수열의 극한 - Ⅰ 미적분

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0 4

⑴ = = =2

∴ k=-3

⑵ = 의 값

이 0이 아닌 값으로 수렴하므로 분자와 분모의 차수는 같다.

즉 b=0이어야 한다. 이때

=-2 이므로

;3A;=-2 ∴ a=-6

∴ b-a=6 답 ⑴ -3 ⑵ 6

0 5

⑴ na«=b«으로 놓으면 a«= 이고 b«=3

∴ =

= =;3@;

⑵ =b«으로 놓으면 a«= 이고

b«=-1

∴ a«=

= =;2#;

∴ = =5

답 ⑴;3@; ⑵ 5

;2#;+1 1115

;2#;-1 111a«+1a«-1

nlim⁄¶

4¥(-1)+1 1111125¥(-1)+3

4b«+1 11125b«+3

nlim⁄¶

4b«+1 11125b«+3 -3a«+1

112125a«-4

2+;n#;

111b«

nlim⁄¶

2n¤ +3n 1111n¤ b«

nlim⁄¶

2n¤ +3n 1111b«

n‹ ¥13n

nlim⁄¶

2n¤ +3n 1111n‹ a«

nlim⁄¶

13b«n

a+:™nÅ:+15n¤a 11111231

3-15n¤

nlim⁄¶

an¤ +2an+a 11211123n¤ -1

nlim⁄¶

an¤ +2an+a 1121112bn‹ +3n¤ -1

nlim⁄¶

a(n+1)¤

1121115bn‹ +3n¤ -1

nlim⁄¶

11115+k6 3¥5+k

11125+1 3a«+k

1112a«+1

nlim⁄¶

06

이차방정식 x¤ -x+n-"√n¤ +n=0의 두 근이 a«, b«이므로 근과 계수의 관계에 의하여

a«+b«=1, a«b«=n-"√n¤ +n

∴ { + }=

∴ { + }=-2 답 -2

07

a«= {2+ }=2

b«= [1- ]=1

∴ 40 =40¥ =50 답 50

08

2n¤ +3n-3<a«<2n¤ +3n+4에서 3n-3<a«-2n¤ <3n+4

∴ < <

이때

= =3,

= =3

이므로 수열의 극한의 대소 관계에 의하여

=3 답 3

a«-2n¤

111455n

nlim⁄¶

3+;n$;

1111

nlim⁄¶

1113n+4n

nlim⁄¶

3-;n#;

1111

nlim⁄¶

1113n-3n

nlim⁄¶

1113n+4n a«-2n¤

1111n 1113n-3n

2¤ +1¤

1112¥2¥1 a«¤ +b«¤

11112a«b«

nlim⁄¶

11113n(1+n¤ )1

nlim⁄¶

1312n¤

nlim⁄¶

1+Æ…1+;n!;

111112-1

nlim⁄¶

n+"√n¤ +n 111112-n

nlim⁄¶

n+"√n¤ +n 1111123n¤ -(n¤ +n)

nlim⁄¶

111111 n-"√n¤ +n

nlim⁄¶

a«+b«

1113a«b«

nlim⁄¶

13b«1 13a«1

nlim⁄¶

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연습 문 제・ 심 화 문 제

09

⑴

= Æ…a+;n#; {Æ…1+;n@;+Æ…1+;n!; }

='a(1+1)=2'a=6

∴ a=9

⑵ {"√n(n+4)-an+b}

= {"√n¤ +4n-(an-b)}

이 식의 값이 4이므로 1-a¤ =0, =4 따라서 a=1, b=2이므로 a+b=3

답 ⑴ 9 ⑵ 3

10

"√9n¤ +6n+1<"√9n¤ +11n+3<"√9n¤ +12n+4이 므로

3n+1<"√9n¤ +11n+3<3n+2

∴ a«=3n+1

∴b«="√9n¤ +11n+3-(3n+1)

∴

∴=lim11111111111111113n+1+n{"√9n¤ +11n+3-(3n+1)}n

n⁄¶

a«+nb«

1111n

nlim⁄¶

2(2+ab) 112111+a

(1-a¤ )n+2(2+ab)-15b¤n 1121111111115

Æ…1+;n$;+a-;nB;

nlim⁄¶

(1-a¤ )n¤ +2(2+ab)n-b¤

1111111111115

"√n¤ +4n+an-b

nlim⁄¶

n¤ +4n-(an-b)¤

111111112

"√n¤ +4n+an-b

nlim⁄¶

{"√n¤ +4n-(an-b)}{"√n¤ +4n+(an-b)}

111111111111111111

"√n¤ +4n+an-b

nlim⁄¶

'ƒan+3('ƒn+2+'ƒn+1) 111111111115n

nlim⁄¶

'ƒan+3('ƒn+2+'ƒn+1) 1111111111111111

n('ƒn+2-'ƒn+1)('ƒn+2+'ƒn+1)

nlim⁄¶

'ƒan+3 111111112

n('ƒn+2-'ƒn+1)

nlim⁄¶

∴=

∴ =+ {"√9n¤ +11n+3-(3n+1)}

∴=3+

∴=3+;6%;=:™6£:

따라서 p=6, q=23이므로

p+q=29 답 29

11

주어진 수열의 일반항 a«을 구하면 a«=

a«= k(k+1) a«= { k¤ + k}

a«= [;6!;n(n+1)(2n+1)+;2!;n(n+1)]

a«=;6!; {1+;n!;}{2+;n!;}+;2!; {1+;n!;}¥;n!;

∴ a«=;6!;¥1¥2+;2!;¥1¥0=;3!; ^답 ;3!;

12

a«=2n-1이므로 a™«=2(2n)-1=4n-1 a™«–¡=2(2n-1)-1=4n-3 a™+a¢+y+a™«

=;Kn+!a™˚=;Kn+!(4k-1)

