이차함수와 그 그래프 이차함수의 뜻

이차함수 y=ax@의 그래프 3

⑴ y=3x ⇨ 일차함수

⑵ y=1

2\{x+3x}\x=2x@ ⇨ 이차함수

⑶ y=1

4x ⇨ 일차함수

⑷ y=p\x@\10=10px@ ⇨ 이차함수 따라서 이차함수인 것은 ⑵, ⑷이다.

4

⑴ f{0}=0@-2\0+1=1

⑵ f{1}=1@-2\1+1=0

⑶ f [ 12 ]=[ 12 ]@-2\1 2+1=1

4

⑷ f [- 12 ]=[- 12 ]@-2\[- 12 ]+1=9 4

⑸ f{-1}={-1}@-2\{-1}+1=4 f{2}=2@-2\2+1=1

∴ f{-1}+f{2}=4+1=5

⑹ f{-2}={-2}@-2\{-2}+1=9 f{3}=3@-2\3+1=4

∴ f{-2}-f{3}=9-4=5

1

x … -2 -1 0 1 2 …

2x@ … 8 2 0 2 8 …

-2x@ … -8 -2 0 -2 -8 …

1

2x@ … 2 ¹

2 0 ¹

2 2 …

-1

2x@ … -2 -1

2 0 -1

2 -2 …

4 6 8 2 -2 -4 -6 -8

y=2x@

y=-2x@

y=-2!x@

y=2!x@

2 4 6 8 y

O x

-4 -6 -8 -2

1 ^{⑴ × ⑵  ⑶ × ⑷ }

⑸  ⑹ × ⑺ × ⑻ ×

2 ⑴ 이차함수가 아니다.

⑵ 3x@-6x-9, 이차함수이다.

⑶ 16x-32, 이차함수가 아니다.

⑷ x@-x-2, 이차함수이다.

3 이차함수인 것: ⑵, ⑷

⑴ y=3x ⑵ y=2x@ ⑶ y=1

4x ⑷ y=10px@

4 ⑴ 1 ⑵ 0 ⑶ 14 ⑷ 94 ⑸ 5 ⑹ 5

유형

1

^{P. 104}

1 ^{풀이 참조}

2 ⑴ {0, 0}, 아래로 볼록

⑵ {0, 0}, 위로 볼록 3 그래프 위의 점: ⑴, ⑷

⑴ = ⑵ = ⑶ = ⑷ =

유형

2

^{P. 105}

1

x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …

x@ … 9 4 1 0 1 4 9 …

-x@ … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …

4 6 8 2 2 4 6 8

-2 -4 -6 -8

y=-x@

y

x

-4 -6 -8 -2O

y=x@

1 ^{풀이 참조}

2 ⑴ {0, 0}, 아래로 볼록 ⑵ {0, 0}, 위로 볼록

⑶ {0, 0}, 아래로 볼록 ⑷ {0, 0}, 위로 볼록 3 ⑴ ㉠, ㉡, ㉢ ⑵ ㉢, ㉡, ㉠ 4 그래프는 풀이 참조

⑴ y=-4x@ ⑵ y=1 3 x@

5 ^{그래프는 풀이 참조}

⑴ x=0 ⑵ {0, 0} ⑶ y=2

3 x@ ⑷ 감소한다.

6 그래프 위의 점: ⑴, ⑶

⑴ = ⑵ = ⑶ = ⑷ =

유형

3

^{P. 106~107}

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1^③ 2^3개 3^{ㄱ, ㄹ} 4^⑤ 5^⑤ 6　10, 과정은 풀이 참조 7¹₂ 8^{-6, 6} 9^④ 10^③ 11 ^a>1₃ 12㉠, ㉡, ㉢, ㉤, ㉣ 13^③

14 ㄴ과 ㄷ, ㄹ과 ㅂ 15^{③, ⑤} 16^④

쌍둥이 기출문제 ^{P. 108~109}

[ 1 ~ 4 ] 이차함수 ⇨ y=(x에 대한 이차식) 꼴

1

④ y ={x-2}@-x@=-4x+4 ⇨ 일차함수 따라서 이차함수인 것은 ③이다.

