BOOK21

BOOK

BOOK Q ^Box

채점 기준 평행이동한 그래프의 식 구하기 지나는 점의 좌표를 이용하여 식 세우기 k의 값 구하기

40%

40%

20%

배점 유제

2

주어진 그래프의 식은

y=2x¤ -6 40%

f(x)=2x¤ -6이므로 f(-2)=2_(-2)¤ -6=2

f(1)=2_1¤ -6=-4 40%

∴ f(-2)+f(1)=2+(-4)=-2 20%

- 2

평행이동한 그래프의 식은

y=-4(x-3)¤ 40%

이 그래프가 점 (k, -2k)를 지나므로 -2k=-4(k-3)¤

2k¤ -13k+18=0, (2k-9)(k-2)=0

∴ k=;2(; 또는 k=2 ^40%

따라서 정수 k의 값은 2이다. 20%

2

꼭짓점의 좌표가 (1, -3)이므로

p=1, q=-3 40%

y=a(x-1)¤ -3의 그래프가 점 (0, -2)를 지 나므로

-2=a_(0-1)¤ -3 ∴ a=1 20%

y=(x-1)¤ -3의 그래프가 점 (k, 1)을 지나 므로

1=(k-1)¤ -3, (k-1)¤ =4

∴ k=-1 또는 k=3

따라서 음수 k의 값은 -1이다. 40%

- 1 1단계

3단계 2단계

1단계

2단계

3단계

1단계

2단계

채점 기준

x축에 대하여 대칭이동한 그래프의 식 구하기 y축의 방향으로 평행이동한 그래프의 식 구하기 a, b의 값 구하기

30%

30%

40%

배점 예제

4

채점 기준

y축에 대하여 대칭이동한 그래프의 식 구하기 x축에 대하여 대칭이동한 그래프의 식 구하기 a, b의 값 구하기

30%

30%

40%

배점 유제

4

y=ax¤ +3의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동 한 그래프의 식은

y=-ax¤ -3 30%

이 함수의 그래프를 y축의 방향으로 b만큼 평행 이동한 그래프의 식은

y=-ax¤ -3+b 30%

y=-4x¤ +2의 그래프와 y=-ax¤ -3+b의 그래프가 일치하므로

-4=-a, 2=-3+b

∴ a=4, b=5 40%

a=4, b=5

y=2(x+a)¤ 의 그래프를 y축에 대하여 대칭 이동한 그래프의 식은

y=2(-x+a)¤ 30%

이 함수의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 그래프의 식은

y=-2(-x+a)¤ 30%

y=b(x+5)¤`의 그래프와 y=-2(-x+a)¤`의 그래프가 일치하므로

a=-5, b=-2 40%

a=-5, b=-2 1단계

2단계

3단계 3단계

1단계

3단계 2단계

채점 기준 p, q의 값 구하기

a의 값 구하기 k의 값 구하기

40%

20%

40%

배점 예제

3

꼭짓점의 좌표가 (-2, 2)이므로

p=2, q=2 40%

y=a(x+2)¤ +2의 그래프가 점 (1, -4)를 지 나므로

-4=a_(1+2)¤ +2, 9a=-6

∴ a=-;3@; ^20%

y=-;3@;(x+2)¤ +2의 그래프가 점 (-4, k)를 지나므로

k=-;3@;_(-4+2)¤ +2=-;3@; ^40%

-;3@;

1단계

3단계 2단계

(k-1)¤ =4 k-1=—2

∴ k=-1 또는 k=3

y=-2(-x+a)¤

=-2(x-a)¤

x축의 방향으로 3만큼 평 행이동한 그래프의 식

x대신 x-3 대입

채점 기준 p, q의 값 구하기

a의 값 구하기 음수 k의 값 구하기

40%

20%

40%

배점 유제

3

y=a(x-p)¤ +q의 그 래프를 y축에 대하여 대칭이동

y=a(-x-p)¤ +q y=a(x-p)¤ +q의 그 래프를 x축에 대하여 대칭이동

y=-a(x-p)¤ -q Q중수3상표준_솔(044-059) 2014.8.13 9:8 PM 페이지50 SinsagoHitec

BOOK

01

-1 ⑴ y=-3(x-1)¤ +3

⑵ y={x-;2#;}

¤-;4!;

