우석대학교 에너지전기공학과

강의 (20)

우석대학교 에너지전기공학과

이우금 교수

 미분방정식 𝑑𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 형태의 의 일반 해 (1) 주어진 미분방정식이 동차형 or 완전미분방정식인지 check!  동차형: 각항의 차수가 동차인지 확인  완전 미분방정식: 필요충분조건 𝜕𝑀 𝜕𝑦 = 𝜕𝑁 𝜕𝑥 을 충족하는지 확인 (2) 완전 미분 방정식의 일반 해  해법 (1) : 공식 이용 _{𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 −} 𝜕 𝜕𝑦 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 𝐶  해법 (2): 𝑑𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 의 양변을 각각 적분 _{𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 𝐶} ※ 𝑛𝑜𝑡𝑒: 𝑀 𝑥, 𝑦 과 𝑁 𝑥, 𝑦 의 적분 후 동일한 값의 한 값과 다른 값이 주어진 미분방정식의 해! 지난 시간 강의 복습

예제3) (𝑥 − 3𝑦)𝑑𝑥 + (𝑦 − 3𝑥)𝑑𝑦 = 0 의 해를 구하라.  완전미분 방정식 check: 𝑑𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝜕𝑢 𝜕𝑥𝑑𝑥 + 𝜕𝑢 𝜕𝑦𝑑𝑦 = 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0  𝑀 𝑥, 𝑦 = 𝜕𝑢 𝜕𝑥 = 𝑥 − 3𝑦 & 𝑁 𝑥, 𝑦 = 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = 𝑦 − 3𝑥  𝜕𝑀 𝜕𝑦 = 𝜕2𝑢 𝜕𝑦𝜕𝑥 = 𝜕 𝜕𝑦 𝑥 − 3𝑦 = −3 𝜕𝑁 𝜕𝑥 = 𝜕2𝑢 𝜕𝑥𝜕𝑦 = 𝜕 𝜕𝑥 𝑦 − 3𝑥 = −3 ※ 완전 미분방정식의 필요충분조건: 𝜕𝑀 𝜕𝑦 = 𝜕𝑁 𝜕𝑥 주어진 식은 완전미분방정식  동차형 인지 확인  첫 번째 항: 𝑥 − 3𝑦 _𝑥 와 _𝑦 에 대해 1차  두 번째 항: 𝑦 − 3𝑥 𝑥 와 𝑦 에 대해 1차 ∴ 주어진 미분방정식은 완전 미분방정식 또는 동차형으로 풀이가 가능함. 완전미분방정식 _𝑜𝑟 동차형 _? 𝜕𝑀 𝜕𝑦 = 𝜕𝑁 𝜕𝑥 동차형: 1차

(1) 주어진 방정식 (𝑥 − 3𝑦)𝑑𝑥 + (𝑦 − 3𝑥)𝑑𝑦 = 0 의 완전 미분방정식 해법 (2)  완전미분방정식의 일반형: 𝑑𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0  𝑀 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 3𝑦 & 𝑁 = (𝑦 − 3𝑥)  𝑀 𝑥, 𝑦 을 _𝑥 에 관해, _{𝑁 𝑥, 𝑦} 을 _𝑦 에 관해 각각 적분  𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 = (𝑥 − 3𝑦) 𝑑𝑥 = 𝑥₂2 − 3𝑥𝑦 + 𝐶₁  _{𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = (𝑦 − 3𝑥) 𝑑𝑦 =} 𝑦2 2 − 3𝑥𝑦 + 𝐶2  공통항: −3𝑥𝑦 & 다른항의 합: 𝑥2 2 + 𝑦2 2 + 𝐶  일반 해 = 공통항 + 다른항의 합  𝑥2 2 + 𝑦2 2 − 3𝑥𝑦 = 𝐶 𝑥 2 _{− 6𝑥𝑦 + 𝑦}2 _{= 𝐶}