2

ㄴ. y =x{x+1}=x@+x ⇨ 이차함수 ㄷ. y =x@-{x-3}@=6x-9 ⇨ 일차함수 ㄹ. y ={x-1}@+2x-1=x@ ⇨ 이차함수 ㅂ. y =4x{x+2}-4x@=8x ⇨ 일차함수 따라서 이차함수인 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ의 3개이다.

3

ㄱ. y=5x ⇨ 일차함수

ㄴ. y=p{x+1}@=px@+2px+p ⇨ 이차함수 ㄷ. y=x@ ⇨ 이차함수 ㄹ. y=2x ⇨ 일차함수 따라서 이차함수가 아닌 것은 ㄱ, ㄹ이다.

4

① y=2p\5x=10px ⇨ 일차함수

② y=1

2\x\9=9

2x ⇨ 일차함수

3

⑴ 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0

그래프의 폭이 좁을수록 a의 절댓값이 크므로 a의 값이 큰 것부터 차례로 나열하면 ㉠, ㉡, ㉢이다.

⑵ 그래프가 위로 볼록하므로 a<0

그래프의 폭이 좁을수록 a의 절댓값이 크고, a가 음수이 므로 a의 값이 큰 것부터 차례로 나열하면 ㉢, ㉡, ㉠이다.

4

^{⑴ y y=4x@}

y=-4x@

O x

⑵ ^y

O

y=3!x@

y=-3!x@

x

5

^y

O

꼭짓점의 좌표: {0, 0}

⑵

⑴ 축의 방정식: x=0 x

y=-3@x@

⑶ y=3@x@

10

x@의 계수가 음수인 것은 ②, ③, ⑤이고,

이때 |- 23 |<|-1|<|-3|이므로 그래프가 위로 볼록하 면서 폭이 가장 좁은 것은 ③ y=-3x@이다.

11

y=ax@의 그래프는 아래로 볼록하고 y=1

3x@의 그래프보 다 폭이 좁으므로 a>1

3 이다.

③ y=80x ⇨ 일차함수

④ y=6x ⇨ 일차함수

⑤ y=px@\5=5px@ ⇨ 이차함수 따라서 이차함수인 것은 ⑤이다.

[ 5 ~ 6 ] 이차함수 f{x}=ax@+bx+c에서 함숫값 f{k}

f{x}에 x 대신 k를 대입한 값 ⇨ f{k}=ak@+bk+c

5

f{x}=-x@+3x+1에서 f{2}=-2@+3\2+1=3

6

f{x}=2x@-5x에서

f{-1}=2\{-1}@-5\{-1}=7 y !

f{1}=2\1@-5\1=-3 y @

∴ f{-1}-f{1}=7-{-3}=10 y #

채점 기준 비율

!f{-1}의 값 구하기 40%

@f{1}의 값 구하기 40%

#f{-1}-f{1}의 값 구하기 20%

[ 7 ~ 8 ] 이차함수의 그래프가 점 {a, b}를 지난다.

⇨ 이차함수의 식에 x=a, y=b를 대입하면 등식이 성립한다.

7

y=ax@에 x=4, y=8을 대입하면 8=a\4@ ∴ a=1 2

[ 9 ~ 14 ] 이차함수 y=ax@의 그래프에서 a의 값

⑴ 그래프의 모양: a>0일 때, 아래로 볼록 a<0일 때, 위로 볼록

⑵ 그래프의 폭: a의 절댓값이 클수록 그래프의 폭이 좁아진다.

⑶ 이차함수 y=-ax@의 그래프와 x축에 서로 대칭이다.

9

^{| 1}_{4 |}^{<|- 1}_{2 |}<|2|<|-3|<|4|이므로 그래프의 폭이 가장 넓은 것은 ④ y=1

4x@이다.