=4¥ -n=2n¤ +n

a¡+a£+y+a™«–¡

=;Kn+!a™˚–¡=;Kn+!(4k-3) n(n+1) 111152

nlim⁄¶

13n‹1

¡n k=1

13n‹1

¡n k=1

13n‹1

1¥2+2¥3+y+n(n+1) 11111111111n‹

5+;n@;

11111111113 æ≠9+:¡n¡:+15+3+;n!;n¤

nlim⁄¶

111111111115n+2

"√9n¤ +11n+3+(3n+1)

nlim⁄¶

1113n+1n

nlim⁄¶

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=4¥ -3n=2n¤ -n

∴ (주어진 식)= ("√2n¤ +n-"√2n¤ -n)

∴ (주어진 식)=

∴ (주어진 식)= 답

13

(분자의 일반항)=k {2n-(2k-1)}

(분자의 일반항)=-2k¤ +(2n+1)k

∴ (분자)

∴= {-2k¤ +(2n+1)k}

∴=-2¥ +

∴=

∴ (주어진 식)= =;3!;

답 ;3!;

14

① (반례) a«= , b«= 이면

① a«=0, b«=0이지만

① = n=¶ (거짓)

② (반례) a«=n+2, b«=n+1이면

① a«=¶, b«=¶이지만

① (a«-b«)= 1=1 (거짓)

③ (반례) a«=n¤ , b«= 이면

② a«=¶, b«=0이지만

① a«b«=limn=¶ (거짓)

n⁄¶

nlim⁄¶

1n1

nlim⁄¶

13a«b«

nlim⁄¶

11 n¤

1n1

2n‹ +3n¤ +n 1111116n‹

nlim⁄¶

2n‹ +3n¤ +n 1111116

n(n+1)(2n+1) 111111112 n(n+1)(2n+1)

111111116

¡n k=1

12'22 12'22

1121111112 Æ…2+;n!;+Æ…2-;n!;

nlim⁄¶

11211111152n

"√2n¤ +n+"√2n¤ -n

nlim⁄¶

n(n+1) 111152

④ (반례) a«=1+;n!;, b«=1+;n@;이면 a«<b«이지만

② a«= b«=1 (거짓)

⑤ a«-b«=c«이라 하면

① (a«-b«)= c«=0

① b«= (a«-c«)

① b«= a«- c«

① b«=a-0=a (참)

답 ⑤

15

① 공비는;3!;이고 -1<;3!;<1이므로

=0 (수렴)

② 공비는 0.99이고 -1<0.99<1이므로 (0.99)« =0 (수렴)

③ 공비는'∂0.9이고 -1<'∂0.9<1이므로 ('∂0.9 )« =0 (수렴)

④ 공비는 -;4#;이고 -1<-;4#;<1이므로

{-;4#;}«=0 (수렴)

⑤ ={;3$;}« 에서 공비는 ;3$;이고 ;3$;>1이므로

=¶(발산)

답 ⑤

16

1<r…2일 때, ;2!;…;r!;<1이므로 {;r!;}«

∴ = =-;3@;

답 -;3@;

11132

;r™;;«:-3

nlim⁄¶

11112-3¥r«2¥r«

nlim⁄¶

122¤ «3«

nlim⁄¶

122¤ «3«

nlim⁄¶

133«1

nlim⁄¶

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연습 문 제・ 심 화 문 제

17

⑴

= =4 (수렴)¤ {;4#;}« =0

⑵

= = =15 (수렴)

답 ⑴ 4에 수렴 ⑵ 15에 수렴

18

등비수열 {r« }이 수렴하므로 -1<r…1 ㄱ. -1<r‹ …1이므로 수열 {r‹ « }은 수렴한다.

ㄴ. r+0일 때, ;r!;æ1 또는 ;r!;<-1이므로 수열

[{;r!;}«

]은 반드시 수렴하지는 않는다.

ㄷ. -1…-r<1이므로 수열 {(-r)« }은 r=1일 때 수렴하지 않는다.

ㄹ. 0… <1이므로 수열 [{ }«

]은 수렴 한다.

따라서 항상 수렴하는 수열은 ㄱ, ㄹ이다.

