숨마쿰라우데_확률과 통계_내신·모의고사_대비_TEST 해설

Ⅰ. 경우의 수

Ⅱ. 확률

Ⅲ. 통계

®

[확률과통계]

내신・모의고사

대비

_T

_E

_S

_T

[정답 및 해설]

내신・모의고사 대비

TEST

0

1

⑴ 6명의 학생이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 (6-1)!=5!=120 ⑵ A, B를 한 사람으로 생각하면 5명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 (5-1)!=4!=24 A, B가 서로 자리를 바꾸어 앉는 경우의 수는 2!=2 따라서 구하는 경우의 수는 24_2=48 ⑶ 그림과 같이 원형의 탁자에서 A와 B가 마주 보고 앉 는 경우의 수는 나머지 4명이 남은 네 자리에 앉는 경 우의 수와 같다. 따라서 구하는 경우의 수는 4!=24 ⑴ 120 ⑵ 48 ⑶ 24

0

2

원형으로 둘러앉는 경우는 적당히 회전하면 같은 것이 8가지씩 나오지만 다음 그림과 같이 직사각형 모양 으로 둘러앉는 경우는 적당히 회전하면 같은 것이 2가지 씩 나온다. A B 따라서 구하는 경우의 수는 =20160 처음 앉는 사람의 위치가 다음 그림과 같이 ㉠~㉣의 4가지일 때 서로 다른 경우가 나타난다. 나머지 7명이 앉는 경우의 수는 7!=5040 따라서 구하는 경우의 수는 4_5040=20160 20160

0

3

구하는 경우의 수는 서로 다른 2개에서 중복을 허락하여 5개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 ™P∞=2fi =32 32

0

4

반드시 4가 포함되는 세 자리 자연수의 개수는 전체에서 4가 포함되지 않는 것의 개수를 빼면 된다. 1, 2, 3, 4의 네 개의 숫자로 중복을 허락하여 만들 수 있 는 세 자리의 자연수는 ¢P£=4‹ =64(개)이고, 1, 2, 3의 세 개의 숫자로 중복을 허락하여 만들 수 있는 세 자리의 자연수는 £P£=3‹ =27(개)이므로 구하는 세 자리의 자 연수의 개수는 64-27=37 ④

0

5

1, 2, 3을 모두 1로 생각하고 1, 1, 1, 4, 5, 6, 7을 일렬로 나열한 후, 뒤에 오는 1, 1 ㄱ ㄴ ㄷ ㄹ 8! 155₂ 1.⑴ 120 ⑵ 48 ⑶ 24 2.20160 3.32 4.④ 5.840 6.130 7.144 8.① 9.160 10.136 11.34 12.110 본문 258쪽 S U M M A C U M L A U D E

01

여러 가지 순열

내신 ・ 모의고사 대비 TEST 을 각각 2, 3으로 바꾸면 된다. 따라서 구하는 경우의 수는 =840 840

0

6

A지점에서 B지점까지 가는 최단 경로의 수는 =210 A지점에서 C지점을 지나 B지점까지 가는 최단 경로의 수는 _ =80 따라서 A지점에서 C지점을 지나지 않고 B지점까지 가 는 최단 경로의 수는 210-80=130 130

0

7

이웃하여 놓는 빨간 의자 2개를 한 개로 생각하 고 노란 의자 3개를 포함하여 모두 4개를 원탁의 둘레에 놓은 후 빨간 의자끼리 위치를 바꾸는 경우의 수는 (4-1)!_2!=3!_2=12 이때 각각의 경우에 대하여 파란 의자 2개를 이웃하지 않 도록 놓는 경우의 수는 다음 그림과 같이 4군데(△) 중에 서 2군데를 선택하여 놓는 경우의 수와 같으므로 ¢P™=12 따라서 구하는 경우의 수는 12_12=144 이웃하여 놓는 빨간 의자 2개를 한 개로 생 각하자. 노란 의자 3개, 파란 의자 2개를 포함하여 모두 6개를 원 빨 빨 노 노 노 4! 145_3! 6! 1145_3!3! 10! 1145_6!4! 7! 145_3! 탁의 둘레에 놓은 후 빨간 의자끼리 위치를 바꾸는 경우 의 수는 (6-1)!_2!=5!_2=240 파란 의자 2개도 한 개로 생각하여 모두 5개를 원탁의 둘 레에 놓은 후 빨간 의자끼리, 파란 의자끼리 위치를 바꾸 는 경우의 수는 (5-1)!_2!_2!=4!_2_2=96 따라서 구하는 경우의 수는 240-96=144 144

0

8

우선 정중앙에 위치한 작은 정사각형에 어떤 색 이 오는지 정하는 경우의 수는 9이다. 이제 나머지 8개의 색을 가지고 남은 정사각형을 칠하는 경우를 생각해 보자. (이제부터 편의상 8가지의 색을 1~8까지의 숫자로 대신하자.) 1을 ㉠에 쓸지 ㉡에 쓸지 결정하는 경우의 수는 2이고 각 각에 대하여 나머지 7개의 숫자를 나머지 정사각형에 쓰 는 경우의 수는 7!이므로 정사각형의 판자에 서로 다른 9개의 색을 칠하는 경우의 수는 9_2_7!=18_7! ①

0

9

6의 배수는 2의 배수이면서 3의 배수인 수이다. 즉, a¡, a™, a£, a¢에는 2의 배수와 3의 배수가 모두 포함 되어야 한다. 정사면체를 4번 던져서 나올 수 있는 경우의 수는 ¢P¢=4› =256 2의 배수가 단 하나도 포함되지 않는 경우의 수는 ™P¢=2› =16 ㉠ ㉡

3의 배수가 단 하나도 포함되지 않는 경우의 수는 £P¢=3› =81 2의 배수와 3의 배수가 단 하나도 포함되지 않는 경우의 수는 1 따라서 구하는 순서쌍의 개수는 256-16-81+1=160 160

10

조건 ㈎에 의하여 f(4)의 값은 1 또는 3 또는 5 이다. 그런데 조건 ㈏를 만족시키려면 f(4)+1이어야 하므로 f(4)=3 또는 f(4)=5인 경우를 생각하면 된다. ⁄ f(4)=3일 때 ⁄ f(1), f(2), f(3)의 값은 1, 2 중 하나이고, ⁄ f(5), f(6)의 값은 4, 5, 6 중 하나이다. ⁄이때의 함수의 개수는 ™P£_£P™=2‹ _3¤ =72 ¤ f(4)=5일 때 ⁄ f(1), f(2), f(3)의 값은 1, 2, 3, 4 중 하나이고, ⁄ f(5), f(6)의 값은 6이다. ⁄이때의 함수의 개수는 ¢P£_1=4‹ _1=64 ⁄, ¤에 의하여 구하는 함수의 개수는 72+64=136 136

11

♩를 4개 사용하는 경우의 수는 1 ♩를 3개, ♪를 2개 사용하는 경우의 수는 =10 ♩를 2개, ♪를 4개 사용하는 경우의 수는 =15 ♩를 1개, ♪를 6개 사용하는 경우의 수는 =7 7! 145_6! 6! 1145_2!4! 5! 1145_3!2! ♪를 8개 사용하는 경우의 수는 1 따라서 구하는 경우의 수는 1+10+15+7+1=34 34

12

A지점에서 B지점까지 최단 경로로 가려면 E, F지점을 반드시 지나야 한다. ⁄A지점에서 E지점까지 가는 경우 A⁄ C ⁄ E：1가지 A⁄ D ⁄ E： _2!=10 (가지) ∴ A⁄ E：1+10=11 (가지) ¤F지점에서 B지점까지 가는 경우 =10 (가지) ⁄, ¤에 의하여 A지점에서 B지점까지 가는 최단 경로 의 수는 11_10=110 110 5! 1145_2!3! 5! 12_4! A C B F E D 호수

내신 ・ 모의고사 대비 TEST

0

1

⑴ 구하는 경우의 수는 서로 다른 4개에서 중복 을 허락하여 10개를 택하는 중복조합의 수와 같으 므로 ¢H¡º=¢≠¡º–¡C¡º=¡£C¡º=¡£C£=286 ⑵ 4명의 학생에게 먼저 빵을 한 개씩 준 것으로 생각하 면 구하는 경우의 수는 서로 다른 4개에서 중복을 허 락하여 6개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 ¢H§=¢≠§–¡C§=ªC§=ªC£=84 ⑴ 286 ⑵ 84

0

2

⑴ 구하는 해의 개수는 3개의 문자 x, y, z에서 중복을 허락하여 7개를 택하는 중복조합의 수와 같으 므로 £H¶=£≠¶–¡C¶=ªC¶=ªC™=36 ⑵ x=x'+1, y=y'+1, z=z'+1로 놓으면 x'+y'+z'=4 (x'æ0, y'æ0, z'æ0) 따라서 구하는 해의 개수는 3개의 문자 x', y', z'에서 중복을 허락하여 4개를 택하는 중복조합의 수와 같으 므로 £H¢=£≠¢–¡C¢=§C¢=§C™=15 ⑴ 36 ⑵ 15

0

3

b=b'+1, c=c'+3으로 놓으면 a+b+c=10 (aæ0, bæ1, cæ3)을 만족시키는 정수 해의 개수는 a+b'+c'=6 (aæ0, b'æ0, c'æ0) 을 만족시키는 정수해의 개수와 같다. 따라서 구하는 해의 개수는 3개의 문자 a, b', c'에서 중 복을 허락하여 6개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 £H§=£≠§–¡C§=•C§=•C™=28 28