8

^y=-1₄ x@에 x=k, y=-9를 대입하면 -9=-1

4k@, k@=36 ∴ k=-6

12

㉠, ㉡, ㉢에서 a>0이고, 그래프의 폭이 가장 좁은 것은 ㉠ 이므로 a의 값이 큰 것부터 나열하면 ㉠, ㉡, ㉢이다.

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유형 편

이차함수 y=a{x-p}@+q의 그래프

1 ⑴ y=3x@+5, y=3x@-7

⑵ y=-1

2 x@+4, y=-1 2 x@-3 2 ^{⑴ y= 1}₃ ^{x@, -5 ⑵ y=2x@, 1}

⑶ y=-3x@, -1

3 ⑷ y=-5 2 x@, 3 3~4　풀이 참조 5^{②, ③}

6　그래프는 풀이 참조

⑴ 아래로 볼록, x=0, {0, -3}

⑵ 아래로 볼록, x=0, {0, 3}

⑶ 위로 볼록, x=0, {0, -1}

⑷ 위로 볼록, x=0, {0, 5}

7 ⑴ x=0 ⑵ {0, 2} ⑶ a=1 3 , q=2

유형

4

^{P. 110~111}

3

^{⑴ y=1}₄ x@+2의 그래프는 ^y=4!x@+2

y=4!x@

y

O x

-2 2 4

-2 4 6

-4 2

y=1

4 x@의 그래프를 y축의 방 향으로 2만큼 평행이동한 것이 다.

⑵ y=1

4 x@-3의 그래프는

y=4!x@

y

O x

-2 2 4

-2 4 6

-4 2

y=4!x@-3

y=1

4 x@의 그래프를 y축의 방 향으로 -3만큼 평행이동한 것 이다.

4

^{⑴ y=-1}₂ x@+2의 그래프는 y=-1

2 x@의 그래프를 y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것 이다.

⑵ y=-1

2 x@-3의 그래프는 y=-1

2 x@의 그래프를 y축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 것이다.

5

y=5x@-3에 주어진 점의 좌표를 각각 대입하면

① 7=5\{-2}@-3

② 2=5\{-1}@-3

③ -3=5\0@-3

④ -2=5\1@-3

⑤ -7=5\2@-3

따라서 y=5x@-3의 그래프 위의 점은 ②, ③이다.

6

^{⑴ y}

x -3 O

⑵ ^y

x 3 O

⑶ ^y

-1 x O

⑷ ^y 5

O x

y=-2!x@+2 y

O x 4 -2 -4 -6 -4

2

2 -2

y=-2!x@

y

O x

-2 2 4

-2

-6 -4

2

-4 y=-2!x@

y=-2!x@-3

16

① 꼭짓점의 좌표는 {0, 0}이다.

② 위로 볼록한 포물선이다.

③ 3=-1

3\{-3}@이므로 점 {-3, 3}을 지나지 않는다.

⇨ 점 {-3, -3}을 지난다.

⑤ x<0일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.

따라서 옳은 것은 ④이다.

13

^y=3₂ x@의 그래프는 y=-3

2 x@의 그래프와 x축에 서로 대 칭이다.

㉣, ㉤에서 a<0이고, 그래프의 폭이 더 좁은 것은 ㉣이므 로 a의 값이 큰 것부터 나열하면 ㉤, ㉣이다.

따라서 a의 값이 큰 것부터 차례로 나열하면 ㉠, ㉡, ㉢, ㉤, ㉣

[ 15 ~ 16 ] 이차함수 y=ax@의 그래프의 성질

⑴ 꼭짓점의 좌표: {0, 0}

⑵ 축의 방정식: x=0 ( y축)

⑶ a>0이면 아래로 볼록, a<0이면 위로 볼록

⑷ a의 절댓값이 클수록 그래프의 폭이 좁아진다.