⑶ y=;2!;(x-4)¤ -7

⑷ y=-;3!;{x-;2#;}¤ +1

02

-1⑴ y=-3x¤ -6x+2

=-3(x¤ +2x+1)+3+2

=-3(x+1)¤ +5

⑵ y=;2!;x¤ -6x+15

⑵ y=;2!;(x¤ -12x+36)-18+15

⑵ y=;2!;(x-6)¤ -3

⑴ (-1, 5), x=-1

⑵ (6, -3), x=6

02

^{y=x¤ +2x-3}

=(x¤ +2x+1)-1-3

=(x+1)¤ -4

y=(x+1)¤ -4, (-1, -4)

01

-1 ⑴ a>0, b<0, c>0

⑵ a<0, b<0, c<0

01

-1① x=0 ② x=-2 ③ x=3

④ y=(x-2)¤ -1이므로 x=2

⑤ y=;4!;(x-4)¤ -4이므로 x=4 ⑤

02

-1y=x¤ -6x-7에 y=0을 대입하면 x¤ -6x-7=0, (x+1)(x-7)=0 x=-1 또는 x=7

따라서 A(-1, 0), B(7, 0)으로 놓으면

AB”=8 8

02

y=-x¤ -x+12에 y=0을 대입하면 -x¤ -x+12=0, x¤ +x-12=0

(x+4)(x-3)=0 ∴ x=-4 또는 x=3

∴ p+q=-1

y=-x¤ -x+12에 x=0을 대입하면 y=12 ∴ r=12

∴ p+q+r=11 11

03

-1y=2x¤ -8x+3 y=2(x-2)¤ -5

의 그래프는 오른쪽 그림 과 같으므로 제 3 사분면을 지나지 않는다.

③ 3

2 x y

O

-5 3

2 x y

O

03

y=-x¤ +6x-4=-(x-3)¤ +5

따라서 꼭짓점의 좌표가 (3, 5), y축과의 교점의 좌표가 (0, -4)이고 위로 볼록한 포물선이다.

㈂ y=-(x¤ -6x+9)+9-4

=-(x-3)¤ +5

y=2(x¤ -4x+4)-8+3

=2(x-2)¤ -5 124

p

이차함수의 활용

2

4 1

01

4, -4, -2, 1

125

42

p

01

⑴ 위, < ⑵ 오른, <, > ⑶ 아래, <

01

y=ax¤ -4x+1에 x=-2, y=1을 대입하면 1=4a+8+1 ∴ a=-2

y=-2x¤ -4x+1=-2(x+1)¤ +3이므로 꼭짓점의 좌표는 (-1, 3)이다. ③

126~128 p

이차함수

y=ax¤ +bx+c의 그 래프의 꼭짓점의 좌표

y=a(x-p)¤ +q의 꼴로 고친다.

① x축과의 교점 y=0을 대입

② y축과의 교점 x=0을 대입

이차함수

y=a(x-p)¤ +q의 그 래프의 증가, 감소

축 x=p를 기준으로 바뀐다.

04

y=;2!;x¤ -3x y=;2!;(x-3)¤ -;2(;

의 그래프는 오른쪽 그 림과 같다.

따라서 x>3일 때, x의

값이 증가하면 y의 값도 증가한다. ⑤ x y

O 3

2 -9

04

-1y=ax¤ +12x-13의 그래프가 점 (3, -4)를 지나므로

-4=9a+36-13 ∴ a=-3 즉 y=-3x¤ +12x-13=-3(x-2)¤ -1 따라서 x>2일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은

감소한다. ④

BOOK Q ^Box

05

y=x¤ -8x+19=(x-4)¤ +3

④ 아래로 볼록하고 꼭짓점의 y좌표가 양수이므 로 주어진 이차함수의 그래프는 x축과 만나지

않는다. ④

05

-1y=-2x¤ +4x

=-2(x-1)¤ +2 이므로 그 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

① 위로 볼록한 포물선이다.

② 축의 방정식은 x=1이다.

④ 제2사분면을 지나지 않는다.

⑤ x축과의 교점의 좌표는 (0, 0), (2, 0)이다.