0

4

f(3)=8이고, x¡<x™이면 f(x¡)… f(x™)이므 로 f(1), f(2)의 값은 6, 7, 8 중 하나가 되고, f(4)의 값은 8, 9, 10 중 하나가 된다. 이때 f(1), f(2)가 대응되는 개수는 6, 7, 8에서 중복 을 허락하여 2개를 택하는 중복조합의 수와 같다. (택한 두 수 중 작은 수에 f(1)을, 큰 수에 f(2)를 대응시키면 f(x¡)…f(x™)를 만족시키게 된다.) ∴£H™=£≠™–¡C™=¢C™=6 f(4)가 대응되는 개수는 3이므로 조건을 만족시키는 함 수 f의 개수는 6_3=18 ③

0

5

(1+ax)· 의 전개식의 일반항은 ªC®(ax)® =ªC®a® x® x항은 r=1일 때이므로 ªC¡a=18 ∴ a=2 x‹ 항은 r=3일 때이므로 x‹ 의 계수는 ªC£a‹ =ªC£_2‹ =672 672

0

6

⑴«Cº+«C¡+«C™+y+«C«=2« 이므로 500<2« <990 2· =512, 2⁄ ‚ =1024이므로 n=9 ⑵«Cº+«C™+«C¢+«C§+y=2« —⁄ 이므로 «C™+«C¢+«C§+y=2« —⁄ -1 ∴ 1000<2« —⁄ -1<2000, 1001<2« —⁄ <2001 2⁄ ‚ =1024, 2⁄ ⁄ =2048이므로 n-1=10 ∴ n=11 ⑴ 9 ⑵ 11

0

7

세 사람이 연필과 지우개를 모두 한 개 이상씩 받 도록 나누어 주어야 하므로 먼저 한 개씩을 나누어 준 것 1.⑴ 286 ⑵ 84 2.⑴ 36 ⑵ 15 3.28 4.③ 5.672 6.⑴ 9 ⑵ 11 7.210 8.135 9.⑴ 252 ⑵ 56 10.② 11.22 12.54 13.③ 본문 260쪽 S U M M A C U M L A U D E

02

중복조합과 이항정리

으로 생각하면 연필을 나누어 주는 경우의 수는 서로 다 른 3개에서 중복을 허락하여 5개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 £H∞=£≠∞–¡C∞=¶C∞=¶C™=21 지우개를 나누어 주는 경우의 수는 서로 다른 3개에서 중 복을 허락하여 3개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 £H£=£≠£–¡C£=∞C£=∞C™=10 따라서 연필과 지우개를 모두 한 개 이상씩 받도록 나누 어 주는 경우의 수는 21_10=210 210

0

8

f(1)f(4)=12인 경우 중 f(1)…f(4)를 만족 시키는 경우는 f(1)=2, f(4)=6 또는 f(1)=3, f(4)=4 ⁄f(1)=2, f(4)=6인 경우 f(2), f(3)의 값은 2, 3, 4, 5, 6 중 하나가 되고, f(5), f(6)의 값은 6, 7, 8 중 하나가 된다. 이때의 함수의 개수는 ∞H™_£H™=∞≠™–¡C™_£≠™–¡C™ =§C™_¢C™=15_6=90 ¤f(1)=3, f(4)=4인 경우 f(2), f(3)의 값은 3, 4 중 하나가 되고, f(5), f(6)의 값은 4, 5, 6, 7, 8 중 하나가 된다. 이때의 함수의 개수는 ™H™_∞H™=™≠™–¡C™_∞≠™–¡C™ =£C™_§C™=3_15=45 ⁄, ¤에 의하여 구하는 함수의 개수는 90+45=135 135

0

9

⑴ 구하는 경우의 수는 1, 2, 3, 4, 5, 6에서 중 복을 허락하여 5개를 택하는 중복조합의 수와 같으 므로 §H∞=§≠∞–¡C∞=¡ºC∞=252 ⑵ ⑴에서 구한 경우의 수에서 a™=a£ 또는 a¢=a∞인 경 우의 수를 빼면 된다. a™=a£인 경우의 수는 1, 2, 3, 4, 5, 6에서 중복을 허락하여 4개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 §H¢=§≠¢–¡C¢=ªC¢=126 a¢=a∞인 경우의 수도 마찬가지이므로 §H¢=§≠¢–¡C¢=ªC¢=126 이때 a™=a£이면서 a¢=a∞인 경우의 수는 1, 2, 3, 4, 5, 6에서 중복을 허락하여 3개를 택하는 중복조합 의 수와 같으므로 §H£=§≠£–¡C£=•C£=56 따라서 구하는 경우의 수는 252-(126+126-56)=56 ⑴ 252 ⑵ 56

10

(1+x¤ )에서 x¤ 의 계수：¡C¡=1 (1+x¤ )¤ 의 전개식에서 x¤ 의 계수：™C¡=2 (1+x¤ )‹ 의 전개식에서 x¤ 의 계수：£C¡=3 ⋮ (1+x¤ )¤ ‚ 의 전개식에서 x¤ 의 계수：™ºC¡=20 따라서 주어진 식의 전개식에서 x¤ 의 계수는 1+2+y+20=210 파스칼의 삼각형의 하키스틱의 법칙에 의하 여 ¡C¡+™C¡+£C¡+y+™ºC¡=™¡C™=210 ②

11

{x+ }⁄ ¤ 의 전개식의 일반항은 ¡™C®x⁄ ¤ —® { }® =¡™C® 상수항이 존재하려면 12-r=nr에서 r(1+n)=12 이어야 한다. 0…r…12이고, n은 자연수이므로 조건을 만족시키는 r, n의 순서쌍 (r, n)은 (1, 11), (2, 5), (3, 3), (4, 2), (6, 1) 따라서 n의 값의 합은 11+5+3+2+1=22 22 x⁄ ¤ —® 114_{x« ®} 1 145_x« 1 145_x«

내신 ・ 모의고사 대비 TEST

12

(x+a)« 의 전개식의 일반항은 «C®a® x« —® 3(x+a)« 의 전개식에서 x« —¤ 의 계수는 3_«C™a¤ 이고, (x-3)(x+a)« 의 전개식에서 x« —¤ 의 계수는 «C£a‹ -3_«C™a¤ 이다. 두 계수가 같으려면

3_«C™a¤ =«C£a‹ -3_«C™a¤ 6_«C™=«C£a (∵ a+0) 6_ = _a ∴ 18=a(n-2) (∵ næ2) 따라서 조건을 만족시키는 a, n의 순서쌍 (a, n)은 (1, 20), (2, 11), (3, 8), (6, 5), (9, 4), (18, 3) 이므로 an의 최댓값은 18_3=54이다. 54

13

15=2_7+1=14+1이므로 152019 =(14+1)2019 =2019Cº+2019C¡14+2019C™14¤ +y+2019C2019142019 이때 14가 곱해진 항들은 모두 7의 배수이므로 152019을 7로 나눈 나머지는2019Cº=1이다. 따라서 오늘로부터 152019일 후는 화요일이다. ③ n(n-1)(n-2) 11111113₆ n(n-1) 11114₂

0

1

한 개의 주사위를 3번 던질 때, 모든 경우의 수는 6_6_6=216 이차방정식 ax¤ +bx+c=0이 중근을 가지려면 이 이차 방정식의 판별식을 D라 할 때, D=0이어야 하므로 D=b¤ -4ac=0에서 b¤ =4ac 이때 b가 홀수이면 b¤ =4ac를 만족시키는 a, c는 존재 하지 않으므로 b는 짝수이다. ⁄b=2인 경우 순서쌍 (a, c)는 (1, 1)의 1가지 ¤b=4인 경우 순서쌍 (a, c)는 (1, 4), (2, 2), (4, 1)의 3가지 ‹b=6인 경우 순서쌍 (a, c)는 (3, 3)의 1가지 ⁄~‹에 의하여 이차방정식 ax¤ +bx+c=0이 중근을 갖도록 하는 순서쌍 (a, b, c)는 1+3+1=5(가지) 따라서 구하는 확률은

0

2

6명이 원탁에 둘러앉는 방법의 수는 (6-1)!=120 각 커플끼리 묶어서 한 사람으로 생각하고, 각 커플이 자 리를 바꾸는 것을 고려하면 3쌍 모두 커플끼리 이웃하여 앉는 방법의 수는 (3-1)!_2!_2!_2!=16 즉, 3쌍 모두 커플끼리 이웃하여 앉을 확률은 = 따라서 p=15, q=2이므로 p+q=17 17 2 144₁₅ 16 11₁₂₀ 5 11₂₁₆ 5 1 11₂₁₆1 1. 2.17 3.② 4. 5.④ 6.④ 7.② 8.③ 9. 10.7 11.① 12. 129 14 1 1₂ 7 12₂₀ 5 11₂₁₆ 본문 262쪽 S U M M A C U M L A U D E

03

확률의 뜻과 활용

0

3

12장의 카드 중에서 4장을 뽑을 때, 모든 경우의 수는 ¡™C¢=495 카드에 적힌 가장 큰 수가 8이 되려면 8이 적힌 카드를 뽑고, 8보다 작은 수인 1, 2, y, 7이 적힌 카드 중에서 3장을 뽑아야 하므로 그 경우의 수는 ¡C¡_¶C£=35 따라서 구하는 확률은 = ②

0

4

두 사건 A, B는 서로 배반사건이므로 P(A'B)=P(A)+P(B) ∴ P(A)=P(A'B)-P(B) 이때 …P(A)… 이므로 …P(A'B)-P(B)… … -P(B)… ∴ …P(B)… 따라서 P(B)의 최솟값은 이다.

