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확 인 체 크 f(x)=;3@;x‹ -2x¤ +;2!;+C
이때 f(1)=-1이므로
;3@;-2+;2!;+C=-1 ∴ C=-;6!;
따라서 f(x)=;3@;x‹ -2x¤ +;2!;-;6!;이므로
f(-1)=-;3@;-2+;2!;-;6!;=-;3&; 답 -;3&;
180
;dÎ[;: x¤ dx=x¤ 이므로 주어진 식은 logxx¤ =x¤ -2x-1
2=x¤ -2x-1, x¤ -2x-3=0 (x-3)(x+1)=0
로그의 밑, 진수의 조건`(x>0, x+1)에 유의하면
x=3 답 3
181
주어진 등식의 양변을 x에 대하여 미분하면
;dÎ[;: f(x)dx=;dÎ[;[xf(x)-2x‹ +x¤ ] f(x)=f(x)+xf '(x)-6x¤ +2x xf '(x)=6x¤ -2x ∴ f '(x)=6x-2 f(x)=: f '(x)dx=: (6x-2)dx (3x¤ -2x)'=6x-2이므로 : (6x-2)dx=3x¤ -2x+C f(0)=2에서 C=2
따라서 f(x)=3x¤ -2x+2이므로
f(-1)=3¥(-1)¤ -2¥(-1)+2=7 답 7
182
⑴ (주어진 식)=-x› +C
⑵ (주어진 식)=: (4t¤ -12t+9)dt (주어진 식)=;3$;t‹ -6t¤ +9t+C
⑶ (주어진 식)=: (x¤ -2tx+t¤ )dx (주어진 식)=;3!;x‹ -tx¤ +t¤ x+C
⑷ (주어진 식)=: (y‹ +5y¤ +3y-9)dy (주어진 식)=;4!;y› +;3%;y‹ +;2#;y¤ -9y+C
⑸ (주어진 식)=: 20x dx=10x¤ +C
답 풀이 참조
183
f(x)=: {(x-1)(x¤ +x+1)-x(3x-1)¤ }dx f(x)=: (-8x‹ +6x¤ -x-1)dx
f(x)=-2x› +2x‹ -;2!;x¤ -x+C 이때 f(0)=0이므로 C=0
따라서 f(x)=-2x› +2x‹ -;2!;x¤ -x이므로 f(-1)=-2-2-;2!;+1=-;2&; 답 -;2&;
184
⑴ (주어진 식)
=: dy
=: (y¤ -y+1)dy
=;3!;y‹ -;2!;y¤ +y+C
⑵ (주어진 식)=:{ + } dx
(주어진 식)=: dx
(주어진 식)=: dx
(주어진 식)=: (x+1)dx (주어진 식)=;2!;x¤ +x+C
⑶ (주어진 식)=:[{;2{;+2}¤ -{;2{;-2}¤ ] dx (주어진 식)=: 4x dx=2x¤ +C
⑷ (주어진 식)=:{ - } dx 1112x+1x-1 x‹ +2x
1112x-1 (x-1)(x+1) 1111112x-1
x¤ -1 1125x-1
1121-x1 112x-1x¤
(y¤ +y+1)(y¤ -y+1) 11211111112y¤ +y+1
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(주어진 식)=: dx
(주어진 식)=: dx
(주어진 식)=: (x¤ +x+1)dx (주어진 식)=;3!;x‹ +;2!;x¤ +x+C
답 풀이 참조
185
f(x)=: dx+: dx
f(x)=: dx
f(x)=: dx
f(x)=: (x¤ -2x+4)dx f(x)=;3!;x‹ -x¤ +4x+C 이때 f(1)=2이므로
;3!;-1+4+C=2로로∴ C=-;3$;
따라서 f(x)=;3!;x‹ -x¤ +4x-;3$;이므로
f(2)=;3*;-4+8-;3$;=:¡3§: 답 :¡3§:
186
f '(x)=6x¤ -4x-2이므로
f(x)=: f '(x)dx=: (6x¤ -4x-2)dx f(x)=2x‹ -2x¤ -2x+C
이때 f(-1)=1이므로 -2-2+2+C=1 ∴ C=3
따라서 f(x)=2x‹ -2x¤ -2x+3이므로
f(2)=16-8-4+3=7 답 7
187
점 (x, y)에서의 접선의 기울기가 3x¤ -10x+2이 므로
(x+2)(x¤ -2x+4) 111111111x+2
x‹ +8 1125x+2
112x+28 112x+2x‹
(x-1)(x¤ +x+1) 111111112x-1
x‹ -1 1125x-1
f '(x)=3x¤ -10x+2
∴ f(x)=: f '(x)dx
∴ f(x)=: (3x¤ -10x+2)dx
∴ f(x)=x‹ -5x¤ +2x+C
y=f(x)가 점 (0, 2)를 지나므로 C=2
∴ f(x)=x‹ -5x¤ +2x+2
답 f(x)=x‹ -5x¤ +2x+2
188
f '(x)=3x¤ -2x+1이므로 f(x)=: f '(x)dx
f(x)=: (3x¤ -2x+1)dx f(x)=x‹ -x¤ +x+C
f(1)=1-1+1+C=3이므로 C=2
∴: f(x)dx=: (x‹ -x¤ +x+2)dx
∴: f(x)dx=;4!;x› -;3!;x‹ +;2!;x¤ +2x+C 답 ;4!;x› -;3!;x‹ +;2!;x¤ +2x+C
189
F(x)=xf(x)-6x‹ (x-1) 에서 양변을 x 에 대하여 미분하면 F'(x)= f(x)+xf '(x)-24x‹ +18x¤
조건으로부터 F'(x)=f(x)이므로 xf '(x)=24x‹ -18x¤
∴ f '(x)=24x¤ -18x
∴ f(x)=: f '(x)dx
∴ f(x)=: (24x¤ -18x)dx
∴ f(x)= 8x‹ -9x¤ +C 이때 f(1)=0이므로 8-9+C=0지름∴ C=1
∴ f(x)=8x‹ -9x¤ +1
답 f(x)=8x‹ -9x¤ +1
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확 인 체 크
190
f '(x)=3x¤ -12=3(x+2)(x-2) f '(x)=0에서 x=-2 또는 x=2
따라서 함수 f(x)는 x=2에서 극솟값을 갖고, x=-2에서 극댓값을 갖는다.
f(x)=: (3x¤ -12)dx=x‹ -12x+C x=2에서 극솟값 -12를 가지므로 8-24+C=-12 ∴ C=4
따라서 f(x)=x‹ -12x+4이므로 f(x)의 극댓값은
f(-2)=-8+24+4=20 답 20
191
f '(x)=k(x+2)(x-2)=0에서 x=—2
k>0이므로 f(x)는 x=-2에서 극대, x=2에서 극소이다.