③

06

y=-x¤ +2x+8에 y=0을 대입하면 -x¤ +2x+8=0, x¤ -2x-8=0

(x+2)(x-4)=0 ∴ x=-2 또는 x=4

∴ A(-2, 0), B(4, 0)

또한 y=-x¤ +2x+8=-(x-1)¤ +9이므로 꼭짓점의 좌표는 (1, 9)

∴ C(1, 9)

∴ △ABC=;2!;_6_9=27 ④

06

-1y=2x¤ +4x-6에 y=0을 대입하면

2x¤ +4x-6=0, x¤ +2x-3=0

(x+3)(x-1)=0 ∴ x=-3 또는 x=1

∴ A(-3, 0), B(1, 0)

또한 y=2x¤ +4x-6의 그래프의 y절편은 -6 이므로 C(0, -6)

∴ △ABC=;2!;_4_6=12 12

07

y=-2x¤ -4x+3=-2(x+1)¤ +5이므로

p=-1, q=5 ∴ p+q=4 ④

07

-1y=;2!;x¤ +2x+3=;2!;(x+2)¤ +1이므로 평행이동한 그래프의 식은

y=;2!;(x-4+2)¤ +1-2 y=;2!;(x-2)¤ -1

따라서 꼭짓점의 좌표는 (2, -1) (2, -1)

두 점 A, B 사이의 거리 4-(-2)=6 y=-2x¤ +4x에 y=0을 대입하면

-2x¤ +4x=0, 2x(x-2)=0

∴ x=0 또는 x=2

y=-2x¤ -4x+3

=-2(x¤+2x+1)+2+3

=-2(x+1)¤ +5

08

-1위로 볼록한 포물선이므로 a<0 축이 y축의 오른쪽에 있으므로 b>0

y축과의 교점이 원점의 위쪽에 있으므로 c>0 따라서 a<0, bc>0이므로

y=ax+bc의 그래프는 오 른쪽 그림과 같다.

제3사분면

08

아래로 볼록한 포물선이므로 a>0 축이 y축의 왼쪽에 있으므로 b>0 y축과의 교점이 원점의 아래쪽에 있으므로

-c<0 ∴ c>0 ①

x y

O 1 2

2

x y

O

09

a<0, b<0, c>0이므로

② bc<0

④ x=1일 때, y=a+b+c=0

⑤ x=-1일 때, y=a-b+c>0 ②

09

-1아래로 볼록하므로 a>0

축이 y축의 오른쪽에 있으므로 b<0

y축과의 교점이 원점의 아래쪽에 있으므로 c<0

① ab<0 ② bc>0

③ x=1일 때, y=a+b+c<0

④ x=-1일 때, y=a-b+c=0

⑤ x=2일 때, y=4a+2b+c<0 ③

01

y=a(x-2)¤ +3으로 놓으면 점 (1, 4)를 지나 므로

4=a(1-2)¤ +3 ∴ a=1 따라서 구하는 이차함수의 식은

y=(x-2)¤ +3 y=(x-2)¤ +3

01

-1⑴ y=a(x+3)¤ +2로 놓으면 점 (-5, 0)을 지나므로

0=a(-5+3)¤ +2 ∴ a=-;2!;

따라서 구하는 이차함수의 식은 y=-;2!;(x+3)¤ +2

y=ax¤ +bx+c(a+0) 의 그래프에서

① a+b+c x=1일 때의 y의 값

② a-b+c x=-1일 때의 y의 값

점 (a, b)를 지난다.

x=a, y=b를 대입 하면 등식이 성립한다.

129

43

p a, b의 부호가 같다.

a, b의 부호가 다르다.