답 ㄱ, ㄹ

19

⑴ 공비가 |x|이므로 -1<|x|…1

∴ 0…|x|…1

∴ -1…x…1

⑵ 주어진 수열은 2x-1, (2x-1)‹ , (2x-1)ﬁ , y 이므로 공비는 (2x-1)¤

∴ -1<(2x-1)¤ …1, 0…(2x-1)¤ …1

∴ 0…x…1

⑶ 공비가 log™ x-2이므로

1121-r2 1121-r2

15-2¥0 11121+0 5¥3-2¥{;3@;}«

111111 1+{;3@;}«

nlim⁄¶

5¥3« ±⁄ -2« ±⁄

11112133« +2«

nlim⁄¶

4+3¥0 11121+0

4+3¥{;4#;}«

11111 1+{;4#;}«

nlim⁄¶

4« ±⁄ +3« ±⁄

111124« +3«

nlim⁄¶

-1<log™ x-2…1, 1<log™ x…3

∴ 2<x…8

답 ⑴ -1…x…1 ⑵ 0…x…1 ⑶ 2<x…8

20

⁄|r|>1이면 r« =—¶

⁄∴ =

⁄∴ = =-1

¤r=1이면 r« =1

⁄∴ = =0

‹|r|<1이면 r« =0

⁄∴ = =1

따라서 a=-1, b=0, c=1이므로 이차방정식 -x¤ +1=0의 두 근은 x=—1

∴ a¤ +b¤ =2 답 2

21

⁄|r|<1일 때, r« =0

⁄∴ = =-1

¤r=1일 때, r« =1

⁄∴ = =0

‹|r|>1일 때, =0

⁄∴ = =r

⁄, ¤, ‹에서 이 3에 수렴하는 경

우는 ‹이고 이때 r=3 답 ④

r« ±⁄ -1 1113r« +1

nlim⁄¶

r-14r«1 11121

1+14r«

nlim⁄¶

r« ±⁄ -1 1113r« +1

nlim⁄¶

14r«1

nlim⁄¶

1121-11+1 r« ±⁄ -1

1113r« +1

nlim⁄¶

1120-10+1 r« ±⁄ -1

1113r« +1

nlim⁄¶

1121-01+0 11231-r«1+r«

nlim⁄¶

1121-11+1 11231-r«1+r«

nlim⁄¶

1120-10+1 14-1r«1 11121

14+1r«

nlim⁄¶

11231-r«1+r«

nlim⁄¶

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22

⁄수열 {(log∞ x)« }의 공비가 log∞ x이므로 수렴하 려면

⁄-1<log∞ x…1, log∞ ;5!;<log∞ x…log∞ 5

⁄∴;5!;<x…5

¤수열[{ }«

]의 공비가 이므로 수렴

⁄하려면 -1< …1, -3<2x+1…3

⁄∴ -2<x…1

⁄, ¤에서;5!;<x…1 ^답 ;5!;<x…1

23

a¡='3=3^;2!;

a™="ç3'3 =^Æ…3¥3^;2!;=(3^1+;2!;)^;2!;=3;2!;+{;2!;}¤

a£=øπ3"ç3'3 =(31+;2!;+{;2!;}¤

)^;2!;=3;2!;+{;2!;}¤+{;2!;}‹

⋮ a«=3;2!;+{;2!;}¤+{;2!;}‹+y+{;2!;}«

=3^1-{;2!;}

∴ a«= 3^1-{;2!;}

=3 답 3

24

f(x)= 에서

f(2)=

f(2)= =16

f {;2!;}= =1

∴ f(2)+f{;2!;}=16+1=17 ^답 17 {;2!;}

2n+4

+2¥;2!;

1111112 {;2!;}

nlim⁄¶

2› +1222¤²ⁿ 11111

1+122²ⁿ

nlim⁄¶

2²ⁿ⁺⁴+2¥2 1111232²ⁿ+1

nlim⁄¶

x²ⁿ⁺⁴+2x 111155x²ⁿ+1

nlim⁄¶

1112x+13

1112x+13 1112x+13

25

x¤ +2x-1=0에서 x=-1—'2 a=-1-'2, b=-1+'2라 하면

|a|>1, |b|<1이므로 a«은 발산, b« =0

∴ =

=a=-1-'2

답 -1-'2

26

⑴ a«=a(a는 상수)라 하면

= =;å$;

따라서;å$;=3이므로 a=;3$;

∴ a«=;3$;

⑵ a«=S«-S«–¡

a«={2n+ }-[2(n-1)+ ] a«=2+ {;2!;-1}

a«=2- (næ2)

∴ a«= {2- }=2

⑶ =b«으로 놓으면 a«= 이고

b«=2이므로 a«=

=11134-5¥22+4 =-1 11134-5b«b«+4

nlim⁄¶

11134-5b«b«+4 4a«-4

11215a«+1

142«1

nlim⁄¶

142«1 112« —⁄1

112« —⁄1 142«1

nlim⁄¶

4-{;3@;}«¥2a«

111111 a«+{;3@;}«

nlim⁄¶

4¥3« -2« ±⁄ ¥a«

1111113« ¥a«+2«

nlim⁄¶

a+b¥{;å©;}« 111112

1+{;å©;}«

nlim⁄¶

a« ±⁄ +b« ±⁄

112115a« +b«

nlim⁄¶

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∴ = = =-1

답 ⑴;3$; ⑵ 2 ⑶ -1

27

⑴ 첫째항이 2, 공비가 2인 등비수열이므로 a«=2¥2« —⁄ =2«

S«= =2(2« -1)

∴ =

∴ = =;2!;

⑵ 수열 { log a«}은 첫째항이 log 2이고, 공비가 ;2!;

인 등비수열이므로

log(a¡a™ya«)=log a¡+log a™+y+log a«

log(a¡a™ya«)=

log(a¡a™ya«)=log 4^1-{;2!;}^«

∴ a¡a™ya«=4^1-{;2!;}

∴ (a¡a™ya«)=4

답 ⑴;2!; ⑵ 4

28

모든 자연수 n에 대하여 중근을 가지므로 판별식 D=('ßa«)¤ -4(a«≠¡-1)=0

a«-4a«≠¡+4=0 ∴ a«≠¡=;4!;a«+1 즉 a«≠¡-;3$;=;4!;{a«-;3$;}에서 수열 [a«-;3$;]는 첫째항이 a¡-;3$;=2-;3$;=;3@;, 공비가 ;4!;인 등비수 열이므로

a«-;3$;=;3@;¥{;4!;}« —⁄

nlim⁄¶

(log 2)¥[1-{;2!;}« 111111112]

1-;2!;

1111121 2[1-{;2!;}« ]

nlim⁄¶

11112(2« -1)2«

nlim⁄¶

12S«a«

nlim⁄¶

2(2« -1) 111122-1

1121+0-1 1115a«a«

1+133«

nlim⁄¶

a«¥3«

1113« +a«

nlim⁄¶

∴ a«=;3$;+;3@;¥{;4!;}« —⁄

∴ a«=;3$; ^답 ;3$;

29

f(x)=2« x¤ +3« x+1에서 나머지정리에 의하여 a«=f(1)=2« +3« +1

b«=f(2)=4¥2« +2¥3« +1

∴ =

∴ =;2!; ^답 ;2!;

30

x¡=2, x™=4, A«(x«), A«≠¡(x«≠¡)이라 하면 A«A«≠¡”을 4：1로 외분하는 점 A«≠™의 좌표 x«≠™는 x«≠™= =;3$;x«≠¡-;3!;x«

(n=1, 2, 3, y)

∴ x«≠™-x«≠¡=;3!;(x«≠¡-x«)