0

5

공을 3번 꺼낼 때, 모든 경우의 수는 3_3_3=27 꺼낸 공에 적힌 세 수의 합이 5인 사건을 A, 세 수 중 가 장 큰 수가 2인 사건을 B라 하면 A={(1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1)} B={(1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2)} A;B={(1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1)} 이므로 P(A)= , P(B)= , P(A;B)=1443 27 7 144₂₇ 6 144₂₇ 7 12₂₀ 7 1 122₂₀ 11 12₂₀ 7 12₂₀ 2 1₅ 3 1₄ 1 1₅ 2 1₅ 1 1₅ 2 1₅ 1 1₅ 7 1 14444₉₉ 35 1244₄₉₅ 따라서 구하는 확률은 P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B) P(A'B)= + - = ④

0

6

개미가 집까지 최단 거리로 가는 방법의 수는 =56 개미가 먹이를 들고 집까지 최단 거리로 가는 방법의 수는 _ =6_4=24 즉, 개미가 먹이를 들고 집으로 돌아갈 확률은 = 따라서 구하는 확률은 1- = ④

0

7

2fi _3› _5¤ 의 양의 약수의 개수는 (5+1)_(4+1)_(2+1)=90 2fi _3› _5¤ 의 양의 약수 중에서 어떤 양의 정수의 제곱인 수의 개수는 (1, 2¤ , 2› ), (1, 3¤ , 3› ), (1, 5¤ )에서 하나 씩 고르는 경우의 수와 같으므로 3_3_2=18이다. 따라서 구하는 확률은 = ②

0

8

8개의 숫자 중 서로 다른 5개를 사용하여 만들 수 있는 다섯 자리 자연수의 개수는 •P∞=6720 이때 다섯 자리 자연수의 각 자리의 숫자로 짝수와 홀수 가 교대로 있기 위해서는 XOXOX 순으로 배열되어야 한다. X가 짝수라면 X에 짝수를 배열하고 O에 홀수를 배열하 는 것이므로 그 개수는 ¢P£_¢P™=24_12=288 또 X가 홀수라면 X에 홀수를 배열하고 O에 짝수를 배열 하는 것이므로 그 개수는 ¢P£_¢P™=24_12=288 1 1 1₅ 18 12₉₀ 4 1 1₇ 3 1₇ 3 1₇ 24 144₅₆ 4! 144_3! 4! 1112_{2!_2!} 8! 1112_{5!_3!} 10 1 14444₂₇ 3 144₂₇ 7 144₂₇ 6 144₂₇

내신 ・ 모의고사 대비 TEST 그런데 일의 자리의 숫자가 1인 경우는 XOXO1이고, X에 홀수를 배열하고 O에 짝수를 배열하는 것이므로 그 개수는 £P™_¢P™=6_12=72 즉, 주어진 조건을 만족시키는 다섯 자리 자연수의 개수는 288+288-72=504 따라서 구하는 확률은 = ③

0

9

급식을 제공하는 모든 경우의 수는 5!=120 한식이 2번 연속으로 나오는 경우의 수는 한식을 한 묶음 으로 생각하여 4가지를 일렬로 나열한 다음 한식끼리 자 리를 바꾸는 경우의 수와 같으므로 4!_2=48 양식이 3번 연속으로 나오는 경우의 수는 양식을 한 묶음 으로 생각하여 3가지를 일렬로 나열한 다음 양식끼리 자 리를 바꾸는 경우의 수와 같으므로 3!_3!=36 이때 한식이 2번 연속, 양식이 3번 연속으로 나오는 경우 의 수는 2!_2!_3!=24 즉, 한식이 2번 연속 나오거나 양식이 3번 연속 나오는 경우의 수는 48+36-24=60 따라서 구하는 확률은 =

10

주머니에서 2개의 바둑돌을 꺼낼 때, 모든 경우 의 수는 «≠£C™= 검은 바둑돌과 흰 바둑돌이 각각 한 개씩 나오는 경우의 수는 £C¡_«C¡=3n 이때 < 이므로 6n< , n¤ -7n+6>0 (n-1)(n-6)>0 ∴ n<1 또는 n>6 그런데 n은 자연수이므로 1보다 작을 수 없다. 따라서 n>6을 만족시키는 자연수 n의 최솟값은 7이다. 7 (n+3)(n+2) 111111444₂ 1 1₂ 3n 111211331_(n+3)(n+2) 111211332₂ (n+3)(n+2) 111211332₂ 1 1₂ 1 1 1₂ 60 1244₁₂₀ 3 1 122₄₀ 504 1144₆₇₂₀

11

모두 홀수의 눈이 나오는 사건을 A, 모두 짝수의 눈이 나오는 사건을 B, 눈의 수의 합이 8인 사건을 C라 하자. 한 개의 주사위를 3번 던질 때, 모든 경우의 수는 6_6_6=216 모두 홀수의 눈이 나오는 경우의 수는 3_3_3=27이 므로 P(A)= 모두 짝수의 눈이 나오는 경우의 수는 3_3_3=27이 므로 P(B)= 눈의 수의 합이 8인 경우는 (1, 1, 6)Δ =3(가지) (1, 2, 5)Δ 3!=6(가지) (1, 3, 4)Δ 3!=6(가지) (2, 2, 4)Δ =3(가지) (2, 3, 3)Δ =3(가지) 이므로 P(C)= =

이때 A;B=0, C;A=0, A;B;C=0이므로 P(A;B)=0, P(C;A)=0, P(A;B;C)=0 또 B;C를 만족시키는 경우는 (2, 2, 4), (2, 4, 2), (4, 2, 2) 의 3가지이므로 P(B;C)= 즉, 구하는 확률은 P(A'B'C)=P(A)+P(B)+P(C) -P(A;B)-P(B;C) -P(C;A)+P(A;B;C) P(A'B'C)= + + -P(A'B'C)= 따라서 p=3, q=1이므로 p-q=2 ① 1 1₃ 3 1344₂₁₆ 21 1344₂₁₆ 27 1344₂₁₆ 27 1344₂₁₆ 3 1344₂₁₆ 21 1344₂₁₆ 3+6+6+3+3 1111111₂₁₆ 3! 12_2! 3! 12_2! 3! 12_2! 27 1344₂₁₆ 27 1344₂₁₆

12

카드에 적힌 수 중 연속하는 자연수가 2개 이상 인 사건을 A라 하면 AÇ 은 연속하는 자연수가 없는 사건 이다. 8장의 카드 중에서 3장의 카드를 동시에 꺼낼 때, 모든 경우의 수는 •C£=56 카드에 적힌 수를 작은 순으로 나열했을 때, 연속하는 자 연수가 없는 경우는 다음과 같다. ⁄ 두 번째 수가 3인 경우 첫 번째 수가 1이고 세 번째 수가 5, 6, 7, 8 중 하나 인 경우이므로 그 경우의 수는 1_¢C¡=4 ¤ 두 번째 수가 4인 경우 첫 번째 수가 1, 2 중 하나이고 세 번째 수가 6, 7, 8 중 하나인 경우이므로 그 경우의 수는 ™C¡_£C¡=6 ‹ 두 번째 수가 5인 경우 첫 번째 수가 1, 2, 3 중 하나이고 세 번째 수가 7, 8 중 하나인 경우이므로 그 경우의 수는 £C¡_™C¡=6 › 두 번째 수가 6인 경우 첫 번째 수가 1, 2, 3, 4 중 하나이고 세 번째 수가 8 인 경우이므로 그 경우의 수는 ¢C¡_1=4 ⁄~›에 의하여 연속하는 자연수가 없는 경우의 수는 4+6+6+4=20이므로 P(AÇ )= = 따라서 구하는 확률은 P(A)=1-P(AÇ )=1- = 129 14 9 1 122₁₄ 5 12₁₄ 5 12₁₄ 20 12₅₆

0

1

수험생이 1차 시험에 합격하는 사건을 A, 2차 시험에 합격하는 사건을 B라 하면 P(A)= , P(A;B)= 따라서 구하는 확률은 P(B|A)= = =

0

2

주머니 A에서 흰 구슬을 꺼내는 사건을 A, 검은 구슬을 꺼내는 사건을 B, 주머니 B에서 흰 구슬을 꺼내 는 사건을 E라 하면 P(E)=P(A;E)+P(B;E) =P(A)P(E|A)+P(B)P(E|B) = _ + _ =

0

3

면세점 이용 고객이 내국인인 사건을 A, 여자인 사건을 B라 하면 P(A)= , P(B|A)= , P(B)= 이므로 P(A;B)=P(A)P(B|A)= _ = ∴ P(B|AÇ )= ∴ P(B|AÇ )=11111112344P(B)-P(A;B) 1-P(A) P(AÇ ;B) 11112444_{P(AÇ )} 48 1244₁₀₀ 8 144₁₀ 6 144₁₀ 76 1244₁₀₀ 8 144₁₀ 6 144₁₀ 13 12₃₅ 13 1 122₃₅ 2 1₇ 2 1₅ 3 1₇ 3 1₅ 2 1₅ 2 1 1₅ 1 12₁₀ 1234₁ 1₄ P(A;B) 1111434_P(A) 1 12₁₀ 1 1₄ 1. 2. 3.⑤ 4. 5. 6.⑤ 7. 8. 9.③ 10. 11.11₁₂₈21 131 11₂₄₀ 1 1₃ 13 12₉ 3 1₄ 7 12₁₁ 13 12₃₅ 2 1₅ 본문 264쪽 S U M M A C U M L A U D E

