연습 문 제・ 심 화 문 제
69
= = =y=cos 30˘= 이므로 O’A¡”=O’A”¥ = (∵ O’A”=1)
O’A™”=O’A¡”¥ ={ }¤ O’A£”=O’A™”¥ ={ }‹
⋮
= = =y=sin 30˘=;2!;이므로 A’A¡”=OA”¥;2!;=;2!; (∵ O’A”=1)
A’¡A™”=O’A¡”¥;2!;= ¥;2!;
A’™A£”=O’A™”¥;2!;={ }¤ ¥;2!;
⋮
따라서 구하는 길이의 합 S는
S=A’A¡”+A’¡A™”+A’™A£”+A’£A¢”+y S=;2!;+;2!;¥ +;2!;¥{ }¤ +;2!;¥{ }‹ +y
S= =2+'3 답 2+'3
13114;2!;
1-12'32
12'32 12'32
12'32 12'32 12'32 A’™A£”
1134O’A™”
A’¡A™””
1134O’A¡”
A’A¡”
115OA”
12'32 12'32
12'32 12'32
12'32 12'32
12'32 115OA£”
OA™”
115OA™”
OA¡”
115OA¡”
OA”
70
xfi -4x-24를 인수정리에 의한 조립제법으로 인수 분해하면
xfi -4x-24=(x-2)(x› +2x‹ +4x¤ +8x+12)
∴ lim
x⁄2
(x-2)(x› +2x‹ +4x¤ +8x+12)
∴=lim
x⁄211111111111111x-2
∴=lim
x⁄2(x› +2x‹ +4x¤ +8x+12)
∴=16+16+16+16+12
∴=76 답 ③
71
x⁄ 2+일 때, x>2이므로
|x-2|=x-2
∴ =
= (x-3)=-1
x⁄ 2-일 때, x<2이므로
|x-2|=-(x-2)
∴ =
= (-x+3)=1
따라서 +
이므로 극한 은 존재하지 않는다.
답 존재하지 않는다.
72
⑴ lim
xڦ{log (x+1)-log x}
=limxڦ{log ::[::
x+1 }
=log [ lim
xڦ{1+;[!;}]
=log 1=0
x¤ -5x+6 112112|x-2|
limx⁄2
x¤ -5x+6 112112|x-2|
xlim
⁄2-x¤ -5x+6 112112|x-2|
xlim⁄2+
xlim
⁄2-(x-2)(x-3) 1121111-(x-2)
xlim
⁄2-x¤ -5x+6 112112|x-2|
xlim
⁄2-xlim⁄2+
(x-2)(x-3) 1121111x-2
xlim⁄2+
x¤ -5x+6 112112|x-2|
xlim⁄2+
xfi -4x-24 112111x-2
⑵ lim
x⁄3{log™ |x-3|-log™ |'ƒx+1-2|}
=lim x-3
x⁄3log™F111125F '∂x+1 -2
(x-3)('∂x+1 +2)
=log™Flimx⁄311112522222223Fx-3
=log™Ïlimx⁄3('∂x+1+2)Ï
=log™ 4=2
답 ⑴ 0 ⑵ 2
73
x=-t로 놓으면 x ⁄ -¶일 때, t ⁄ ¶이므로
x {3- }
=- t {3- }
=-=-¶ 답 -¶
74
② x=-t로 놓으면 x ⁄ -¶일 때, t ⁄ ¶이므로
=
= =-;2!;
③
=
= x-2
1121111115 (x-2)('ƒx+2+2) limx⁄2
('ƒx+2-2)('ƒx+2+2) 11211111111
(x-2)('ƒx+2+2) limx⁄2
'ƒx+2-2 11211x-2 limx⁄2
-1+;t!;
11111 Æ…1-;t!;+1
tlimڦ
112112-t+1
"√t¤ -t+t
tlimڦ
112112x+1
"√x¤ +x-x
xlim⁄-¶
11111111111155t+7 Æ…;t!;+1 {3Æ…;t!;+1+Æ…;t@;+4 }
tlimڦ
5t¤ +7t
11111111112 'ƒ1+t(3'ƒ1+t+'ƒ2+4t)
tlimڦ
t(3'ƒ1+t-'ƒ2+4t)(3'ƒ1+t+'ƒ2+4t) 11111111111111112
'ƒ1+t(3'ƒ1+t+'ƒ2+4t )
tlimڦ
t(3'ƒ1+t-'ƒ2+4t) 111111111
'ƒ1+t
tlimڦ
'ƒ2+4t 11215
'ƒ1+t
tlimڦ
'ƒ2-4x 11215
'ƒ1-x
xlim⁄-¶
=
=;4!;
④ ('x-'ƒx-1)
=
= =0
⑤ x ⁄ -¶에서 x<0이므로 |x|=-x
=
=
이때 x=-t로 놓으면 x ⁄ -¶일 때, t ⁄ ¶ 이므로
= =-;3!;
답 ⑤
75
=k(k+3)로 놓으면
=
= =
=-3 답 ①
76
(x+1)=2, x¤ =1
따라서 f(x)+ f(x)이므로
x⁄1일 때, f(x)의 극한은 존재하지 않는다.
답 존재하지 않는다.
xlim ⁄1-xlim⁄1+
xlim ⁄1-xlim⁄1+
-3(3-k) 111113-k -9+3k
11113-k
3f(x) 10x-9+111x 11111112f(x)
2x+3-112x limx⁄0
10x¤ -9x+3f(x) 1111111252x¤ +3x-f(x) limx⁄0
112f(x)x limx⁄0
11125-6t+12t+1
tlimڦ
-2x+1 11116x+1
xlim⁄-¶
-2x+1 11116x+1
xlim⁄-¶
x-3x+1 11211252x+4x+1
xlim⁄-¶
x+3|x|+1 11211122x-4|x|+1
xlim⁄-¶
11211251 'x+'ƒx-1
xlimڦ
('x-'ƒx-1)('x+'ƒx-1) 1121111111112
'x+'ƒx-1
xlimڦ
xlimڦ
111121 'ƒx+2+2 limx⁄2
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연습 문 제・ 심 화 문 제
77
a= f(x)=3
b= f(x)=1 c= f(x)=-5
∴ a+b+c=3+1-5=-1 답 -1
78
f(x)= {-(x-2)¤ +k}=-1+k f(x)= (3x+5)=8
에서 f(x)의 값이 존재하므로 f(x)= f(x)
-1+k=8 ∴ k=9
∴ f(x)=[
∴ f(4)=-(4-2)¤ +9=5 답 ⑤
79
ㄱ. x=1에서의 좌극한을 구 하면
=-¶
ㄴ. x⁄ 2-일 때, x<2이 므로
|x-2|=-(x-2)
∴ = =-1
ㄷ. 0<x<1일 때, [x]=0
∴ [x]=0 1<x<2일 때, [x]=1
∴ [x]=1
따라서 [x]+ [x]이므로 극한값 [x]는 존재하지 않는다.
limx⁄1
xlim ⁄1-xlim⁄1+
xlim⁄1+
xlim
⁄1-11112-(x-2)x-2
xlim
⁄2-1115|x-2|x-2
xlim
⁄2-112x-1x
xlim⁄1- O
1 1
x y y= x
x-1
-(x-2)¤ +9 (x>1) 3x+5 (x…1)
xlim ⁄1-xlim⁄1+
limx⁄1
xlim ⁄1-xlim
⁄1-xlim⁄1+
xlim⁄1+
xlim ⁄2-xlim⁄2+
xlim
⁄-1-ㄹ.