f(x)=: k(x¤ -4)dx=k{;3!;x‹ -4x}+C
f(-2)=20에서:¡3§:k+C=20 …… ㉠ f(2)=-12에서 -:¡3§:k+C=-12 …… ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 C=4, k=3
∴ f(x)=x‹ -12x+4 답 f(x)=x‹ -12x+4
192
각 분점 사이의 거리는;n@;, 각 직사각형의 높이는
{;n@;}3 , {::n::2_2
}3 , {::n::2_3 }3 , …
O x
y
... 2 y=x‹
n2 2_2n 2_3 n
이므로 각 직사각형의 넓이의 합 S« 은 S«=;n@;¥{::n::2_1
}3 +;n@;¥{::n::2_2 }3 +…
S«=+;n@;¥{::n::2_n }3 S«=:¡:§:n› (1‹ +2‹ +…+n‹ )
n¤ (n+1)¤
S«=:¡:§:n› ¥1111244 따라서 구하는 넓이 S는
16n¤ (n+1)¤
S=lim
n⁄¶S«=lim
n⁄¶1111125=4 답 4 4n›
193
정사각뿔의 높이를 n등분하여 만들어진 직육면체의 밑넓이는 위에서부터 차례로
{ }¤ , { }¤
, …, [ ]¤
이고, 높이는 모두;nH;이므로 (n-1)개의 직육면체 의 부피의 합 V«은
V«={ }
¤¥;nH;+{ }
¤¥;nH;+y
V«=+[ ]
¤¥;nH;
V«= {1¤ +2¤ +y+(n-1)¤ }= k¤
V«= ¥
V«= ¥(n-1)(2n-1)
∴ V=lim
n⁄¶V«=lim
n⁄¶a¤ h¥
∴ V=a¤ h¥;3!;=;3!; a¤ h
답 ;3!; a¤ h
194
⑴ a=0, b=1이고 Dx=::n::b-a
=;n!;
x˚=0+kDx=;nK;
f(x)=2x라 하면
(n-1)(2n-1) 1231111126n¤
123a¤ h6n¤
(n-1)n(2n-1) 1231111116 123a¤ hn‹
n-1¡
k=1
123a¤ hn‹
123a¤ hn‹
(n-1)a 121133n
122an 14na
(n-1)a 121133n 122an
14na
x … -2 … 2 …
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗
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f(x˚)=2x˚=2¥;nK;=;;n;;2k
∴:)1 2x dx=limn⁄¶`;Kn+! f(x˚)¥Dx
∴:)1 2x dx=lim
nڦ`;Kn+!;;n;;
2k¥;n!;
∴:)1 2x dx=lim
n⁄¶:;™;:n¤ `;Kn+!k n(n+1)
∴:)1 2x dx=lim
n⁄¶`:;™;:n¤ ¥111152
∴:)1 2x dx=lim
nڦ{1+;n!;}=1
⑵ a=-1, b=0이고 0-(-1) Dx=::n::b-a
=1125125=;n!;n x˚=a+kDx=-1+;nK;
f(x)=-x¤이라 하면 f(x˚)=-x˚¤ =-{-1+;nK;}2
∴:_0! (-x¤ )dx
∴=lim
n⁄¶`;Kn+! f(x˚)Dx
∴=lim
n⁄¶`;Kn+![-{-1+;nK;}2 ]¥;n!;
∴=lim
nڦ{-;n!;};Kn+! {1-:n:
2k+:::n¤
k¤
} n(n+1)
∴=lim
n⁄¶{-;n!;}[n-;n@;¥11115 2 n(n+1)(2n+1)
∴ =+:;¡;:n¤ ¥112111112]6
n(n+1)(2n+1)
∴=lim
n⁄¶{-;n!;}[-1+:;¡;:n¤ ¥111111145]6 n(n+1)(2n+1)
∴=lim
n⁄¶[;n!;-:;¡;:n‹ ¥11111111]6
∴=-;3!;
⑶ a=1, b=2이고 Dx=::n::b-a
=::n::2-1
=;n!;
x˚=a+kDx=1+k¥;n!;=1+;nK;
f(x)=2x-1이라 하면 f(x˚)=2¥x˚-1
f(x˚)=2{1+;nK;}-1=1+;;n;;2k
∴:!2 (2x-1)dx
∴=lim
n⁄¶`;Kn+! f(x˚)Dx
∴=lim
n⁄¶`;Kn+!{1+;;n;;2k }¥;n!;
n(n+1)
∴=lim
n⁄¶`[n+;n@;¥11115]¥;n!;2
∴=lim n+1
nڦ`{1+1125}n
∴=lim2n+1
nڦ1115n
∴=lim
nڦ{2+;n!;}=2
⑷ a=1, b=2이고
Dx=::n::b-a=112=;n!;2-1n
x˚=a+kDx=1+k¥;n!;=1+;nK;
f(x)=x¤ +2x-3이라 하면 f(x˚)=x˚¤ +2x˚-3
f(x˚)={1+;nK;}2+2{1+;nK;}-3
∴:!2 (x¤ +2x-3)dx
∴=lim
n⁄¶`;Kn+! f(x˚)Dx
∴=lim
n⁄¶`;Kn+![{1+;nK;}2 +2{1+;nK;}-3]¥;n!;
∴=lim
nڦ;Kn+!{:n:
4k+:::n¤
k¤
} ;n!;
n(n+1)
∴=lim
n⁄¶[;n$;¥111152 n(n+1)(2n+1)
∴ =+:;¡;:n¤ ¥112111112];n!;6 2(n+1) (n+1)(2n+1)
∴=lim
n⁄¶[1111+112111125]n 6n¤
{1+;n!;} {2+;n!;}
∴=lim
n⁄¶‡2{1+;n!;}+112111112°6
∴=2+;6@;=;3&;
답 ⑴ 1 ⑵ -;3!; ⑶ 2 ⑷;3&;
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확 인 체 크
195
f(x)=x‹ +3으로 놓으면 f(x)는 구간 [0, 4]에서 연속이므로 정적분의 정의에 의하여
Dx= =;n$;, x˚=0+kDx=
∴:)4 (x‹ +3)dx
∴= ;Kn+!{(x˚)‹ +3}Dx
∴= ;Kn+![{ }‹ +3];n$;
∴ p=4, q=3 답 p=4, q=3
196
적분과 미분의 관계를 이용하면
⑴;dÎ[;:@/ (5t‹ -3t¤ )dt
=5x‹ -3x¤
⑵;dÎ[;:_/! (3t¤ +t)(t-1)dt
=(3x¤ +x)(x-1)
답 ⑴ 5x‹ -3x¤ ⑵ (3x¤ +x)(x-1)
197
:!/ f(t)dt=3x¤ +6x+2 의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=6x+6
:@/ { f(t)+g(t)} dt=3x‹ +2x¤ -x+5 의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)+g(x)=9x¤ +4x-1 (6x+6)+g(x)=9x¤ +4x-1
∴ g(x)=9x¤ -2x-7
∴ g(-1)=9+2-7=4 답 4
198
⑴ (주어진 식)
=[x› -x‹ +x¤ ]1_!
=(1-1+1)-{(-1)› -(-1)‹ +(-1)¤ } 134kn
nlimڦ
nlimڦ
134kn 1124-0n
=1-(1+1+1)
=-2
⑵ (주어진 식)=[;2!;x¤ -x‹ ]0!
(주어진 식)={;2!;¥0¤ -0‹ }-{;2!;¥1¤ -1‹ } (주어진 식)=;2!;
⑶ (주어진 식)
=:_-!3 (2y¤ -3y-2)dy
=[;3@;y‹ -;2#;y¤ -2y]-_3!
=[;3@;(-3)‹ -;2#;(-3)¤ -2¥(-3)]
-[;3@;(-1)‹ -;2#;(-1)¤ -2¥(-1)]
={-18-:™2¶:+6}+;6!;=-:¶3§:
⑷ (주어진 식)
=:_1! dx
=:_1! (x¤ -x+1)dx
=[;3!;x‹ -;2!;x¤ +x]1_!
={;3!;¥1‹ -;2!;¥1¤ +1}
-[;3!;(-1)‹ -;2!;(-1)¤ +(-1)]
={;3!;-;2!;+1}-{-;3!;-;2!;-1}=;3*;
답 ⑴ -2 ⑵;2!; ⑶ -:¶3§: ⑷;3*;
다른풀이여:Ab f(x)dx=-:Ba f(x)dx의 성질을 이 용하여 풀 수도 있다.