04

조건부확률

내신 ・ 모의고사 대비 TEST ∴ P(B|AÇ )= = =0.7 따라서 외국인 중 여성 고객의 비율은 70 %이다. 면세점 이용 고객의 비율을 다음과 같이 분 류할 수 있다. 주어진 조건에 의하여 b+d=0.6, c+d=0.76, (b+d)_0.8=d에서 d=4b ∴ b=0.12, d=0.48, c=0.28 이때 a+b+c+d=1이므로 a=0.12 따라서 외국인 중 여성 고객의 비율은 = =0.7 이므로 70%이다. ⑤

0

4

A 기계에서 생산된 제품을 선택하는 사건을 A, B 기계에서 생산된 제품을 선택하는 사건을 B, 불량품 을 선택하는 사건을 E라 하면 ⁄A 기계에서 생산된 불량품일 확률은 P(A;E)=P(A)P(E|A) =0.7_0.03=0.021 ¤B 기계에서 생산된 불량품일 확률은 P(B;E)=P(B)P(E|B) =0.3_0.04=0.012 ⁄, ¤에 의하여 P(E)=P(A;E)+P(B;E) =0.021+0.012=0.033 따라서 구하는 확률은 P(A|E)= = = 127 11 7 1 122₁₁ 0.021 1125_0.033 P(A;E) 111123_P(E) 0.28 11112444_0.12+0.28 c 1144_a+c 28 11₁₀₀ 12342₄ 12₁₀ 76 48 1244-1244_{100 100} 11111444₆ 1-12 10 남 여 a b c d 외국인 내국인

0

5

두 사건 A, B가 서로 독립이므로 AC 과 B, AC 과 BC도 각각 서로 독립이다. P(AC_; B)=P(AC )P(B) ={1-P(A)}P(B) =P(B)-P(A)P(B)= 에서 P(A)P(B)=P(B)- yy ㉠ P(AC_; BC ) =P(AC )P(BC ) ={1-P(A)}{1-P(B)} =1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)= 에서 P(A)P(B)=P(A)+P(B)- yy ㉡ ㉠, ㉡에서 P(B)- =P(A)+P(B)-∴ P(A)= 이것을 ㉠에 대입하면 P(B)=P(B)-∴ P(B)=

0

6

⁄ 종훈이가 4문제 중 3문제를 맞힐 확률은 ¢C£{ }‹ { }⁄ = ¤ 종훈이가 4문제를 모두 맞힐 확률은 ¢C¢{ }› { }‚ = ⁄, ¤에 의하여 구하는 확률은 + = ⑤

0

7

P(A)= , P(B)= 에서 P(B|A)= = P(B|A)=15P(A;B) 3 P(A;B) 111124₃ 1₅ P(A;B) 111124_P(A) 2 1₃ 3 1₅ 189 1 1223333₂₅₆ 81 1233₂₅₆ 27 12₆₄ 81 1233₂₅₆ 1 1₄ 3 1₄ 27 12₆₄ 1 1₄ 3 1₄ 3 1₄ 3 1 1₄ 1 1₂ 1 1₃ 1 1₃ 5 1₆ 1 1₂ 5 1₆ 1 1₆ 1 1₂ 1 1₂

이므로 P(B|A)의 최댓값과 최솟값은 P(A;B)의 최 댓값과 최솟값을 구하면 알 수 있다. ⁄P(A;B)가 최대일 때 P(A)<P(B)이므로 A;B=A, 즉 P(A;B)=P(A)일 때, P(A;B)는 최대이다. ∴ M= P(A;B)= P(A)= _ =1 ¤P(A;B)가 최소일 때 P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)이므로 P(A'B)= + -P(A;B) ∴ P(A;B)= -P(A'B) yy ㉠ ㉠에서 P(A'B)가 최대일 때, 즉 P(A'B)=1일 때 P(A;B)는 최소이다. 이때 P(A;B)= -1= ∴ m= P(A;B)= _ = ⁄, ¤에서 M+m=1+ =

0

8

실제로 정신 질환에 걸린 사람을 택하는 사건을 A, 정신 질환에 걸렸다고 진단하는 사건을 B라 하면 P(A)= , P(AÇ )= , P(B|A)= = , P(BÇ |AÇ )= = ⁄P(A;B)=P(A)P(B|A) ⁄P(A;B)= _ = ¤P(AÇ ;B)=P(AÇ )P(B|AÇ )

¤P(AÇ ;B)=P(AÇ ){1-P(BÇ |AÇ )}

¤P(AÇ ;B)=12₁₀9 _{_{1-}1219₂₀}=11₂₀₀9 9 11₁₀₀ 9 12₁₀ 1 12₁₀ 19 12₂₀ 95 11₁₀₀ 9 12₁₀ 90 11₁₀₀ 9 12₁₀ 1 12₁₀ 13 12₉ 13 1 122₉ 4 1₉ 4 1₉ 4 12₁₅ 5 1₃ 5 1₃ 4 12₁₅ 19 12₁₅ 19 12₁₅ 2 1₃ 3 1₅ 3 1₅ 5 1₃ 5 1₃ 5 1₃ ⁄, ¤에 의하여 P(B)=P(A;B)+P(AÇ ;B) P(B)= + = 따라서 구하는 확률은 P(AÇ |B)= = =

0

9

아시아에서 수입하는 사건을 A, 원숭이를 뽑는 사건을 B라 하면 P(B|A)= , P(B|AÇ )= 이므로 P(A;B)=P(A)P(B|A)= P(A)

P(AÇ ;B)=P(AÇ )P(B|AÇ )= P(AÇ ) ∴ P(B)=P(A;B)+P(AÇ ;B) ∴ P(B)= P(A)+ {1-P(A)} ∴ P(B)= P(A)+ - P(A) ∴ P(B)= - P(A) P(A|B)= = = 이 므로 7P(A)=6-3P(A), 10P(A)=6 ∴ P(A)= , P(B)= , P(A;B)= 따라서 구하는 확률은 P(A|BÇ )= P(A|BÇ )= P(A|BÇ )= = =11444421 29 21 12₅₀ 1234₂₉ 12₅₀ 3 9 1-12_{5 50} 111144₂₁ 1-12 50 P(A)-P(A;B) 11111112344_1-P(B) P(A;BÇ ) 11112444_{P(BÇ )} 9 144₅₀ 21 144₅₀ 3 1₅ 3 1₇ 3 12P(A)₁₀ 111111144_{6 3} 12-12P(A)_{10 10} P(A;B) 111124_P(B) 3 144₁₀ 6 144₁₀ 6 144₁₀ 6 144₁₀ 3 144₁₀ 6 144₁₀ 3 144₁₀ 6 144₁₀ 3 144₁₀ 6 144₁₀ 3 144₁₀ 1 1₃ 1 1 1₃ 9 11₂₀₀ 12342₂₇ 11₂₀₀ P(AÇ ;B) 1111225_P(B) 27 11₂₀₀ 9 11₂₀₀ 9 11₁₀₀

내신 ・ 모의고사 대비 TEST 아시아에서 수입한 동물의 수를 n, 아프리 카에서 수입한 동물의 수를 m이라 하면 각 동물의 수는 다음과 같다. 원숭이 한 마리를 뽑을 때, 그 원숭이가 아시아에서 수입 되었을 확률이 이므로 = ∴ n= m 따라서 코끼리 한 마리를 뽑을 때, 그 코끼리가 아시아에 서 수입되었을 확률은 = = ③

10

롯데가 우승할 경우는 결승 상대가 기아, LG, 삼 성일 경우로 나누어 생각해야 한다. 따라서 롯데가 우승할 확률은 +12₁₆1 +12₂₀3 +12₁₂1 =12233331131₂₄₀ 1233131₂₄₀ 1 1₄ 21 144₂₉ 3 0.7_1m 2 11111111₃ 0.7_1m+0.4m 2 0.7n 1111144_0.7n+0.4m 3 1₂ 3 1₇ 0.3n 1111144_0.3n+0.6m 3 1₇ 원숭이 코끼리 합계 0.3n 0.6m 0.7n 0.4m n m 아시아 아프리카 롯데 vs 기아 기아 vs LG 기아 vs 삼성 LG vs 삼성 LG vs 삼성 _12₃_11₂=11₄ 3 1₄ _11₂_11₂=144₁₆1 1 1₄ 기아 vs LG 롯데 vs LG LG vs 삼성 _ _ = 3 144₂₀ 3 1₅ 1 1₃ 3 1₄ 기아 vs 삼성 롯데 vs 삼성 LG vs 삼성 _ _ = 1 144₁₂ 2 1₃ 1 1₂ 1 1₄ 결승 플레이오프 준플레이오프 롯데의 우승 확률

11

석우가 동전 6개를 던져서 나오는 앞면의 개수가 n(n=0, 1, 2, y, 6)일 확률을 P«이라 하면 P«=§C«{ }« { }6-n=§C«{ }fl 한편 석우와 윤지가 모두 번호가 i인 통로로 지나갈 확 률은 §C‘{ }fl _ (i=1, 2, 3, y, 6) 따라서 석우와 윤지가 같은 통로로 지나갈 확률은 §C¡{ }fl _ +§C™{ }fl _ +y+§C§{ }fl _ ={ }fl _ _(§C¡+§C™+y+§C§) ={ }fl _ _(2fl -1) = _ _63= ₁₁21 128 21 1 1223333₁₂₈ 1 1₆ 1 12₆₄ 1 1₆ 1 1₂ 1 1₆ 1 1₂ 1 1₆ 1 1₂ 1 1₆ 1 1₂ 1 1₆ 1 1₂ 1 1₆ 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂

0

1

확률의 총합은 1이므로 P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1 + + =1 3k-6=12 ∴ k=6 ∴ P(X=3)= =;4!; ;4!;

0

2

확률의 총합은 1이므로

;4!;+a+2a=1, 3a=;4#; ∴ a=;4!; ∴ E(X)=0_;4!;+1_;4!;+2_;4@;=;4%; ∴ E(4X+10)=4E(X)+10 ∴ E(4X+10)=4_;4%;+10=15 ⑤

0

3

E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b에서 17=8a+b yy ㉠ V(Y)=V(aX+b)=a¤ V(X)에서 12=3a¤ , a¤ =4 ∴ a=2 (∵ a>0) a=2를 ㉠에 대입하면 b=1 ∴ a+b=3 ①

0

4

확률변수 X는 이항분포 B{n, ;2!;}을 따르므로 X의 확률질량함수는 6-3 12524₁₂ k-3 1124₁₂ k-2 1124₁₂ k-1 1124₁₂ P(X=x)=«Cx{;2!;} ≈ {;2!;} n-x (x=0, 1, 2, y, n) P(X=2)=10P(X=1)에서 «C™{;2!;}«=10«C¡{;2!;}«,«C™=10«C¡ {∵ {;2!;}«>0} =10n, n-1=20 (∵ n>0) ∴ n=21 21

0

5

주사위를 던져 5의 약수의 눈이 나올 확률은 ;3!; 이고 독립시행인 주사위 던지기를 90번 반복 시행하므로 확률변수 X는 이항분포 B{90, ;3!;}을 따른다. ∴ E(X)=90_;3!;=30 ∴V(X)=90_;3!;_{1-;3!;}=20 V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤ 이므로 20=E(X¤ )-30¤ ∴ E(X¤ )=920 920

0

6

확률변수 X가 이항분포 B(9, p)를 따르므로 E(X)=9p, V(X)=9p(1-p) 이때 {E(X)}¤ =V(X)이므로 (9p)¤ =9p(1-p) 9p=1-p (∵ p+0), 10p=1 ∴ p=;1¡0; ④

0

7

P(X=x)= _{=101a{ -} } 이고, 확률의 총합은 1이므로 P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) +y+P(X=100) =101a[{ - }+{ - } +y+{ -13331 _}] 101 1 1333₁₀₀ 1 1₃ 1 1₂ 1 1₂ 1 1₁ 1 1134_x+1 1 1_x 101a 1113434_x(x+1) n(n-1) 2 1. 2.⑤ 3.① 4.21 5.920 6.④ 7.② 8. 9.④ 10.2'ƒ11 11.① 12.92 1 1₆ 1 1₄ 본문 266쪽 S U M M A C U M L A U D E

05

이산확률변수의 확률분포

내신 ・ 모의고사 대비 TEST =101a_ =100a=1 ∴ a= ②

0

8

X¤ -6X+8<0에서 (X-2)(X-4)<0 ∴ 2<X<4 ∴ P(X¤ -6X+8<0)=P(2<X<4) =P(X=3) 두 수의 차가 3인 경우는 1이 적힌 카드와 4가 적힌 카드 를 뽑는 경우의 1가지이므로 P(X=3)= _{=;6!; ;6!;}

0

9

확률변수 X가 가질 수 있는 값은 1, 2, 3, 4이 고, 각각의 확률은 다음과 같다. P(X=1)= = P(X=2)= = P(X=3)= = P(X=4)= = 따라서 확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. ∴ E(X)=1_ +2_ +3_ +4_ ∴ E(X)= = ④

10

확률의 총합은 1이므로

a+a+2a=1, 4a=1 ∴ a=;4!;

16 1 122₇ 80 12₃₅ 1 12₃₅ 12 12₃₅ 18 12₃₅ 4 12₃₅ 1 12₃₅ ¢C¢_£Cº 111234_¶C¢ 12 12₃₅ ¢C£_£C¡ 111234_¶C¢ 18 12₃₅ ¢C™_£C™ 111234_¶C¢ 4 12₃₅ ¢C¡_£C£ 111234_¶C¢ 1 124_¢C™ 1 1 1333333₁₀₀ 100 1333₁₀₁ 따라서 확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. E(X)=(-1)_;4!;+0_;4!;+1_;2!;=;4!; E(X¤ )=(-1)¤ _;4!;+0¤ _;4!;+1¤ _;2!;=;4#; V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤ V(X)_{=;4#;-{;4!;}¤ =;1!6!;} r_{(X)="√V(X)=æ–;1!6!;=} ∴ r(-8X+3)=|-8|r(X)=8_ =2'ƒ11 2'ƒ11

11

확률변수 X는 이항분포 B(n, p)를 따른다. E(X)=1이므로 np=1 yy㉠ V(X)=;1ª0;이므로 np(1-p)=;1ª0; yy㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 1-p=;1ª0; ∴ p=;1¡0; p=;1¡0;을 ㉠에 대입하면 n=10 ∴ P(X<2)=P(X=0)+P(X=1) ∴ P(X<2)=¡ºCº{;1ª0;}⁄ ‚ +¡ºC¡{;1¡0;}⁄ {;1ª0;}· ∴ P(X<2)=;1!0(; {;1ª0;}· ①

12

(4+a)개의 공이 들어 있는 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼낼 때 검은 공이 나올 확률은 이다. 따라서 확률변수 X는 이항분포 B{n, }를 따르 므로 a 112_4+a a 112_4+a 'ƒ11 1224₄ 'ƒ11 1224₄ P(X=x) 12₃₅4 1218₃₅ 1212₃₅ 12₃₅1 1 X 1 2 3 4 합계 P(X=x) 11₄ 11₄ 11₂ 1 X -1 0 1 합계

E(X)=n_ =60 yy㉠ V(X)=n_ _ =15 yy㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 60_ =15, 4+a=16 ∴ a=12 a=12를 ㉠에 대입하면 n_;1!6@;=60 ∴ n=80 ∴ n+a=92 92 4 112_4+a 4 112_4+a a 112_4+a a 112_4+a

0

1

확률밀도함수의 성질에 의하여 f(x)æ0이므로 a>0이어야 한다. 따라서 확률밀도함수 f(x)의 그 래프는 오른쪽 그림과 같고 함수 y=f(x)의 그래프와 x축 및 두 직선 x=0, x=1로 둘러싸 인 도형의 넓이는 1이므로 ;2!;_(a+2a)_1=1 ;2#;a=1 ∴ a=;3@; ;3@;

0

2

P(1…X…3)은 다음 그림의 색칠한 부분의 넓 이와 같으므로 P(1…X…3)={;2!;_1_;4!;}_2=;4!; ;4!;

0

3

⑴ P(-1…Z…1) =P(-1…Z…0)+P(0…Z…1) =P(0…Z…1)+P(0…Z…1) =2P(0…Z…1) =2_0.3413=0.6826 1 4 x y O 1 2 3 1 2 4 y=f{x} x y y=f(x) O 1 2a a 1.;3@; 2.;4!; 3.⑴ 0.6826 ⑵ 0.0606 ⑶ 0.0228 ⑷ 0.9938 4.70 5.0.7745 6.0.2857 7.;8%; 8.C, D 9.④ 10.0.159 11.0.0062 12.186 본문 268쪽 S U M M A C U M L A U D E

06

연속확률변수의 확률분포

내신 ・ 모의고사 대비 TEST ⑵ P(1.5…Z…2.5)=P(0…Z…2.5) -P(0…Z…1.5) =0.4938-0.4332=0.0606 ⑶ P(Zæ2)=P(Zæ0)-P(0…Z…2) ⑶ P(Zæ2)=0.5-P(0…Z…2) ⑶ P(Zæ2)=0.5-0.4772=0.0228 ⑷ P(Zæ-2.5)=P(Z…2.5) ⑷ P(Zæ-2.5)=P(Z…0)+P(0…Z…2.5) ⑷ P(Zæ-2.5)=0.5+0.4938=0.9938 ⑴ 0.6826 ⑵ 0.0606 ⑶ 0.0228 ⑷ 0.9938

0

4

확률변수 X는 정규분포 N(50, 10¤ )을 따르므 로 Z˛= 으로 놓으면 확률변수 Z˛는 표준정규 분포 N(0, 1)을 따른다. ∴ P(50…X…k)=P{ …_{Z˛… }} ∴ P(50…X…k)=P{0…Z˛… } yy ㉠ 확률변수 Y는 정규분포 N(35, 7¤ )을 따르므로 ZÁ= 로 놓으면 확률변수 ZÁ는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. ∴ P(21…Y…35)=P{ …_{ZÁ… }} ∴ P(24…Y…40)=P(-2…ZÁ…0) ∴ P(24…Y…40)=P(0…ZÁ…2) yy ㉡ ㉠`=㉡이므로 =2 ∴ k=70 70

0

5

부품 1개의 수명을 확률변수 X라 하면 X는 정규 분포 N(600, 30¤ )을 따르므로 Z= 으로 놓으 면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. X-600 115521₃₀ k-50 10 35-35 7 21-35 7 Y-35 7 k-50 10 k-50 10 50-50 10 X-50 10 ∴ P(555…X…630) ∴=P{ …Z… _} ∴=P(-1.5…Z…1) =P(-1.5…Z…0)+P(0…Z…1) =P(0…Z…1.5)+P(0…Z…1) =0.4332+0.3413=0.7745 0.7745

