∴ ∠BIC=90˘+;2!;∠BAC
∴ ∠BIC=90˘+;2!;_80˘=130˘
1122254+3+24 CE”=CF”=(11-x)cm이므로 AC”=AF”+CF”에서
6=(8-x)+(11-x) 19-2x=6 ∴ x=;;¡2£;;
⑵;2!;x(13+12+5)=;2!;_12_5 15x=30 ∴ x=2
Step
(발전문제) 본문 101~102쪽01③ 0281˘ 0315˘ 04외심 05150˘ 0660˘ 0730˘
08(76-16p)cm¤ 09③ 108 cm 1152 cm¤ 1238˘ 13420 cm¤
01
∠ABI=∠CBI=∠DIB이므로 △DBI는 DB”=D’I’인 이등변삼각형이다.또, ∠ACI=∠BCI=∠EIC이므로 △EIC는 E’I’=EC”인 이등변삼각형이다.
따라서 DE”=D’I’+IE”=DB”+EC”이므로
02
점 O는 △ABC의 외심이므로 AO”를 그으면∠AOC=2_54˘=108˘
AO”=CO”이므로
∠ACO=;2!;_(180˘-108˘)=36˘
또, △ABC는 AB”=BC”인 이등변삼각형이므로
∠A=;2!;_(180˘-54˘)=63˘
∴ ∠ADC=180˘-(63˘+36˘)=81˘
03
∠BAC=180˘-(35˘+65˘)=80˘점 I는 내심이므로
∠IAC=;2!;∠BAC=;2!;_80˘=40˘
OC”를 그으면 점 O는 외심이므로
∠AOC=2∠B=2_35˘=70˘
OA”=OC”이므로
∠OAC=∠OCA=;2!;_(180˘-70˘)=55˘
∴ ∠OAI=∠OAC-∠IAC
=55˘-40˘=15˘
04
점 I는 △ABC의 내심이므로 IDÚ=IEÚ=IFÚ즉, 점 I는 △DEF의 외접원의 중심이다.
따라서 점 I는 △DEF의 외심이다.
05
∠OCB=90˘-70˘=20˘점 I는 내심이므로
∠ICB=;2!;∠C=;2!;_20˘=10˘
점 O는 외심이므로 OB”=OC”
∴ ∠OBC=∠OCB=20˘
∴ ∠BPC=180˘-(20˘+10˘)=150˘
(△ADE의 둘레의 길이)=AD”+DE”+EA”
=AD”+DB”+EC”+EA”
=AB”+AC”
06
삼각형의 내심은 세 내각의 이등분선의 교점이므로∠I'BC=∠IBI'=14˘이고
∠ABI=∠IBC=2_∠I'BC
=2_14˘=28˘
∴ ∠ABC=2∠ABI=2_28˘=56˘
같은 방법으로
∠ACB=2∠ICA=2_32˘=64˘
∴ ∠A=180˘-(56˘+64˘)=60˘
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07
AB”=AC”이므로∠ABC=∠ACB=;2!;_(180˘-20˘)=80˘
점 I는 내심이므로
∠IBC=;2!;∠ABC=;2!;_80˘=40˘
점 O는 외심이므로
∠BOC=2∠A=2_20˘=40˘
OB”=OC”이므로
∠OBC=;2!;_(180˘-40˘)=70˘
∴ ∠OBI=∠OBC-∠IBC
∴ ∠OBI=70˘-40˘=30˘
08
원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면 2pr=8p ∴ r=4(cm)∴ (원 O의 넓이)=p¥4¤ =16p(cm¤ )
△ABC의 둘레의 길이가 38 cm이므로 AB”+BC”+CA”=38 cm
∴ (색칠한 부분의 넓이)
∴=(△ABC의 넓이)-(내접원 O의 넓이)
∴=;2!;r (AB”+BC”+CA”)-16p
∴=;2!;_4_38-16p
∴=76-16p(cm¤ )
09
내접원의 반지름의 길이를 r cm라 하면;2!;r(10+12+10)=48 16r=48 ∴ r=3(cm)
△ABC의 높이를 h cm라 하면
;2!;_12_h=48 ∴ h=8(cm)
∴ AI”=8-3=5(cm)
12
점 O는 △ABC의 외심이므로 OA”=OB”=OC”△OAC에서 ∠OCA=∠OAC=34˘
△OBC에서 ∠OBC=∠OCB=34˘+18˘=52˘
△OAB에서 ∠OBA=∠OAB=34˘+∠x
따라서 △ABC의 세 내각의 크기의 합은 180˘이므로
∠x+(34˘+∠x+52˘)+18˘=180˘
2∠x=76˘ ∴ ∠x=38˘
13
BI”, CI”를 긋고 점 I에서 BC”에 내린 수선의 발을 F 라 하면 점 I는 △ABC의 내심이므로DI”=DB”=13 cm, EI”=EC”=15 cm
∴ DBCE=;2!;_(DE”+BC”)_IF”
∴ DBCE=;2!;_{(13+15)+42}_12=420(cm¤ ) 12 cm