⑵ (주어진 식)=-:)1 (x-3x¤ )dx (주어진 식)=[x‹ -;2!;x¤ ]1)=;2!;
⑶ (주어진 식)=:_-!3 (2y¤ -3y-2)dy (주어진 식)=-:_-#1 (2y¤ -3y-2)dy (주어진 식)=:_-#1 (-2y¤ +3y+2)dy
(x+1)(x¤ -x+1) 1122111112x+1
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(주어진 식)=[-;3@;y‹ +;2#;y¤ +2y]-_1#
(주어진 식)={;3@;+;2#;-2}-{18+:™2¶:-6}
(주어진 식)=-:¶3§:
199
:K0 (2x+1)dx=[x¤ +x]0K=-(k¤ +k)=;4!;
k¤ +k+;4!;=0, 4k¤ +4k+1=0
(2k+1)¤ =0한 편∴ k=-;2!; 답 -;2!;
200
⑴ (주어진 식)
=:_1@ (2x¤ +3x-1)dx-:_1@ (2x¤ -x+3)dx
=:_1@{(2x¤ +3x-1)-(2x¤ -x+3)} dx
=:_1@ (4x-4)dx=[2x¤ -4x]1_@
=(2-4)-(8+8)=-18
⑵ (주어진 식)=:)2 (3x¤ +1)dx=[x‹ +x]2)=10
1 y‹
⑶ (주어진 식)=:)1 114 dt-:)1 112 dyt-1 y-1
1 t‹
(주어진 식)=:)1 114 dt-:)1 112 dtt-1 t-1 1 t‹
(주어진 식)=:)1 { 114-112 } dtt-1 t-1 t‹ -1
(주어진 식)=-:)1 1142 dtt-1 (주어진 식)=-:)1 (t¤ +t+1)dt (주어진 식)=-[;3!;t‹ +;2!;t¤ +t]1)=-:¡6¡:
⑷ (주어진 식)=:!2 (x-1)(x-2)dx
(x-1)(x-2)=0에서 두 근이 1, 2이므로 공식 에 의하여
(주어진 식)=-;6!;(2-1)‹ =-;6!;
⑸ (주어진 식)
=:!2 (x¤ -4x)dx+:@4 (x¤ -4x)dx
=-:#4 (x¤ -4x)dx
=:!4 (x¤ -4x)dx-:#4 (x¤ -4x)dx
=:!4 (x¤ -4x)dx+:$3 (x¤ -4x)dx
=:!3 (x¤ -4x)dx=[;3!;x‹ -2x¤ ]3!
=;3!;(3‹ -1)-2(3¤ -1)
=:™3§:-16=-:™3™:
답 ⑴ -18 ⑵ 10 ⑶ -:¡6¡: ⑷ -;6!; ⑸ -:™3™:
201
⑴ |x-x¤ |=|x(x-1)|
⁄x(x-1)æ0,즉 x…0 또는 xæ1일 때,
⁄y=x¤ -x
¤x(x-1)<0,즉 0<x<1일 때,
⁄y=-x¤ +x
⁄
∴ (주어진 식)=:_0! (x¤ -x)dx
∴ (주어진 식)=[;3!;x‹ -;2!;x¤ ]0_!=;6%;
⑵ xæ0일 때, (|x|+x+1)¤ =(2x+1)¤
x<0일 때, (|x|+x+1)¤ =(-x+x+1)¤ =1
x y
O
-2 1
y=(2x+1)¤
y=1 1
x y=x2-x y
y=-x2+x
O
-1 1
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확 인 체 크
∴ (주어진 식)=:_0@ dx+:)1 (2x+1)¤ dx (2x+1)‹
∴ (주어진 식)=[x]0_@+[11114]1)6
∴ (주어진 식)=:¡3ª:
⑶ |x¤ +x-2|=|(x+2)(x-1)|
⁄(x+2)(x-1)æ0일 때, 즉
⁄x…-2또는 xæ1일 때,
⁄y=(x+2)(x-1)
¤(x+2)(x-1)<0일 때, 즉
⁄-2<x<1일 때,
⁄y=-(x+2)(x-1)
∴ (주어진 식)
∴=:)1 (-x¤ -x+2)dx+:!2 (x¤ +x-2)dx
∴=[-;3!;x‹ -;2!;x¤ +2x]1)+[;3!;x‹ +;2!;x¤ -2x]2!
∴=3
⑷
∴ (주어진 식)
∴=:)2 (-x¤ +4)dx+:@3 (x¤ -4)dx
∴=[-;3!;x‹ +4x]2)+[;3!;x‹ -4x]3@=:™3£:
답 ⑴;6%; ⑵:¡3ª: ⑶ 3 ⑷:™3£:
202
|x¤ -1|=|(x+1)(x-1)|
⁄ (x+1)(x-1)æ0일 때, 즉
O x
y y=-x2+4 y=x2-4
-2 2 3
4
O x
y
2
-2 1 2
y=-x2-x+2 y=x2+x-2
⁄ xæ1또는 x…-1일 때,
⁄ |x¤ -1|=x¤ -1
¤ (x+1)(x-1)<0일 때, 즉
⁄ -1<x<1일 때,
⁄ |x¤ -1|=-x¤ +1
적분구간이 [0, a]이고 a>1이므로
(주어진 식)=:)1 (-x¤ +1)dx+:!a (x¤ -1)dx (주어진 식)=[-;3!;x‹ +x]1)+[;3!;x‹ -x]a!
(주어진 식)=-;3!;+1+{;3!;a‹ -a}-{;3!;-1}
(주어진 식)=;3!;a‹ -a+;3$;
(주어진 식)=;3!;(a‹ -3a+4)=:∞3§:
이므로 a‹ -3a-52=0
(a-4)(a¤ +4a+13)=0진진∴ a=4 답 4
203
:)2 x f(x)dx
=:)1 x¥x¤ dx+:!2 x(-2x+3)dx
=:)1 x‹ dx+:!2 (-2x¤ +3x)dx
=[;4!;x› ]1)+[-;3@;x‹ +;2#;x¤ ]2!
=;4!;-;6!;=;1¡2; 답 ;1¡2;
204
f(x)=[ 에서
f(x-1)=[ (x-1)+1 (x-1…0) (x-1)¤ -2(x-1)+1 (x-1æ0) x+1 (x…0)
x¤ -2x+1 (xæ0)
O x
y
2 1
y=-2x+3 y=x¤
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∴ f(x-1)=[
∴:_2! f(x-1)dx
∴=:_1! x dx+:!2 (x¤ -4x+4)dx
∴=[;2!;x¤ ]1_!+[;3!;x‹ -2x¤ +4x]2!