=[
∴ =-1
ㅁ. =0
ㅂ.
=
= (x-1)=-1
따라서 극한값이 존재하는 것은 ㄴ, ㄹ, ㅁ, ㅂ의 4
개이다. 답 ③
80
f(x)=3, g(x)=-3이므로 f(x)g(x)= f(x)¥ g(x)
=3¥(-3)=-9 f(x)=-3, g(x)=3이므로 f(x)g(x)= f(x)¥ g(x)
=(-3)¥3=-9
따라서 f(x)g(x)= f(x)g(x)=-9 이므로
f(x)g(x)=-9 답 -9
81
x‹ -a‹ (x-a)(x¤ +ax+a¤ )
⑴ lim
x⁄a1115=lim
x⁄a1111111113 x¤ -a¤ (x-a)(x+a) limx⁄a1115=lim
x⁄a
limx⁄a1115=3a¤
2a
x¤ +ax+a¤
x+a limx⁄2
xlim ⁄2-xlim⁄2+
xlim ⁄2-xlim
⁄2-xlim
⁄2-xlim ⁄2-xlim
⁄2-xlim⁄2+
xlim⁄2+
xlim⁄2+
xlim⁄2+
xlim⁄2+
limx⁄0
x(x-1) 112125x limx⁄0
x¤ -x 1123x limx⁄0
O x
y
y=|x| 7 1257
lim|x|
xڦ
|x+2|
1115x+2
xlim⁄-¶
1 (x>-2)
-1 (x<-2) O x
y 1
-1 -2
y= x+2
|x+2|
|x+2|
1115x+2
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=6에서 a=4 limx⁄¶("√x¤ +ax-"√x¤ +bx)
(a-b)x
=limxڦ111111112
"√x¤ +ax+"√x¤ +bx
=lim a-b
x⁄¶111111112 Æ…1+;[A; +Æ…1+;[B;
=112a-b2
=3에서 =3
∴ b=-2
∴ a+b=4+(-2)=2
⑵ x-1=t로 놓으면 x-2=t-1이고 x⁄ 2일 때, t⁄ 1이므로
f(x-2) limx⁄2 1111x¤ -4
f(x-2)
=limx⁄2 1111112(x-2)(x+2)
1 f(x-2)
=limx⁄2 112¥limx+2 x⁄2 1111x-2 f(t-1)
=;4!;¥lim
t⁄1 1111t-1
=;4!;¥1=;4!;
답 ⑴ 2 ⑵ ;4!;
82
-1<x<0일 때, [x]=-1 0<x<1일 때, [x]=0
∴ lim
x⁄0+[x]=0, lim
x⁄0-[x]=-1,
∴lim
x⁄0+[x+1]=1, lim
x⁄0-[x-1]=-2,
∴lim
x⁄3+[x-3]=0
① lim x
x⁄0-124=0[x]
② lim [x]
x⁄0+124=0x
[x-1] -2
③ lim
x⁄0-124125=limx-1 x⁄0-112=2x-1 1124-b2 112a-b2
3a¤
2a
④ lim x+1
x⁄0+124125=1[x+1]
[x-3]
⑤ lim
x⁄3+124125=0 답③
x-3
83
⑴ [x]=x-h(0…h<1)로 놓으면
=
=
=
=-;5!;
⑵ [x]=x-h(0…h<1)로 놓으면 ("√x¤ +[x]-x)
= ("√x¤ +x-h-x)
=
=
=
=;2!;
⑶[;4{;]=;4{;-h (0…h<1)로 놓으면 limx⁄¶;[*; [;4{;]=limx⁄¶;[*; {;4{;-h}
limxڦ;x*; [;4X;]=lim
x⁄¶{2-;[*; ¥h}=2
답 ⑴ -;5!; ⑵;2!; ⑶ 2 1-;[H;
11111111h æ≠1+;[!;-13+1x¤
xlimڦ
1111112x-h
"√x¤ +x-h+x
xlimڦ
("√x¤ +x-h-x)("√x¤ +x-h+x) 1121111111111115
"√x¤ +x-h+x
xlimڦ
xlimڦ
xlimڦ
-1+:£[Ó:
11113 5-:™[Ó:
xlimڦ
-x+3h 11115x-2h
xlimڦ
2x-3(x-h) 11211113x+2(x-h)
xlimڦ
2x-3 [x]
111153x+2 [x]
xlimڦ
[1.2]=1=1.2-0.2 [-3.4]=-4=-3.4-0.6 따라서 일반적으로 x가 실수일 때 [x]=x-h (단, 0…h<1) KEY Point
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연습 문 제・ 심 화 문 제
84
ㄱ. 0<x<1일 때, 1<x+1<2이므로 [x+1]=1
∴ = =1
x¤ -3x x(x-3) ㄴ. lim
x⁄ 3+1112= lim|x-3| x⁄ 3+1111=3x-3 x¤ -3x x(x-3) ㄴ. lim
x⁄ 3-1112= lim|x-3| x⁄ 3-11112=-3-(x-3)
따라서 + 이므로
극한 는 존재하지 않는다.
ㄷ. -1<x<0일 때, [x]=-1이므로
= =-;2!;
-2<x<-1일 때, [x]=-2이므로
= =-;5@;
따라서 + 이므
로 극한 는 존재하지 않는다.
이상에서 극한값이 존재하는 것은 ㄱ이다.