⑸ y=ax@과 y=-ax@의 그래프는 x축에 서로 대칭이다.

15

③ a>0일 때, 아래로 볼록한 포물선이다.

⑤ y=-ax@의 그래프와 x축에 서로 대칭이다.

14

x축에 서로 대칭인 그래프를 모두 찾아 짝 지으면 다음과 같다.

ㄴ. y=1

5 x@과 ㄷ. y=-1 5 x@, ㄹ. y=-4

5 x@과 ㅂ. y=4 5 x@

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1 ⑴ y=3{x-5}@, y=3{x+7}@

⑵ y=-1

2{x-4}@, y=-1 2{x+3}@

2 ⑴ y=2x@, -3 ⑵ y=-x@, 5

⑶ y=-2x@, -4 ⑷ y=1 4 x@, 1

2 3~4　풀이 참조 5^④

6　그래프는 풀이 참조

⑴ 아래로 볼록, x=2, {2, 0}

⑵ 아래로 볼록, x=-5, {-5, 0}

⑶ 위로 볼록, x=4 5 , [

4 5 , 0]

⑷ 위로 볼록, x=-4, {-4, 0}

7 ⑴ x=-3 ⑵ {-3, 0} ⑶ a=2, p=-3

유형

5

^{P. 112~113}

2

⑴ y=2{x+3}@=29x-{-3}0@의 그래프는 y=2x@의 그 래프를 x축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 것이다.

⑶ y=-2{x+4}@=-29x-{-4}0@의 그래프는 y=-2x@의 그래프를 x축의 방향으로 -4만큼 평행이 동한 것이다.

3

⑴ y={x-2}@의 그래프는

O x

-2 2 4

y=x@ y={x-2}@

y

2 4

y=x@의 그래프를 x축의 방향으 6

로 2만큼 평행이동한 것이다.

⑵ y={x+3}@=9x-{-3}0@의

O x

-4 -2 2

y={x+3}@ y=x@

2 4 y

그래프는 y=x@의 그래프를 x축 6

의 방향으로 -3만큼 평행이동 한 것이다.

4

⑴ y=-{x-2}@의 그래프는

O

-2 2

-2 -4

4

y=-x@ y=-{x-2}@

x y

-6

y=-x@의 그래프를 x축의 방향 으로 2만큼 평행이동한 것이다.

⑵ y=-{x+3}@

2

y=-x@

y=-{x+3}@

O

-2 x y -4 -2

-4 -6

=-9x-{-3}0@

의 그래프는 y=-x@의 그래프 를 x축의 방향으로 -3만큼 평 행이동한 것이다.

5

^y=-1₃{x+1}@에 주어진 점의 좌표를 각각 대입하면

① -3=-1

3\{-4+1}@

② -1 3=-1

3\{-2+1}@

③ -1 3=-1

3\{0+1}@

④ 3=-1

3\{2+1}@

⑤ -12=-1

3\{5+1}@

따라서 y=-1

3{x+1}@의 그래프 위의 점이 아닌 것은 ④ 이다.

6

^{⑴ y}

2 x O

⑵ ^y

-5O x

⑶ ^y

O x 5$

⑷ ^y

x -4

y

O x

7

^y

O x -3

⑵ 꼭짓점의 좌표: {-3, 0}

⑴ 축의 방정식: x=-3 y=2x@

⑶ y=2x@의 그래프를 x축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 그래프이므로

y=29x-{-3}0@=2{x+3}@

∴ a=2, p=-3

7

^y

O 2

⑴ 축의 방정식: x=0 y=3!x@

⑵ 꼭짓점의 좌표: {0, 2}

x

⑶ y=1

3x@의 그래프를 y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 그래프이므로 y=1

3x@+2

∴ a=1 3 , q=2

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유형 편

2

⑵ y=2{x+2}@+3=29x-{-2}0@+3의 그래프는 y=2x@의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방 향으로 3만큼 평행이동한 것이다.