∴=;3!; 답 ;3!;
205
⑴ (주어진 식)
=:_2@(xfi -2x‹ -3x)dx+:_2@(3x¤ +1)dx
=2:)2 (3x¤ +1)dx
=2[x‹ +x]2)
=20
⑵ (주어진 식)
=:_0! (4x‹ +3x¤ +2x+1)dx
+:)1 (4x‹ +3x¤ +2x+1)dx
=:_1! (4x‹ +3x¤ +2x+1)dx
=2:)1 (3x¤ +1)dx
=2[x‹ +x]1)
=4
답 ⑴ 20 ⑵ 4
206
f(x+3)=f(x)이므로
:!4 f(x)dx=:$7 f(x)dx=:&1 0 f(x)dx=5
∴:!1 0 f(x)dx
∴=:!4 f(x)dx+:$7 f(x)dx+:&1 0 f(x)dx
∴=3_5=15
답 15
x (x…1)
x¤ -4x+4 (xæ1)
207
f(x+4)=f(x)이므로 :)4 f(x)dx=:$8 f(x)dx
∴:)1 0 f(x)dx
∴=:)4 f(x)dx+:$8 f(x)dx+:*1 0 f(x)dx
∴=:)4 f(x)dx+:)4 f(x)dx+:)2 f(x)dx
∴=2:)4 f(x)dx+:)2 f(x)dx
∴=2:)4 (-x¤ +4x)dx+:)2 (-x¤ +4x)dx
∴=2[-;3!;x‹ +2x¤ ]4)+[-;3!;x‹ +2x¤ ]2)
∴=:§3¢:+:¡3§:
∴=:•3º: 답 :•3º:
208
⑴ f(x)=x¤ +:)2 (3x+1)f(t)dt f(x)=x¤ +3x:)2 f(t)dt+:)2 f(t)dt
이때:)2 f(t)dt=k(k는 상수) yy`㉠
로 놓으면 f(x)=x¤ +3kx+k yy`㉡
㉡을 ㉠에 대입하면 k=:)2 (t¤ +3kt+k)dt k=[;3!;t‹ +:£2:t¤ +kt]2) k=;3*;+6k+2k=;3*;+8k 즉 k=;3*;+8k이므로 k=-;2•1;
따라서 f(x)=x¤ -;7*;x-;2•1;이므로 f(1)=1-;7*;-;2•1;=-;2!1!;
⑵:)1 tf(t)dt=k(k는 상수) yy㉠ 로 놓으면 f(x)=-2x¤ +3x+k yy㉡
㉡을 ㉠에 대입하면
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확 인 체 크 k=:)1 t(-2t¤ +3t+k)dt
k=:)1 (-2t‹ +3t¤ +kt)dt k=[-;2!;t› +t‹ +;2K;t¤ ]1) k=-;2!;+1+;2K;=;2!;+;2K;
즉 k=;2!;+;2K;이므로 k=1
따라서 f(x)=-2x¤ +3x+1이므로 f(1)=-2+3+1=2
⑶:)1 f(x)dx=k(k는 상수) …… ㉠ 로 놓으면 f '(x)=2x+3k
∴ f(x)=: f '(x)dx=: (2x+3k)dx
∴ f(x)=x¤ +3kx+C 또 f(0)=1이므로 C=1
∴ f(x)=x¤ +3kx+1 …… ㉡
㉡을 ㉠에 대입하면 k=:)1 (x¤ +3kx+1)dx k=[;3!;x‹ +;2#;kx¤ +x]1) k=;3!;+;2#;k+1=;2#;k+;3$;
즉 k=;2#;k+;3$;이므로 k=-;3*;
따라서 f(x)=x¤ -8x+1이므로 f(1)=1-8+1=-6
⑷ f(x)=3x¤ +2x:)1 f(t)dt-:)1 tf(t)dt에서 적분변수가 t 이므로 x 는 상수로 생각한다.
:)1 f(t)dt=a, :)1 tf(t)dt=b라 하면 f(x)=3x¤ +2ax-b
a=:)1 f(t)dt
a=:)1 (3t¤ +2at-b)dt a=[t‹ +at¤ -bt]1) a=1+a-b
즉 a=1+a-b이므로 b=1
b=:)1 tf(t)dt
b=:)1 t(3t¤ +2at-1)dt b=:)1 (3t‹ +2at¤ -t)dt b=[;4#;t› +;3@;at‹ -;2!;t¤ ]1) b=;3@;a+;4!;
즉 b=;3@;a+;4!;=1이므로 a=;8(;
따라서 f(x)=3x¤ +;4(;x-1이므로 f(1)=3+;4(;-1=:¡4¶:
답 ⑴ -;2!1!; ⑵ 2 ⑶ -6 ⑷:¡4¶:
209
주어진 식의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=2x-3
주어진 식의 양변에 x=a를 대입하면 0=a¤ -3a-10, (a+2)(a-5)=0 그런데 a<0이므로 a=-2
∴ f(a)=f(-2)=-4-3=-7
답 -7
210
⑴:?2 f(t)dt=-:@/ f(t)dt이므로
xf(x)=x‹ -3x¤ +:@/ f(t)dt yy`㉠
㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)+xf '(x)=3x¤ -6x+f(x) xf '(x)=3x¤ -6x ∴ f '(x)=3x-6
∴ f(x)=: f '(x)dx=: (3x-6)dx
∴ f(x)=;2#;x¤ -6x+C (C는 적분상수) yy`㉡
x=2를 ㉠에 대입하면
2f(2)=8-12 ∴ f(2)=-2 x=2를 ㉡에 대입하면
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f(2)=6-12+C=-2 ∴ C=4 따라서 f(x)=;2#;x¤ -6x+4이므로 f(-1)=;2#;+6+4=:™2£:
⑵ x¤ f(x)=;3@;xfl -;2!;x› -;6!;+2:!/ tf(t)dt yy㉠
㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면 2xf(x)+x¤ f '(x)=4xfi -2x‹ +2xf(x) x¤ f '(x)=x¤ (4x‹ -2x) ∴ f '(x)=4x‹ -2x
∴ f(x)=: f '(x)dx
∴ f(x)=: (4x‹ -2x)dx
∴ f(x)=x› -x¤ +C (C는 적분상수) yy ㉡ x=1을 ㉠에 대입하면
f(1)=;3@;-;2!;-;6!;=0 x=1을 ㉡에 대입하면 f(1)=1-1+C=0
∴ C=0
따라서 f(x)=x› -x¤ 이므로 f(-1)=1-1=0
답 ⑴:™2£: ⑵ 0
211
주어진 등식의 좌변을 정리하면
:!/ (x-t)f(t)dt=x:!/ f(t)dt-:!/ tf(t)dt이므 로 주어진 등식은
x:!/ f(t)dt-:!/ tf(t)dt=x› +2x¤ -3x 양변을 x에 대하여 미분하면
:!/ f(t)dt+xf(x)-xf(x)=4x‹ +4x-3
∴:!/ f(t)dt=4x‹ +4x-3 양변을 다시 x에 대하여 미분하면 f(x)=12x¤ +4
∴ f(-1)=12+4=16
답 16
212
⑴ 주어진 등식을 정리하면
x:!/ f(t)dt-:!/ tf(t)dt=x› +3x‹ +ax¤ +2 yy`㉠
양변을 x에 대하여 미분하면
:!/ f(t)dt+xf(x)-xf(x)=4x‹ +9x¤ +2ax
∴:!/ f(t)dt=4x‹ +9x¤ +2ax 양변을 다시 x에 대하여 미분하면 f(x)=12x¤ +18x+2a
x=1을 ㉠에 대입하면 0=1+3+a+2 ∴ a=-6
∴ f(x)=12x¤ +18x-12
⑵ 주어진 등식을 정리하면
x:!/ f(t)dt-:!/ tf(t)dt=x‹ +ax¤ +bx yy㉠ 양변을 x에 대하여 미분하면
:!/ f(t)dt+xf(x)-xf(x)=3x¤ +2ax+b
∴:!/ f(t)dt=3x¤ +2ax+b yy㉡ 양변을 다시 x에 대하여 미분하면
f(x)=6x+2a yy`㉢
x=1을 ㉠에 대입하면
0=1+a+b ∴ a+b=-1 yy㉣
x=1을 ㉡에 대입하면
0=3+2a+b ∴ 2a+b=-3 yy㉤
㉣, ㉤을 연립하여 풀면 a=-2, b=1
a=-2를 ㉢에 대입하면 f(x)=6x-4 답 ⑴ f(x)=12x¤ +18x-12 ⑵ f(x)=6x-4
213
f(x)=:_/# (3t¤ -6t-9)dt 의 양변을 x에 대하여 미분하면
f '(x)=3x¤ -6x-9=3(x-3)(x+1) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=3
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확 인 체 크
x=-1일 때, f(x)는 극대이며 극댓값은 f(-1)=:_-#1 (3t¤ -6t-9)dt
f(-1)=[t‹ -3t¤ -9t]-_1#=32 x=3일 때, f(x)는 극소이며 극솟값은 f(3)=:_3# (3t¤ -6t-9)dt
f(1)=[t‹ -3t¤ -9t]3_#=0
답 극댓값：32, 극솟값：0
214
f(x)=:)/ (t-1)(t-5)dt 의 양변을 x에 대하여 미분하면 f '(x)= (x-1)(x-5)
f '(x)=0에서 x=1(∵ 0…x…3)
따라서 0…x…3일 때, 함수 f(x)는 x=1에서 극대 이면서 최대이므로 최댓값은
f(1)=:)1 (t-1)(t-5)dt f(x)=:)1 (t¤ -6t+5)dt f(x)=[;3!;t‹ -3t¤ +5t]1)
f(x)=;3!;-3+5=;3&; 답 ;3&;
215
f(x)=:_/# (t¤ +t+k)dt 의 양변을 x에 대하여 미분하면 f '(x)=x¤ +x+k
함수 f(x)가 x=-3에서 극댓값을 가지므로
f '(-3)=0, 즉 9-3+k=0 ∴ k=-6
∴ f '(x)=x¤ +x-6=(x+3)(x-2) f '(x)=0에서 x=-3 또는 x=2
따라서 함수 f(x)는 x=2에서 극소이고 극솟값은 f(2)=:_2# (t¤ +t-6)dt
f(2)=[;3!;t‹ +;2!;t¤ -6t]2_#
f(2)=-:¡;6@;∞: 답 -:¡;6@;∞:
216
⑴ f(t)=(t-2)‹ 으로 놓고 f(t)의 한 부정적분을 F(t)라 하면
:!/ (t-2)‹ dt
=
=
=
=F'(1)
이때 F'(t)=f(t)이므로 F'(t)=(t-2)‹
∴ F'(1)=(1-2)‹ =-1
⑵ f(t)=2t¤ +3t-1로 놓고 f(t)의 한 부정적분을 F(t)라 하면
:!x¤ (2t¤ +3t-1)dt
=
= [F(t)]!x¤
11115x-1 limx⁄1
:!x¤(2t¤ +3t-1)dt 111111112x-1 limx⁄1
112x-11 limx⁄1
F(x)-F(1) 1111113x-1 limx⁄1
[F(t)]/!
