A{A-1}-12=0, A@-A-12=0
{A+3}{A-4}=0 / A=-3 또는 A=4
즉, x+y=-3 또는 x+y=4이므로 구하는 작은 수는 -3 이다.
8
④ b@-4ac=1@-4\2\1=-7<0이므로 해가 없다.9
x초 후에 처음 직사각형과 넓이가 같아진다고 하면 {12-x}{8+2x}=12\8, 2x@-16x=0 x@-8x=0, x{x-8}=0/ x=0 또는 x=8
따라서 8초 후에 처음 직사각형과 넓이가 같아진다.
10
② y=x@+x④ y={x+2}@-x@=x@+4x+4-x@=4x+4
⑤ y=x@-3x-5
따라서 이차함수가 아닌 것은 ④이다.
11
x@의 계수가 음수일 때, 그래프가 위로 볼록하므로 ㄴ, ㅁ, ㅂ이다.12
① x@의 계수가 음수이므로 위로 볼록하다.③ 꼭짓점의 좌표는 {3, 2}이다.
④ x=0을 대입하면 y=-7이므로 y축과의 교점의 좌표는 {0, -7}이다.
⑤ 제2사분면을 지나지 않는다.
따라서 옳은 것은 ②이다.
13
y=ax@+b에 y 대신 -y를 대입하면 -y=ax@+b / y=-ax@-b 이 함수가 y=bx@+a와 일치하므로 -a=b/ a+b=0
14
y =x@-2x+2={x@-2x+1-1}+2
={x@-2x+1}+1
={x-1}@+1
따라서 꼭짓점의 좌표가 {1, 1}이고, 아래로 볼록하며 y축과 점 {0, 2}에서 만나는 그래프이므로 ⑤이다.
15
y=-2!x@+2x-3=-2!{x-2}@-1따라서 x<2일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.
16
x@의 계수가 2이고, 그래프의 꼭짓점의 좌표가 {-1, 0}인 이차함수의 식은y =2{x+1}@=2{x@+2x+1}
=2x@+4x+2
17
그래프가 아래로 볼록하므로 a>0축이 y축의 오른쪽에 있으므로 ab<0 / b<0
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1 ⑤ 2 ③ 3 ② 4 ⑤ 5 ⑤
6 ⑤ 7 ② 8 ④ 9 ② 10 ④
11 ⑤ 12 ⑤ 13 ② 14 ④ 15 ③ 16 ③ 17 ④ 18 ③ 19 x=3 20 2 21 6 22 x=-1 또는 x=3, 과정은 풀이 참조 23 a<0, p<0, q>0, 그래프의 개형은 풀이 참조
기말고사 예상 문제 2회
P. 112 ~ 1141
① 2@+2-2=0 ② 1@+7\1+6=0③ 2\2@+2-3=0 ④ {1-1}@-9=0
⑤ 2@+3\2-10=0
따라서 [ ] 안의 수가 주어진 이차방정식의 해인 것은 ⑤이 다.
2
x@+6x+9=x+5에서 x@+5x+4=0{x+4}{x+1}=0 / x=-4 또는 x=-1 A>B이므로 A=-1, B=-4
/ A-B=-1-{-4}=3
3
4[x-2#]@=4-k가 중근을 가지려면 4-k=0이어야 하므로 k=4채점 기준 배점
! 가로, 세로의 길이를 미지수를 사용하여 나타내기 2점
@ 이차방정식 세우기 2점
# 조건에 맞는 x의 값 구하기 2점
$ 처음 직사각형의 가로의 길이 구하기 1점
23
y=ax@+bx+c의 그래프가 점 {0, 2}를 지나므로c=2 y`!
즉, y=ax@+bx+2의 그래프가 두 점 {-2, -4}, {2, 0}
을 지나므로
-4=4a-2b+2 / 2a-b=-3 y`㉠
0=4a+2b+2 / 2a+b=-1 y`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=-1, b=1 y`@
/ a+b+c =-1+1+2=2 y`#
채점 기준 배점
! c의 값 구하기 2점
@ a, b의 값 구하기 3점
# a+b+c의 값 구하기 1점
y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로 c>0
① ab<0 ② bc<0 ③ ca>0
④ x=1일 때 y<0이므로 a+b+c<0
⑤ x=2일 때 y>0이므로 4a+2b+c>0 따라서 옳은 것은 ②이다.
18
상품 한 개의 가격은 {200-x}원이고, 하루 판매량은 {200+2x}개이므로y={200-x}{200+2x}=-2x@+200x+40000 따라서 a=-2, b=200, c=40000이므로
c
ab= 40000
-2\200=-100
19
x@의 계수가 6이고 두 근이 2!, 3!인 이차방정식은 6[x-2!][x-3!]=06[x@-6%x+6!]=0 6x@-5x+1=0
따라서 a=5, b=-1이므로 a+b=5+{-1}=4
20
y=2x@+q의 그래프가 점 {-2, 12}를 지나므로 12=2\{-2}@+q/ q=4
따라서 꼭짓점의 좌표는 {0, 4}이다.