즉 수열 {x«≠¡-x«}은 첫째항이 x™-x¡=4-2=2이 고, 공비가 ;3!;인 등비수열이므로

x«≠¡-x«=2¥{;3!;}« —⁄

위의 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입한 후 변끼리 더하면

x™-x¡–¡=2 x£-x™–¡=2¥;3!;

x¢-x£–¡=2¥{;3!;}¤

⋮

+ x«-x«–¡=2¥{;3!;}« —¤

x«-x¡=2[1+;3!;+{;3!;}¤

+y+{;3!;}« —¤

] 4x«≠¡-x«

1111254-1

{;3@;}« +1+{;3!;}« 111121112

4¥{;3@;}« +2+{;3!;}«

nlim⁄¶

2« +3« +1 11111124¥2« +2¥3« +1

nlim⁄¶

12a«b«

nlim⁄¶

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=2¥

=3[1-{;3!;}« —⁄ ]

∴ x«= [5-3¥{;3!;}« —⁄

]=5

답 ⑤

31

⑴ 3« 의 양의 약수의 총합은 a«=1+3⁄ +3¤ +y+3«

a«= =

∴ =;2!;

=;2!; [3-{;3!;}« ]=;2#;

⑵ =æ≠ 의 양변에 상용로그를 취하면 (log a«≠™-log a«≠¡)=;2!;(log a«≠¡-log a«) 즉 수열 {log a«≠¡-log a«}은 첫째항이

log a™-log a¡=log ;1@;=log 2이고, 공비가 ;2!;인 등비수열이므로

log a«≠¡-log a«=(log 2)¥{;2!;}« —⁄

위의 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대 입한 후 변끼리 더하면

log a™-log a¡–¡=log 2 log a£-log a™–¡=(log 2)¥;2!;

log a¢-log a£–¡=(log 2)¥{;2!;}¤

⋮

+ log a«-log a«–¡=(log 2)¥{;2!;}« —¤

log a«-log a¡=(log 2)¥[1+;2!;+{;2!;}¤ log a«-log a¡=+y+{;2!;}« —¤

] 11a«≠¡a«

11a«≠™a«≠¡

nlim⁄¶

3« ±⁄ -1 11213«

nlim⁄¶

15a«3«

nlim⁄¶

3« ±⁄ -1 11212 3« ±⁄ -1

11213-1

nlim⁄¶

1-{;3!;}« —⁄

11112 1-;3!;

log a«-log a¡=(log 2)¥

log a«-log a¡=(2 log 2)¥[1-{;2!;}« —⁄

] log a«=[1-{;2!;}« —⁄

]¥log 4

∴ a«=41-{;2!;}« —⁄

∴ a«=4 답 ⑴;2#; ⑵ 4

32

…;1!2!;의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대 입한 후 변끼리 곱하면

…;1!2!;

⋮ _ …;1!2!;

…{;1!2!;}« —⁄

이때 a¡>0, a«>0이므로 0<a«…{;1!2!;}« —⁄ ¥a¡

그런데 {;1!2!;}« —⁄ ¥a¡=0이므로 수열의 극한값의 대소 관계에 의하여

a«=0

∴ =lim11113-3n¤ -53n¤ -1

n⁄¶

5a«+3n¤ -1 111115557a«-3n¤ -5

nlim⁄¶

13a«a¡

11a«–¡a«

13a¢a£

13a£a™

13a™a¡

11a«≠¡a«

nlim⁄¶

1-{;2!;}« —⁄

11111 1-;2!;

등비수열의 첫째항을 a, 공비를 r라 할 때, 첫째항부터 제`n항까지의 합 S«은

S«=111a(1-r« )111-r11155 KEY Point

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=-1 답 -1

33

⁄ |x|<1일 때,

f(x)= = =4

¤ x=1일 때,

f(x)= = =3

‹ x=-1일 때,

f(x)= =

f(x)= =1

› |x|>1일 때,

f(x)= =

f(x)= =;[@;

이상에서 y=f(x)의 그 래프는 오른쪽 그림과 같 으므로 y=f(x)의 그래 프와 y=2x+k의 그래프 의 교점이 2개이려면 2<k<6이고 k+3 또는 k=1

즉 정수 k는 k=1, 4, 5

따라서 모든 정수 k의 값의 합은 10이다.

답 10

34

ㄱ. =;2!;+0이므로

는 발산한다.

1112n+3n-2

¡¶ n=1

1112n+3n-2

nlim⁄¶

y=2x+k

y=f(x) O 1 1 23 4

-1 -2

x y

;[@;+0 11151+0

2¥;[!;+12x¤ «4 111111

1+12x¤ «

nlim⁄¶

2x¤ « —⁄ +4 11211x¤ « +1

nlim⁄¶

1112-2+41+1

2¥(-1)¤ « —⁄ +4 11211115(-1)¤ « +1

nlim⁄¶

2x¤ « —⁄ +4 11112x¤ « +1

nlim⁄¶

1122+41+1 2x¤ « —⁄ +4

11112x¤ « +1

nlim⁄¶

1120+40+1 2x¤ « —⁄ +4

11211x¤ « +1

nlim⁄¶

3-;n¤!:

11115 -3-;n%¤;;

nlim⁄¶

ㄴ. = =1+0이므로

은 발산한다.

ㄷ.