15 cm 13 cm
42 cm A
B C
F D E
I
10
△DBI, △ECI는 이등변삼각형이므로 DI”=DB”, EI”=EC”(△ADE의 둘레의 길이)
=AD”+DE”+EA”
=AD”+DI”+EI”+EA”
=AD”+DB”+EC”+EA”
=AB”+AC”=16(cm) (△ABC의 둘레의 길이)
=AB”+AC”+BC”
=16+BC”=24(cm)
∴ BC”=24-16=8(cm)
11
△ABC=;2!;_24_10=120(cm¤ ) 내접원의 반지름의 길이를 r cm라 하면△ABC=△ABI+△BCI+△CAI이므로 120=;2!;_26_r+;2!;_24_r+;2!;_10_r 120=;2!;r(26+24+10)
30r=120 ∴ r=4(cm)
∴ △IAB=;2!;_26_4=52(cm¤ )
Step
(심화문제) 본문 103쪽01100˘ 0220 cm¤ 03210˘ 04② 055 cm
01
∠BAI=∠CAI=35˘이므로∠DAE=∠CAI-∠CAE
=35˘-25˘
=10˘
∠BAC=2∠BAI=2_35˘
=70˘
I O A
B C
D E 20˘
35˘ 25˘
10˘
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본문 104~105쪽
115˘ 2(30-4p)cm¤
3⑴ 20˘ ⑵ 30˘ ⑶ 17 cm 424 cm¤
57˘ 6110˘
서술형 대비 문 문제 제
1 점 O는 △ABC의 외심이므로
∠BOC=2∠A=2_40˘=80˘
BO”=CO”이므로
∠OCB=;2!;_(180˘-80˘)=50˘
AB”=AC”이므로
∠ACB=;2!;_(180˘-40˘)=70˘
점 I는 △ABC의 내심이므로
∠ICB=;2!;_70˘=35˘
∴ ∠OCI=∠OCB-∠ICB
=50˘-35˘=15˘
1단계
2단계
3단계
2 △ABC=;2!;_5_12=30(cm¤ ) 내접원의 반지름의 길이를 r cm라 하면
;2!;r(5+12+13)=30 ∴ r=2(cm)
∴ (내접원의 넓이)=p_2¤ =4p(cm¤ ) 따라서 색칠한 부분의 넓이는
△ABC-(내접원의 넓이)=30-4p(cm¤ )
1단계
2단계
3단계 4단계
05
AE”=AG”=x cm라 하면CE”=CH”=(25-x)cm, BG”=BH”=(15-x)cm BH”+CH”=BC”이므로
(15-x)+(25-x)=20 40-2x=20 ∴ x=10(cm)
△ABC™△CDA이므로 AE”=CF”이다.
∴ AE”=CF”=10 cm
∴ EF”=AC”-(AE”+CF”)=AC”-2AE”
=25-2_10=5(cm)
II.삼각형의 성질
41 02
점 O는 △ABC의 외심이므로△OAF™△OCF, △OAD™△OBD,
△OBE™△OCE
∴ △ABC=2(△OBD+△OBE+△OAF)
∴ △ABC=2( ODBE+△OAF)
∴ ODBE=;2!;△ABC-△OAF
∴ ODBE=;2!;_60-;2!;_5_4
∴ ODBE=20(cm¤ )
03
점 I는 △ABC의 내심이므로∠BAD=∠CAD=∠x,
∠ABE=∠CBE=∠y라 하면
△ADC에서 외각의 성질에 의하여
∠ADB=∠x+80˘
△BCE에서 외각의 성질에 의하여
∠AEB=∠y+80˘
△ABC의 세 내각의 크기의 합은 180˘이므로 2∠x+2∠y+80˘=180˘
∴ ∠x+∠y=50˘
∴ ∠ADB+∠AEB=(∠x+80˘)+(∠y+80˘)
=(∠x+∠y)+160˘
=50˘+160˘=210˘
A
B D C
I E y 80˘
x x
y OB”, OC”를 그으면
∠BOC=2∠BAC=2_70˘=140˘
OB”=OC”이므로
∠OBC=;2!;_(180˘-140˘)=20˘
△OAB에서 ∠OAB=35˘+10˘=45˘이고
∠OBA=∠OAB=45˘이므로
∠ABD=∠OBA+∠OBD=45˘+20˘=65˘
따라서 △ABD에서 외각의 성질에 의하여
∠ADE=∠BAD+∠ABD=35˘+65˘=100˘
04
△ABC는 정삼각형이므로∠ABC=∠ACB=60˘
점 I는 △ABC의 내심이므로
∠ABI=∠CBI=30˘
∠ACI=∠BCI=30˘
AB”∥ID”이므로
∠ABI=∠BID=30˘(엇각) AC”∥IEÚ이므로
∠ACI=∠CIE=30˘(엇각)
∴ BD”=IDÚ, IEÚ=EC”
B D
30˘ 30˘
E C
I A
12 cm
또, △IDE에서 ∠IDE=∠IED=60˘이므로
△IDE는 정삼각형이다.