답 ㄱ
85
⑴ [x]=2이므로
([x] ¤ +a[x])=4+2a …… ㉠ [x]=1이므로
([x] ¤ +a [x])=1+a …… ㉡
㉠, ㉡에서 4+2a=1+a이므로 a=-3
⑵ [x]=n, [x]=n-1이므로
= =n+2 …… ㉠
=
=n¤ +1 …… ㉡
1123n-1 (n-1)¤ +2n 111111n-1 [x] ¤ +2x
112135[x]
xlim
⁄n-n¤ +2n 1112n [x] ¤ +2x
112125[x]
xlim⁄n+
xlim ⁄n-xlim⁄n+
xlim ⁄2-xlim ⁄2-xlim⁄2+
xlim⁄2+
1121[x] ¤ -x[x]
xlim⁄-1
1121[x] ¤ -x[x]
xlim
⁄-1-1121[x] ¤ -x[x]
xlim⁄-1+
1124-x-2
xlim
⁄-1-1121[x] ¤ -x[x]
xlim
⁄-1-1121-x-1
xlim⁄-1+
1121[x] ¤ -x[x]
xlim⁄-1+
x¤ -3x 1121|x-3|
limx⁄3
x¤ -3x 1121|x-3|
xlim
⁄3-x¤ -3x 1121|x-3|
xlim⁄3+
112x+11
xlim⁄0+
1115[x+1]x+1
xlim⁄0+
의 값이 존재하므로 ㉠, ㉡에서 n+2= , n¤ +1=n¤ +n-2 ∴ n=3
∴ =5
답 ⑴ -3 ⑵ n=3, 극한값：5
86
( f Á g)(x)=f( g(x))=(2x-1)¤
(g Á f )(x)=g( f(x))=2x¤ -1
∴ (주어진 식)
(2x-1)¤ -(2x¤ -1)
∴=lim
x⁄1111111111(x¤ -1)(x‹ -1) 2(x-1)¤
∴=lim
x⁄1111111111111112(x+1)(x-1)(x-1)(x¤ +x+1)
∴=lim 2
x⁄1111111115(x+1)(x¤ +x+1)
∴=;3!; 답 ;3!;
87
3f(x)-2g(x)=h(x)로 놓으면 2g(x)=3f(x)-h(x), lim
xڦh(x)=1 f(x)+4g(x)
∴ lim
xڦ`-2f(x)+6g(x)1111111
f(x)+2 {3f(x)-h(x)}
∴=lim
xڦ111111111111-2f(x)+3 {3 f(x)-h(x)}
7f(x)-2h(x)
∴=lim
x⁄¶11111127f(x)-3h(x) 7-2¥11h(x)f(x)
∴=lim
x⁄¶111112 h(x) 7-3¥11f(x) 7-2¥0
∴=11123=1 답 1
7-3¥0
88
x-2=t로 놓으면 x ⁄ 2일 때, t ⁄ 0이므로
= f(t)
112112(t+2)¤ -4 limt⁄0
f(x-2) 11212x¤ -4 limx⁄2
[x] ¤ +2x 112135[x]
limx⁄3
n¤ +1 1123n-1 [x] ¤ +2x 112135[x]
limx⁄n
¤ = lim =0
xڦh(x)
11112 limxڦf(x) 112h(x)f(x)
xlimڦ
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=
= [ ¥ ]
=3¥;4!;=;4#; 답 ;4#;
89
x¤ -ax+2
limx⁄21111232=k(k는 상수)라 하면x-2 limx⁄2(x¤ -ax+2)=0
4-2a+2=0 ∴ a=3 x¤ -3x+2
∴ k=lim
x⁄2111123x-2 (x-1)(x-2)
∴ k=lim
x⁄21111113=1x-2
∴ ak=3_1=3 답 3
90
x⁄1일 때, x-1 ⁄0이므로 limx⁄1(a'x+b)=0
a+b=0 ∴ b=-a
a'x +b a'x -a a('x -1)
∴ lim
x⁄11112=limx-1 x⁄11112=limx-1 x⁄1111253x-1 a(x-1)
=limx⁄1111251114 (x-1)('x +1)
=;2A;
따라서;2A;=1에서 a=2
∴ b=-2
∴ ab=-4 답 ①
91
x ⁄ -3일 때, (분모) ⁄ 0이므로 (분자) ⁄ 0이 어야 한다.
즉 ("√x¤ -x-3+ax)=0
'ƒ9+3-3-3a=0, 3-3a=0 ∴ a=1
∴ lim 11211112"√x¤ -x-3+axx+3
x⁄-3 xlim⁄-3
112t+41 112f(t)t limt⁄0
11125t(t+4)f(t)
limt⁄0 ∴=
∴=
∴=
∴=
∴=-;6!;
∴ b=-;6!;
∴ a+b=1+{-;6!;}=;6%; 답 ;6%;
92
=-1, =-1이므 로 함수의 극한의 대소 관계에 의하여
f(x)=-1 답 -1
93
=9에서 x⁄1일 때, (분모)⁄0이 므로 (분자) ⁄ 0이어야 한다.
즉 { f(x)+1}=f(1)+1=0이므로 f(1)=-1
∴
∴=
∴= _
∴=9_{ }=-3 답 -3
94
x« +ax-3
limx⁄111111=10에서 x ⁄ 1일 때,x-1 (분모)⁄ 0이므로 (분자) ⁄ 0이어야 한다.
즉 lim
x⁄1(x« +ax-3)=0이므로 1+a-3=0 ∴ a=2
11-13
11112x¤ +x+1f(x) limx⁄1
f(x)+1 1111x-1 limx⁄1
f(x){ f(x)+1}
111111112(x-1)(x¤ +x+1) limx⁄1
{ f(x)}¤ +f(x) 1111112x‹ -1 limx⁄1
limx⁄1
f(x)+1 11212x-1 limx⁄1
xlimڦ
1122-xx
xlimڦ
1+5x-3x¤
1111123x¤
xlimڦ
1111112-1
"√x¤ -x-3-x
xlim⁄-3
-(x+3) 11111111112
(x+3)("√x¤ -x-3-x)
xlim⁄-3
("√x¤ -x-3+x)("√x¤ -x-3-x)1121111111111125 (x+3)("√x¤ -x-3-x)
xlim⁄-3
"√x¤ -x-3+x 1121111x+3
xlim⁄-3
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연습 문 제・ 심 화 문 제 x« +2x-3=(x-1)(x« —⁄ +x« —¤ +y+x+3)
x« +2x-3
∴ lim
x⁄111111x-1
∴=lim
x⁄1
∴=lim
x⁄1(x« —⁄ +x« —¤ +y+x+1+2)
∴=n+2=10
∴ n=8 답 8
95
=2에서 x⁄ 0일 때, (분모) ⁄ 0이므 로 (분자)⁄ 0이어야 한다.
즉 lim
x⁄0f(x)=0이므로 f(0)=0
=a에서
f(x)-3x¤ =ax+k (k는 상수)라 하면 f(x)=3x¤ +ax+k
f(0)=0에서 f(0)=k=0이므로 f(x)=3x¤ +ax 3x¤ +ax
즉 lim
x⁄01111=2에서x limx⁄0(3x+a)=2
∴ a=2 답 2
96
f(x)=ax‹ +bx¤ +cx+d라 하면 f(1)=0, f(-2)=0이므로
f(x)=(x-1)(x+2)(ax+k)(k는 상수) 로 놓을 수 있다.
lim f(x)
x⁄111114=limx⁄1(ax+k)=a+k=1 x¤ +x-2
`lim f(x)
x⁄-211114=limx⁄-2(ax+k)=-2a+k=4 x¤ +x-2
따라서 a=-1, k=2이므로 f(x)=(x-1)(x+2)(-x+2) f(x)=-x‹ +x¤ +4x-4
∴ a=-1, b=1, c=4, d=-4
답 a=-1, b=1, c=4, d=-4 f(x)-3x¤
111115x
xlimڦ
112f(x)x limx⁄0
(x-1)(x« —⁄ +x« —¤ +y+x+3) 112111111111112x-1
97
x¤ +ax+b
⑴ lim
x⁄011111=c에서 x ⁄ 0일 때,x (분모)⁄ 0이므로 (분자) ⁄ 0이어야 한다.