(2) 주어진 방정식 𝑥 − 3𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 − 3𝑥 𝑑𝑦 = 0 의 동차형 해법  𝑥 − 3𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 − 3𝑥 𝑑𝑦 = 0 은 𝑥 와 𝑦 에 대해 1차  각 변을 𝑥 로 나누어 𝑦 𝑥 형으로 변환: 1 − 3 𝑦 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦 𝑥 − 3 𝑑𝑦 = 0  위의 식에서 𝑦 𝑥 = 𝑣 치환: 1 − 3𝑣 𝑑𝑥 + 𝑣 − 3 𝑑𝑦 = 0 3𝑣−1 (𝑣−3) = 𝑑𝑦 𝑑𝑥  𝑦 𝑥 = 𝑣 를 𝑦 = 𝑣𝑥 로 놓고, 이를 𝑥 에 관해 미분: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑣𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑣 + 𝑥 𝑑𝑣 𝑑𝑥 ∴ 3𝑣−1 (𝑣−3) = 𝑣 + 𝑥 𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 3𝑣−1 𝑣−3 − 𝑣2−3𝑣 𝑣−3 = − 𝑣2−6𝑣+1 𝑣−3  위의 식을 𝑣 와 𝑥 의 변수분리형으로 적분  변수분리: 𝑥𝑑𝑣 𝑑𝑥 = − 𝑣2−6𝑣+1 𝑣−3 𝑑𝑥 𝑥 = − 𝑣−3 𝑣2−6𝑣+1 𝑑𝑣  위 식의 양변을 적분: 1 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑣−3 𝑣2_−6𝑣+1 𝑑𝑣 + 𝐶

 𝑣−3 𝑣2_−6𝑣+1 𝑑𝑣 의 적분 (1) 치환 (2) 양변을 _𝑣 에 대해 미분: 𝑑 𝑑𝑣 𝑣 2 _{− 6𝑣 + 1 =} 𝑑𝑡 𝑑𝑣 2(𝑣 − 3) = 𝑑𝑡 𝑑𝑣 𝑣 − 3 𝑑𝑣 = 𝑑𝑡 2 ∴ 𝑣−3 𝑣2−6𝑣+1 𝑑𝑣 = 1 2 1 𝑡 𝑑𝑡 = 1 2𝑙𝑛 (𝑡) (3) _{𝑡 = 𝑣}2 − 6𝑣 + 1 로 환원: 𝑣−3 𝑣2−6𝑣+1 𝑑𝑦 = 1 2𝑙𝑛 (𝑡) = 1 2𝑙𝑛 𝑣 2 _{− 6𝑣 + 1}  미분방정식의 일반 해: 1 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑣−3 𝑣2_−6𝑣+1 𝑑𝑣 + 𝐶  1 𝑥 𝑑𝑥 = − 1 2𝑙𝑛 𝑣 2 _{− 6𝑣 + 1 + 𝐶 𝑙𝑛 𝑥 = −}1 2𝑙𝑛 𝑣 2 _{− 6𝑣 + 1 + 𝐶} ∴ 2𝑙𝑛 𝑥 + 𝑙𝑛 𝑣2 − 6𝑣 + 1 = 𝐶 𝑙𝑛 𝑥2 𝑣2 − 6𝑣 + 1 = 𝐶  𝑣 = 𝑦 𝑥 로 환원: 𝑙𝑛 𝑥 2 _𝑣2 _{− 6𝑣 + 1 = 𝐶 𝑙𝑛 𝑥}2 𝑦 𝑥 2 − 6 𝑦 𝑥 + 1 = 𝐶 ∴ 𝑙𝑛 𝑦2 _{− 6𝑥𝑦 + 𝑥}2 _{= 𝐶 완전 미분방정식의 해: 𝑥}2 _{− 6𝑥𝑦 + 𝑦}2 _{= 𝐶 ? ? ?} 치환적분 case 3: 𝑓′ 𝑥 𝑓(𝑥) 형 𝑣2 − 6𝑣 + 1 = 𝑡

2-4. 1계 선형 미분방정식

 선형 미분방정식 (linear differential equation)

 미지함수 𝑦 및 그 도함수 _𝑦′_{, 𝑦" ,} … 등에 관하여 1차인 미분방정식  특히, 1계 도함수 (즉, 𝑦′ ) 와 𝑦 로 주어지는 선형 미분방정식을 1계 선형 미분방정식 이라 함.  1계 선형 미분방정식의 일반형: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑞 𝑥 𝑜𝑟 𝑦 ′ _{+ 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑞(𝑥)}  𝑞 𝑥 = 0 : 1계 제차 선형 미분방정식  𝑞 𝑥 ≠ 0 : 1계 비제차 선형 미분방정식 예시)  𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2𝑥𝑦  𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 𝑦 − 𝑒 2𝑥 _{= 0}  𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥 2 _{+ 1 = 0} 일반형: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 2𝑥𝑦 = 0 1계 제차 선형미분방정식 일반형: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 𝑦 = 𝑒 2𝑥 _{1계 비제차 선형미분방정식} 일반형: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = −𝑥 2 _{− 1 1계 비제차 선형미분방정식}