Q중수3상표준_솔(044-059) 2014.8.13 9:8 PM 페이지52 SinsagoHitec

BOOK

⑵ y=a(x+1)¤ -5로 놓으면 점 (1, 3)을 지 나므로

3=a(1+1)¤ -5 ∴ a=2 따라서 구하는 이차함수의 식은 y=2(x+1)¤ -5

⑴ y=-;2!;(x+3)¤ +2

⑵ y=2(x+1)¤ -5

02

-1⑴ y=a(x+3)¤ +q로 놓으면 두 점 (1, 7), (2, 16)을 지나므로

7=16a+q, 16=25a+q 두 식을 연립하여 풀면 a=1, q=-9

따라서 구하는 이차함수의 식은 y=(x+3)¤ -9

⑵ y=a(x-2)¤ +q로 놓으면 두 점 (0, -4), {3, ;2!;}을 지나므로

-4=4a+q, ;2!;=a+q 두 식을 연립하여 풀면 a=-;2#;, q=2

따라서 구하는 이차함수의 식은 y=-;2#;(x-2)¤ +2

⑴ y=(x+3)¤ -9

⑵ y=-;2#;(x-2)¤ +2

02

y=a(x-1)¤ +q로 놓으면 두 점 (0, 2), (3, -1)을 지나므로

2=a+q, -1=4a+q 두 식을 연립하여 풀면 a=-1, q=3

따라서 구하는 이차함수의 식은 y=-(x-1)¤ +3

y=-(x-1)¤ +3

03

y=ax¤ +bx+c로 놓으면 세 점 (-1, 0), (1, 8), (0, -5)를 지나므로

0=a-b+c, 8=a+b+c, -5=c 세 식을 연립하여 풀면

a=9, b=4, c=-5

따라서 구하는 이차함수의 식은 y=9x¤ +4x-5

y=9x¤ +4x-5

세 식을 연립하여 풀면 a=1, b=-3, c=6

따라서 구하는 이차함수의 식은 y=x¤ -3x+6

⑵ y=a(x+3)(x-1)로 놓으면 점 (0, 3)을 지나므로

3=a(0+3)(0-1) ∴ a=-1 따라서 구하는 이차함수의 식은 y=-(x+3)(x-1)

⑴ y=x¤ -3x+6

⑵ y=-(x+3)(x-1)

03

-1⑴ y=ax¤ +bx+c로 놓으면 세 점 (1, 4), (-1, 10), (0, 6)을 지나므로 4=a+b+c, 10=a-b+c, 6=c

01

-1꼭짓점의 좌표가 (-1, -4)이므로

y=a(x+1)¤ -4로놓으면점 (0, -3)을지나므로 -3=a(0+1)¤ -4 ∴ a=1

즉 y=(x+1)¤ -4=x¤ +2x-3이므로 y=0을 대입하면

x¤ +2x-3=0, (x+3)(x-1)=0

∴ x=-3 또는 x=1

따라서 A(-3, 0), B(1, 0)이므로

AB”=1-(-3)=4 ②

01

y=a(x+1)¤ +3의 그래프가 점 (0, 1)을 지나 므로

1=a(0+1)¤ +3 ∴ a=-2

∴ y=-2(x+1)¤ +3=-2x¤ -4x+1

② 130 p

이차함수의 그래프의 꼭 짓점의 x좌표가 p이다.

축의 방정식이 x=p 이다.

02

y=a(x+1)¤ +q의 그래프가 두 점 (0, -3), (1, 3)을 지나므로

-3=a+q, 3=4a+q 두 식을 연립하여 풀면 a=2, q=-5

따라서 구하는 이차함수의 식은

y=2(x+1)¤ -5=2x¤ +4x-3 ③

02

-1y=a(x-2)¤ +q로 놓으면 두 점 (-1, -11), (1, 5)를 지나므로

-11=9a+q, 5=a+q 두 식을 연립하여 풀면 a=-2, q=7

∴ y=-2(x-2)¤ +7=-2x¤ +8x-1 따라서 x=0일 때, y=-1이므로 y축과 만나는

점의 y좌표는 -1이다. ③

c=-5를 나머지 두 식에 대입하면

a-b=5 y`㉠

a+b=13 y`㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=9, b=4

x축과의 교점이 (a, 0), (b, 0)이면

y=a(x-a)(x-b)

BOOK Q ^Box

03

y=ax¤ +bx+c로 놓으면 세 점 (-3, -2), (-1, 10), (0, 7)을 지나므로

-2=9a-3b+c, 10=a-b+c, 7=c 세 식을 연립하여 풀면

a=-3, b=-6, c=7

따라서 y=-3x¤ -6x+7=-3(x+1)¤ +10 이므로 꼭짓점의 좌표는 (-1, 10) ④

03

-1y=a(x+1)(x-5)로 놓으면 점 (0, -5)를

지나므로

-5=a(0+1)(0-5) ∴ a=1 따라서 구하는 이차함수의 식은 y=(x+1)(x-5)

y=(x+1)(x-5)

01

-2⑴ y=-x¤ +4x=-(x-2)¤ +4

⑵ y=x¤ -6x+6=(x-3)¤ -3

⑶ y=-;2!;x¤ -4x-9=-;2!;(x+4)¤ -1

⑷ y=3x¤ +6x+8=3(x+1)¤ +5

⑴ x=2일 때 최댓값은 4이고, 최솟값은 없다.

⑵ x=3일 때 최솟값은 -3이고, 최댓값은 없다.

⑶ x=-4일 때 최댓값은 -1이고, 최솟값은 없다.

⑷ x=-1일 때 최솟값은 5이고, 최댓값은 없다.

01

-1 ⑴ x=0일 때 최솟값은 -5이고, 최댓값은 없다.

⑵ x=-3일 때 최댓값은 1이고, 최솟값은 없다.

⑶ x=3일 때 최댓값은 7이고, 최솟값은 없다.