즉 lim
x⁄0(x¤ +ax+b)=0에서
b=0 yy㉠
lim 1
x⁄1+113=¶에서 lim
x⁄1+f(x)=0이므로 f(x)
1+a+b=0 yy㉡
㉠, ㉡에서 a=-1 x¤ +ax+b
∴ c=lim
x⁄011111x
x¤ -x x(x-1)
∴ c=lim
x⁄0111=lim
x⁄01111
x x
∴ c=lim
x⁄0(x-1)=-1
∴ a+b+c=-1+0+(-1)=-2
⑵ lim
x⁄¶` =1에서 극한값이 1이므로 분
모, 분자는 같은 차수이고 f(x)는 이차식이다.
따라서 f(x)=ax¤ +bx+c(a+0)라 하면
xlim⁄¶` =1에서 a=2 또 lim
x⁄-2 =-1에서 x⁄`-2일 때, (분모)⁄ 0이므로 (분자) ⁄ 0이어야 한다.
즉 lim
x⁄-2(2x¤ +bx+c)=0에서 8-2b+c=0
∴ c=2b-8
∴ lim
x⁄-2
∴=lim
x⁄-2
∴=lim
x⁄-2
∴=lim
x⁄-2
∴=
∴=-1
∴ b=9, c=10 -4-4+b
-2+1 2x-4+b
x+1
(x+2)(2x-4+b) (x+1)(x+2) 2x¤ +bx+2b-8
x¤ +3x+2 f(x)
x¤ +3x+2 2x¤ +bx+c
x¤ +3x+2 ax¤ +bx+c
2x¤ -x+3 f(x) 2x¤ -x+3
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∴ f(x)=2x¤ +9x+10
∴ f(1)=2+9+10=21
답 ⑴ -2 ⑵ 21
98
⑴ { +a}
= =b
x ⁄ 1일 때, (분모) ⁄ 0이므로 (분자) ⁄ 0이 어야 한다.
즉 (x¤ +ax+a)=0에서 2a+1=0 ∴ a=-;2!;
=
=
=
=
=;4#;=b
∴ b-a=;4#;-{-;2!;}=;4%;
⑵ ('ƒx+a'ƒx+b-x)
=
=
=
=
=2
∴ a+b=4 112a+b2
a+b+:Å[ı:
111111112 Æ…1+;[A;Æ…1+;[B;+1
xlimڦ
(a+b)x+ab 11111112
'ƒx+a'ƒx+b+x
xlimڦ
('ƒx+a'ƒx+b-x)('ƒx+a'ƒx+b+x) 11111111111111115
'ƒx+a'ƒx+b+x
xlimڦ
xlimڦ
11112(x+1)2x+1 limx⁄1
(2x+1)(x-1) 111111152(x-1)(x+1) limx⁄1
2x¤ -x-1 111111152(x-1)(x+1) limx⁄1
x¤ -;2!;x-;2!;
11111125(x-1)(x+1) limx⁄1
x¤ +ax+a 11111125(x-1)(x+1) limx⁄1
limx⁄1
x¤ +ax+a 11111125(x-1)(x+1) limx⁄1
112x+1x¤
112x-11 limx⁄1
⑶ x=-t로 놓으면 x ⁄ -¶일 때, t ⁄ ¶이므로 ("√x¤ +3ax+2-"√ax¤ +ax+1)
= ("√t¤ -3at+2-"√at¤ -at+1)
=
=
= =b
1-a=0일 때, 극한값을 가질 수 있으므로 a=1
∴ b= =-1
∴ a+b=1-1=0
답 ⑴;4%; ⑵ 4 ⑶ 0
99
주어진 부등식의 각 변에 을 곱하면
⁄ x>1일 때
… …
¤ x<1일 때
… …
그런데
=
= 2x(x-2)=-2
=
= (x‹ -x¤ -x-1)=-2 이므로
=-2 답 -2
112x-1f(x) limx⁄1
limx⁄1
(x-1)(x‹ -x¤ -x-1) 11111111113x-1 limx⁄1
x› -2x‹ +1 111115x-1 limx⁄1
limx⁄1
2x(x-1)(x-2) 111111125x-1 limx⁄1
2x‹ -6x¤ +4x 1111112x-1 limx⁄1
2x‹ -6x¤ +4x 1111112x-1 112x-1f(x)
x› -2x‹ +1 111115x-1
x› -2x‹ +1 111113x-1 112x-1f(x)
2x‹ -6x¤ +4x 1121111x-1
112x-11 1121+1-2
(1-a)t-2a+;t!;
111111111112123a 2 1 æ≠1-12+15+æ≠a-;tA;+15t t¤ t¤
tlimڦ
(1-a)t¤ -2at+1 1111111111125
"√t¤ -3at+2+"√at¤ -at+1
tlimڦ
t¤ -3at+2-at¤ +at-1 1111111111125
"√t¤ -3at+2+"√at¤ -at+1
tlimڦ
tlimڦ
xlim⁄-¶
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연습 문 제・ 심 화 문 제
100
f(1)=0, f(-1)=0이어야 하므로 f(x)=(x-1)(x+1)g(x) 라 하면
f(x) (x-1)(x+1)g(x) limx⁄1112=lim
x⁄1112111111
x-1 x-1
limx⁄1112=lim
x⁄1(x+1)g(x)=2 g(1)
2 g(1)=-6에서 g(1)=-3 …… ㉠ f(x) (x+1)(x-1)g(x)
xlim⁄-1112= lim
x⁄-1112111111
x+1 x+1
xlim⁄-1112= lim
x⁄-1(x-1)g(x)=-2g(-1) -2 g(-1)=2에서 g(-1)=-1 …… ㉡
㉠, ㉡을 만족시키는 차수가 가장 낮은 다항식은 일 차식이므로 g(x)=ax+b라 하면
g(1)=a+b=-3 …… ㉢
g(-1)=-a+b=-1 …… ㉣
㉢, ㉣을 연립하여 풀면 a=-1, b=-2
∴ g(x)=-x-2
∴ f(x)=-(x-1)(x+1)(x+2)
답 f(x)=-(x-1)(x+1)(x+2)
101
⁄ lim f(x)
x⁄-¶1111135=2에서 2x-"≈x¤ +3
f(x)(2x+"≈x¤ +3 )
xlim⁄-¶1111131114=23x¤ -3 15 꼴이고 극한값이 2이므로¶¶
(분모의 차수)=(분자의 차수)이고 극한값 2는 분모, 분자의 최고차항의 계수의 비이다.