 1계 제차 선형 미분방정식의 해  𝑑𝑦 𝑑𝑥+ 𝑝 𝑥 𝑦 = 0 (1) 변수분리  𝑥 와 _𝑦 를 분리  𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑝 𝑥 𝑦 = 0 𝑑𝑦 𝑦 = −𝑝 𝑥 𝑑𝑥 (2) 양변을 𝑥 와 𝑦 에 대해 각각 적분  1 𝑦 𝑑𝑦 = − 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑙𝑛 𝑦 = − 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶

 로그의 정의 로 부터 _{𝑦 = 𝑒}− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥+𝐶 𝑦 = 𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 _{∙ 𝑒}𝑐 _{= 𝐴𝑒}− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 _{, (𝐴 = 상수)}

예시) 다음의 미분방정식을 풀어라  𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 𝑦 = 0 1계 선형미분방정식의 일반형: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑞 𝑥  𝑝 𝑥 와 𝑞(𝑥) 를 확인: 𝑝 𝑥 = −1, 𝑞 𝑥 = 0 1계 선형 제차 미분방정식  1계 선형 제차 미분방정식의 해  𝑦 = 𝐴𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥

 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑑𝑥 = −𝑥  방정식이 간단하므로 직접 변수분리 하여 해를 구하면…  변수분리: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 𝑦 = 0 𝑑𝑦 𝑦 = 𝑑𝑥  양변을 적분: 1 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑑𝑥 𝑙𝑛 𝑦 = 𝑥 + 𝐶 ∴ 𝑦 = 𝑒𝑥+𝐶 = 𝑒𝑥 ∙ 𝑒𝐶 = 𝐴𝑒𝑥 𝑦 = 𝐴𝑒𝑥

 1계 비제차 선형 미분방정식의 해  𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑞 𝑥 𝑜𝑟 𝑦 ′ _{+ 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑞(𝑥)}  1계 제차 선형 미분방정식의 일반 해 𝑦 = 𝐴𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 에서 _𝐴가 상수  1계 비제차 선형미분방정식의 해에서 𝐴는 _𝑥 의 함수로 나타남. 1계 비제차 선형미분방정식의 일반해: 𝑦 = 𝐴 𝑥 𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 , (𝐴는 𝑥 의 함수) (1) _𝐴를 _𝑥 의 함수로 간주하여 위의 해를 다시 미분하면,  𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝐴 𝑥 𝑒 − 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝐴(𝑥) 𝑑𝑥 𝑒 − 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 _{+ 𝐴(𝑥)} 𝑑 𝑑𝑥 𝑒 − 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 (2) 위 식에서 𝑑 𝑑𝑥 𝑒 − 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 _{의 계산}  𝑝 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑡 로 치환하고, 양변을 𝑥 에 대해 미분: 𝑑 𝑑𝑥 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑝 𝑥 = 𝑑𝑡 𝑑𝑥  𝑑 𝑑𝑥 𝑒 − 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 ₌ 𝑑 𝑑𝑥 𝑒 −𝑡 𝑑 𝑑𝑥 𝑒 −𝑡 ₌ 𝑑 𝑑𝑡 𝑒 −𝑡 _∙ 𝑑𝑡 𝑑𝑥 ∴ 𝑑 𝑑𝑥 𝑒 −𝑡 _{= −𝑒}−𝑡 _{∙ 𝑝(𝑥)} 𝑑 𝑑𝑥 𝑒 − 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 _{= −𝑒}− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 _{∙ 𝑝(𝑥)} 곱의 미분: chain rule 𝑝(𝑥)

 1계 비제차 선형 미분방정식의 해 (계속)  𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑞 𝑥 1계 비제차 선형 미분방정식의 해: 𝑦 = 𝐴 𝑥 𝑒 − 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝐹𝑟𝑜𝑚 (1) _& (2)  𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝐴 𝑥 𝑒 − 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 ₌ 𝑑𝐴(𝑥) 𝑑𝑥 𝑒 − 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 _{+ 𝐴(𝑥)} 𝑑 𝑑𝑥 𝑒 − 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 ∴ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝐴(𝑥) 𝑑𝑥 𝑒 − 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 _{− 𝑝 𝑥 𝐴 𝑥 𝑒}− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝐴(𝑥) 𝑑𝑥 𝑒 − 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 _{− 𝑝 𝑥 𝑦} (3) 위 식 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝐴(𝑥) 𝑑𝑥 𝑒 − 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 _{− 𝑝 𝑥 𝑦 에서 𝑝 𝑥 𝑦 를 좌측으로 이동 하면}  𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑑𝐴(𝑥) 𝑑𝑥 𝑒 − 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 _{※ 1계 선형미분방정식의 일반형} 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑞 𝑥 ∴ 𝑑𝐴(𝑥) 𝑑𝑥 𝑒 − 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 _{= 𝑞(𝑥)} (4) 위 식을 변형하여 적분: 𝑑𝐴(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑞 𝑥 𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 _{𝐴 𝑥 = 𝑞 𝑥 𝑒} 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 _{𝑑𝑥 + 𝐶} 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑙𝑦, 1계 비제차 선형미분방정식의 해: 𝑦 = 𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 ∙ 𝑞 𝑥 𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑦 −𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥∙ 𝑝(𝑥) 𝑞(𝑥)