⑷ x=2일 때 최솟값은 -5이고, 최댓값은 없다.

131

44

p

01

x=-1일 때 최솟값은 2이고, 최댓값은 없다.

이차함수

y=ax¤ +bx+c의 최 댓값, 최솟값

y=a(x-p)¤ +q의 꼴로 변형하여 구한다.

y=-2x¤ +12x-9

=-2(x¤ -6x+9)+18-9

=-2(x-3)¤ +9

01

y=-2x¤ +12x-9=-2(x-3)¤ +9 따라서 x=3일 때 최댓값 9를 가지므로 a=3, b=9

∴ b-a=6 ④

132 p

01

-1y=-;2!;x¤ -4x-3=-;2!;(x+4)¤ +5

∴ M=5

y=3x¤ -6x-4=3(x-1)¤ -7

∴ m=-7

∴ M-m=12 12

02

-1y=-(x+1)(x-3)

=-(x¤ -2x-3)

=-(x-1)¤ +4

따라서 x=1일 때 최댓값 4를 갖는다. ①

02

y=4x¤ -ax-5에 x=1, y=-5를 대입하면 -5=4-a-5 ∴ a=4

따라서 y=4x¤ -4x-5=4{x-;2!;}¤-6이므로

최솟값은 -6이다. ④

03

y=-;3!;x¤ -4x+a y=-;3!;(x+6)¤ +12+a

따라서 12+a=15이므로 a=3 ①

03

-1y=x¤ -2ax+3=(x-a)¤ -a¤ +3 따라서 -a¤ +3=2이므로 a¤ =1

∴ a=1 (∵ a>0) 1

04

y=-x¤ +2ax+b=-(x-2)¤ +8 y=-x¤ +4x+4

따라서 2a=4, b=4이므로 a=2, b=4

∴ a+b=6 ②

04

-1y=2x¤ +2ax+b=2(x-3)¤ -5 y=2x¤ -12x+13

따라서 2a=-12, b=13이므로 a=-6, b=13

∴ b-a=19 19

05

y=;2!;(x+2)¤ -1=;2!;x¤ +2x+1

y=;2!;x¤ +2x+1 x절편이 -1, 3이므로

y=-(x+1)(x-3) 으로 놓는다.

x=p일 때 최댓값 (또 는 최솟값) q

y=a(x-p)¤ +q Q중수3상표준_솔(044-059) 2014.8.13 9:8 PM 페이지54 SinsagoHitec

BOOK 05

-1y=a(x-4)¤ +6에 x=2, y=2를 대입하면

2=a(2-4)¤ +6 ∴ a=-1

∴ y=-(x-4)¤ +6=-x¤ +8x-10

④

⑵ y=x(40-x)=-x¤ +40x

=-(x-20)¤ +400

⑵ 따라서 x=20일 때 넓이의 최댓값은 400 cm¤ 이다.

⑶ 넓이가 최대일 때, 가로와 세로의 길이는 각각 20 cm, 20 cm이다.

⑴ y=x(40-x) ⑵ 400cm¤

⑶ 20cm, 20cm

06

y=x¤ -2kx+6k+2

=(x-k)¤ -k¤ +6k+2

∴ m=-k¤ +6k+2=-(k-3)¤ +11 따라서 k=3일 때 m의 최댓값은 11이다.

④

06

-1y=-;3!;x¤ -2ax+6a

y=-;3!;(x+3a)¤ +3a¤ +6a

∴ M=3a¤ +6a=3(a+1)¤ -3 따라서 a=-1일 때 M의 값이 최소이다.

②

01

-1⑴ 큰 수를 x라 하면 작은 수는 x-8이므로 y=x(x-8)

⑵ y=x(x-8)=x¤ -8x

=(x-4)¤ -16

따라서 x=4일 때 곱의 최솟값은 -16이다.

⑶ x=4일때 y는최소이므로두수는 -4, 4이다.

⑴ y=x(x-8) ⑵ -16 ⑶ -4, 4

02

⑴ 가로의 길이를 x cm라 하면 세로의 길이는 (40-x)cm이므로

y=x(40-x)

134

45

p

01

⑴ 다른 한 수는 10-x이므로 y=x(10-x)

⑵ y=x(10-x)=-x¤ +10x

=-(x-5)¤ +25

⑵ 따라서 x=5일 때 곱의 최댓값은 25이다.

⑶ x=5일 때 y는 최대이므로 두 수는 5, 5이다.