11115x-1 limx⁄1
:!/ (t-2)‹ dt 111111x-1 limx⁄1
112x-11 limx⁄1
x … -1 … 3 …
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗
x … -3 … 2 …
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗
x 0 … 1 … 3
f '(x) + 0
-f(x) ↗ 극대 ↘
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=
= ¥(x+1)
=2F'(1)
이때 F'(t)=f(x)이므로
2F'(1)=2f(1)=2(2+3-1)=8
⑶ f(t)=|t-4|로 놓고 f(t)의 한 부정적분을 F(t)라 하면
:!/ |t-4|dt
=
=
=
= ¥
=;2!;F'(1)
이때 F'(t)=f(t)이므로
;2!;F'(1)=;2!; f(1)=;2!;|1-4|=;2#;
⑷ f(x)=3x¤ -x+1로 놓고 f(x)의 한 부정적분 을 F(x)라 하면
;h!;:@2_—Hh (3x¤ -x+1)dx
= ;h!; [F(x)]2@—_hH
=
=
=
=- _(-1)
=F'(2)+F'(2)=2F'(2) 이때 F'(x)=f(x)이므로
2F'(2)=2f(2)=2(12-2+1)=22 F(2-h)-F(2)
112111113-h limh⁄0
F(2+h)-F(2) 112111113h limh⁄0
F(2+h)-F(2)+F(2)-F(2-h) 112111111111111h limh⁄0
F(2+h)-F(2-h) 1121111111h limh⁄0
limh⁄0
limh⁄0
112x+11 F(x)-F(1) 1111113x-1 limx⁄1
F(x)-F(1) 1111113x¤ -1 limx⁄1
[F(t)]/!
11115x¤ -1 limx⁄1
:!/ |t-4|dt 111111x¤ -1 limx⁄1
1125x¤ -11 limx⁄1
F(x¤ )-F(1) 1111112x¤ -1 limx⁄1
F(x¤ )-F(1) 1111112x-1 limx⁄1
답 ⑴ -1 ⑵ 8 ⑶;2#; ⑷ 22
217
f(x)=ax-x¤으로 놓고 f(x)의 한 부정적분을 F(x)라 하면
;h!;:_-! 1 — h (ax-x¤ )dx
= ;h!;[F(x)]-_1!— h
=
=F'(-1)=-3 이때 F'(x)=f(x)이므로 F'(-1)=f(-1)=-a-1=-3
∴ a=2 답 2
218
(주어진 식)=2 lim
nڦ;Kn+!{2+:n:
3k }2 ¥;n!;
(주어진 식)=2 lim
nڦ;Kn+!{2+:n:
3k
}2 ¥;n#;¥;3!;
(주어진 식)=;3@;:@2+3x¤ dx=;3@;[;3!;x‹ ]5@
(주어진 식)=;9@;(5‹ -2‹ )=26 답 26
219
(주어진 식)=3 ;Kn+!f{2+;nK;}¥;n!;
(주어진 식)=3:)1 f(2+x)dx
(주어진 식)=3:)1 {(x+2)¤ +2(x+2)} dx (주어진 식)=3:)1 (x¤ +6x+8)dx (주어진 식)=3[;3!;x‹ +3x¤ +8x]1)
(주어진 식)=34 답 34
다른풀이 (주어진 식)=3 ;Kn+!f{2+;nK;}¥;n!;
다른풀이 (주어진 식)=3:@3 f(x)dx
nlimڦ
nlimڦ
F(-1+h)-F(-1) 11211111113h limh⁄0
limh⁄0
limh⁄0
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확 인 체 크 다른풀이 (주어진 식)=3:@3 (x¤ +2x)dx
다른풀이 (주어진 식)=3[;3!;x‹ +x¤ ]3@
다른풀이 (주어진 식)=34
220
(주어진 식)=lim
n⁄¶;n!;[{;n!;}3 +{;n@;}3 +…+{;nN;}3 ] (주어진 식)=lim
n⁄¶;n!; ;Kn+! {;nK;}3 (주어진 식)=lim
n⁄¶;Kn+!{;nK;}3 ¥;n!;
(주어진 식)=:)1 x‹ dx=[:4:x› ]1)=;4!; 답 ;4!;
221
(주어진 식)= ;Kn+!(2n-k)¤
(주어진 식)=6 ;Kn+! ¥;n!;
(주어진 식)=6 ;Kn+!{2-;nK;}¤ ¥;n!;
(주어진 식)=-6 ;Kn+!{2+ }¤ ¥ (주어진 식)=-6:@1 x¤ dx=-6[;3!;x‹ ]1@
(주어진 식)=14 답 14
다른풀이 (주어진 식)=6 ;Kn+!{2-;nK;}¤ ¥;n!;
다른풀이 (주어진 식)=6:)1 (2-x)¤ dx 다른풀이 (주어진 식)=6:)1 (x¤ -4x+4)dx 다른풀이 (주어진 식)=6[;3!;x‹ -2x¤ +4x]1) 다른풀이 (주어진 식)=14
222
⑴ 곡선 y=-x¤ +6x-8과 x축과의 교점의 x좌표 는
-x¤ +6x-8=0에서 (x-2)(x-4)=0
nlimڦ
11-1n 11-kn
nlimڦ
nlimڦ
(2n-k)¤
11211n¤
nlimڦ
15n‹6
nlimڦ
∴ x=2 또는 x=4 따라서 곡선
y=-x¤ +6x-8과 x 축으로 둘러싸인 부분 은 오른쪽 그림의 색칠 한 부분과 같다.