⑷ y=-1 3 [x+3

2 ]@-3 4=-1

3 -x-[- 32 ]=@-3 4 의 그 래프는 y=-1

3 x@의 그래프를 x축의 방향으로 -3 2 만 큼, y축의 방향으로 -3

4 만큼 평행이동한 것이다.

3

⑴ y={x-2}@+3의 그래프는 y=x@의 그래프를 x축의 방 향으로 2만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이다.

y={x-2}@+3

x y

O 2

-2 4 6

-4

-6 -2 2 4 6

y=x@ 8

⑵ y={x+4}@-2=9x-{-4}0@-2의 그래프는 y=x@

의 그래프를 x축의 방향으로 -4만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 것이다.

y={x+4}@-2 O x 2 4 6 8

-6

-2

2 4 6 y y=x@

-2 -4

4

^{⑴ y=-1}₂^{x+3}@+4=-1₂9x-{-3}0@+4의 그래프

는 y=-1

2 x@의 그래프를 x축의 방향으로 -3만큼, y 축의 방향으로 4만큼 평행이동한 것이다.

y

O x

-2 2 4 6

-2 -4 4 6

-4 2

-6 y=-2!{x+3}@+4

y=-2!x@

⑵ y=-1

2{x-1}@-3의 그래프는 y=-1

2 x@의 그래프 를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행 이동한 것이다.

O x

-2 2 4 6

-2 -4

2 4 6

-6

y=-2!x@

y=-2!{x-1}@-3 y

-4

5

y=-4{x-2}@+5에 주어진 점의 좌표를 각각 대입하면

① -11=-4\{-2-2}@+5

② -7=-4\{-1-2}@+5

③ 21=-4\{0-2}@+5

④ 1=-4\{1-2}@+5

⑤ 9=-4\{3-2}@+5

따라서 y=-4{x-2}@+5의 그래프 위의 점은 ④이다.

6

^{⑴ y}

2 x 1 O

⑵

-5 -2

y

O x

⑶ ^y

x 4 O 2

⑷

-1 x -2# O

y

7

⑴ 축의 방정식: x=3

⑵ 꼭짓점의 좌표: {3, -1}

y=4!x@

y

x

O 3

-1

1 ⑴ y=3{x-1}@+2, y=3{x+2}@-3

⑵ y=-1

2{x-3}@-2, y=-1

2{x+4}@+1 2 ^{⑴ y= 1}₂ x@, 2, -1 ⑵ y=2x@, -2, 3

⑶ y=-x@, 5, -3 ⑷ y=-1 3 x@, -3

2 , -3 4 3~4　풀이 참조 5^④

6　그래프는 풀이 참조

⑴ 아래로 볼록, x=2, {2, 1}

⑵ 위로 볼록, x=-2, {-2, -5}

⑶ 아래로 볼록, x=2, {2, 4}

⑷ 위로 볼록, x=-3 2 , [-3

2 , -1]

7 ⑴ x=3 ⑵ {3, -1} ⑶ a= 14, p=3, q=-1

유형

6

^{P. 114~115}

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1^④ 2^① 3^① 4^③ 5^{ㄷ, ㄹ} 6^④ 7^④ 8^③ 9^④ 10^-7 11 ^④ 12 ^⑤ 13⁷ 14¹ 15^-2 16 ⁵₂, 과정은 풀이 참조 17^⑤ 18^①

쌍둥이 기출문제 ^{P. 116~118}

[ 1 ~ 6 ] 이차함수 y=ax@+q, y=a{x-p}@의 그래프

⑴ y=ax@+q의 그래프

O q

x y

① y=ax@의 그래프를 y축의 방향으로 q만큼 평행이동

② 축의 방정식: x=0

③ 꼭짓점의 좌표: {0, q}

④ 증가  감소의 기준: 직선 x=0

⑵ y=a{x-p}@의 그래프

O p

x=p

x

① y=ax@의 그래프를 x축의 방향으로 y p만큼 평행이동

② 축의 방정식: x=p

③ 꼭짓점의 좌표: {p, 0}

④ 증가 · 감소의 기준: 직선 x=p

1

y=-2x@+1에서 x@의 계수가 음수이므로 그래프는 위로 볼록하고, 꼭짓점의 좌표가 {0, 1}이므로 그래프로 적당한 것은 ④이다.