∴ f(x)=6x+k (k는 상수) …… ㉠
¤lim f(x)
x⁄211114=p에서x¤ +x-6
limx⁄2f(x)=0 ∴ f(2)=0 …… ㉡
㉠, ㉡에서 12+k=0 ∴ k=-12
∴ f(x)=6x-12 6x-12
∴ p=lim
x⁄211114x¤ +x-6
6(x-2)
∴ p=lim
x⁄21111411=;5^;(x-2)(x+3)
답 f(x)=6x-12, p=;5^;
102
;[!;=t라 하면 x ⁄ 0+일 때, t ⁄ ¶이므로
=
= =5
∴ f(x)=x‹ +5x¤ +ax+b yy ㉠
한편 =;3!;에서
x⁄ 1일 때, (분모) ⁄ 0이므로 (분자) ⁄ 0이어야 한다. 즉 f(x)=0
f(1)=6+a+b=0 (∵ ㉠)에서 b=-a-6
∴
∴=
∴=
∴=
∴= =;3!;
따라서 a=-12, b=6이므로 f(x)=x‹ +5x¤ -12x+6
∴ f(2)=2‹ +5¥2¤ -12¥2+6
=10 답 10
103
x ⁄ 1-일 때, g(x)=-1이므로 f(g(x))=f(-1)=0
x ⁄ -1+일 때, f(x) ⁄ 1-이므로 f(x)=t로 놓 으면
xlim
⁄1-11113+a3
x¤ +6x+a+6 1111112x+2 limx⁄1
(x-1)(x¤ +6x+a+6) 11211111111(x-1)(x+2) limx⁄1
x‹ +5x¤ +ax-a-6 1121111112(x-1)(x+2) limx⁄1
11211x¤ +x-2f(x) limx⁄1
limx⁄1
11211x¤ +x-2f(x) limx⁄1
f(t)-t‹
11213t¤ +1
tlimڦ
15f(t)-1t‹1 11211251
15+;t!;t‹
tlimڦ
x‹ f {;[!;}-1 1121125x‹ +x
xlim⁄0+
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g( f(x))= g(t)=-1
∴ f(g(x))- g( f(x))=0+1=1 답 1
104
ㄱ. f(x)=0이고 f(x)=1이므로 극한값 은 존재하지 않는다. (거짓)
ㄴ. x ⁄ 1+일 때, f(x) ⁄ 0+이므로 f(x)=t로 놓으면
f( f(x))= f(t)=1 (참) ㄷ. x ⁄ 1-일 때, f(x)=1이므로
f( f(x))=f(1)=0 (참)
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. 답 ㄴ, ㄷ
105
(우극한)=(좌극한)일 때, 극한값이 존재한다.
ㄱ. { f(x)+g(x)}=0+3=3 ㄱ. { f(x)+g(x)}=0+(-3)=-3 ㄱ. 즉 { f(x)+g(x)}+ { f(x)+g(x)}
ㄱ. 이므로 극한 { f(x)+g(x)}는 존재하지 않 ㄱ. 는다.
ㄴ. [{ f(x)}¤ +{ g(x)}¤ ]=0¤ +3¤ =9 ㄴ. lim[{ f(x)}¤ +{ g(x)}¤ ]=0¤ +(-3)¤ =9
x ⁄2-xlim⁄2+
limx⁄2
xlim ⁄2-xlim⁄2+
xlim ⁄2-xlim⁄2+
xlim
⁄1-tlim⁄0+
xlim⁄1+
xlim ⁄1-xlim⁄1+
xlim⁄-1+
xlim
⁄1-tlim ⁄1-xlim⁄-1+
1. g( f(x))의 값을 구할 때에는
x ⁄⁄ a일 때, f(x) ⁄⁄ b인 것과 f(x)=b인 것을 구분하여 계산한다.
① x ⁄⁄ a일 때, f(x) ⁄⁄ b이면
f(x)=t로 놓고 g( f(x))= g(t)
② x ⁄⁄ a일 때, f(x)=b이면 g( f(x))=g(b)
2. 합성함수 g( f(x))의 극한값을 구할 때에는 우극한 과 좌극한에 주의하면서 f(x)=t로 놓는다.
x ⁄⁄ a+일 때, f(x) ⁄⁄ b+이면 t ⁄⁄ b+
g( f(x))= g(t) =lim g(x)
x⁄⁄b+
lim
t⁄⁄b+
lim
x⁄⁄a+
lim
x⁄⁄a
lim
t⁄⁄b
lim
x⁄⁄a
limx⁄⁄a
KEY Point
ㄴ. ∴ [{ f(x)}¤ +{ g(x)}¤ ] ㄴ. ∴= [{ f(x)}¤ +{ g(x)}¤ ] ㄷ. { f(x)g(x)}=0_3=0 ㄱ. { f(x)g(x)}=0_(-3)=0 ㄱ. ∴ { f(x)g(x)}= { f(x)g(x)}
따라서 극한값이 존재하는 것은 ㄴ, ㄷ이다.
답 ㄴ, ㄷ
106
원의 반지름의 길이를 r라 하면 x¤ +y¤ =r¤
점 P(x, y)는 원과 곡선 y="x 위에 있으므로 x¤ +y¤ =r¤ , y='x를 연립하여 r를 구하면 x¤ +x=r¤ ∴ r="√x¤ +x
∴ QH”=r-x="√x¤ +x-x 또한 PH”¤ =y¤ =('x)¤ =x이므로
PH” ¤ x
xlim⁄ 0+113=limQH” x⁄0+11111"√x¤ +x-x
PH¤” x("√x¤ +x+x) limx⁄0112= lim
x⁄ 0+111111111112 QH” ("√x¤ +x-x)("√x¤ +x+x) limx⁄0112= lim
x⁄ 0+("√x¤ +x+x)=0 답 0
107
오른쪽 그림에서
f(a)=c, f(x)=c, f(x)=b
이므로 lim
x⁄af(x)의 값이 존 재하지 않는다.
따라서 x=a에서 불연속이다. 답 ④
108
x=0에서 연속이면 f(x)=f(0)
① f(x)= x|x|=0이고 f(0)=0
따라서 f(x)=f(0)이므로 x=0에서 연속 이다.
limx⁄0
limx⁄0
limx⁄0
limx⁄0 xlim
⁄a-xlim⁄a+
O y
a x b c
xlim ⁄2-xlim⁄2+
xlim ⁄2-xlim⁄2+
xlim ⁄2-xlim⁄2+
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연습 문 제・ 심 화 문 제
② [x]=0, [x]=-1이므로 f(x)= x [x]=0 f(x)= x [x]=0 f(0)=0
따라서 f(x)=f(0)이므로 x=0에서 연속 이다.