2…x…4에서 yæ0이 므로 구하는 넓이를 S라 하면 S=:@4 (-x¤ +6x-8) S=[-;3!;x‹ +3x¤ -8x]4@
S=;3$;
⑵ 곡선 y=x¤ -2x-8과 x축과의 교점의 x좌표는 x¤ -2x-8=0에서 (x+2)(x-4)=0
∴ x=-2 또는 x=4 따라서 곡선
y=x¤ -2x-8과 x축으 로 둘러싸인 부분은 오 른쪽 그림의 색칠한 부 분과 같다.
-2…x…4에서 y…0이 므로 구하는 넓이를 S라 하면 S=-:_4@ (x¤ -2x-8)dx S=-[;3!;x‹ -x¤ -8x]4_@=36
⑶ 곡선 y=x‹ -x¤ -2x와 x 축과의 교점의 x 좌표 는 x‹ -x¤ -2x=0에서
x(x-2)(x+1)=0
∴ x=-1 또는 x=0 또는 x=2 따라서 곡선
y=x‹ -x¤ -2x와 x 축으로 둘러싸인 부분 은 오른쪽 그림의 색칠 한 부분과 같다.
-1…x…0에서 yæ0, 0…x…2에서 y…0이므 로 구하는 넓이를 S라 하면
O x
y y=x‹ -x¤ -2x
-1 2
y=x¤ -2x-8 O
4 -2
-8
x y
O
-8 4 2
x y y=-x¤ +6x-8
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S=:_0!(x‹ -x¤ -2x)dx-:)2 (x‹ -x¤ -2x)dx S=[;4!;x› -;3!;x‹ -x¤ ]0_!-[;4!;x› -;3!;x‹ -x¤ ]2) S=;1#2&;
⑷ 곡선 y=-x‹ -3x¤ +x+3과 x축과의 교점의 x 좌표는
-x‹ -3x¤ +x+3=0에서 x‹ +3x¤ -x-3=0 (x+3)(x+1)(x-1)=0
∴ x=-3 또는 x=-1 또는 x=1 따라서 곡선
y=-x‹ -3x¤ +x+3 과 x축으로 둘러싸인 부분은 오른쪽 그림의 색칠한 부분과 같다.
-3…x…-1에서 y…0, -1…x…1에서 yæ0 이므로 구하는 넓이를 S라 하면
S=-:_-#1 (-x‹ -3x¤ +x+3)dx S=+:_1! (-x‹ -3x¤ +x+3)dx S=-[-;4!;x› -x‹ +;2!;x¤ +3x]-_1#
S=+[-;4!;x› -x‹ +;2!;x¤ +3x]1_!
S=8
답 ⑴;3$; ⑵ 36 ⑶;1#2&; ⑷ 8
223
곡선 y=x¤ -3x와 x축과의 교점의 x좌표는 x¤ -3x=0에서 x(x-3)=0
∴ x=0 또는 x=3 따라서 곡선 y=x¤ -3x와 x축 및 두 직선 x=-1, x=2로 둘러싸인 부분은 오른쪽 그림과 같다.
-1…x…0에서 yæ0, 0…x…2에서 y…0이므로 구하는 넓이를 S라 하면
y=x¤ -3x
O x
y
2
-1 3
y=-x‹ -3x¤ +x+3
O x
y
-3 -1
1 3
S=:_0! (x¤ -3x)dx-:)2 (x¤ -3x)dx S=[;3!;x‹ -;2#;x¤ ]0_!-[;3!;x‹ -;2#;x¤ ]2)
S=:£6¡: 답 :£6¡:
224
곡선 y=-x¤ +kx와 x축과의 교점의 x좌표는 -x¤ +kx=0에서 x(x-k)=0
∴ x=0 또는 x=k 이때 k<0이므로 곡선 y=-x¤ +kx와 x축으로 둘러 싸인 부분은 오른쪽 그림의 색 칠한 부분과 같다.
k…x…0에서 yæ0이고 넓이 가 36이므로
36=:K0 (-x¤ +kx)dx=[-;3!;x‹ +;2K;x¤ ]0K
36=-{- + }
36=-k‹ =-216 ∴ k=-6 답 -6
225
⑴ 곡선 x=y¤ -6y와 y축과의 교점의 y좌표는 y¤ -6y=0에서 y(y-6)=0
∴ y=0 또는 y=6 따라서 곡선
x=y¤ -6y와 y축으로 둘러싸인 부분은 오른 쪽 그림의 색칠한 부 분과 같다.
0…y…6에서 x…0이므로 구하는 넓이를 S라 하 면
S=-:)6 (y¤ -6y)dy S=-[;3!;y‹ -3y¤ ]6)=36
O x
y
6 x=y¤ -6y
15k‹6
15k‹2 15k‹3
O x
y
k
y=-x¤ +kx
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확 인 체 크
⑵ 곡선 x=y¤ -4와 y축과의 교점의 y좌표는 y¤ -4=0에서 (y-2)(y+2)=0
∴ y=-2 또는 y=2 따라서 곡선 x=y¤ -4와 y축 및 직선 y=3으로 둘러싸인 부분은 오른쪽 그림의 색칠한 부분과 같다.
-2…y…2에서 x…0, 2…y…3에서 xæ0이므 로 구하는 넓이를 S라 하면
S=-:_2@ (y¤ -4)dy+:@3 (y¤ -4)dy S=-[;3!;y‹ -4y]2_@+[;3!;y‹ -4y]3@=13
⑶ 곡선 y='ƒx+1+1과 y축과의 교점의 y좌표는 y='ƒ0+1+1=2
따라서 곡선
y='ƒx+1+1과 y축 및 두 직선 y=1, y=3 으로 둘러싸인 부분은 오른쪽 그림의 색칠한 부분과 같다.
y='ƒx+1+1을 x에 대하여 정리하면 'ƒx+1=y-1, x+1=(y-1)¤
∴ x=y¤ -2y
1…y…2에서 x…0, 2…y…3에서 xæ0이므로 구하는 넓이를 S라 하면
S=-:!2 (y¤ -2y)dy+:@3 (y¤ -2y)dy S=-[;3!;y‹ -y¤ ]2!+[;3!;y‹ -y¤ ]3@=2
⑷ 곡선 y=-'ƒx+4와 y축과의 교점의 y좌표는 y=-'ƒ0+4=-2
따라서 곡선
y=-'ƒx+4와 y축 및 두 직선 y=0, y=-3으로 둘러싸 인 부분은 오른쪽 그 림의 색칠한 부분과 같다.
O x
y
-3 -2 -4
y=-3 y=-'x+4
O x
y
-1 1 2 3
3 y=3 y=1 y='x+1+1
O x
y 3 2
-2 -4
x=y¤ -4
y=-'ƒx+4를 x에 대하여 정리하면 -y='ƒx+4, y¤ =x+4
∴ x=y¤ -4
-3…y…-2에서 xæ0, -2…y…0에서 x…0 이므로 구하는 넓이를 S라 하면
S=:_-#2 (y¤ -4)dy-:_0@ (y¤ -4)dy S=[;3!;y‹ -4y]-_2# -[;3!;y‹ -4y]0_@
S=:™3£:
답 ⑴ 36 ⑵ 13 ⑶ 2 ⑷:™3£:
226
곡선 x=y(y-k)¤ 과 y축과의 교점의 y좌표는 y(y-k)¤ =0에서 y=0 또는 y=k
0…y…k일 때, xæ0이므로 구하는 넓이를 S라 하면 S=:)k (y‹ -2ky¤ +k¤ y)dy
S=[;4!;y› -:™3:y‹ + y¤]k) S=;1¡2;k›
;1¡2;k› =12이므로 k› =144 (k¤ +12)(k+2'3)(k-2'3)=0
∴ k=2'3 (∵ k>0) 답 2'3
227
⑴ 두 곡선의 교점의 x 좌표는 x‹ =3x¤ -4에서 x‹ -3x¤ +4=0, (x+1)(x-2)¤ =0
∴ x=-1 또는 x=2 -1…x…2에서 x‹ æ3x¤ -4
따라서 구하는 넓이를 S라 하면
S=:_2!{x‹ -(3x¤ -4)}dx S=[;4!;x› -x‹ +4x]2_!