=;2!; ('ƒn+1-'ƒn-1 )

=;2!; ;Kn+!('ƒk+1-'ƒk-1 )

=;2!; {('2-0)+('3-'1)+('4-'2)

=+y+('n-'ƒn-2)+('ƒn+1-'ƒn-1)}

=;2!; ('n+'ƒn+1-1)=¶ (발산)

ㄹ. { - }

= ;Kn+!{ - }

= [{;2!;-;3@;}+{;3@;-;4#;}+y

=+{ - }]

= {;2!;- }=-;2!;

따라서 수렴하는 것은 ㄹ이다. 답 ㄹ

35

⑴ 일반항을 a«이라 하면 a«=

a«=;2!;[ - ]

∴ a«

∴= ;2!; [ - ]

∴= ;2!; [{ - }+{ - }

+{ - }+y+{ - }

1111(n+2)¤1 13n¤1

136¤1 134¤1

135¤1 133¤1 134¤1 132¤1

nlim⁄¶

1111(k+3)¤1 1111(k+1)¤1

¡n

limk=1 n⁄¶

¡¶ n=1

1111(n+3)¤1 1111(n+1)¤1

11111114(n+1)¤ (n+3)¤2n+4 112n+1n+2

nlim⁄¶

112n+1n+2 112n+1n

nlim⁄¶

112k+1k+2 112k+1k

nlim⁄¶

112n+1n+2 112n+1n

¡¶ n=1

nlim⁄¶

¡¶ n=1

('ƒn+1-'ƒn-1)

1121111111111111 ('ƒn+1+'ƒn-1)('ƒn+1-'ƒn-1)

¡¶ n=1

112111121 'ƒn+1+'ƒn-1

¡¶ n=1

11115n(n+3)n¤

¡¶ n=1

1112n¤ +3nn¤

nlim⁄¶

11115n(n+3)n¤

nlim⁄¶

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∴ =+{ - }]

∴= ;2!; [ +

-∴ =- ]

∴=;2!;{ + }= ;7!2#;

⑵ log {1- }

= ;Kn+@ log{1- }

= ;Kn+@ log

= ;Kn+@ log{ ¥ }

= [log {;2!;¥;2#;}+log {;3@;¥;3$;}+y

=+log { ¥ }]

= log[{;2!;¥;2#;}¥{;3@;¥;3$;}¥y¥

={ ¥ }]

= log

=log ;2!;=-log 2

⑶

= { - }

= ;Kn+!{ - }

= [{;1!;- }+{ - }+y

=+{ - }]

= {1- }=1

답 ⑴;7!2#; ⑵ -log 2 ⑶ 1 11151

'ƒn+1

nlim⁄¶

11151 'ƒn+1 121

121 '3 121

'2 121

nlim⁄¶

11151 'ƒk+1 121

nlim⁄¶

11151 'ƒn+1 121

¡¶ n=1

'ƒn+1-'n 112111

"√n(n+1)

¡¶ n=1

'ƒn+1-'n 112111

"√n¤ +n

¡¶ n=1

112n+12n

nlim⁄¶

112n+1n 112n-1n

nlim⁄¶

112n+1n 112n-1n

nlim⁄¶

112k+1k 112k-1k

nlim⁄¶

k¤ -1 1125k¤

nlim⁄¶

15k¤1

nlim⁄¶

15n¤1

¡¶ n=2

133¤1 132¤1 1111(n+3)¤1

1111(n+2)¤1 133¤1

132¤1

nlim⁄¶

1111(n+3)¤1

1111(n+1)¤1

36

a«이 수렴하므로 a«=0

∴

∴= =-;2!; ^답 -;2!;

37

a«이 수렴하므로 a«=0

또 a«= S«=6이므로

=-3 답 ②

38

{ -3}이 수렴하므로

{ -3}=0 ∴ =3

{ -2}가 수렴하므로

{ -2}=0 ∴ =2

∴

∴=

∴= =;3%; ^답 ;3%;

39

{a«- }이 수렴하므로 {a«- }=0

11152n¤ +12n¤

nlim⁄¶

11152n¤ +12n¤

¡¶ n=1

1+2_2 112111122+3_3-4_2

1+;n%;+2¥12b«

11111112a« n¤b«

2+3¥15-4¥15n n¤

nlim⁄¶

n¤ +5n+2b«

111111152n¤ +3na«-4b«

nlim⁄¶

15b«n¤

nlim⁄¶

15b«n¤

nlim⁄¶

15b«n¤

¡¶ n=1

15a«n

nlim⁄¶

15a«n

nlim⁄¶

15a«n

¡¶ n=1

2_0+3_6 1121115_0-6 2a«+3S«

112115a«-S«

nlim⁄¶

¡¶ n=1

nlim⁄¶

¡¶ n=1

3a« 1

125+2-154« 4«

112111215-4a«4«

nlim⁄¶

3a«+2¤ « ±⁄ -1 11211125a«-4« ±⁄

nlim⁄¶

¡¶ n=1

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즉 a«- = a«-1=0이므로

a«=1

답 ⑤

40

2a«≠¡=a«+a«≠™에서 수열 {a«}은 첫째항이 1이고, 공차가 a™-a¡=1인 등차수열이므로

S«= =

∴ =

= ;Kn+!

=2 ;Kn+!{;k!;- }

=2 [{;1!;-;2!;}+{;2!;-;3!;}+y

=+{;n!;- }]

=2 {1- }=2 ^답 2

41

S«= =2n(n+1)이므로

= =;2!; {;n!;- }

=;2!; {;k!;- }

=;2!; [{1-;2!;}+{;2!;-;3!;}

=+y+{;n!;- }]

=;2!; {1- }=;2!;

답 ;2!;

42

제n 항까지의 부분합을 S«이라 하면

① S¡=1, S™=0, S£=1, S¢=0, y이므로 112n+11

nlim⁄¶

112n+11

nlim⁄¶

112k+11

¡n

limk=1 n⁄¶

112n+11

¡¶ n=1

111122n(n+1)1

¡¶ n=1

12S«1

¡¶ n=1

n{2¥4+(n-1)¥4}

1111111152 112n+11

nlim⁄¶

112n+11

nlim⁄¶

112k+11

nlim⁄¶

112125k(k+1)2

nlim⁄¶

112125n(n+1)2

¡¶ n=1

12S«1

¡¶ n=1

n(n+1) 111132 n{2+(n-1)}

11211112

nlim⁄¶

11152n¤ +12n¤

nlim⁄¶

①S™«–¡=1, S™«=0

①∴ S™«–¡=1, S™«=0

즉 S™«–¡+ S™«이므로 발산한다.