따라서 BD”=DE”=EC”이고 BC”=12 cm이므로 DE”=;3!; BC”=;3!;_12=4(cm)
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3 ⑴ 점 I가 △ABC의 내심이므로
∠IBC=∠DBI=20˘
DE”∥BC”이므로 ∠DIB=∠IBC=20˘(엇각)
⑵ 점 I가 △ABC의 내심이므로
∠ICB=∠ECI=30˘
DE”∥BC”이므로 ∠EIC=∠ICB=30˘`(엇각)
⑶ △DBI와 △EIC는 이등변삼각형이므로 (△ADE의 둘레의 길이)
=AD”+DE”+AE”
=AD”+(DI”+EI”)+AE”
=AD”+(DB”+EC”)+AE”
=AB”+AC”
=10+7=17(cm)
1단계
2단계
3단계
단계 채점요소 배점
∠DIB의 크기 구하기
∠EIC의 크기 구하기
△ADE의 둘레의 길이 구하기
2점 2점 3점 1
2 3
4 CE”=CF”=2 cm이고
AB”=2 OB”=2_5=10(cm)이므로 BC”=a cm, CA”=b cm라 하면 BD”=BE”=(a-2) cm AD”=AF”=(b-2) cm AB”=BD”+AD”이므로 10=(a-2)+(b-2)
∴ a+b=14
∴ △ABC=;2!;_2_(AB”+BC”+CA”)
∴ △ABC=10+a+b=10+14=24(cm¤ )
1단계
2단계
3단계
단계 채점요소 배점
∠OCA의 크기 구하기
∠ICA의 크기 구하기
∠OCI의 크기 구하기
3점 3점 1점 1
2 3
6 점 O가 △ABC의 외심이므로
∠AOC=2∠B=2_70˘=140˘
또, 점 O가 △ACD의 외심이므로 OA”=OD”=OC”
즉, △AOD, △COD는 이등변삼각형이므로
∠OAD=∠x, ∠OCD=∠y라 하면
∠ODA=∠OAD=∠x
∠ODC=∠OCD=∠y
AOCD에서 네 내각의 크기의 합은 360˘이므로
∠x+140˘+∠y+(∠x+∠y)=360˘
∴ ∠x+∠y=110˘ ∴ ∠D=110˘
1단계
2단계
3단계
단계 채점요소 배점
∠AOC의 크기 구하기
∠OAD=∠x, ∠OCD=∠y로 놓기
∠D의 크기 구하기
2점 3점 3점 1
2 3
본문 106쪽
생활 속의
수학
1
△OAO'은 이등변삼각형이므로∠OO'A=30˘
∴ ∠BOO'=30˘+30˘=60˘
한편, △OO'B는 이등변삼각형이므로
∠OBO'=60˘
따라서 △OO'B는 정삼각형이다. 풀이 참조
2
세 곳을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 외심을 찾으면 된다.풀이 참조
성산일출봉 함덕
서귀포 외심
단계 채점요소 배점
BC”=a cm, CA”=b cm로 놓기 a+b의 값 구하기
△ABC의 넓이 구하기
1점 3점 3점 1
2 3
5 점 O는 △ABC의 외심이므로
∠AOC=2∠B=2_48˘=96˘
∴ ∠OCA=∠OAC
∴ ∠OCA=;2!;_(180˘-96˘)=42˘
△ABC에서
∠ACB=180˘-(62˘+48˘)=70˘
이고 점 I는 △ABC의 내심이므로
∠ICA=∠ICB=;2!;∠ACB=;2!;_70˘=35˘
∴ ∠OCI=∠OCA-∠ICA
∴ ∠OCI=42˘-35˘=7˘
1단계
2단계
3단계