⑴ y=x(10-x) ⑵ 25 ⑶ 5, 5

y=x¤ -2kx+6k+2

=(x¤ -2kx+k¤ ) -k¤ +6k+2

=(x-k)¤ -k¤ +6k+2

02

-1⑴ 밑변의 길이를 x cm라 하면 높이는 (40-x)cm이므로

y=;2!;x(40-x)

⑵ y=;2!;x(40-x)=-;2!;x¤ +20x y=-;2!;(x-20)¤ +200

따라서 x=20일 때 넓이의 최댓값은 200 cm¤ 이다.

⑶ 넓이가 최대일 때, 밑변의 길이와 높이는 각각 20 cm, 20 cm이다.

⑴ y=;2!;x(40-x) ⑵ 200 cm¤

⑶ 20 cm, 20 cm

01

두 수를 x, 26-x라 하고, 두 수의 곱을 y라 하면 y=x(26-x)=-x¤ +26x

=-(x-13)¤ +169

따라서 x=13일 때 두 수의 곱이 최대이므로 두

수는 13, 13이다. 13, 13

01

-12x-y=20에서 y=2x-20이므로 xy=x(2x-20)=2x¤ -20x

=2(x-5)¤ -50

따라서 x=5일 때 xy의 최솟값은 -50이다.

-50

02

새로운 직사각형의 넓이를 ycm¤ 라 하면 y=(10-x)(6+x)=-x¤ +4x+60 y=-(x-2)¤ +64

따라서 x=2일 때 직사각형의 넓이의 최댓값은

64 cm¤ 이다. ②

135 p (삼각형의 넓이)

=;2!;_(밑변의 길이) _(높이)

합이 26인 두 수이므로 한 수를 x라 하면 다른 한 수 는 26-x이다.

x=5를 y=2x-20에 대 입하면

y=2_5-20=-10

∴ xy=5_(-10)=-50

BOOK Q ^Box

02

-1닭장의 세로의 길이를 xm, 닭장의 넓이를 ym¤ 라

하면 가로의 길이는 (20-2x)m이므로 y=x(20-2x)

=-2x¤ +20x y=-2(x-5)¤ +50

따라서 x=5일 때 닭장의 넓이의 최댓값은 50m¤

이다.

⑤

03

y=-5x¤ +40x

=-5(x-4)¤ +80

따라서 x=4일 때 높이의 최댓값은 80 m이다.

80 m

03

-1이익을 y만 원이라 하면 y=-;1¡0;x¤ +40x-1000 y=-;1¡0;(x-200)¤ +3000

따라서 x=200일 때 y는 최대이므로 하루에 200개의 제품을 생산해야 한다.

200개

02

y=x¤ -8x+k=(x-4)¤ -16+k

따라서 꼭짓점의 좌표가 (4, -16+k)이므로

-16+k=-11 ∴ k=5 5

136~139 p

0 1

^①

0 2

⁵

0 3

^{②, ⑤}

0 4

^③

0 5

^⑤

0 6

⁸

0 7

^③

08

^{②, ⑤}

0 9

^-3

10

^④

11

^{②, ⑤}

12

^②

13

^④

14

^③

15

^②

16

^②

17

³⁹²

18

^④

19

^⑤

20

^k<3

21

^-14

22

²⁷

23

y=3x¤ -6x-2

24

⁷

25

^{72 cm¤}

0 1

y=-;2!;x¤ +2x+3 y=-;2!;(x-2)¤ +5

따라서 a=-;2!;, p=2, q=5이므로

ap+q=4 ①

03

y=x¤ -2x-15에 y=0을 대입하면 x¤ -2x-15=0, (x+3)(x-5)=0

∴ x=-3 또는 x=5 ②, ⑤

① x축과의 교점 y=0을 대입

② y축과의 교점 x=0을 대입

이차함수

y=ax¤ +bx+c의 그 래프 그리기

y=a(x-p)¤ +q의 꼴로 고친다.

04

y=3x¤ -6x+1 y=3(x-1)¤ -2

꼭짓점의 좌표가 (1, -2)이 고, y절편이 1이므로 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

따라서 제3`사분면을 지나지 않

는다. ③

1 1

x y

O -2

05

y=-2x¤ +4x+3

=-2(x-1)¤ +5

의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

① 꼭짓점의 좌표는 (1, 5)이다.

② 함숫값의 범위는 y…5이다.

③ 위로 볼록한 포물선이다.