② S¡=-2, S™=-2, S£=-2, y이므로

① S«=-2

①따라서 주어진 급수는 -2에 수렴한다.

③ S¡=2, S™=2, S£=2, y이므로

① S«=2

①따라서 주어진 급수는 2에 수렴한다.

④ S¡=0, S™=0, S£=0, y이므로

① S«=0

①따라서 주어진 급수는 0에 수렴한다.

⑤ S¡=2, S™=0, S£=2, S¢=0, y이므로

①S™«–¡=2, S™«=0

①∴ S™«–¡=2, S™«=0

①즉 S™«–¡+ S™«이므로 발산한다.

답 ①, ⑤

43

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a«+b«=n+1, a«b«=n¤ +2n이므로

= =

= {;k!;- }

= [{;1!;-;2!;}+{;2!;-;3!;}+y+{;n!;- }]

= {1- }=1 ^답 1

44

a«x¤ +a«x+2를 x-n으로 나눈 나머지가 25이므 로 나머지정리에 의하여

a«n¤ +a«n+2=25, n(n+1)a«=23 112n+11

nlim⁄¶

112n+11

nlim⁄¶

112k+11

¡n

limk=1 n⁄¶

112125n(n+1)1

¡¶ n=1

1123n¤ +n1

¡¶ n=1

1111111125a«b«-(a«+b«)+11

¡¶ n=1

11111114(a«-1)(b«-1)1

¡¶ n=1

nlim⁄¶

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∴ a«=

∴ a«=

∴ a«=23 ;Kn+!

∴ a«=23 ;Kn+!{;k!;- }

∴ a«=23 [{;1!;-;2!;}+{;2!;-;3!;}

∴ a«=+y+{;n!;- }]

∴ a«=23 {1- }

∴ a«=23 답 23

45

이 수렴하므로

=0 ∴ a=0

∴

∴= ;Kn+!

∴=3 {;k!;- }

∴=3 [{;1!;-;3!;}+{;2!;-;4!;}+{;3!;-;5!;}

∴ =+y+{ - }+{;n!;- }]

∴=3 {1+;2!;- - }

∴=;2(;

답 ;2(;

46

a«≠™=a«≠¡+a«에서 a«=a«≠™-a«≠¡

= = - 1 이므로

11a«≠™

11a«≠¡1 a«≠™-a«≠¡

112113a«≠¡a«≠™

11215a«≠¡a«≠™a«

112n+21 112n+11

nlim⁄¶

112n+21 112n+11

112n-11

nlim⁄¶

112k+21

¡n k=1 nlim⁄¶

11212k(k+2)6

nlim⁄¶

1121n¤ +2n6

¡¶ n=1

an¤ +6 1121n¤ +2n

nlim⁄¶

an¤ +6 1121n¤ +2n

¡¶ n=1

112n+11

nlim⁄¶

112n+11

nlim⁄¶

112k+11

nlim⁄¶

11115k(k+1)1

nlim⁄¶

11115n(n+1)23

¡¶ n=1

11115n(n+1)23 = { - }

= { - }

= [{ - }+{ - }+

=y+{ - }]

= { - }= =;2!;

답 ①

47

a«=a, b«=b(a, b는 상수)라 하면 (2a«+b«)=8, (3a«+2b«)=26에서 2 a«+ b«=8, 3 a«+2 b«=26

∴ 2a+b=8, 3a+2b=26

위의 두 식을 연립하여 풀면 a=-10, b=28

∴ (a«-b«)= a«- b«=a-b

∴ (a«-b«)=-10-28

∴ (a«-b«)=-38 답 -38

48

⑴ 8« 10—« = {;5$;}«

⑴ 8« 10—«=

⑴ 8« 10—«=4

⑵ 3« —⁄ {;4!;}«= ;3!;¥{;4#;}«

=;3!;¥ ;4#; =1 1111-;4#;

¡¶ n=1

111;5$;

1-;5$;

¡¶ n=1

15a™1 11a«≠™1 15a™1

nlim⁄¶

11a«≠™1 11a«≠¡1

15a¢1 15a£1 15a£1 15a™1

nlim⁄¶

11a˚≠™1 11a˚≠¡1

¡n

limk=1 n⁄¶

11a«≠™1 11a«≠¡1

¡¶ n=1

11215a«≠¡a«≠™a«

¡¶ n=1

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⑶ (3¥2—« +2¥3—« )

= [3 {;2!;}«

+2 {;3!;}« ]

=3 {;2!;}«+2 {;3!;}«

=3¥ +2¥

=3+1

⑷ (3« ±⁄ -15){;6!;}«

= [3« ±⁄ {;6!;}«

-15 {;6!;}« ]

= [3 {;2!;}«

-15 {;6!;}« ]

=3 {;2!;}«-15 {;6!;}«

=3¥ -15¥

=6-18

=-12

답 ⑴ 4 ⑵ 1 ⑶ 4 ⑷ -12

49

x« (x-2)« —⁄ = x {x(x-2)}« —⁄ 이므로 첫째항 이 x, 공비가 x(x-2)이다.

이때 이 등비급수가 수렴하므로 x=0또는 -1<x(x-2)<1

그런데 등비급수의 합이;4!;이므로 x+0이다.

⁄ x(x-2)>-1일 때, x¤ -2x+1>0 (x-1)¤ >0

따라서 x+1인 모든 실수 x에 대하여 항상 성립 한다.

