계로 잡아서 나타냄.
▶ 정리하면, 민코프스키 시공간 방정식, s² = x² +y² +z²-c²t² s² < 0 : time-like : 광속 이하의 우리가 속해있는 시공간의 사건들 s² = 0 : light-like : 빛원뿔 (빛의 세계선) s² > 0 : space-like : 광속초과의 사건들 (space-like 의 사건들은 우리의 공간과 인과관계로 연결되지 않음)
■ 세계선 ▶ 세계선이란 4차원 민코프스키 공간에 표시된 운동의 궤도. 그림 6. 1차원 철로 위에 기차가 있고, 기차의 중앙점을 M. ▶ 위의 기차의 위치를 4차원 시공간좌표 위에 그려 보자. ▶ 아래의 그림에서, x축은 거리이고, y축은 시간으로, 4차원 시공간을 표시하는 그래프이다. ▶ t에 따라 거리x가 변하므로
(오른쪽) (왼쪽) (정지)
그림 7. 기차가 오른쪽이나 왼쪽으로 움직일 때의 세계선
▶ 빛의 세계선을 그려보면, (내게서 멀어지는 빛) (내게로 다가오는 빛) 그림 8. 빛의 세계선. ▶ 위의 그림에서 내가 원점 O에 서있다면 내 곁에 있던 빛이 내게서 멀어지면 빛의 세계선은 왼쪽 그림처럼 되고, 내게서 멀리 떨어져 있는 빛이 다가오면 오른쪽 그림처럼 됨. ▶ 민코프스키는 4차원 공간에서, 시간t를 거리로 환산하려면 광속 c(30만km/s)를 곱해 주어야 한다고 했음.
▶ y축 시간 t에 광속 c(30만km/s)를 곱한 눈금으로 사용하면, 세계선의 기울기는 45도가 됨. ▶ 물체의 세계선 기울기는 45도 보다 작을 수는 없음. (빛보다 빠를 수는 없으니까) ■ 동시성의 파괴 ▶ 세계선으로, '동시성의 파괴'에 대한 설명. 그림 9. 정지한 기차(왼쪽)와 움직이는 기차(오른쪽)의 세계선
▶ 기차의 양쪽 끝에서 동시에 번개가 쳤다고 가정, 그림 10. 기차의 양쪽 끝에서 번개가 치고, 번개에서 나온 빛이 중앙으로 퍼져나가는 모습 ▶ 기차의 양쪽 끝에서 기차의 중앙으로 이동하는 빛의 세계선은, 그림 11. 기차의 양쪽 끝에서 기차의 중앙으로 이동하는 빛의 세계선(점선)
▶ 정지해 있는 기차(왼쪽 그림)를 보면, 양쪽에서 오는 빛이 같은 시간에 도착. ▶ 움직이는 기차(오른쪽 그림)를 보면, 양쪽에서 오는 빛에 같은 시간에 도착하지 않음. ▶ 즉, 정지한 기차의 중앙에 서 있는 사람(혹은 철로 변에 서 있는 사람)은 동시에 번개를 쳤다고 하겠지만, 움직이는 기차의 중앙에 서 있는 사람은 오른쪽에서 먼저 번개를 쳤다고 함. ▶ 시공간 개념(세계선)은 길이 수축, 시간지연, 쌍둥이 역설, 차고와 막대기 역설 등을 설명할 수 있음. (개인별 학습-인터넷에서 자료 찾기!!).