④ 모든 사분면을 지난다. ⑤

x 3

5

O 1 y

06

y=;3!;(x+3)¤ +1을 x축의 방향으로 k만큼 평행 이동한 그래프의 식은

y=;3!;(x-k+3)¤ +1

따라서 k-3=5이므로 k=8 8

07

그래프가 아래로 볼록하므로 a>0

축이 y축의 왼쪽에 있으므로 -b>0 ∴ b<0 y축과의 교점이 원점의 위쪽에 있으므로 c>0

③

08

a<0, b=0, c>0

① ab=0

③ x=1일 때, y=a+b+c=0

④ x=-1일 때, y=a-b+c=0

⑤ x=-2일 때, y=4a-2b+c<0 ②, ⑤ 이차함수

y=ax¤ +bx+c에서

① a+b+c x=1일 때의 y의 값

② a-b+c x=-1일 때의 y의 값 y=;3!;x¤ +2x+4

=;3!;(x¤ +6x+9)-3+4

=;3!;(x+3)¤ +1

축을 중심으로 그래프의 증 가, 감소가 바뀐다.

Q중수3상표준_솔(044-059) 2014.8.13 9:8 PM 페이지56 SinsagoHitec

BOOK

10

y=ax¤ +bx+c로 놓으면 세 점 (-1, 9), (0, -1), (3, -7)을 지나므로

9=a-b+c, -1=c, -7=9a+3b+c 세 식을 연립하여 풀면

a=2, b=-8, c=-1

∴ y=2x¤ -8x-1=2(x-2)¤ -9

따라서 축의 방적식은 x=2이다. ④

11

그래프가 위로 볼록한 이차함수는 ②, ⑤이다.

②, ⑤

14

y=x¤ -2x+k=(x-1)¤ +k-1

따라서 x=1일 때 최솟값 k-1을 가지므로

k-1=-4 ∴ k=-3 ③

13

^④

15

x=2일 때 최솟값 -1을 가지므로 y=a(x-2)¤ -1

최솟값을 가지므로 a>0이고, 그래프가 제 3사분 면을 지나지 않으므로 (y절편)æ0이어야 한다.

4a-1æ0, 4aæ1 ∴ aæ;4!; ②

16

y=-2x¤ +4kx-4k y=-2(x-k)¤ +2k¤ -4k

∴ M=2k¤ -4k=2(k-1)¤ -2

따라서 k=1일 때 M의 최솟값은 -2이다.

②

12

y=-;2!;x¤ -4x+2=-;2!;(x+4)¤ +10 따라서 x=-4일 때 최댓값 10을 가지므로 p=-4, q=10

∴ p+q=6 ②

17

x초 후 직사각형의 가로의 길이는 (20-x)cm, 세로의 길이는 (16+2x)cm이므로

y=(20-x)(16+2x)=-2x¤ +24x+320 y=-2(x-6)¤ +392

따라서 x=6일 때 y의 최댓값은 392이다.

392

18

총 판매 금액을 y원이라 하면 김밥의 가격을 10x 원 올렸을 때 x개 덜 팔리므로

y=(1000+10x)(200-x)

=-10x¤ +1000x+200000

=-10(x¤ -100x+2500)+225000

=-10(x-50)¤ +225000

따라서 x=50일 때 총 판매 금액이 최대가 되므 로 그때의 김밥 한 개의 가격은

1000+10_50=1500(원) ④

이차함수

y=ax¤ +bx+c의 최 댓값, 최솟값

y=a(x-p)¤ +q의 꼴로 변형한다.

그래프가 원점을 지나도 제

``3``사분면을 지나지 않는다.

평행이동 또는 대칭이동하 여 그래프가 완전히 포개어 지면 이차항의 계수의 절댓 값이 같다.

y=a(x-2)¤ -1에 x=0 을 대입하면

(y절편)=4a-1 y=-2x¤ +4kx-4k

=-2(x¤ -2kx+k¤ ) +2k¤ -4k

=-2(x-k)¤ +2k¤ -4k

19

물받이의 높이를 xcm, 단면의 넓이를 y cm¤

라 하면 y=x(20-2x)