¤ x(x-2)<1일 때, x¤ -2x-1<0

∴ 1-'2<x<1+'2

⁄, ¤에서 1-'2<x<1 또는 1<x<1+'2 yy㉠

¡¶ n=1

1111 1-;6!;

1111 1-;2!;

¡¶ n=0

111;3!;

1-;3!;

111;2!;

1-;2!;

¡¶ n=1

등비급수의 합이;4!;이므로

=;4!;

4x=1-x(x-2), x¤ +2x-1=0

∴ x=-1+'2 (∵ ㉠) ^답 ③

50

⑴ 등비급수 {;3{;}« 의 공비가 ;3{;이므로 이 등비 급수가 수렴하려면

-1<;3{;<1 ∴ -3<x<3 yy㉠ 등비급수 (2x-6)« —¤의 공비가 2x-6이므 로 이 등비급수가 수렴하려면

-1<2x-6<1

∴;2%;<x<;2&; yy㉡

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면

;2%;<x<3

⑵ 등비급수 (log x)« 의 공비가 log x이므로 -1<log x<1

∴;1¡0;<x<10 yy㉠ (1+log x)« 의 공비가 1+log x이므로 -1<1+log x<1

∴;10!0;<x<1 yy㉡

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면

;1¡0;<x<1

⑶ {;3{;}« (x-2)« —⁄

=;3{;+{;3{;}¤ ¥(x-2)+{;3{;}‹ ¥(x-2)¤ +y 이므로 이 등비급수가 수렴하려면

;3{;=0 또는 -1<;3{;(x-2)<1

;3{;=0에서 x=0 yy㉠

¡¶ n=1

1111121-x(x-2)x

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-1<;3{;(x-2)<1에서 -3<x¤ -2x<3

⁄x¤ -2x>-3에서 x¤ -2x+3>0

¤(x-1)¤ +2>0

¤이므로 모든 실수 x에 대하여 항상 성립한다.

¤x¤ -2x<3에서 x¤ -2x-3<0

¤(x+1)(x-3)<0 ∴ -1<x<3

⁄, ¤에서 -1<x<3 yy㉡

㉠, ㉡에서 -1<x<3 yy㉢ {log£ ;3{;}«

=log£ ;3{;+{log£ ;3{;}¤

+{log£ ;3{;}‹ +y 이므로 이 등비급수가 수렴하기 위해서는 -1<log£ ;3{;<1

-1<log£ x-1<1, 0<log£ x<2

∴ 1<x<9 yy㉣

㉢, ㉣의 공통 범위를 구하면 1<x<3

답 ⑴;2%;<x<3 ⑵ ;1¡0;<x<1 답 ⑶ 1<x<3

51

공비를 r라 하면 a«=3¥r« —⁄ 이므로 a«= 3¥r« —⁄ = =6

∴ r=;2!;

수열 {a«¤ }의 첫째항이 a¡¤ =9, 공비가 r¤ ={;2!;}¤

=;4!;

이므로

a«¤ = 9 {;4!;}« —⁄

= =12 답 12

52

a«은 7« +1을 5로 나눈 나머지이므로 a¡=3, a™=0, a£=4, a¢=2, a∞=3, y

1119 1-;4!;

¡¶ n=1

1121-r3

¡¶ n=1

=;1£0;+ + + + +y

=0.3+0+0.004+0.0002+0.00003+y

=0.H304H2 답 ①

53

수열 {a«}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 a¡+a™+a£+a¢+a∞+y=8에서

=8 yy㉠

a¡+a£+a∞+a¶+aª+y=6에서

=6, ¥ =6 yy㉡

㉠을 ㉡에 대입하면 8¥ =6 ∴ r=;3!;

r=;3!;을 ㉠에 대입하면 a=:¡3§:

∴ a¡¤ +a™¤ +a£¤ +a¢¤ +a∞¤ +y

∴= =a¥ =:¡3§:¥6=32

답 32

54

⑴ 두 등비급수 a«, b«의 공비를 각각 p, q라 하면

=3에서 p=;3@; ∴ a«={;3@;}« —⁄

b«= {(a«+b«)-a«}=7-3=4 이므로 =4 ∴ q=;4#;

∴ b«={;4#;}« —⁄

∴ a«b«= {;3@;}« —⁄

{;4#;}« —⁄

= {;2!;}« —⁄

= 1 =2

1111-;2!;

¡¶ n=1

1121-q1

¡¶ n=1

1121-p1

¡¶ n=1

11251-r¤a 11251-r¤a¤

1121+r1

1121+r1 1121-ra 11251-r¤a

1121-ra

12510ﬁ3 12510›2 12510‹4 12510¤0 12510«a«

¡¶ n=1

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⑵ 두 등비급수 a«, b«의 공비를 각각 p, q라 하면

=2에서 p=;2!; ∴ a«={;2!;}« —⁄

=3에서 q=;3@; ∴ b«={;3@;}« —⁄

∴ (a«+b«)¤

∴= (a«¤ +2a«b«+b«¤ )

∴= a«¤ +2 a«b«+ b«¤

∴= a«¤ +2¥ {;2!;}« —⁄

{;3@;}« —⁄+ b«¤

∴= a«¤ +2¥ {;3!;}« —⁄+ b«¤

∴= +2¥ +

∴=;3$;+3+;5(;=;1(5@; ^답 ⑴ 2 ⑵ ;1(5@;

55

=0+2¥{;3{;}¤

+0+2¥{;3{;}›+y 따라서 첫째항이 2¥{;3{;}¤

, 공비가 {;3{;}¤ 인 등비급수

의 합이;5*;이므로 =;5*;

∴ x=-2 (∵ x<0) 답 ②

56

r«이 수렴하므로 -1<r<1

ㄱ. (r« +3r« —⁄ )= r« +3 r« —⁄이므로 수렴 한다.

ㄴ. -1<r<1이고 0…r¤ <1이므로 r« , (r¤ )«_n=1¡^¶ 은 각각 수렴한다.

¡¶ n=1

;9@;x¤

111 1-;9{;2 x« +(-x)«

1111313«

¡¶ n=1

11111 1-{;3@;}¤ 1111

1-;3!;

11111 1-{;2!;}¤

¡¶ n=1

1121-q1 1121-p1

¡¶ n=1

¡¶

n=1 따라서 (r« -r¤ « )은 수렴한다.

ㄷ. -1<r<1에서 ;r!;<-1 또는 ;r!;>1이므로 발 산한다.

