사각형이 어떤 조건을 만족시키면 평행사변형이 되나요?
생각 열기에서 만든 fABCD는 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같은 사각형이다. 이때 CDAC=CBCA이므로 ADZ|BCZ이고, CBAC=CDCA이므로 ABZ|CDZ이다.
따라서 fABCD는 평행사변형임을 알 수 있다. 이와 같은 성질이 항상 성립하는지 알아보자.
오른쪽 그림과 같이 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같은 A
B C
D
fABCD에서 대각선 AC를 그으면 sABC와 sCDA 에서
ABZ=CDZ yy`① BCZ=DAZ yy`② ACZ는 공통인 변 yy`③
1
➊ 색종이 두 장을 포개어 놓고, 삼각형을 자른다.
➌ 두 삼각형의 길이가 같은 변끼리 맞대어 fABCD 를 만든다.
➋ 두 삼각형에서 크기가 같은 두 각을 찾아 표시한다.
A D
B C
6.6 평행사변형이 되는 조건 187
이다. ①, ②, ③에 의해 세 대응변의 길이가 각각 같으므로 sABC+sCDA이다.
따라서 CBAC=CDCA, CBCA=CDAC이다.
즉, 엇각의 크기가 각각 같으므로 ABZ|DCZ, AXDZ|BCZ 이다.
그러므로 fABCD는 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 평행사변형이다.
서로 다른 두 직선이 한 직선과 만날 때 엇각의 크기가 서로 같으면 두 직선은 서로 평행하다.
배웠어요!
중1
서로 다른 두 직선이 한 직선과 만날 때 동위각의 크기가 서로 같으면 두 직선은 서로 평행하다.
배웠어요!
중1
오른쪽 그림과 같이 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같은 fABCD는 평행사변형임을 설명하시오.
풀이│ 오른쪽 그림의 fABCD에서 A
B C
D
E
CA+CB+CC+CD=360!이고 두 쌍의 대각 의 크기가 각각 같으므로
CA+CB=180! yy`① 이때 ABZ의 연장선 위에 점 E를 잡으면 CABC+CCBE=180! yy`②
①, ②에 의해 CA=CCBE
즉, 동위각의 크기가 같으므로 AXDZ|BCZ이고 같은 방법으로 ABZ|DCZ이다.
따라서 fABCD는 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 평행사변형이다.
풀이 참조
예제1 A
B C
D
오른쪽 그림에서 두 대각선 AC, BD의 교점을 O라고 할 때, OAZ=OCZ, OBZ=ODZ이면 fABCD는 평행사변형임을 설 명하시오.
1
문제 A
B C
D
O
앞의 내용을 정리하면 다음과 같다.
사각형이 다음의 어느 한 조건을 만족시키면 그 사각형은 평행사변형이다.
1. 두 쌍의 대변이 각각 평행하다.
2. 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.
3. 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.
4. 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분한다.
5. 한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길이가 같다.
평행사변형이 되는 조건
오른쪽 그림과 같이 한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길이가 같 은 fABCD는 평행사변형임을 설명하시오.
2
문제 A
B C
D
다음 사각형이 평행사변형인 이유를 각각 설명하시오.
⑴
75!
75!
105! ⑵
3`cm 5`cm 3`cm
5`cm
⑶ 65!
65!
5`cm
5`cm
3
문제
다음 fABCD에서 평행사변형인 것을 모두 찾으시오.
(단, 점 O는 두 대각선 AC와 BD의 교점이다.)
⑴ ABZ|DCZ, ABZ=DCZ=4 cm
⑵ OXAZ=OBZ=OCZ=ODZ=3 cm
⑶ CA=CC=110!, CD=70!
⑷ ABZ=BCZ=5 cm, CDZ=DAZ=7 cm
4
문제
6.6 평행사변형이 되는 조건 189
한 쌍의 대변이 평행한 사각형이 평행사변형이 되려면 어떤 조건이 더 있어야 할지 친구 와 이야기해 보자.
의사소통 생각을 나누는
ADZ|BCZ인 fABCD가 평행사변형이
되려면 ….
A
B C
D
? 동료 평가
•친구가 제시한 평행사 변형이 되는 조건은 적절 한가?
•친구는 나의 의견을 잘 경청하였는가?
오른쪽 그림과 같은 평행사변형 ABCD에서 두 변 AB, CD의 중점을 각각 M, N이라고 할 때, fAMCN은 평행 사변형임을 설명하시오.
5
문제
M N
B C
A D
이 시간에 배운 내용 fABCD에서 Cx, Cy 의 크기를 각각 구하시오.
⑴ ABZ=DCZ=8`cm, AXDZ=BCZ=6`cm
⑵ OXAZ=4`cm, OBZ=6`cm, OCZ=4`cm, ODZ=6`cm
⑶ CA=135!, CB=55!, CC=135!
⑷ ADZ|BCZ, ABZ=DCZ=7`cm
3
6.6 평행사변형이 되는 조건 191
확인
위의 두 방법 이외에 평행사변형을 만들 수 있는 방법을 생각해 보자.