0

6

확률변수 X는 이항분포 B{720, ;6!;}을 따르므로 E(X)=720_;6!;=120 V(X)=720_;6!;_;6%;=100 이때 720은 충분히 큰 수이므로 X는 근사적으로 정규분 포 N(120, 10¤ )을 따른다. 따라서 Z= 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정 규분포 N(0, 1)을 따르므로 P(125…X…140) =P{ …Z… _} =P(0.5…Z…2) =P(0…Z…2)-P(0…Z…0.5) =0.4772-0.1915=0.2857 0.2857

0

7

함수 y=f(x)의 그래프와 x축 및 두 직선 x=1, x=3 으로 둘러싸인 도형의 넓이가 1이므로 ;2!;_(1-a+1-3a)_2=1 2-4a=1 ∴ a=;4!; x y y=f(x) O 1 1-a 1-2a 1-3a 2 3 140-120 11112₁₀ 125-120 11112₁₀ X-120 11123₁₀ 630-600 11552155₃₀ 555-600 11552155₃₀

10

신입사원의 키를 확률변수 X라 하면 X는 정규 분포 N(m, 10¤ )을 따르므로 Z= 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. P(Xæ179)=;1¡0•0¢0;=0.184에서 P{Zæ }=0.184 0.5-P{0…Z… }=0.184 ∴ P{0…Z… }=0.5-0.184=0.316 주어진 표준정규분포표에서 P(0…Z…0.9)=0.316이 므로 =0.9 ∴ m=170 따라서 임의로 선택한 한 명의 키가 160 cm 이하일 확률은 P(X…160)=P{Z… } P(X…160)=P(Z…-1)=P(Zæ1) P(X…160)=0.5-P(0…Z…1) P(X…160)=0.5-0.341=0.159 0.159

11

민지가 맞힌 문제 수를 확률변수 X라 하면 확률 변수 X는 이항분포 B{100, }를 따르므로 E(X)=100_ =80, V(X)=100_ _ =16 이때 100은 충분히 큰 수이므로 X는 근사적으로 정규분 포 N(80, 4¤ )을 따른다. 따라서 Z= 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정 규분포 N(0, 1)을 따르므로 P(Xæ90)=P{Zæ }=P(Zæ2.5) P(Xæ90)=0.5-P(0…Z…2.5) P(Xæ90)=0.5-0.4938=0.0062 0.0062 90-80 1113₄ X-80 1113₄ 1 1₅ 4 1₅ 4 1₅ 4 1₅ 160-170 10 179-m 10 179-m 10 179-m 10 179-m 10 X-m 115522₁₀ P(1…X…2)는 위의 그림에서 색칠한 부분의 넓이와 같으므로 P(1…X…2)=;2!;_{;4#;+;2!;}_1=;8%; ;8%;

0

8

평균을 m이라 할 때, 정규분포곡선은 직선 x=m에 대하여 대칭인 종 모양이므로 평균이 가장 큰 것은 C이다. 또 정규분포에서 표준편차가 클수록 정규분포곡선의 가 운데 부분의 높이는 낮아지면서 폭은 넓어지므로 표준편 차가 가장 큰 것은 D이다. C, D

0

9

두 확률변수 X, Y는 각각 정규분포 N(0, a¤ ), N(0, b¤ )을 따르므로 Z˛= , ZÁ= 로 놓으면 확률변수 Z˛, ZÁ는 모두 표준정규분포 N(0, 1)을 따 른다. ㄱ. 확률변수 X의 평균은 0이므로 ㄱ. P(1…X…2) ㄱ. >P(2…X…3) (거짓) ㄴ. P(-a…X…0)=P(-1…Z˛…0) =P(0…Z˛…1) ㄴ.P(0…Y…b)=P(0…ZÁ…1) ㄴ. ∴ P(-a…X…0)=P(0…Y…b) (참) ㄷ. P(-1…X…1)=2P(0…X…1) ㄷ. P(-1…X…1)=2P{0…Z˛…;a!;} ㄷ.P(-2…Y…2)=2P(0…Y…2) ㄷ. P(-2…Y…2)=2P{0…ZÁ…;b@;} ㄷ. 에서 ;a!;=;b@;이면 b=2a ㄴ. ∴ a<b (∵ a, b는 양수) (참) 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. ④ x 3 1 2 0 Y 13_b X 13_a

내신 ・ 모의고사 대비 TEST

12

확률변수 X는 이항분포 B(10000, 0.02)를 따 르므로 E(X)=10000_0.02=200, V(X)=10000_0.02_0.98=196 10000은 충분히 큰 수이므로 X는 근사적으로 정규분포 N(200, 14¤ )을 따른다. 따라서 Z= 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정 규분포 N(0, 1)을 따르므로 P(a…X…221)=0.7745에서 P{ …Z… _}=0.7745 P{ …_{Z…1.5}=0.7745} P{ …_{Z…0}+P(0…Z…1.5)=0.7745} P{0…Z… }+0.4332=0.7745 ∴ P{0…Z… }=0.3413 이때 P(0…Z…1)=0.3413이므로 =1 ∴ a=186 186 200-a 11123₁₄ 200-a 11123₁₄ 200-a 11123₁₄ a-200 11123₁₄ a-200 11123₁₄ 221-200 11112₁₄ a-200 11123₁₄ X-200 11123₁₄

0

1

카드에 적힌 수를 확률변수 X라 하면 E(X)= _(1+2+3+y+9)=5 따라서 E(X’)=E(X)=5이므로 E(3X’+2)=3E(X’)+2=17 17

0

2

확률의 총합이 1이므로 a+;4!;+;2!;=1 ∴ a=;4!; 모집단의 평균과 분산은 각각 E(X)=1_;4!;+2_;4!;+3_;2!;=;4(; V(X)=1¤ _;4!;+2¤ _;4!;+3¤ _;2!;-{;4(;}¤ =;1!6!; 이때 표본의 크기가 2이므로 표본평균 X’의 분산은 V(X’)= _{=;3!2!; ;3!2!;}

0

3

모평균이 10, 모표준편차가 '∂10, 표본의 크기가 5이므로 E(X’)=10, V(X’)= =2 V(X’)=E(X’¤ )-{E(X’)}¤ 이므로 E(X’¤ )=V(X’)+{E(X’)}¤ =2+100=102 102

0

4

모집단이 정규분포 N(500, 12¤ )을 따르고, 표본 의 크기가 36이므로 표본평균 X’는 정규분포 ('∂10)¤ 13115₅ 11 12₁₆ 132₂ 1 1₉ 1.17 2. 3.102 4.0.8185 5.44.84…m…55.16 6.9.8 7. 8.0.0228 9.25 10.225 11.85.58 12.99.8 1 12₁₀ 11 12₃₂ 본문 270쪽 S U M M A C U M L A U D E

07

통계적 추정

N{500, }, 즉 N(500, 2¤ )을 따른다. 따라서 Z= 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준 정규분포 N(0, 1)을 따른다. ∴ P(498…X’…504) =P{ …Z… _} =P(-1…Z…2) =P(0…Z…1)+P(0…Z…2) =0.3413+0.4772=0.8185 0.8185

0

5

모표준편차가 50, 표본의 크기가 625, 표본평균 이 50이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 99%의 신뢰구간 은 50-2.58_ …m…50+2.58_ ∴ 44.84…m…55.16 44.84…m…55.16

0

6

모표준편차가 20이고 표본의 크기가 64이므로 신뢰도 95%로 추정한 모평균의 신뢰구간의 길이는 2_1.96_ =9.8 9.8

0

7

확률의 총합은 1이므로 ;4!;+a+b=1 ∴ a+b=;4#; yy ㉠ E(X)=2이므로 1_;4!;+2_a+3_b=2 ∴ 2a+3b=;4&; yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=;2!;, b=;4!; ∴ V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤ ∴ V(X)=1¤ _;4!;+2¤ _;2!;+3¤ _;4!;-2¤ 20 13433 '∂64 50 112 '∂625 50 112 '∂625 504-500 111144₂ 498-500 111144₂ X’-500 111244₂ 12¤ 123₃₆ ∴ V(X)=;2(;-4=;2!; 표본의 크기가 5이므로 표본평균 X’의 분산은 V(X’)= _=;1¡0; ;1¡0;

0

8

제품의 길이 X는 정규분포 N(m, 4¤ )을 따르므 로 Z˛= 으로 놓으면 확률변수 Z˛는 표준정규 분포 N(0, 1)을 따른다. 이때 P(m…X…a)=0.3413에서 P{0…Z˛… }=0.3413 주어진 표준정규분포표에서 P(0…Z…1)=0.3413 이므로 =1 ∴ a=m+4 yy ㉠ 한편 임의추출한 제품 16개의 길이의 표본평균을 X’라 하면 X’는 정규분포 N{m, }, 즉 N(m, 1¤ )을 따르 므로 ZX’= 으로 놓으면 확률변수 ZX’는 표준정 규분포 N(0, 1)을 따른다. ∴ P(X’æa-2)=P(X’æm+2) (∵ ㉠) ∴ P(X’æa-2)=P{ZX’æ } ∴ P(X’æa-2)=P(ZX’æ2) ∴ P(X’æa-2)=0.5-P(0…Z…2) ∴ P(X’æa-2)=0.5-0.4772=0.0228 0.0228

0

9

볼펜의 무게를 확률변수 X라 하면 X는 정규분 포 N(220, 20¤ )을 따르므로 이 모집단에서 임의추출한 n개의 볼펜의 무게의 표본평균 X’는 정규분포 N{220, }, 즉 N {220, {252220 }¤}을 따른다. 'n 20¤ 2522_n (m+2)-m 111111₁ X’-m 11225₁ 4¤ 12₁₆ a-m 1122₄ a-m 1122₄ X-m 1113₄ 1 1₂ 13₅