21
y=3x@-6x+12=3{x-1}@+9에서 그래프의 꼭짓점의 좌표는 {1, 9}x@의 계수가 -2! 이고, 그래프의 꼭짓점의 좌표가 {1, 9}인 이차함수의 식은
y =-2!{x-1}@+9=-2!x@+x+ 172 따라서 a=-1, b=17
2 이므로 a+b=-1+17
2=15 2
22
이등변삼각형의 밑변의 길이를 x cm라고 하면 직사각형의 가로의 길이는 {x+6} cm,세로의 길이는 {x+2} cm y`!
이때 이등변삼각형의 넓이가 24 cm@이므로
2!x{x+2}=24 y`@
x@+2x-48=0 {x+8}{x-6}=0 / x=-8 또는 x=6
그런데 x>0이므로 x=6 y`#
따라서 처음 직사각형의 가로의 길이는
x+6=6+6=12{cm} y`$
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4
x@-10x-2=0에서 x@-10x=2 x@-10x+25=2+25{x- 5 }@= 27 x- 5 =-3j3 k / x= 5-3j3 k
5
2x@-4x+1=0에서x=-{-2}-1{-23}@-32\1 3
2 =2-j2 k 2 따라서 p=2, q=2이므로
p+q=2+2=4
6
x = -{-7}-1{-73}@-34\1\k 32\1=7-149-4k 3 2
k는 자연수이므로 x가 유리수가 되려면 49-4k는 0 또는 49보다 작은 제곱수이어야 한다.
즉, 49-4k=0, 1, 4, 9, 16, 25, 36에서 4k=49, 48, 45, 40, 33, 24, 13 / k= 49
4, 12, 454 , 10, 334 , 6, 134 그런데 k는 자연수이므로 k=6, 10, 12 따라서 구하는 합은 6+10+12=28
7
-x@+2x+k=0이 서로 다른 두 근을 가지려면 b@-4ac=2@-4\{-1}\k>0이어야 한다./ k>-1
8
x@의 계수가 1이고 두 근이 4!, 3!인 이차방정식은 [x-4!][x-3!]=0, x@- 712x+112=0 즉, a=- 7
12 , b= 1 12 이므로 bx@+ax+1=0에서 1
12x@- 7
12x+1=0 / x@-7x+12=0
따라서 x@-7x+12=0의 두 근을 구하면 {x-3}{x-4}=0 / x=3 또는 x=4 / (두 근의 합)=3+4=7
9
x@의 계수가 1이고 해가 x=-6 또는 x=3인 이차방정식은 {x+6}{x-3}=0 / x@+3x-18=0이때 영재는 상수항을 제대로 보았으므로 처음 이차방정식 의 상수항은 -18이다.
x@의 계수가 1이고 해가 x=-3 또는 x=10인 이차방정식 은
{x+3}{x-10}=0 / x@-7x-30=0
이때 준혁이는 x의 계수를 제대로 보았으므로 처음 이차방 정식의 x의 계수는 -7이다.
따라서 처음 이차방정식은 x@-7x-18=0이므로
{x+2}{x-9}=0 / x=-2 또는 x=9
10
① y=x# ② y=2px③ y=10px ④ y=2x@+2x+1
⑤ y=15 2x
따라서 이차함수인 것은 ④이다.
11
⑤ x축에 서로 대칭인 이차함수의 그래프는 ㄱ과 ㅂ이다.12
평행이동한 그래프를 나타내는 이차함수의 식은 y=2!x@-3+k이 식이 y=2!x@+2와 같으므로 -3+k=2 / k=5
14
y=a{x-p}@+q의 그래프의 꼭짓점의 좌표가 {-1, 3}이 므로p=-1, q=3
즉, y=a{x+1}@+3의 그래프가 점 {0, 6}을 지나므로 6=a{0+1}@+3 / a=3
/ a+p+q=3+{-1}+3=5
15
y =-2x@+kx+5=-2[x@-2Kx+k@
16-k@
16 ]+5
=-2[x-4K]@+k@
8+5
따라서 축의 방정식은 x=4K=2이므로 k=8
16
x축과의 교점이 {-4, 0}, {-1, 0}이므로 y=a{x+4}{x+1}로 놓자.이 그래프가 점 {0, 4}를 지나므로 4=4a / a=1
따라서 구하는 이차함수의 식은 y={x+4}{x+1}=x@+5x+4
17
a>0이므로 그래프가 아래로 볼록하고, ab<0이므로 축이 y축의 오른쪽에 위치한다.또 y축과의 교점의 y좌표가 0이므로 원점을 지난다.
따라서 y=ax@+bx의 그래프의 꼭짓점은 제4사분면 위에 있다.
18
y=-5x@+56에 y=11을 대입하면 11=-5x@+56에서 5x@=45 x@=9 / x=-3 그런데 x>0이므로 x=3따라서 물체의 높이가 11 m가 되는 것은 3초 후이다.