2

y=2{x+1}@에서 x@의 계수가 양수이므로 그래프는 아래 로 볼록하고, 꼭짓점의 좌표가 {-1, 0}이므로 그래프로 적 당한 것은 ①이다.

4

평행이동한 그래프를 나타내는 이차함수의 식은 y=-2{x-m}@

이 그래프가 점 {0, -18}을 지나므로 x=0, y=-18을 대입하면

-18=-2\{0-m}@, m@=9 ∴ m=-3 그런데 m>0이므로 m=3

5

ㄱ. 축의 방정식은 x=0이다.

ㄴ. 위로 볼록한 포물선이다.

ㅁ. y=-1

2 x@의 그래프를 y축의 방향으로 1만큼 평행이동 한 그래프이다.

따라서 옳은 것은 ㄷ, ㄹ이다.

8

^{③ y=-1}₂ ^{x@-3은 y=-1}₂ x@과 x@의 계수가 같으므로 그래프를 평행이동하여 완전히 포갤 수 있다.

10

^y=-2₃{x+2}@-3의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 {-2, -3}, 축의 방정식은 x=-2이므로 a=-2, b=-3, p=-2

∴ a+b+p=-2+{-3}+{-2}=-7

11

직선 x=-1을 축으로 하고, 아래로 볼록한 포물선이므로 x의 값이 증가할 때 y의 값도 증가하는 x의 값의 범위는 x>-1이다.

12

직선 x=4를 축으로 하고, 위로 볼록한 포물선이므로 x의 값이 증가할 때 y의 값은 감소하는 x의 값의 범위는 x>4

3

평행이동한 그래프를 나타내는 이차함수의 식은 이다.

y=1 3 x@+m

이 그래프가 점 {3, 5}를 지나므로 x=3, y=5를 대입하면

5=1

3\3@+m ∴ m=2

6

④ 점 {-2, 0}을 꼭짓점으로 하고, 아래로 볼록한 포물선 이므로 제1사분면과 제2사분면을 지난다.

⑤ 꼭짓점 {-2, 0}이 x축 위에 있으므로 x축과 한 점에서 만난다.

따라서 옳지 않은 것은 ④이다.

[ 7 ~ 18 ] 이차함수 y=a{x-p}@+q의 그래프

⑴ y=ax@의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼,

O p q

x=p

x y y축의 방향으로 q만큼 평행이동

⇨ a의 값이 같으면 평행이동하여 완전히 포갤 수 있다.

⑵ 축의 방정식: x=p

⑶ 꼭짓점의 좌표: {p, q}

⑷ 증가 · 감소의 기준: 직선 x=p

7

④ y={x+2}@+3은 y=2x@과 x@의 계수가 다르므로 그래 프를 평행이동하여 완전히 포갤 수 없다.

⑶ y=1

4 x@의 그래프를 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향 으로 -1만큼 평행이동한 그래프이므로

y=1

4{x-3}@-1 ∴ a=1

4 , p=3, q=-1

13

평행이동한 그래프를 나타내는 이차함수의 식은 y=2{x-p}@+q

이 식이 y=2{x+6}@+1과 같아야 하므로 p=-6, q=1

∴ q-p=1-{-6}=7

14

평행이동한 그래프를 나타내는 이차함수의 식은 y=-4{x-m}@+n

이 식이 y=a{x-3}@+2와 같아야 하므로 a=-4, m=3, n=2

∴ a+m+n=-4+3+2=1

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17

⑤ y=2x@의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향 으로 3만큼 평행이동한 그래프이다.

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