내신 ・ 모의고사 대비 TEST 따라서 Z= 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정 규분포 N(0, 1)을 따르므로 P(212…X’…228)=0.9544에서 P ª …Z… º=0.9544 P{- …Z… _}=0.9544 2P{0…Z… }=0.9544 ∴ P{0…Z… }=0.4772 이때 P(0…Z…2)=0.4772이므로 =2, 'n=5 ∴ n=25 25

10

표본의 크기는 n, 표본평균이 80, 모표준편차가 1이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 99%의 신뢰구간은 80-3_ …m…80+3_ 이 신뢰구간이 79.8…m…80.2이므로 80-3_ =79.8, 80+3_ =80.2 3_ _{=0.2, 'ßn=15} ∴ n=225 225

11

P(-k…Z…k)= 라 할 때, 모평균 m에 대한 신뢰도 a %의 신뢰구간은 x’-k_ …m…x’+k_ x’-5k…m…x’+5k 이므로 5k=7.3 ∴ k=1.46 10 215 '4 10 215 '4 a 2155₁₀₀ 1 125 'ßn 1 125 'ßn 1 125 'ßn 1 125 'ßn 1 125 'ßn 2'n 252225₅ 2'n 252225₅ 2'n 252225₅ 2'n 252225₅ 2'n 252225₅ 228-220 25222522255₂₀ 2225 'n 212-220 25222522255₂₀ 2225 'n X’-220 252225222₂₀ 2225 'n 따라서 P(-1.46…Z…1.46)=2_0.4279=0.8558이 므로 a_=85.58 85.58

12

P(-1.64…Z…1.64)=2_0.449=0.898이므 로 신뢰도 89.8%로 추정한 모평균의 신뢰구간의 길이 l 은 l=2_1.64_ yy ㉠ 또 P(-k…Z…k)= 라 하면 신뢰도 a %로 추정 한 모평균의 신뢰구간의 길이가 2l이므로 2l=2_k_ yy ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 k=3.28 따라서 P(-3.28…Z…3.28)= 이므로 a=100P(-3.28…Z…3.28) a=200P(0…Z…3.28)=200_0.499=99.8 99.8 a 15555₁₀₀ r 1555 'ßn a 15555₁₀₀ r 1555 'ßn

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0

1

여학생 3명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 (3-1)!=2 각 경우에 대하여 여학생과 여학생 사이 세 곳에 앉는 남 학생의 수는 모두 달라야 하므로 세 곳에는 각각 1자리, 2 자리, 3자리가 있어야 한다. 여학생 사이에 빈 자리 수를 정하는 경우의 수는 3!=6 빈 자리에 남학생을 배정하는 경우의 수는 6! 따라서 구하는 경우의 수는 2_6_6!=12_6! 이므로 n=12 ②

0

2

오른쪽 그림과 같이 7개 의 영역에 번호를 붙일 때, 서로 다른 7가지 색을 모두 사용하여 7개의 영역을 번호 순으로 칠하 는 방법의 수는 7!이다. 이때 7가지 색을 a, b, …, g라 하면 다음 그림과 같이 회 전했을 때 같아지는 경우가 3가지씩 나온다. b c a e f gd c a b f d ge a b c d e gf ① ② ③ ④ ⑤⑦⑥ 따라서 구하는 방법의 수는 7!_;3!;=1680 먼저 삼각형의 내부에 있는 영역을 칠하는 방법의 수를 구한다. 정중앙의 영역을 칠하는 방법의 수는 ¶C¡=7 정중앙을 제외한 정삼각형의 내부에 있는 나머지 세 영역 을 칠하는 방법의 수는, 6가지 색에서 3가지 색을 택해 원 으로 배열하는 방법의 수와 같으므로 §C£_(3-1)!=40 남은 정삼각형의 외부의 세 영역을 칠하는 방법의 수는 3!=6 따라서 구하는 방법의 수는 7_40_6=1680 ②

0

3

그릇 A에 담을 과일 2개를 선택하는 경우의 수 는 ∞C™=10 나머지 과일 3개를 그릇 B, C에 담는 경우의 수는 ™P£=2‹ =8 따라서 구하는 경우의 수는 10_8=80 ⑤

0

4

세 문자 a, b, c 중에서 중복을 허락하여 4개를 택해 일렬로 나열하는 모든 경우의 수는 £P¢=3› =81

문자 a가 두 번 이상 나오는 사건을 A라 하면 AÇ 은 문자 a가 한 번 이하로 나오는 사건이다. ⁄a가 한 번 나오는 경우 a의 자리를 택하는 경우의 수는 ¢C¡=4 나머지 3개의 자리에는 두 문자 b, c 중에서 중복을 허 락하여 3개를 택해 일렬로 나열하면 되므로 이 경우의 수는 ™P£=2‹ =8 ∴ 4_8=32 1.② 2.② 3.⑤ 4.33 5.② 6.17 7.④ 8.② 9.51 10.32 11.525 12.165 13.455 본문 272쪽 S U M M A C U M L A U D E

I.

경우의 수

내신 ・ 모의고사 대비 TEST ¤a가 한 번도 나오지 않는 경우 두 문자 b, c 중에서 중복을 허락하여 4개를 택해 일렬 로 나열하면 되므로 이 경우의 수는 ™P¢=2› =16 ⁄, ¤에서 사건 AÇ 의 경우의 수는 32+16=48 따라서 구하는 경우의 수는 81-48=33 a가 두 번, 세 번, 네 번 나오는 경우의 수를 각각 구한다. ⁄a가 두 번 나오는 경우 a, a, b, b를 일렬로 나열하는 경우의 수는 =6 a, a, c, c를 일렬로 나열하는 경우의 수는 =6 a, a, b, c를 일렬로 나열하는 경우의 수는 =12 따라서 경우의 수는 6+6+12=24 ¤a가 세 번 나오는 경우 a, a, a, b를 일렬로 나열하는 경우의 수는 =4 a, a, a, c를 일렬로 나열하는 경우의 수는 =4 따라서 경우의 수는 4+4=8 ‹a가 네 번 나오는 경우 a, a, a, a를 일렬로 나열하는 경우의 수는 1 ⁄, ¤, ‹에서 구하는 경우의 수는 24+8+1=33 33

0

5

과일이 세 종류로 각각 2개씩 있으므로 a, a, b, b, c, c 로 나타내자. 이때 여기서 4개의 과일을 선택하는 방법은 다음과 같이 두 가지 경우로 나누어 생각할 수 있다. 4! 3! 4! 3! 4! 2! 4! 2!2! 4! 2!2! ⁄ 두 종류의 과일에서 선택할 때 : ⁄4개의 과일을 두 종류에서 선택하는 경우의 수는 {a, a, b, b}, {a, a, c, c}, {b, b, c, c} ⁄의 3이고, 각각의 경우에 대하여 4명의 학생에게 나누 ⁄어 주는 방법의 수는 =6이므로 구하는 방법의 ⁄수는 3_6=18 ¤ 세 종류의 과일에서 선택할 때 : ⁄4개의 과일을 세 종류에서 선택하는 경우의 수는 {a, a, b, c}, {a, b, b, c}, {a, b, c, c}

⁄의 3이고, 각각의 경우에 대하여 4명의 학생에게 나누 ⁄어 주는 방법의 수는 =12이므로 구하는 방법의 ⁄수는 3_12=36 ⁄, ¤에서 구하는 방법의 수는 18+36=54 ②

0

6

0을 한 개 이하로 사용하여 다섯 자리의 자연수를 만들 수 있는 경우를 다음과 같이 나누어 생각해 보자. ⁄0을 사용하지 않는 경우 다섯 자리 자연수 중에서 각 자리의 숫자의 합이 5인 수는 11111 한 개 뿐이다. ¤0을 한 개 사용하는 경우 각 자리의 숫자는0, 1, 1, 1, 2로 이루어져야 하므로 이 숫자들을 일렬로 나열하는 경우의 수는 =20 이때 맨 앞자리에 0이 오는 경우의 수를 빼주어야 하 는데 그 경우의 수는 1, 1, 1, 2를 일렬로 나열하는 경우 의수 =4와같다. 즉, 0을 한 개 사용하여 만들 수 있는 다섯 자리의 자연 수의 개수는 20-4=16 따라서 ⁄, ¤에 의해 구하는 자연수의 개수는 1+16=17 17 4! 14_3! 5! 14_3! 4! 13_2! 4! 121_2!2!