=-2x¤ +20x

=-2(x-5)¤ +50

따라서 물받이의 높이가 5 cm일 때 단면의 넓이

는 최대이다. ⑤

x`cm

{20-2x}cm

20

y=3x¤ -12x+4k=3(x-2)¤ +4k-12 이므로 꼭짓점의 좌표는 (2, 4k-12) … 3점 꼭짓점이 제 4 사분면 위에 있으려면

4k-12<0 ∴ k<3 … 3점 k<3

21

y=-(x-3)¤ -2=-x¤ +6x-11

∴ `a=-11 … 2점

y=-x¤ +6x-11의 그래프가 점 (2, b)를 지나 므로

b=-2¤ +6_2-11=-3 … 2점

∴ a+b=-11+(-3)=-14 … 2점 -14 채점

기준

꼭짓점의 좌표 구하기 k의 값의 범위 구하기

3점 3점

채점 기준

a의 값 구하기 b의 값 구하기

2점

a+b의 값 구하기 2점

2점

09

y=ax¤ -4의 그래프가 점 (-2, 0)을 지나므로 0=4a-4 ∴ a=1

y=x¤ -4의 그래프가 점 (1, k)를 지나므로

k=1-4=-3 -3

BOOK Q ^Box

24

x=2일 때 최댓값 k를 가지므로 y=-(x-2)¤ +k=-x¤ +4x+k-4 따라서 4a-4=4, k-4=1이므로

a=2, k=5 … 4점

∴ a+k=2+5=7 … 2점

7

25

채점 기준

a, k의 값 구하기 a+k의 값 구하기

각2점 각2점

채점 기준

두 정사각형의 넓이의 합을 변의 길이에

대한 식으로 나타내기 ^4점

넓이의 합의 최솟값 구하기 2점

22

y=-x¤ +4x+5에 y=0을 대입하면 -x¤ +4x+5=0, x¤ -4x-5=0

(x+1)(x-5)=0 ∴ x=-1 또는 x=5 즉 A(-1, 0), B(5, 0)이므로

AB”=6 … 3점

또한 y=-x¤ +4x+5=-(x-2)¤ +9이므로 꼭 짓점의 좌표는 (2, 9)

∴ C(2, 9) … 2점

∴ △ABC=;2!;_6_9=27 ^{… 1점} 27

23

꼭짓점의 좌표가 (1, -5)이므로

y=a(x-1)¤ -5로 놓으면 … 2점 이 그래프가 점 (0, -2)를 지나므로

-2=a(0-1)¤ -5 ∴ a=3 … 2점 따라서 이차함수의 식은

y=3(x-1)¤ -5=3x¤ -6x-2 … 2점 y=3x¤ -6x-2

AP” =x cm라 하면 BP” =(12-x)cm 두 정사각형의 넓이의 합을 y cm¤ 라 하면 y=x¤ +(12-x)¤ =2x¤ -24x+144

=2(x-6)¤ +72 … 4점

따라서 AP” =6 cm일 때 두 정사각형의 넓이의 합의 최솟값은 72 cm¤ 이다. … 2점 72 cm¤

채점 기준

AB”의 길이 구하기 점 C의 좌표 구하기

3점

△ABC의 넓이 구하기 1점

2점

채점 기준

꼭짓점의 좌표를 이용하여 식 세우기 a의 값 구하기

2점

이차함수의 식 구하기 2점

2점

두 점 A, B 사이의 거리 5-(-1)=6

y=-x¤ +kx+6의 그래프가 점 (-1, 1)을 지나므로

1=-1-k+6 ∴ k=4 50%

y=-x¤ +4x+6=-(x-2)¤ +10

따라서 축의 방정식은 x=2이다. 50%

x=2 채점 기준

k의 값 구하기 축의 방정식 구하기

50%

50%

배점 예제

1

1단계

2단계

140~141 p

그래프의 꼭짓점의 좌표가 (2, k)이므로

y=-(x-2)¤ +k로 놓는다.

채점 기준

꼭짓점의 좌표를 k에 대한 식으로 나타내기 k의 값 구하기

50%

50%

배점 유제

1

y=x¤ -6x+2k+1=(x-3)¤ +2k-8 따라서 꼭짓점의 좌표는 (3, 2k-8)이다.

50%

2x-y=4에 x=3, y=2k-8을 대입하면 6-(2k-8)=4, 2k=10

∴ k=5 50%

5 1단계

2단계

채점 기준 이차함수의 식 세우기 x축과의 교점의 좌표 구하기

50%

50%

배점 예제

2

y=a(x-2)¤ -3의 그래프가 점 (4, 9)를 지나 므로

9=a(4-2)¤ -3 ∴ a=3

∴ y=3(x-2)¤ -3 50%

x절편

y=0일 때, x의 값

점 (a, b)를 지난다.

x=a, y=b를 대입 하면 등식이 성립한다.

1단계 Q중수3상표준_솔(044-059) 2014.8.13 9:8 PM 페이지58 SinsagoHitec

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