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III.사각형의 성질
43
Ⅲ 사각형의 성질
평행사변형의 성질
0 1
개념원리확인하기 01풀이 참조
02⑴ ① 6 cm ② 9 cm ⑵ ① 124˘ ② 56˘
03110, 180, 180, 110, 70 04⑴ 6 cm ⑵ 7 cm
본문 112쪽
1 평행사변형
1
⑴ AB”∥DC”이므로∠x=∠BAC=62˘(엇각) AD”∥BC”이므로
∠y=∠CBD=34˘(엇각)
⑵ AD”∥BC”이므로
∠y=∠ODA=28˘(엇각) 핵심문제익히기
1⑴ ∠x=62˘, ∠y=34˘ ⑵ ∠x=42˘, ∠y=28˘
2⑴ x=3, y=-2 ⑵ x=86, y=70 32 cm 4⑴ 120˘ ⑵ 90˘ ⑶ 56˘ 580˘ 615 cm
본문 113~115쪽 (확인문제)
2
⑴ AB”=DC”이므로 7=3x+y yy㉠ AD”=BC”이므로 9=x-3y yy㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=3, y=-2
⑵ 평행사변형의 두 쌍의 대각의 크기는 각각 같으므로
∠BAD=∠BCD=110˘
∴ ∠BAE=110˘-24˘=86˘
AB”∥DC”이므로 ∠AED=∠BAE=86˘(엇각)
∠B+∠C=180˘이므로 ∠B=180˘-110˘=70˘
∴ x=86, y=70
▶다른풀이
⑵ ∠C+∠D=180˘이므로
∠D=180˘-110˘=70˘
△AED에서
∠AED=180˘-(70˘+24˘)=86˘
4
⑴ ABCD는 평행사변형이므로 ∠A=∠C=∠x△ABD에서 ∠x+38˘+22˘=180˘
∴ ∠x=120˘
⑵ ABCD가 평행사변형이므로 ∠A+∠B=180˘
∠BAP=;2!;∠A, ∠ABP=;2!;∠B
∴ ∠BAP+∠ABP=;2!;(∠A+∠B)
∴ ∠BAP+∠ABP=;2!;_180˘=90˘
△ABP에서 ∠BAP+∠ABP+∠x=180˘
∴ ∠x=180˘-90˘=90˘
⑶ ∠ADB=∠DBC(엇각)이므로
∠ABD=∠ADB
따라서 △ABD는 이등변삼각형이다.
또한 OB”=OD”이므로
∠AOD=90˘
∠ABD=∠BDC(엇각)이므로
∠ADB=∠ABD=34˘
따라서 △AOD에서
∠x=180˘-(90˘+34˘)=56˘
3
∠ABE=∠CEB(엇각)이므로 ∠CEB=∠CBE 따라서 △BCE는 이등변삼각형이므로CE”=BC”=8 cm
∴ DE”=CE”-DC”=8-6=2(cm)
0 1
⑴ 평행사변형의 뜻：두 쌍의 대변이각각 평행한 사각형
⑵ 평행사변형의 성질
① 두 쌍의 대변의 길이는 각각 같다.
② 두 쌍의 대각의 크기는 각각 같다.
③ 두 대각선은 서로 다른 것을 이 등분한다.
0 4
평행사변형에서 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분하므 로 AC”는 BD”를 이등분하고, BD”는 AC”를 이등분한다.⑴ CO”=AO”=6 cm
⑵ BO”=DO”=;2!; BD”=;2!;_14=7(cm)
△OBC에서 외각의 성질에 의하여
∠x+∠y=70˘
∴ ∠x=70˘-28˘=42˘
← 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑 변을 수직이등분한다.
