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개 념 편
Ⅲ.도형의닮음
ㄱ, ㅁ, ㅂ의 3개이다.
△ABCª△ACD(AA 닮음)이므로 AB”：AC”=AC”：AD”에서
AB”：9=9：6 ∴ AB”= (cm)
△ABDª△ACE(AA 닮음)이므로 AB”：AC”=AD”：AE”에서
6：4=AD”：1 ∴ AD”= (cm)
∴ CD”=AC”-AD”=4- = (cm)
∠C=∑, ∠DAC=×로 나타내면
△ADC에서 ∑+×=90˘
이와 같이 ∑+×=90˘인 ∑, ×를 나타내면 오른쪽 그림과 같다.
∴ △ADCª△AEF
ª△BDFª△BEC(AA 닮음)
∠A=90˘, AD”⊥BC””이므로 AC”¤ =CD”_CB”
8¤ =CD”_10 ∴ CD”= (cm)
∠A=90˘, AD”⊥BC”이므로 AD”¤ =DB”_DC”
2¤ =DB”_1 ∴ DB”=4 (cm)
∠BED=∠BAC=90˘이므로 AC”//ED”
따라서 △BCA에서 AE”’：EB”=CD”：DB”=1：4 BC”// DE”이므로
△AQC에서 AP”：AQ”=PE”：QC”=5：8
△ABQ에서 DP”：BQ”=AP”：AQ”=5：8 DP”：6=5：8 ∴ DP”= (cm)
BC”：5=10：4 ∴ BC”= (cm)
AE”가 ∠A의 이등분선이므로 AB”：AC”=BE”：CE”
∴ BE”：CE”=6：4=3：2
△BCA에서 AC”//DE”이므로 BE”：BC”=DE”：AC”
즉, 3：(3+2)=x：4 ∴ x=
[다른 풀이]
△ADE에서 ∠DAE=∠CAE=∠DEA(엇각)이므로 DA”=DE”=x
△BCA에서 AC”//DE”이므로 BD”：BA”=DE”：AC”
(6-x)：6=x：4 ∴ x=12 5
12 5
9
25
8
215 4
7
6
32 5
5
C B
A
D E F
4
5 2 3 2
3 2
3
27 2
2
1
⑴ AD”가 ∠A의 이등분선이므로AB”：AC”=BD”：CD”에서 6：4=3：CD”
6CD”=12 ∴ CD”=2 (cm) y`⁄
⑵ AE”가 ∠A의 외각의 이등분선이므로
AB”：AC”=BE”：CE”에서 6：4=(5+CE”)：CE”
6CE”=4(5+CE”) ∴ CE”=10 (cm) y`¤
⑶ △ABC와 △ACE는 높이가 같으므로 넓이의 비는 밑변 의 길이의 비와 같다.
△ABC：△ACE=BC”：CE”이므로 S：△ACE=5：10, 5△ACE=10S
∴ △ACE=2S (cm¤ ) y`‹
△AODª△COB(AA 닮음)이고 닮음비가 3：5이므로
△ABC에서 AO”：AC”=3：8 3：8=EO”：5 ∴ EO”= (cm)
△DBC에서 DO”：DB”=3：8 3：8=OF”：5 ∴ OF”= (cm)
∴ EF”=EO”+OF”= + = (cm)
AB”//DC”이므로 AP”：PC”=4：6=2：3
△CAB에서 PQ”：4=3：(3+2)
∴ PQ”= (cm)
CA”：PA”=CB”：QB”에서 5：2=8：BQ”
∴ BQ”= (cm)
점 D를 지나고 BC”에 평행한 직선 을 그으면 △ABE에서
AN”=NE”=12 cm
또 △DFN™△CFE(ASA 합동) 이므로
EF”=NF”= NE”=6 (cm)
△CEB에서 BE”//DF”이므로
△ADF에서 GE”= DF”= _4=2 (cm)
△CEB에서 BE”=2DF”=2_4=8 (cm)
∴ BG””=BE””-GE”=8-2=6 (cm) 1 2 1 2
14
1 2
A
D
B E
N
C F
13
16 5 12
5
12
15 4 15
8 15
8 15
8 15
8
11
10
⁄ CD”의 길이 구하기
¤ CE”의 길이 구하기
‹ △ACE의 넓이 구하기
30%
30%
40%
채점 기준 배점
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정답과해설_ 개념편
AD”//MÚN”//BC”이므로 AC”를 그으면
MÚN”=MP”+PN”= BC”+ AD”
= (x+y)=8
∴ x+y=16
△CMD에서 DM” //BN”이므로
△ABN에서 BN”=x cm라 하면 PM”= BN”= x (cm)
또 △CMD에서 D’M”=2BN”=2x(cm)
DM”=DP”+PM”이므로 2x=7+ x y`⁄
x=7 ∴ x=
∴ BN”= cm y`¤
△ADHª△GDK(AA 닮음)이고 AG”：GD”=2：1이므로
AH”：GK”=AD”：GD”=3：1
점 G는 △ABC의 무게중심이므로 AG”=2GD”