S=:™4¶:
O x
y
-1 2
y=x‹
y=3x2-4
15k¤2
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⑵ 곡선과 직선의 교점의 x 좌표는 x‹ -6x¤ +9x=x에서
x‹ -6x¤ +8x=0 x(x-2)(x-4)=0
∴ x=0 또는 x=2 또는 x= 4 0…x…2에서 x‹ -6x¤ +9xæx 2…x…4에서 x‹ -6x¤ +9x…x
따라서 구하는 넓이를 S라 하면 S=:)2 {(x‹ -6x¤ +9x)-x} dx S=+:@4 {x-(x‹ -6x¤ +9x)} dx S=:)2 (x‹ -6x¤ +8x)dx
S=-:@4 (x‹ -6x¤ +8x)dx
S=[;4!;x› -2x‹ +4x¤ ]2)-[;4!;x› -2x‹ +4x¤ ]4@
S=8
⑶ y='ƒx+6에서 x=y¤ -6(yæ0)
곡선 y='ƒx+6과 직선 y=x의 교점의 y좌표는 y=y¤ -6에서 y¤ -y-6=0
(y+2)(y-3)=0교점∴ y=3 (∵ yæ0)
0…y…3에서 yæy¤ -6 따라서 구하는 넓이를 S라 하면 S=:)3 {y-(y¤ -6)}dy S=:)3 (-y¤ +y+6)dy S=[-;3!; y‹ +;2!; y¤ +6y]3) S=;;™2¶;;
O
-6 3
3
x x+6
y y=x
y='å
O x
y
y=x y=x3-6x2+9x
2 4
⑷ 두 곡선의 교점의 x좌 표는
x‹ +2x¤ -2=-x¤ +2 에서
(x+2)¤ (x-1)=0 따라서 x=-2에서 접하고 x=1에서 만 난다.
따라서 구하는 넓이를 S라 하면 S=:_1@ {(-x¤ +2)-(x‹ +2x¤ -2)}dx S=:_1@ (-x‹ -3x¤ +4)dx
S=[-;4{;›
;-x‹ +4x]1_@
S=:™4¶:
답 ⑴:™4¶: ⑵ 8
⑶;;™2¶;; ⑷:™4¶:
참고집⑶에서 구하는 넓이 S는
S=:_0^'ƒx+6 dx+:)3 ('ƒx+6-x)dx 로 나타낼 수 있으나 피적분함수'ƒx+6, 'ƒx+6-x 는 무리함수이므로 교과 과정에 벗어난 것이다.
따라서 위와 같은 방법을 이용하여 넓이를 구한 다.
228
두 곡선의 교점의 x 좌표는 x(x-1)(x-2)=x(x-1) 에서
x=0또는 x=1 또는 x=3 0…x…1에서
x(x-1)(x-2)æx(x-1) 1…x…3에서
x(x-1)(x-2)…x(x-1) 따라서 구하는 넓이를 S라 하면
O x
y 2
-2
1 y=x3+2x2-2
y=-x2+2
O x
y
1 2 3 6
y=x(x-1) y=x(x-1)(x-2)
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확 인 체 크 S=:)1 {x(x-1)(x-2)-x(x-1)} dx
S=-:!3 {x(x-1)(x-2)-x(x-1)} dx S=:)1 (x‹ -4x¤ +3x)dx-:!3 (x‹ -4x¤ +3x)dx S=[;4!;x› -;3$;x‹ +;2#;x¤ ]1)-[;4!;x› -;3$;x‹ +;2#;x¤ ]3!
S=;1#2&; 답 ;1#2&;
229
두 곡선의 교점의 x 좌표는 x¤ -3x=-x¤ +7x-8에서 x=1또는 x=4
공식을 이용하면
|a-a'|=2 a=1, b=4
2(4-1)‹
∴ S=11113=96
답 9 다른풀이여S=:!4 {(-x¤ +7x-8)-(x¤ -3x)}dx 다른풀이여S=-2:!4 (x¤ -5x+4)dx
다른풀이여S=-2[;;3;;x‹
-;2%; x¤ +4x]4!
다른풀이여S=9
230
곡선과 직선의 교점의 x 좌 표는 x¤ =x에서
x=0 또는 x=1 공식을 이용하면 a=1, a=0, b=1
1¥(1-0)‹
∴ S=11111=;6!;6 답 ;6!;
다른풀이여S=:)1 (x-x¤ )dx 다른풀이여S=[;2!;x¤ -;3!;x‹ ]1) 다른풀이여S=;6!;
O x
y
1 1
y=x¤y=x
O x
y
4 1
y=x2-3x
y=-x2+7x-8
231
y=x¤ -3x와 y=-x+k 의 교점의 x좌표를 a, b(a<b)라 하면 오른 쪽 그림에서 곡선과 직선 으로 둘러싸인 부분의 넓 이가 36이므로
:Ú’ {(-x+k)-(x¤ -3x)}dx=36 :Ú’ (-x¤ +2x+k)dx=;6!;(b-a)‹ =36 (b-a)‹ =6‹이므∴ b-a=6 …… ㉠ 또 a, b는 x¤ -2x-k=0의 두 근이므로
a+b=2, ab=-k …… ㉡
㉠, ㉡에서 a=-2, b=4이므로
ab=-k=-8이므∴ k=8 답 8
232
그래프를 그리면 오른쪽 그림과 같고, 교점의 x좌표는
x(x-1)=x+3에서 x=-1 또는 x=3
∴ S=:_3! {x+3-(x¤ -x)}dx
∴ S=-2:)1 (-x¤ +x)dx
∴ S=[-;3!;x‹ +x¤ +3x]3_!-2[-;3!;x‹ +;2!;x¤ ]1)
∴ S=:£3¡: 답 :£3¡:
233
곡선
y=x(x-4)(x-2a) 와 x축과의 교점의 x좌 표는
x(x-4)(x-2a)=0
∴ x=0 또는 x=4 또는 x=2a
O 4 2a x
y y=x(x-4)(x-2a)
O x
y=x2-xy
3 1 -1
y=x+3
y=x-x¤
3
O 3 b
a x
y y=x2-3x
y=-x+k
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위의 그림의 색칠한 두 도형의 넓이가 같아야 하므로 :)2 a x(x-4)(x-2a)dx=0
:)2 a {x‹ -(2a+4)x¤ +8ax} dx=0 [;4!;x› -;3!;(2a+4)x‹ +4ax¤ ]2)a=0 4a› -;3*;a‹ (2a+4)+16a‹ =0 4a› -16a‹ =0, 4a‹ (a-4)=0
이때 a>2이므로 a=4 답 4
234
두 곡선의 교점의 x 좌표는 x(k-x)=x¤ (k-x)에서 x=0 또는 x=1 또는 x=k
∴:)k {x(k-x)-x¤ (k-x)}dx
∴=:)k {x‹ -(k+1)x¤ +kx}dx
∴=[;4!;x› -::3::k+1
x‹ +;2K;x¤ ]k)
∴=-;1¡2;k› +;6!;k‹ =0 k‹ (k-2)=0
∴ k=2 (∵ k>1) 답 2
235
f(x)=x‹ -3x¤ +x+4 라 하면
f'(x)=3x¤ -6x+1
∴ f '(0)=1
따라서 점 (0, 4)에서의 접선의 방정식은 y=x+4
곡선과 접선의 교점의 x좌표는 x‹ -3x¤ +x+4=x+4 x¤ (x-3)=0
∴ x=0 또는 x=3
따라서 구하는 넓이를 S라 하면 S=:)3 {(x+4)-(x‹ -3x¤ +x+4)}dx
O x
y
3
y=x3-3x2+x+4
4
y=x+4
S=:)3 (-x‹ +3x¤ )dx S=[-;4!;x› +x‹ ]3)
S=:™4¶: 답 :™4¶:
다른풀이여a=1, b=3, a=0이므로 S=;12;|a|
(b-a)› =;1¡2;¥81=:™4¶:
236
y=x¤ -4x+a의 그래프 의 대칭축은 x=2이므로 영역 B는 x=2에 의하 여 이등분된다.
