다음은 눈금 하나의 크기가 1인 모눈종이에 세 종류의 직각삼각형 ABC에 대하여 세 변을 각각 한 변으로 하는 정사각형 ㉮, ㉯, ㉰를 그린 것입니다. 세 그림에서 정사각형 ㉮, ㉯, ㉰의 넓이 사 이의 관계를 생각해 봅시다.
A
B C
㉮
㉯
㉰
A
B
B C
C
㉮
㉯
㉰
A
㉮
㉯
㉰
<그림 1> ` <그림 2> <그림 3>
직각삼각형의 세 변의 길이 사이에는 어떤 관계가 있나요?
생각 열기에서 직각삼각형 ABC의 직각을 낀 두 변을 각각 한 변으로 하는 정사각 형 ㉮, ㉯의 넓이의 합은 빗변을 한 변으로 하는 정사각형 ㉰의 넓이와 같음을 알 수 있다. 즉,
(㉮의 넓이)+(㉯의 넓이)=(㉰의 넓이) 이다.
1
•피타고라스 정리 학│습│요│소
6.8 피타고라스 정리 201
그런데 정사각형 ㉮와 ㉯의 넓이는 각각 BCZ @과 ACZ @이고, 정사각형 ㉰의 넓이는
그러므로 직각삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이의 제곱의 합은 빗변의 길이의 제 곱과 같음을 알 수 있다.
이와 같은 성질을 피타고라스 정리라고 한다.
위의 내용을 정리하면 다음과 같다.
직각삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이를 각각 a, b라 하고,
a c b 빗변의 길이를 c라고 하면
a@+b@=c@
이다.
피타고라스 정리
다음 그림에서 자연수 x의 값을 구하시오.
⑴ 15`cm
x`cm
8`cm ⑵
24`cm 25`cm x`cm
1
문제
다음 그림에서 자연수 x의 값을 구하시오.
⑴
4`cm
x`cm 3`cm
⑵ 5`cm x`cm
13`cm
풀이│ ⑴ 피타고라스 정리에 의해
x@=3@+4@=9+16=25=5@
그러므로 x=5
⑵ 피타고라스 정리에 의해
5@+x@=13@, x@=13@-5@=169-25=144=12@
그러므로 x=12
⑴ 5 ⑵ 12 예제1
6.8 피타고라스 정리 203
삼각형의 세 변의 길이 사이에 어떤 관계가 성립해야 직각삼각형이 되나요?
다음은 컴퓨터 프로그램을 이용하여 sABC에서 BCZ와 ACZ의 길이는 각각 4와 3 으로 고정한 후 ABZ의 길이만 4, 5, 6으로 변화시키면서 그린 것이다.
㈏
㈎ ㈐
위의 세 삼각형 ㈎, ㈏, ㈐에서 BCZ @, ACZ @, ABZ @을 각각 구하면 다음 표와 같다.
삼각형 BCZ @ ACZ @ ABZ @
㈎ 16 9 16
㈏ 16 9 25
㈐ 16 9 36
이때 삼각형 ㈏와 같이 BCZ @+ACZ @=ABZ @이 성립하는 경우 CC의 크기는 90!임을 알 수 있다. 즉, BCZ=4, ACZ=3, ABZ=5일 때, 삼각형 ABC는 직각삼각형이 된다.
일반적으로 오른쪽 그림과 같이 세 변의 길이가 각각 a, A
B a C
b
b, c인 sABC에서 c
a@+b@=c@
이면 이 삼각형은 빗변의 길이가 c인 직각삼각형임이 알려 져 있다.
이와 같은 성질을 이용하면 세 변의 길이가 주어진 어떤 삼각형이 직각삼각형인지 아닌지를 판단할 수 있다.
예 ⑴ 세 변의 길이가 6 cm, 8 cm, 10 cm인 삼각형은 6@+8@=10@이므로 이 삼각형은 빗변 의 길이가 10 cm인 직각삼각형이다.
⑵ 세 변의 길이가 2 cm, 3 cm, 4 cm인 삼각형은 2@+3@=4@이므로 이 삼각형은 직각삼 각형이 아니다.
2
삼각형에서 가장 긴 변의 길 이의 제곱이 나머지 두 변의 길이의 제곱의 합과 같으면 이 삼각형은 직각삼각형이다.
오른쪽 그림과 같은 fABCD에서 CA=CB=90!일 때, 자연수 x의 값을 구하시오.
2
문제
4`cm
6`cm 3`cm
x`cm A
B C
D
세 변의 길이가 각각 다음과 같은 삼각형 중에서 직각삼각형인 것을 모두 찾으시오.
⑴ 7 cm, 8 cm, 10 cm ⑵ 9 cm, 40 cm, 41 cm
⑶ 10 cm, 13 cm, 17 cm ⑷ 20 cm, 21 cm, 29 cm
3
문제
다음 그림은 합동인 직각이등변삼각형 9개를 이용하여 만든 것이다. 이 그림을 이용하여 피타고라스 정리를 설명해 보자.
의사소통 생각을 나누는
6.8 피타고라스 정리 205
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