오른쪽 그림은 일정한 간격으로 점이 찍힌 격자판 위에 여러 가지 사각형을 그린 것입니다. 격자판 위에 그려진 사각형을 보고 발견할 수 있는 여러 가지 사각형의 성질을 생각해 봅시다.
㉮ ㉯
㉰ ㉱
여러 가지 사각형의 대각선은 각각 어떤 성질을 갖고 있나요?
생각 열기의 직사각형 ㉮는 네 각의 크기가 같은 사각형이 다. 즉, 직사각형은 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같으므로 평 행사변형의 성질을 만족시킨다. 또, 직사각형 ㉮는 두 대각
선의 길이가 같음을 알 수 있다. 이와 같은 성질이 항상 성립하는지 알아보자.
오른쪽 그림과 같은 직사각형 ABCD에서 두 대각선 A
B C
D
AC, BD를 그으면 sABC와 sDCB에서
ABZ=DCZ yy`①
CABC=CDCB=90! yy`② BCZ는 공통인 변 yy`③
이다. ①, ②, ③에 의해 두 대응변의 길이가 각각 같고 그 끼인각의 크기가 같으므로 sABC+sDCB이다. 따라서 ACZ=DBZ이므로 직사각형의 두 대각선은 길이가 같다.
또, 직사각형은 평행사변형이므로 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다.
1
여러 가지 사각형의 성질
67
• 여러 가지 사각형의 성질을 이해한다.학│습│목│표
6.7 여러 가지 사각형의 성질 193
앞의 내용을 정리하면 다음과 같다.
직사각형의 두 대각선은 길이가 같고, 서로 다른 것을 이등분한다.
직사각형의 성질
오른쪽 격자판 위에 두 대각선의 길이가 같고, 서로 다른 것을 이등분하는 사각형을 그려 보고, 이러한 사각형은 직사각형임 을 설명하시오.
2
문제
오른쪽 그림과 같은 직사각형 ABCD에서 두 대각선 AC와 BD의 교점을 O라고 하자. AOZ=4 cm일 때, 다음을 구하 시오.
⑴ COZ의 길이
⑵ BDZ의 길이
1
문제 A
B
D
C O
4`cm
생각 열기의 마름모 ㉯는 네 변의 길이가 같은 사각형이 다. 즉, 마름모는 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므로 평행 사변형의 성질을 만족시킨다. 또, 마름모 ㉯는 두 대각선이
서로 수직임을 알 수 있다. 이와 같은 성질이 항상 성립하는지 알아보자.
오른쪽 그림과 같은 마름모 ABCD에서 두 대각선 A
B
C
O D
AC와 BD의 교점을 O라고 하면 sOAB와 sOAD에서 OBZ=ODZ yy`①
ABZ=AXDZ yy`② OXAZ는 공통인 변 yy`③
이다. ①, ②, ③에 의해 세 대응변의 길이가 각각 같으므로 sOAB+sOAD이다.
이때 CAOB=CAOD=90!이므로 ACZ\BDZ이다. 따라서 마름모의 두 대각선은 서로 수직이다.
또, 마름모는 평행사변형이므로 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다.
오른쪽 격자판 위에 두 대각선이 서로 다른 것을 수직이등분 하는 사각형을 그려 보고, 이러한 사각형은 마름모임을 설명하 시오.
4
문제
오른쪽 그림과 같은 마름모 ABCD에서 두 대각선 AC와 BD의 교점을 O라고 하자. AXOZ=3 cm, CABD=50!일 때, 다음을 구 하시오.
⑴ COZ의 길이
⑵ COCD의 크기
3
문제 A
B D
C 50!
O 3`cm
생각 열기의 정사각형 ㉰는 네 변의 길이가 같고 네 내각의 크기가 같은 사각형이다.
따라서 정사각형은 네 변의 길이가 같으므로 마름모이고 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분한다.
또, 정사각형은 네 내각의 크기가 같으므로 직사각형이다. 따라서 두 대각선은 길 이가 같고, 서로 다른 것을 이등분한다.
위의 내용을 정리하면 다음과 같다.
정사각형의 두 대각선은 길이가 같고, 서로 다른 것을 수직이등분한다.
정사각형의 성질
앞의 내용을 정리하면 다음과 같다.
마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분한다.
마름모의 성질
6.7 여러 가지 사각형의 성질 195
오른쪽 그림과 같은 정사각형 ABCD에서 두 대각선 AC와 BD 의 교점을 O라고 하자. AXOZ=5 cm일 때, x, y의 값을 각각 구하 시오.
5
문제 A
B O
C D
y`cm x!
5`cm
두 대각선의 길이가 같고, 서로 다른 것을 수직이등분하는 사각형은 정사각형임을 설명 하시오.
6
문제
사다리꼴은 한 쌍의 대변이 평행한 사각형이다. 특히, 생각 열기의 사각형 ㉱와 같 이 밑변의 양 끝 각의 크기가 같은 사다리꼴을 등변사다리꼴이라고 한다.
오른쪽 그림과 같은 등변사다리꼴 ABCD에서 점 D를 지 A
B E C
D
나고, ABZ에 평행한 직선을 그어 BCZ와 만나는 점을 E라고 하면 평행선과 동위각의 성질에 의하여
CB=CDEC yy`① 이다. 한편, CB=CC이므로
CDEC=CC yy`②
이다. ②에 의해 sDEC는 이등변삼각형이므로 DEZ=DCZ이고, fABED는 평행사 변형이므로 ABZ=DEZ이다.
따라서 ABZ=DCZ이므로 등변사다리꼴의 평행하지 않은 한 쌍의 대변의 길이는 같다.
오른쪽 그림과 같이 AXDZ|BCZ인 등변사다리꼴 ABCD에서 두 대각선의 길이는 서로 같음을 설명하시오.
7
문제 A
B C
D
여러 가지 사각형 사이에는 어떤 관계가 있나요?
한 쌍의 대변이 평행한 사각형은 사다리꼴이고, 사다리꼴 중에서 또 다른 한 쌍의 대변이 평행한 것이 평행사변형이다. 또, 평행사변형 중에서 한 내각이 직각인 것이 직사각형이고, 이웃하는 두 변의 길이가 같은 것이 마름모이다. 그리고 직사각형 중 에서 이웃하는 두 변의 길이가 같은 것이 정사각형이고, 마름모 중에서 한 내각이 직 각인 것이 정사각형이다.
2
다음 조건을 만족시키는 평행사변형 ABCD는 어떤 사각형인
⑸ ACZ=BDZ, ACZ\BDZ
8 fAPQD는 직사각형이므로 APZ=DQZ이다.
따라서 sABC와 sDBC는 밑변이 공통이고, 높이가 같으므로 그 넓이가 서로 같다.
오른쪽 그림과 같이 ADZ|BCZ인 사다리꼴 ABCD에서 두 대각선 AC와 BD의 교점을 O라고 할 때, sAOB=sDOC 임을 설명하시오.
10
문제
B
A D
C O
다음은 어떤 기준으로 사각형을 분류한 것인지 모둠별로 발표해 보자.
의사소통 생각을 나누는
사다리꼴 등변
사다리꼴 평행
사변형 직사각형
마름모 정사각형
분류 기준:
사다리꼴 평행
사변형 마름모
사다리꼴등변 직사각형 정사각형
분류 기준:
동료 평가
•다른 모둠이 제시한 분 류 기준은 적절한가?
•친구들은 우리 모둠의 발표 내용을 잘 경청하였 는가?
이 시간에 배운 내용
● 다음에서 x의 값을 구하고 아래에 주어진 문제 번호와 그에 해당하는 답을 연결하여