③ f(x)= ;[{;=1
f(x)= =-1
∴ f(x)+ f(x)
따라서 f(x)의 값이 존재하지 않으므로 x=0에서 불연속이다.
④ f(x)= (x¤ +1)=1 f(0)=1
∴ f(x)=f(0) 따라서 x=0에서 연속이다.
⑤ f(x)= =
= =-3
f(0)=3
∴ f(x)+f(0)
따라서 x=0에서 불연속이다.
답 ③, ⑤
109
함수 f(x)가 모든 실수 x에 대하여 연속이려면 x=-1에서 연속이어야 한다.
f(x)= (x‹ +bx+2)=1-b f(x)= (-x¤ +x+a)=a-2 f(x)= f(x)=f(-1)에서 1-b=a-2=2
∴ a=4, b=-1
∴ ab=-4 답 -4
x⁄-1-lim
xlim⁄-1+
x⁄-1-lim
xlim
⁄-1-x⁄-1+lim
xlim⁄-1+
limx⁄0
112x-3x+1 limx⁄0
x(x-3) 11115x(x+1) limx⁄0
x¤ -3x 1112x¤ +x limx⁄0
limx⁄0
limx⁄0
limx⁄0
limx⁄0
limx⁄0
xlim ⁄0-xlim⁄0+
11-xx
xlim ⁄0-xlim
⁄0-xlim⁄0+
xlim⁄0+
limx⁄0 xlim ⁄0-xlim
⁄0-xlim⁄0+
xlim⁄0+
xlim
⁄0-xlim⁄0+
110
함수 f(x)가 x=1에서 연속이려면 lim
x⁄1f(x)=f(1) 이어야 하므로
=c yy`㉠
x⁄1일 때, (분모) ⁄ 0이므로 (분자) ⁄ 0이다.
즉 (x‹ +ax+b)=0이므로
1+a+b=0이어∴ b=-a-1 yy`㉡
㉡을 ㉠에 대입하면 x‹ +ax-a-1 limx⁄11111113(x-1)¤
(x-1)(x¤ +x+1)+a(x-1)
=limx⁄1111111311111125(x-1)¤
x¤ +x+1+a
=limx⁄111111245x-1
여기서 다시 x⁄1일 때, (분모) ⁄ 0이므로 (분자)⁄ 0이다.
즉 (x¤ +x+1+a)=0이므로 1+1+1+a=0
∴ a=-3
a=-3을 ㉡에 대입하면 b=2 x‹ -3x+2
∴ lim
x⁄1f(x)=lim
x⁄111111(x-1)¤
x¤ +x-2
∴ lim
x⁄1f(x)=lim
x⁄111113x-1
∴ lim
x⁄1f(x)=lim
x⁄1(x+2)=3=c
∴ a+b+c=-3+2+3
=2 답 2
111
x=0에서 연속이므로 lim
x⁄0f(x)=f(0) '∂1+x -'∂1-x
limx⁄01111111x
=lim 2x
x⁄0111111113 x('∂1+x +'∂1-x )
=lim 2
x⁄01111111 '∂1+x +'∂1-x
=1
∴ a=1 답 1
limx⁄1
limx⁄1
x‹ +ax+b 112112(x-1)¤
limx⁄1
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112
ax¤ -bx x+-2일 때, f(x)=1111x+2
f(x)가 모든 실수 x에 대하여 연속이므로 f(x)는 x=-2에서 연속이다.
즉 lim
x⁄-2f(x)=f(-2)이어야 하고 x⁄ -2일 때, (분모)⁄ 0이고 극한값이 존재하므로 (분자) ⁄ 0 이다.
xlim⁄-2(ax¤ -bx)=0에서 4a+2b=0
∴ b=-2a
ax¤ +2ax
∴ f(-2)=lim
x⁄-211112x+2 ax(x+2)
∴ f(-2)= lim
x⁄-211121x+2
∴ f(-2)=-2a=2 따라서 a=-1, b=2이므로
a+b=1 답 1
113
x=1에서 연속이므로 lim
x⁄1f(x)=f(1)
|x|-1 |x|-1
limx⁄11115=limx¤ -1 x⁄11115111115(|x|-1)(|x|+1) lim 1
x⁄11115=lim
x⁄11115=;2!;|x|+1
∴ a=;2!; 답 ;2!;
114
⁄ |x|>1일 때, x¤ « =¶이므로
=0
∴ f(x)=
∴ f(x)= =1
¤ |x|<1일 때, x¤ « =0이므로
f(x)= = 0 =0
1121+0 11151+x¤ «x¤ «
nlimڦ
nlimڦ
112111 12+1x¤ «
nlimڦ
11151+x¤ «x¤ «
nlimڦ
12x¤ «1
nlimڦ
nlimڦ
‹ x=1일 때, f(1)= =;2!;
› x=-1일 때, f(-1)= =;2!;
ㄱ. |x|>1일 때, f(x)=1 (참)
ㄴ. 불연속인 점은 x=-1, x=1의 2개이다. (거짓) ㄷ. |x|<1일 때, f(x)=0 (참)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
답 ㄱ, ㄷ
115
⑴ ⁄ x=0일 때, f(0)=0
¤ x+0일 때, 함수 f(x)는 첫째항이 ,
¤ 공비가 인 등비급수의 합이고
¤ 0< <1이므로
¤ f(x)= =x¤
⁄, ¤에서 f(x)=[
이므로 그래프는 오른쪽 그 림과 같다.
따라서 모든 실수 x에서 연속이다.
x‹ x‹
⑵ f(x)=x‹ +111+1111+y1+x¤ (1+x¤ )¤
⁄ x=0일 때, f(x)=0
¤ x+0일 때, 함수 f(x)는 첫째항이 x‹ ,
¤ 공비가111인 등비급수의 합이고1+x¤1
¤ 0<111<1이므로1+x¤1
¤ f(x)=11111=x(1+x¤ )x‹1 1-1111+x¤
x¤ (x+0) 0 (x=0)
O x
y y=f(x)
1125x¤ +1x¤
11111x¤
1-1125x¤ +1 1125x¤ +1x¤
1125x¤ +1x¤
1125x¤ +1x¤
1121+11 1121+11
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연습 문 제・ 심 화 문 제
⁄, ¤에서 f(x)=[ 0 (x=0) x(1+x¤ ) (x+0) 이때 lim
x⁄0f(x)=lim
x⁄0x(1+x¤ )=0=f (0)이므 로 f(x)는 모든 실수 x에서 연속이다.
⑶ 0<x<2에서 0<x¤ <4
⁄0<x¤ <1일 때, [x¤ ]=0
¤1…x¤ <2일 때, [x¤ ]=1
‹2…x¤ <3일 때, [x¤ ]=2
›3…x¤ <4일 때, [x¤ ]=3 따라서 불연속인 점은 x=1, '2 , '3 의 3개 이다.