14(중)2-2_03해(43~61)_ok 2013.11.4 04:33 PM 페이지43 다민 2540DPI 175LPI
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5
∠A+∠B=180˘이고 ∠A：∠B=5：4이므로∠B=180˘_;9$;=80˘
∴ ∠D=∠B=80˘
6
(△OAB의 둘레의 길이)=OA”+AB”+BO”(△OAB의 둘레의 길이)=;2!; AC”+DC”+;2!; BD”
(△OAB의 둘레의 길이)=DC”+;2!;(AC”+BD”) (△OAB의 둘레의 길이)=6+;2!;_18=15(cm)
이런 문제가시험에 나온다 01①
02⑴ x=68 ⑵ x=120, y=35 ⑶ x=3 03⑴ x=6, y=5 ⑵ ∠a=80˘, ∠b=100˘
04140˘ 0514 cm 06⑴ 125˘ ⑵ 6 cm
본문 116쪽
0 1
① AO”=CO”, BO”=DO”⑤ △AOD와 △COB에서
평행사변형의 성질에 의하여 AD”=CB” yy㉠ AD”∥BC”이므로
∠OAD=∠OCB(엇각) yy㉡
∠ODA=∠OBC(엇각) yy㉢
㉠, ㉡, ㉢에서 △AOD™△COB`(ASA 합동)
0 2
⑴ ∠DAE=∠AEB=56˘(엇각)이므로⑴∠BAE=∠DAE=56˘
∠A+∠D=180˘이므로
⑴∠D=180˘-(56˘+56˘)=68˘
∴ x=68
⑵ △ABD에서
⑴∠ABD=180˘-(120˘+25˘)=35˘
⑴∠C=∠A=120˘
∴ x=120, y=35
⑶ ∠DAE=∠AEB`(엇각)이므로
∠BAE=∠AEB
따라서 △ABE는 이등변삼각형이므로 BE”=AB”=5 cm
∴ EC”=BC”-BE”=AD”-BE”
=8-5=3(cm)
∴ x=3
0 3
⑴ PF”=BC”-BH”=9-3=6(cm)∴ x=6
⑴PH”=DC”-DF”=7-2=5(cm)
∴ y=5
⑵ AEPG는 평행사변형이므로
⑴∠a=∠A=80˘
⑴EF”∥BC”이므로 ∠b=∠GPF(동위각)
⑴∴ ∠b=180˘-∠a
=180˘-80˘=100˘
0 4
∠B+∠C=180˘이고 ∠B：∠C=2：7이므로∠C=180˘_;9&;=140˘
∴ ∠A=∠C=140˘
0 5
△ABE와 △FCE에서BE”=CE”, ∠AEB=∠FEC(맞꼭지각),
∠ABE=∠FCE(엇각)`(∵ AB”∥DF”)
∴ △ABE≡△FCE(ASA 합동)
∴ AB”=FC”=7(cm)
또 ABCD가 평행사변형이므로 DC”=AB”=7 cm
∴ DF”=DC”+CF”
=7+7=14 (cm)
0 6
⑴ 평행사변형 ABCD에서 ∠A+∠B=180˘이므로∠A=180˘-70˘=110˘
∴ ∠DAF=∠BAF
∴ ∠BAF=;2!;∠A=;2!;_110˘=55˘
AD”∥BC”이므로
∠AFB=∠DAF=55˘(엇각)
∴ ∠AFC=180˘-55˘=125˘
⑵ AD”∥BC”이므로 ∠DAF=∠AFB(엇각) 즉 ∠BAF=∠AFB이므로 △ABF는 이등변삼각 형이다.
∴ BF”=AB”=9(cm)
∴ FC”=BC”-BF”
=12-9=3(cm)
또 AD”∥BC”이므로 ∠ADE=∠DEC(엇각) 즉 ∠CDE=∠DEC이므로 △ECD는 이등변삼각 형이다.
∴ EC”=DC”=9(cm)
∴ EF”=EC”-FC”
=9-3=6(cm) 14(중)2-2_03해(43~61)_ok 2013.11.4 04:33 PM 페이지44 다민 2540DPI 175LPI
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III.사각형의 성질
45
개념원리확인하기
01⑴ DC”, BC” ⑵ DC”, BC” ⑶ ∠C, ∠D
⑷ OC”, OD” ⑸ DC”, DC”
02⑴ Y ⑵ Z, 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분한다.
⑶ Y ⑷ Z, 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.
⑸ Z, 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다. ⑹ Y 03㉠ 4 ㉡ 6 ㉢ 6 ㉣ 9
⑴ 25 cm¤ ⑵ 25 cm¤ ⑶ 50 cm¤
본문 120쪽
평행사변형이 되는 조건
0 2
0 2
⑴ (반례) 오른쪽 그림과 같이 ABCD에서 ∠C=60˘,∠D=120˘이면 평행사변형이 아니다.
⑵ OA”=OC”, OB”=OD”이므로 ABCD에서 두 대 각선은 서로 다른 것을 이등분한다.
따라서 ABCD는 평행사변형이다.
⑶ 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같아야 평행사변 형이므로 ABCD는 평행사변형이 아니다.
⑷ AB”=DC”, AD”=BC”이므로 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다. 따라서 ABCD는 평행사변형이다.
⑸ ∠D=360˘-(65˘+115˘+65˘)=115˘
즉 ∠A=∠C, ∠B=∠D이므로 두 쌍의 대각의 크기 가 각각 같다.
따라서 ABCD는 평행사변형이다.
⑹ 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같아야 평행사변형이므 로 ABCD는 평행사변형이 아니다.
60˘
120˘ 120˘
60˘
A
B
D
C