0

7

주어진 조건에 맞게 A지점에서 B지점까지 최단 거리로 가려면 중간에 있는 E지점, F지점, G지점을 반 드시 지나야 한다. ⁄A지점에서 E지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는 ↗ 1개, ↘ 3개를 일렬로 나열하는 방법의 수와 같 으므로 =4 ¤E지점에서 F지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는 ↗ 2개, ↘ 1개를 일렬로 나열하는 방법의 수와 같 으므로 =3 ‹F지점에서 G지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는 1 ›G지점에서 B지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는 2 따라서 구하는 경우의 수는 4_3_1_2=24 ④

0

8

고구마피자, 새우피자, 불고기피자 중에서 m개 를 주문하는 경우의 수는 서로 다른 세 종류에서 중복을 허락하여 m개를 뽑는 중복조합의 수와 같다. 이때 경우 의 수가 36이므로 £Hμ=£≠μ–¡Cμ=μ≠™Cμ=μ≠™C™=36 즉, =36 (m+2)(m+1)=72=9¥8 ∴ m=7 한편 고구마피자, 새우피자, 불고기피자를 적어도 하나씩 포함하여 7개를 주문하는 경우의 수는 서로 다른 세 종류 에서 중복을 허락하여 4개를 뽑는 중복조합의 수와 같다. 따라서 구하는 경우의 수는 £H¢=£≠¢–¡C¢=§C¢=§C™=15 ② (m+2)(m+1) 11111114₂ 3! 112_2!1! 4! 112_1!3! A C E _F G D B

0

9

6개의 과일에서 선택한 4개의 과일 중 사과, 배, 귤의 개수를 각각 x, y, z라 하자. ⁄(x, y, z)=(0, 2, 2)인 경우 배 2개와 귤 2개를 2명의 학생에게 나누어 주는 경우 의 수는 ™H™_™H™ 이때 4개의 과일을 한 명의 학생에게 모두 주는 경우 는 제외해야 하므로 구하는 경우의 수는 ™H™_™H™-2=£C™_£C™-2 =3_3-2=7 (x, y, z)=(2, 0, 2), (2, 2, 0)인 경우의 수도 각 각 7이다. ¤(x, y, z)=(1, 1, 2)인 경우 사과 1개, 배 1개, 귤 2개를 2명의 학생에게 나누어 주는 경우의 수는 ™H¡_™H¡_™H™ 이때 4개의 과일을 한 명의 학생에게 모두 주는 경우 는 제외해야 하므로 구하는 경우의 수는 ™H¡_™H¡_™H™-2=™C¡_™C¡_£C™-2 =2_2_3-2=10 (x, y, z)=(1, 2, 1), (2, 1, 1)인 경우의 수도 각 각 10이다. ⁄, ¤에서 구하는 경우의 수는 3_7+3_10=51 51

10

조건 ㈏`에서 2a_4b =2a _22b =2a+2b 이 8=23의 배수가 되려면 a+2bæ3 이어야 한다. 이를 만족시키는 음이 아닌 정수 a, b, c의 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 a+b+c=7의 음이 아닌 정수해 (a, b, c)의 개수에서 a+2b<3을 만족하는 정수해 (a, b, c)의 개수를 빼면 된다. ⁄a+b+c=7을 만족시키는 음이 아닌 정수해 (a, b, c)의 개수는 서로 다른 3개의 문자 a, b, c에서 중복을 허락하여 7개를 택하는 중복조합의 수와 같으 므로 £H¶=9C7=9C2=36

내신 ・ 모의고사 대비 TEST ¤a+2b<3을 만족시키는 a+b+c=7의 음이 아닌 정수해 (a, b, c)의 개수는 (0, 0, 7), (0, 1, 6), (1, 0, 6), (2, 0, 5) 와 같이 4이다. ⁄, ¤에 의하여 구하는 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 36-4=32 a+2bæ3, a+b…7을만족하는순서쌍 `(a, b, c)의개수를구한다. b가 0부터 7까지일 때 a+2bæ3, a+b…7 을 모두 만족하는 0 이상의 정수 a의 값을 구해서 순서쌍 (a, b)의 개수를 구하면 다음 표와 같다. 이때 a, b가 정해지면 c는 자동으로 정해지므로 구하는 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 위의 표의 순서쌍 (a, b)의 개 수와 같은 32이다. 32

11

함수 f의 공역에서 원소의 개수가 3인 치역이 나 오는 경우의 수는 ¶C£=35 조건 ㈏를 만족시키려면 치역의 원소 3개에서 중복을 허 락하여 7개를 뽑은 후 작은 것부터 차례로 대응시키면 된다. 치역에 속하는 3개의 수에 각각 대응하는 집합 X의 원소 의 개수를 a, b, c라 하면 a+b+c=7 (단, aæ1, bæ1, cæ1) 이때 a=a'+1, b=b'+1, c=c'+1이라 하면 a'+b'+c'=4 (단, a'æ0, b'æ0, c'æ0) yy ㉠ 이므로 조건 ㈏를 만족시키는 순서쌍 (a, b, c)의 개수 는 방정식 ㉠을 만족시키는 순서쌍 (a', b', c')의 개수와 같다. ∴ £H¢=§C¢=§C™=15 따라서 구하는 함수 f의 개수는 35_15=525 525

12

(x-1)« (`n은 자연수)의 전개식에서 일반항은 «C®(-1)« —® x® (단, r=0, 1, 2, y, n) 이때 x¤ 항은 r=2일 때이므로 그 계수는«C™(-1)« —¤ 이 고, 조건에서 «C™(-1)« —¤ =-55이므로 _(-1)« —¤ =-55 ∴ n=11 따라서 x‹ 항은 r=3일 때이므로 그 계수는 ¡¡C£(-1)⁄ ⁄ —‹ =165 165

13

각 색의 색연필을 적어도 하나씩 포함하므로 구 하는 방법의 수는 3개 중에서 중복을 허락하여 0개, 1개, 2개, y, 12개를 뽑는 방법의 수와 같다. 따라서 구하는 방법의 수는 £Hº+£H¡+£H™+y+£H¡™ =£≠º–¡Cº+£≠¡–¡C¡+£≠™–¡C™+y+£≠¡™–¡C¡™ =™Cº+£C¡+¢C™+∞C£+y+¡¢C¡™ …… ㉠ =£Cº+£C¡+¢C™+∞C£+y+¡¢C¡™ (∵™Cº=£Cº=1) =¢C¡+¢C™+∞C£+y+¡¢C¡™ (∵£Cº+£C¡=¢C¡) =∞C™+∞C£+y+¡¢C¡™ (∵¢C¡+¢C™=∞C™) ⋮ =¡¢C¡¡+¡¢C¡™=¡∞C¡™=¡∞C£=455 [참고]파스칼의 삼각형의 하키스틱의 법칙에 의하여 ㉠=¡∞C¡™=¡∞C£=455 455 n(n-1) 1111₂ 0 3~7 5 1 1~6 6 b 가능한 정수 a (a, b)의 개수 2 0~5 6 3 0~4 5 4 0~3 4 5 0~2 3 6 0~1 2 7 0 1 합계 32

0

1

주머니에서 갑이 2장의 카드를 뽑고 을이 남은 2장의 카드 중에서 1장의 카드를 뽑는 경우의 수는 ¢C™_™C¡=6_2=12 이때 갑이 뽑은 2장의 카드에 적힌 두 수의 곱을 a, 을이 뽑은 1장의 카드에 적힌 수를 b라 하면 a<b를 만족시 키는 경우는 다음과 같다. ⁄ a=1_2, b=3 또는 a=1_2, b=4 Δ 2가지 ¤ a=1_3, b=4 Δ 1가지 따라서 구하는 확률은 =;4!; ③

0

2

6명의 학생을 6개의 좌석에 앉히는 방법의 수는 6!=720 이때 좌석 번호의 차가 1 또는 10이 되도록 두 자리씩 묶 는 방법은 다음과 같이 3가지이다. ⁄(11, 12), (21, 22), (13, 23) ¤(11, 21), (12, 13), (22, 23) ‹(11, 21), (12, 22), (13, 23) ⁄의 경우에 세 나라를 정하는 방법의 수는 3!=6이고, 각 좌석에 2명이 앉는 방법의 수는 2!_2!_2!=8이다. ¤, ‹도 마찬가지이므로 조건에 맞게 앉는 방법의 수는 3_6_8=144 따라서 구하는 확률은 =;5!; ④

0

3

상자 B에 있는 빨간 공의 개수가 1일 확률은 다 음 두 경우로 나누어 생각할 수 있다. 144 11₇₂₀ 2+1 112₁₂ ⁄ 상자 A에서 빨간 공 1개와 검은 공 1개를 뽑으면 [실행 1]을 하여 상자 B에 빨간 공이 1개 있게 되므로 그 확률은 ⁄ ₌ ¤ 상자 A에서 검은 공 2개를 뽑으면 [실행 2]를 해야 한다. ⁄이때 상자 A에 남은 6개의 공에서 빨간 공 1개와 검 은 공 1개를 뽑으면 상자 B에 빨간 공이 1개 있게 되 므로 그 확률은 ⁄ _{_ = _ =} ⁄, ¤에 의하여 구하는 확률은 + = ④

0

4

P(A;B)=;3@;P(A)=;5@;P(B)에서 P(A)=;2#;P(A;B), P(B)=;2%;P(A;B) 이므로 P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B) P(A'B)_{=;2#;P(A;B)+;2%;P(A;B)} -P(A;B) P(A'B)=3P(A;B) ∴ = =3 ①

0

5

시행을 하기 전 주머니에 들어 있던 ★ 모양의 스 티커가 붙어 있는 카드를 각각 A, B라 하자. 시행을 2번 반복한 뒤 주머니 속에 ★ 모양의 스티커가 3개 붙어 있는 카드가 들어 있으려면 A 또는 B를 2번 연 속 꺼내야 한다. A를 2번 연속 꺼내는 사건을 X, B를 2번 연속 꺼내는 사건을 Y라 하면 구하는 확률은 P(X'Y)이고 P(X;Y)는 A, B를 2번 연속 꺼내는 확률이다. 3P(A;B) 1415111_P(A;B) P(A'B) 1415113_P(A;B) 3 1 1₄ 3 12₁₄ 15 12₂₈ 3 12₁₄ 9 12₁₅ 10 12₂₈ £C¡_£C¡ 1111_§C™ ∞C™ 11_•C™ 15 13₂₈ £C¡_∞C¡ 1111_•C™ 1.③ 2.④ 3.④ 4.① 5.131 6.12 7.68 8.② 9.⑤ 10.③ 11.43 12.③ 13.8 14.③ 15.③ 본문 276쪽 S U M M A C U M L A U D E

II.

확률