△FGHª△CGD(AA 닮음)이고 닮음비가 1：2이므로 GD”=2GH”=2_3=6 (cm)
∴ AD”=3GD”=3_6=18 (cm)
△DBE에서 BG”：GE”=2：1이므로
△DBG：△DGE=2：1
∴ △DGE= △DBG= _{ △ABC}
= △ABC= _48=4 (cm¤ )
두 점 D, E는 각각 B’M”, C’M”의 중 점이므로
DE”= BC”= _24=12 (cm)
△ADE에서
A’G¡”：AD”=AG”™”：AE”=2：3이고, A’G¡”：AD”=G¡ÚG™”：DE”이므로 2：3=G’¡G™”：12 ∴ G’¡G™”=8 (cm)
1 2 1 2
A
D M E B
G¡ G™
C 24 cm
20
1 12 1
12
1 6 1 2 1
2
19
18 17
14 3
14 3 3
2
1 2 1
2 1 2
16
1 2
1 2 1 2
A
B C
D P
M 8 N
y
15
x⁄ 식 세우기
¤ BN”의 길이 구하기
60%
40%
채점 기준 배점
AG”를 그으면
△GAB=△GBC=△GCA
= △ABC
= _12=4 (cm¤ )
∴ (색칠한 부분의 넓이)=△GAE+△GAF
= △GAB+ △GCA
= _4+ _4
=2+2=4 (cm¤ ) AC”를 그으면 두 점 P, Q는 각각
△ABC, △ACD의 무게중심이므로 AP”：AM”=AQ”：AN”=2：3
△AMN에서 2：3=6：MN”
∴ MN”=9 (cm)
△ABDª△CAD(AA 닮음)이고 닮음비가 6：8=3：4 이므로 넓이의 비는 3¤ ：4¤ =9：16
OC”를 반지름으로 하는 원의 둘레의 길이를 x cm라 하면 OB”, OC”를 각각 반지름으로 하는 두 원의 닮음비가 2：3이 므로 4p：x=2：3 ∴ x=6p
세 원의 닮음비가 1：2：3이므로 넓이의 비는 1：4：9 따라서 두 원에 의해 나누어진 세 부분의 넓이의 비는 1：(4-1)：(9-4)=1：3：5
△ADE, △AFG, △ABC를 각각 1회전하여 생기는 세 원 뿔의 닮음비가 1：2：3이므로 부피의 비는 1：8：27 따라서 △ADE, DFGE, FBCG에 의해 생기는 입체 도형의 부피의 비는 1：(8-1)：(27-8)=1：7：19 넓이의 비가 9：16=3¤ ：4¤ 이므로 닮음비는 3：4이고, 부피의 비는 3‹ ：4‹```=27：64이다.
작은 컵의 부피를 xcm‹ 라 하면 x：128p=27：64 ∴ x=54p 따라서 작은 컵의 부피는 54p cm‹ 이다.
(축척)= = = 이므로
지도에서의 땅의 넓이와 실제 땅의 넓이의 비는 1¤ ：5000¤ =1：25000000
∴ (실제 넓이)=1 cm¤ _25000000=2500 m¤
△ABCª△DEC(AA 닮음)이므로
AB”：2=2000：4 ∴ AB”=1000(cm)=10(m) 따라서 실제 건물의 높이는 10 m이다.
28
1 5000 10 cm
50000 cm 10 cm
500 m
27
26 25 24 23
A D
N M
P Q 6cm
B C
22
1 2 1 2
1 2 1
2 1
3 1 3
B C
A
E G F
21
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52
정답과해설
I. 확률
1 경우의 수
1 12가지 2 10가지 3 16개 4 120가지
1
단계P. 6~7
1 3가지 2 8가지 3 4가지 4 ⑴ 216가지 ⑵ 21가지 5 12가지 6 ⑴ 24가지 ⑵ 48가지 7 321 8 ⑴ 72개 ⑵ 64개 ⑶ 136개 9 105가지10 20가지 11 30가지12 ⑴ 10개 ⑵ 10개
2
단계P. 8~10
x= 을 y=ax+ , y=-x+b에 각각 대입하면
y= a+ , y=- +b y`⁄
a+ =- +b이므로 a-b=-1 y`¤
따라서 이 식을 만족하는 순서쌍 (a, b)의 개수는 (2, 2), (4, 3), (6, 4)의 3가지 y`‹
3의 배수가 나오는 경우의 수는 3, 6, 9, 12의 4가지 y`⁄
8의 약수가 나오는 경우의 수는 1, 2, 4, 8의 4가지 y`¤
따라서 구하는 경우의 수는 4+4=8(가지) y`‹
A주머니에서 짝수가 적힌 공이 나오는 경우의 수는 2, 4의 2
가지 y`⁄
B주머니에서 소수가 적힌 공이 나오는 경우의 수는 2, 3의 2
가지 y`¤
따라서 구하는 경우의 수는 2_2=4(가지) y`‹
3 2
1 2 1
2 1 2 1 2
1 2 1
2 1 2
1 2 1