답 ⑴ 0 ⑵ 0 ⑶ 3
116
함수 y=f(x)g(x)가 모든 실수 x에서 연속이려면 x=1에서 연속이어야 한다.
f(1)=3, g(1)=1+k이므로 f(1)g(1)=3+3k
f(x)g(x)=3¥(1+k)=3+3k f(x)g(x)=1¥(1+k)=1+k 함수 y=f(x)g(x)가 x=1에서 연속이려면
f(x)g(x)= f(x)g(x)=f(1)g(1) 3+3k=1+k
∴ k=-1
답 -1
117
함수 f(x)가 구간 (-¶, ¶)에서 연속이기 위해서는 x=-1, x=2에서 연속이어야 한다.
⁄x=-1에서 연속이려면
xlim ⁄1-xlim⁄1+
xlim ⁄1-xlim⁄1+
O x¤
y
1
1 2 3 4 2
3
y=[x2]
'2 '3 x
⁄ f(x)= f(x)
⁄ (x¤ -2x+b)= (ax+1)
1+2+b=-a+1
∴ a+b=-2 …… ㉠
¤x=2에서 연속이려면
⁄ f(x)= f(x)
⁄ (ax+1)= (x¤ -2x+b) 2a+1=4-4+b
∴ 2a-b=-1 …… ㉡
㉠, ㉡에서 a=-1, b=-1
∴ 2a+b=2_(-1)-1
=-3 답 -3
다른풀이집함수 f(x)가 구간 (-¶, ¶)에서 연속이 기 위해서는 그래프가 끊어져 있지 않고 연결되어 있 어야 한다.
p(x)=ax+1, q(x)=x¤ -2x+b라 하면 x=-1, x=2일 때, p(x)
와 q(x)의 함숫값이 같아 야 그래프는 연결이 된다.
p(-1)=q(-1)에서 -a+1=1+2+b
∴ a+b=-2 …… ㉠ p(2)=q(2)에서 2a+1=4-4+b
∴ 2a-b=-1 …… ㉡
㉠, ㉡에서 a=-1, b=-1
∴ 2a+b=2_(-1)-1
=-3
118
[x]=2, [x]=1이므로 f(x)= ([x] ¤ -a [x]+1)
=2¤ -2a+1
=5-2a
f(x)= ([x] ¤ -a [x]+1)
=1-a+1
=2-a
xlim ⁄2-xlim
⁄2-xlim⁄2+
xlim⁄2+
xlim ⁄2-xlim⁄2+
2 -1
x2-2x+b
ax+1 xlim
⁄2-xlim⁄2+
xlim ⁄2-xlim⁄2+
xlim ⁄-1-x⁄-1+lim
xlim ⁄-1-x⁄-1+lim
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따라서 x=2에서 연속이므로 f(x)= f(x)=f(2) 5-2a=2-a
∴ a=3 답 3
119
⁄|x|>1일 때,
⁄f(x)=lim
nڦ
⁄f(x)=lim
nڦ =-|x|
¤|x|<1일 때,
⁄f(x)=lim
nڦ = =x
‹x=1일 때,
⁄f(x)=lim
nڦ = =0
›x=-1일 때,
⁄f(x)=lim
nڦ = =-1
따라서 함수 y=f(x)의 그 래프는 오른쪽 그림과 같으 므로 불연속인 점의 개수는 1개이다.
답 1
120
f(x)=xμ + + +y
⁄x=0일 때, f(x)=0
¤x+0일 때, 함수 f(x)는 첫째항이 xμ , 공비가
¤ 인 등비급수의 합이고 0< <1이 므로
1 1+x›
1 1+x›
xμ (1+x› )¤
xμ 1+x›
y=f(x)
O x
y 1
1 -1
-1
-1-1 1+1 x-|x|« ±⁄
1+|x|«
1-1 1+1 x-|x|« ±⁄
1+|x|«
x-0 1+0 x-|x|« ±⁄
1+|x|«
114-|x||x|«x 1111141
114+1|x|«
x-|x|« ±⁄
1+|x|«
xlim ⁄2-xlim⁄2+
¤ f(x)= =
¤f(x)=(1+x› )xμ —›
f(x)가 x=0에서 연속이려면 limx⁄ 0f(x)=f(0)
그런데 lim
x⁄ 0f(x)=lim
x⁄ 0(1+x› )xμ —›에서 m=4이면
limx⁄ 0(1+x› )xμ —› =1, f(0)+lim
x⁄ 0 f(x) 따라서 자연수 m의 최솟값은 5이다.
답 ⑤
121
f(x)가 모든 실수 x에 대하여 연속이므로 f(x)는 x=2에서 연속이다. 즉 f(x)의 값이 존재하므로
f(x)= f(x)에서 (x¤ +ax+b)= (2x-4)
∴ 4+2a+b=0 yy㉠
또 f(x-1)=f(x+3)에 x 대신 x+1을 대입하면 f(x)=f(x+4)이므로 f(0)=f(4)
∴ -4=16+4a+b yy㉡
㉠, ㉡에서 a=-8, b=12
∴ f(x)=[
∴ f(11)=f(7)=f(3)
=3¤ -8_3+12
=-3 답 -3
122
ㄱ. g(x)=t로 놓으면 x ⁄ 1-일 때, g(x) ⁄ 이므로 t ⁄
1-∴ f(g(x))=lim f(t)=1 (참)
t ⁄1-xlim
⁄1-2x-4 (0…x<2) x¤ -8x+12 (2…x…4)
xlim ⁄2-xlim⁄2+
xlim ⁄2-xlim⁄2+
limx⁄2
0 (x=0)
(1+x› )xμ —› (x+0)
·“ª
⁄, ¤에서 f(x)=
xμ (1+x› ) x›
xμ 1-11221+x›1
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ㄴ. f(x)g(x)=(-1)_0=0 f(x)g(x)=1_1=1
따라서 f(x)g(x)+ f(x)g(x)이므 로 극한값 f(x)g(x)가 존재하지 않는다.
즉 함수 f(x)g(x)는 x=1에서 불연속이다. (참) ㄷ. f(x)=t로 놓으면
x ⁄ 0+일 때, f(x) ⁄ 0+이므로 t ⁄ 0+
g( f(x))= g(t)=0 x ⁄ 0-일 때, f(x)=1이므로
g( f(x))=g(1)=1
따라서 g( f(x))+ g( f(x))이므로 극한값 g( f(x))가 존재하지 않는다.