∴:)2 (x¤ -4x+a)dx
∴=[;3!;x‹ -2x¤ +ax]2)
∴=;3*;-8+2a=0
∴ a=;3*; 답 ;3*;
237
직선 y=ax 와 포물선 y=x¤ -3x의 교점의 x좌표는 ax=x¤ -3x에서 x¤ -(a+3)x=0 x(x-a-3)=0
∴ x=0 또는 x=a+3
포물선 y=x¤ -3x와 x축과의 교점의 x 좌표는 x¤ -3x=0에서 x(x-3)=0
∴ x=0 또는 x=3
따라서 곡선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 색 칠한 부분의 넓이의 2배이므로
:)a+3{ax-(x¤ -3x)}dx=-2:)3 (x¤ -3x)dx [-;3!;x‹ +;2!;(a+3)x¤ ]0a+3=-2[;3!;x‹ -;2#;x¤ ]3)
;6!;(a+3)‹ =9
∴ a=3(‹'2-1) 답 3(‹'2-1)
O x
y
3 a+3
y=ax y=x2-3x
O x
y
A B
2
y=x¤ -4x+a
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확 인 체 크
238
기울기가 m이고 점 (1, 2)를 지나는 직선의 방정식은 y-2=m(x-1)교점∴ y=m(x-1)+2
포물선과 직선의 교점의 x 좌표를 a, b(a<b)라 하 면 a, b는 방정식
x¤ =m(x-1)+2,즉 x¤ -mx+m-2=0 의 두 근이다.
∴ a+b=m, ab=m-2
(b-a)¤ =(b+a)¤ -4ab=m¤ -4m+8에서 b-a="√m¤ -4m+8="√(m-2)¤ +4
∴ S=:ab(mx+2-m-x¤ )dx (b-a)‹
∴ S=1111=;6!; {"√(m-2)¤ +4 }‹6
∴ S=;6!; {(m-2)¤ +4};2#;
따라서 도형의 넓이는 기울기가 2 일 때, 최소가 된다.
답 2
239
y=f(x)와 y=g(x) 는 서로 역함수의 관계 이므로 두 함수의 그래 프는 직선 y=x에 대 하여 대칭이다.
함수 y=f(x)의 그래
프와 직선 y=x의 교점의 x좌표는 2x‹ +x¤ +x=x에서 x¤ (2x+1)=0
∴ x=0 또는 x=-;2!;
두 곡선 y=f(x)와 y=g(x)로 둘러싸인 도형의 넓 이는 -;2!;…x…0에서 직선 y=x와 곡선 y=f(x) 로 둘러싸인 도형의 넓이의 2배와 같다.
따라서 구하는 넓이를 S라 하면 S=2:0
-;2!;
{(2x‹ +x¤ +x)-x} dx S=2:0
-;2!;
(2x‹ +x¤ )dx S=2[;2!;x› +;3!;x‹ ]0
-;2!;
=;4¡8; 답 ;4¡8;
O -;2;1
x y y=f(x)y=x
y=g(x)
240
f (x)=x‹ +3에서 f '(x)=3x¤ æ0, f(0)=3, f(2)=11 이므로 y=f(x)의 그래 프는 두 점 (0, 3), (2, 11)을 지나는 증가 하는 곡선이다.
위의 그림에서 B=C이므로 :)2 f(x)dx+:F¿)Æf(2)g(x)dx
=A+B=A+C=2_11=22 답 22
241
점 P가 멈추려면 속도가 0이어야 하므로 v(t)=6t-t¤ =t(6-t)=0
∴ t=0 또는 t=6
따라서 점 P는 출발한 지 6초 후에 멈추므로 6초 때 까지 이동한 거리는
:)6 |v(t)|dt=:)6 |6t-t¤ |dt :)6 |v(t)|dt=:)6 (6t-t¤ )dt
:)6 |v(t)|dt=[3t¤ -;3!;t‹ ]6)=36 답 36
242
⁄4초 후의 점 P 의 위치는
⁄:)4 v dt=:)4 (t¤ -4t+3)dt
⁄:)4 vdt=[;3!;t‹ -2t¤ +3t]4)=;3$;
¤t=0에서 t=4 까지의
⁄경과 거리는
⁄:)4 |v|dt
⁄=:)4 |t¤ -4t+3|dt
⁄=:)1 (t¤ -4t+3)dt
O t
v v=t2-4t+3
v=-t2+4t-3
1 3 4
O A C
3 B
2 11
2 3 11
x y
y=f(x) y=x
y=g(x)
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-5t¤ +60t=0
∴ t=12(초)
따라서 t=12일 때 v=-10t+60으로부터 v=-60(m/초)
답 ⑴ 180 m ⑵ 200 m ⑶ -60 m/초
245
먼저 그래프를 보고 속도 v 와 시각 t 사이의 관계식 을 세우면
0…t…1일 때, v=2t 1…t…2일 때, v=2 2…t…5일 때, v=-t+4
⑴ t=4일 때, 운동 방향이 바뀌므로 움직인 거리는 :)4 |v|dt
=:)1 2t dt+:!2 2 dt+:@4 (-t+4)dt
=[t¤ ]1)+[2t]2!+[-;2!;t¤ +4t]4@
=5
⑵:)5 |v|dt=:)4 |v|dt-:$5 (-t+4)dt :)5 |v|dt=5+;2!;
:)5 |v|dt=:¡2¡: 답 ⑴ 5 ⑵:¡2¡:
다른풀이여넓이를 이용하여 구할 수도 있다.
⑴ (움직인 거리)=;2!;_(1+4)_2 (움직인 거리)=5
⑵ (움직인 거리)=5+;2!;_1_1 (움직인 거리)=:¡2¡:
⁄=+:!3 (-t¤ +4t-3)dt+:#4 (t¤ -4t+3)dt
⁄=[;3!;t‹ -2t¤ +3t]1)+[-;3!;t‹ +2t¤ -3t]3!
⁄=+[;3!;t‹ -2t¤ +3t]4#
=;3$;+;3$;+;3$;=4
답 점 P의 위치：;3$;, 경과 거리：4
243
정지할 때의 속도는 v(t)=0이므로 v(t)=24-2t=0도는∴ t=12(초)
따라서 열차는 제동을 건 뒤 12초 후에 정지한다.
그러므로 열차가 정지할 때까지 달린 거리 s 는 s=:)1 2 |24-2t|dt
s=:)1 2 (24-2t)dt s=[24t-t¤ ]1)2
s=144(m) 답 144 m
244
⑴ 최고점에 도달했을 때는 v=0이므로 -10t+60=0도는∴ t=6(초)
∴ s=:)6 (-10t+60)dt
∴ s=[-5t¤ +60t]6)=180(m)
⑵ s=:)8 |-10t+60|dt
s=:)6 (-10t+60)dt+:^8 (10t-60)dt s=[-5t¤ +60t]6)+[5t¤ -60t]8^=200(m)
⑶ t초 후의 높이는 :)t (-10t+60)dt
=[-5t¤ +60t]t)
=-5t¤ +60t
땅에 떨어질 때의 높이는 0 이므로