예시) 다음 1계 선형 비제차 미분방정식을 풀어라. (1) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 𝑦 = 𝑒 2𝑥  1계 비제차 선형 미분방정식의 일반형: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑞 𝑥  𝑝 𝑥 & 𝑞(𝑥) 를 확인  𝑝 𝑥 = −1 & 𝑞 𝑥 = 𝑒2𝑥  1계 비제차 선형 미분방정식의 해: 𝑦 = 𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 ∙ 𝑞 𝑥 𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶  𝑦 = 𝑒− (−1)𝑑𝑥 ∙ 𝑒2𝑥𝑒 −1 𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 ※ 𝑛𝑜𝑡𝑒: (−1) 𝑑𝑥 = −𝑥 𝑒− (−1)𝑑𝑥 _{= 𝑒}𝑥  𝑦 = 𝑒𝑥 ∙ 𝑒2𝑥𝑒−𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 = 𝑒𝑥 ∙ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 = 𝑒𝑥 𝑒𝑥 + 𝐶 ∴ 𝑦 = 𝑒2𝑥 _{+ 𝐶𝑒}𝑥 𝑒𝑥 𝑒−𝑥

예제) 다음 미분방정식의 일반 해를 구하라. (1) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦 = 0  𝑝 𝑥 & 𝑞(𝑥) 확인: 𝑝 𝑥 = 2𝑥 & 𝑞 𝑥 = 0 제차 미분방정식  1계 선형 제차 미분방정식의 해: 𝑦 = 𝐴𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥

𝑝 𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2 _{∴ 𝑦 = 𝐴𝑒}− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 _{= 𝐴𝑒}−𝑥2  직접 변수분리 하여 해를 구하면…  변수분리: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦 = 0 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = −2𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑦 = −2𝑥𝑑𝑥  양변을 적분: _𝑦1 𝑑𝑦 = − 2𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑙𝑛 𝑦 = −𝑥2 + 𝐶 ∴ 𝑦 = 𝑒 −𝑥2+𝐶 1계 선형 미분방정식의 기본형: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑞 𝑥 𝑦 = 𝑒−𝑥2𝑒𝐶 = 𝐶𝑒−𝑥2

(2) _𝑥𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 = 4  기본형으로 변형: 𝑥𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 = 4  𝑝 𝑥 & 𝑞(𝑥) 를 확인: _{𝑝 𝑥 =} 1 𝑥 & 𝑞 𝑥 = 4 𝑥  1계 비제차 선형 미분방정식의 해: 𝑦 = 𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 ∙ 𝑞 𝑥 𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶  _{𝑝 𝑥 𝑑𝑥 =} 1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 (𝑥)  𝑦 = 𝑒−𝑙𝑛 (𝑥) ∙ 4_𝑥 ∙ 𝑒𝑙𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥 + 𝐶 = 𝑥−1 ∙ 4_𝑥 ∙ 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 ※ 𝑛𝑜𝑡𝑒: − 𝑙𝑛 𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥−1 & 𝑒𝑙𝑛 (𝑥) = 𝑥 ∴ 𝑦 = 1 𝑥 4 𝑑𝑥 + 𝐶 = 1 𝑥 4𝑥 + 𝐶 = 4 + 𝐶 𝑥  다른 풀이 법  주어진 방정식: 𝑥𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 = 4 (𝑥𝑦)′ = 4  양변을 적분: (𝑥𝑦)′𝑑𝑥 = 4 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑥𝑦 = 4𝑥 + 𝐶 𝑦 = 4 +𝐶 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 1 𝑥𝑦 = 4 𝑥 1계 비제차 선형 미분방정식의 기본형: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑞 𝑥