즉 함수 g( f(x))는 x=0에서 불연속이다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. 답 ㄱ, ㄴ
123
⁄-1<2x-1<1,즉` 0<x<1이면
⁄lim
n⁄¶(2x-1)¤ « =0이므로
⁄f(x)=ax+b
¤2x-1<-1또는` 2x-1>1, 즉` x<0 또는`
x>1이면 lim
n⁄¶(2x-1)¤ « =¶이므로 (2x-1)+1112234(2x-1)¤ «ax+b
⁄ f(x)=lim
n⁄¶111111111231 1+1112234(2x-1)¤ «
⁄f(x)=2x-1
1 ax+b
{∵ lim
nڦ11113=lim
nڦ11113=0}
(2x-1)¤ « (2x-1)¤ «
‹2x-1=1또는` 2x-1=-1, 즉 x=1 또는`
x=0이면 limx⁄0
xlim ⁄0-xlim⁄0+
xlim
⁄0-tlim⁄0+
xlim⁄0+
limx⁄1
xlim ⁄1-xlim⁄1+
xlim ⁄1-xlim⁄1+
연습 문 제・ 심 화 문 제
합성함수 g( f(x))의 극한값을 구할 때는 우극한과 좌 극한에 주의하면서 f(x)=t로 치환하여 생각한다.
x ⁄⁄ a+일 때, f(x) ⁄⁄ b+이면 g( f(x))= g(t)=lim g(x)
x⁄⁄b+
lim
t⁄⁄b+
lim
x⁄⁄a+
KEY Point
1+a+b -1+b
⁄ f(1)=11123,` f(0)=11142 2
함수 f(x)가 x=0, x=1에서 연속이 되어야 모든 실수 x에 대하여 연속이 되므로
(ax+b)= (2x-1)=f(0) b=-1=-1+b111452 ∴ b=-1
(2x-1)= (ax+b)=f(1) 1+a+b
1=a+b=111424 ∴ a=2 2
답 a=2, b=-1
124
h(x)= =
따라서 는 x¤ -2x-3=0, 즉 x=-1, x=3일 때, 불연속이므로 함수 h(x)가 불연속인 점 의 개수는 2개이다.
답 2
125
f(x)=0에서 f(0)f(1)<0이면 0과 1 사이에 적어 도 하나의 실근을 갖는다.
⑤ f(0)f(1)=(-4)¥2=-8<0 답 ⑤
126
⑤ f(x)=xfi -4x+2라 하면
④f(0)=2, f(1)=-1
④∴ f(0)f(1)<0
④따라서 사이값 정리에 의하여 구간 (0, 1)에서
적어도 하나의 실근을 갖는다. 답 ⑤
127
g(x)=f(x)-x라 하면 g(-2)=-1-(-2)=1>0 g(-1)=-2-(-1)=-1<0 g(0)=1-0=1>0
g(1)=-2-1=-3<0 112111f(x)-g(x)f(x)
112112x¤ -2x-3x¤
112111f(x)-g(x)f(x)
xlim ⁄1-xlim⁄1+
xlim ⁄0-xlim⁄0+
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g(2)=-;2!;-2=-;2%;<0
이므로 -2<x<-1, -1<x<0, 0<x<1에서 각각 적어도 하나의 실근을 갖는다.
따라서 방정식 f(x)=x는 -2…x…2에서 적어도 3개의 실근을 갖는다.
답 3
128
ㄱ. x=-1, 0, 1일 때, 불연속이므로 불연속인 점 은 3개이다. (참)
ㄴ. f(x)=-1, f(x)=0
∴ f(x)+ f(x)
f(x)=2, f(x)=1
∴ f(x)+ f(x)
따라서 극한값이 존재하지 않는 점은 x=0, x=1의 2개이다. (거짓)
ㄷ. 함수 f(x)는 최댓값 2를 갖고, 최솟값 -1을 갖 는다. (참)
ㄹ. f(x)=t로 놓으면 x ⁄ 1+일 때, f(x) ⁄ 이므로 t ⁄
2-∴ f( f(x))= f(t)=0
x ⁄ 일 때, f(x) ⁄ 이므로 t ⁄
1-∴ f( f(x))= f(t)=1
따라서 f( f(x))+ f( f(x))이므로 극한값 f( f(x))가 존재하지 않는다.
즉 함수 f( f(x))는 x=1에서 불연속이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다.
답 ㄱ, ㄷ, ㄹ
129
lim f(x)
x⁄1112=;2!;에서 x ⁄`1일 때, (분모) ⁄`0이므로x-1 (분자)⁄`0이다.
∴ lim
x⁄1f(x)=0 limx⁄1
xlim ⁄1-xlim⁄1+
tlim ⁄1-xlim
⁄1-tlim ⁄2-xlim⁄1+
xlim ⁄1-xlim⁄1+
xlim ⁄1-xlim⁄1+
xlim ⁄0-xlim⁄0+
xlim ⁄0-xlim⁄0+
∴ f(1)=0 …… ㉠
또 lim f(x)
x⁄21125=;2!;에서 x ⁄ 2일 때, (분모) ⁄ 0이x-2 므로 (분자)⁄ 0이다.
∴ f(2)=0 …… ㉡
㉠, ㉡ 에서 f(x)=(x-1)(x-2)g(x)로 놓을 수 있다.
∴ lim f(x)
x⁄1112=limx-1 x⁄1(x-2)g(x)
∴ lim
x⁄1112=-g(1)=;2!;
∴ g (1)=-;2!; …… ㉢ limf(x)
x⁄2112=limx-2 x⁄2(x-1)g(x) limx⁄2112=g(2)=;2!; …… ㉣
㉢, ㉣에서 g(1)g(2)=-;4!;<0
따라서 방정식 g(x)=0은 열린 구간 (1, 2)에서 적 어도 하나의 실근을 갖는다. 즉 방정식 f(x)=0은 닫힌 구간 [1, 2]에서 적어도` 3개의 실근을 갖는다.
답 3
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연습 문 제・ 심 화 문 제
130
f(a)-f(1) 111113=3a-1
(a‹ -2a+5)-(1-2+5) 111113111111=3a-1
a‹ -2a+1 11111=3a-1
(a-1)(a¤ +a-1) 111113111=3a-1
∴ a¤ +a-4=0
이것은 a에 대한 이차방정식이므로 a를 모두 곱한 값은 근과 계수의 관계에 의하여 -4이다.
답 -4
131
f(1-2h)-f(1)
① (주어진 식)=lim
h⁄011111113¥(-2)-2h
① (주어진 식)=-2 f '(1)
f(1+5h)-f(1)
② (주어진 식)=lim
h⁄011111113¥55h f(1+3h)-f(1)
② (주어진 식)=-lim
h⁄011111113¥33h
① (주어진 식)=5 f '(1)-3 f '(1)
① (주어진 식)=2 f '(1)
f(1+4h)-f(1)
③ (주어진 식)=lim
h⁄011111113¥24h
① (주어진 식)=2 f '(1)
f(x)-f(1) 'x +1
④ (주어진 식)=lim
x⁄1111113¥111 'x -1 'x +1 f(x)-f(1)
④ (주어진 식)=lim
x⁄1111113¥('x +1)x-1
① (주어진 식)=2 f '(1)
f(x¤ )-f(1)
⑤ (주어진 식)=lim
x⁄11111125¥(x+1)x¤ -1
① (주어진 식)=2 f '(1)
답 ①