ㄹ. -;2#;<;2R;-1<-;2!;이므로 반드시 수렴하는 것 은 아니다.

ㅁ. -1<r‹ <1이므로 r‹ « = (r‹ )«은 수렴한다.

ㅂ. -1<-r<1이므로

=;2!;[ r« + (-r)« ]은 수 렴한다.

따라서 반드시 수렴하는 것은 ㄱ, ㄴ, ㅁ, ㅂ이다.

답 ㄱ, ㄴ, ㅁ, ㅂ

57

이차함수 y=4x¤ -2x-1의 그래프가 x축과 만나는 두 점의 x좌표는 이차방정식 4x¤ -2x-1=0의 두 근과 같다.

∴ x=

∴ a= , b= 또는

∴a= , b=

∴ (a« +b« )= [{ }«

+{ }« ]

= +

=:¡4§:=4 ^답 4

58

2« S«=3« -2« 에서 S«={;2#;}«-1

∴ a«=S«-S«–¡

1111+'5 3-'5 1111-'5

3+'5

1111+'54 11111

1-1111+'54 1111-'54

11111 1-1111-'54

1111+'54 1111-'54

¡¶ n=1

1111-'54 1111+'54

1111+'54 1111-'54

1111—'54

¡¶ n=1

r« +(-r)«

111112

¡¶ n=1

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∴ a«={;2#;}«

-1-[{;2#;}« —⁄

-1]

∴ a«={;2#;}«

-{;2#;}« —⁄

∴ a«=;2!;¥{;2#;}« —⁄ (næ2)

a¡=S¡=;2!;이므로 a«=;2!;¥{;2#;}« —⁄ (næ1) a™«–¡=;2!;¥{;2#;}¤ « —¤

=;2!;¥{;2#;}

2(n-1)

=;2!;¥{;4(;}« —⁄

이므로

= 2¥{;9$;}« —⁄

= =:¡5•: ^답 :¡5•:

59

a«={;3!;}« —⁄

, b«={;2!;}« —⁄ 이므로

① 2a«=2¥ {;3!;}« —⁄=2¥

=3 (수렴)

② (a«-b«)= [{;3!;}« —⁄

-{;2!;}« —⁄

]

= {;3!;}« —⁄- {;2!;}« —⁄

-=-;2!; (수렴)

③ (-1)« b«= (-1)« ¥{;2!;}« —⁄

=- {-;2!;}« —⁄

=-=-;3@; (수렴)

④ a«b«= {;3!;}« —⁄

¥{;2!;}« —⁄= {;6!;}« —⁄

= 1 =;5^; (수렴) 1111-;6!;

¡¶ n=1

1111251 1-{-;2!;}

¡¶ n=1

1111 1-;2!;

1111 1-;3!;

¡¶ n=1

1111 1-;3!;

¡¶ n=1

1112 1-;9$;

¡¶ n=1

113a™«–¡1

¡¶ n=1

⑤ = = {;2#;}« —⁄=¶ (발산)

답 ⑤

60

수열 {a«}의 일반항을 a«=ar« —⁄ 이라 하면 ㄱ. a«이 수렴하면 -1<r<1이다.

ㄱ. 이때 a™«=ar¤ « —⁄ =ar¥(r¤ )« —⁄ 에서 공비 r¤ 은 ㄱ. 0…r¤ <1이므로 a™«도 수렴한다. (참) ㄴ. a«이 발산하면 r…-1 또는 ræ1이다.

ㄱ. 이때 수열 {a™«}의 공비 r¤ 은 r¤ æ1이므로 ㄱ. a™«도 발산한다. (참)

ㄷ. a«이 수렴하면 a«=0이다.

ㄱ. 이때 {a«+;2!;}=;2!;+0이므로 ㄱ. {a«+;2!;}은 발산한다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ 이다. 답 ③

61

2a«≠¡-a«=a에서 a«≠¡-a=;2!;(a«-a)

수열 {a«-a}는 첫째항이 a¡-a=16-a이고 공비 가;2!;인 등비수열이다.

즉 a«-a=(16-a){;2!;}« —⁄ 이므로 a«=(16-a){;2!;}« —⁄+a

이때 a«이 수렴하므로 a«=0이다.

즉 a«= [(16-a){;2!;}« —⁄

+a]=0에서 a=0

∴ a«≠¡=;2!;a«

nlim⁄¶

¡¶ n=1

nlim⁄¶

¡¶ n=1

{;2!;}« —⁄

1112 {;3!;}« —⁄

¡¶ n=1

15b«a«

¡¶ n=1

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연습 문 제・ 심 화 문 제

따라서 a«= =32이므로

b=32

∴ a+b=0+32=32

답 32

62

정사각형 R«의 한 변의 길이 가 a«이므로

a¡=1 a™=

a£=;2!;

⋮

수열 {a«}은 첫째항이 1, 공비가 인 등비수열 이므로

a«= =2+'2

답 2+'2

63

A«=[{;3@;}« —⁄

-{;3@;}«

]¥{;3@;}¤ « —¤

A«=;3!;¥{;3@;}‹ « —‹

∴ A«= ;3!;¥{;3@;}‹ « —‹

∴ A«= ;3!;¥[{;3@;}‹ ]« —⁄

∴ A«= =;1ª9; ^답 ;1ª9;

64

⑴ S=;4!;+;8@;+;1£6;+;3¢2;+y yy`㉠

;2!;S=;8!;+;1™6;+;3£2;+;6¢4;+y yy`㉡

㉠-㉡을 하면 13112;3!;

1-{;3@;}‹

¡¶ n=1

11121 1-12'22

¡¶ n=1

125'22 125'22

R¡

R™

'2 2

;2;1

11116 1-;2!;

¡¶ n=1

;2!;S=;4!;+;8!;+;1¡6;+;3¡2;+y

;2!;S= =;2!;

∴ S=;2!;_2=1

⑵ =;3$;+ + +y이므로

S=;3$;+ + +y yy㉠

;3!;S= + + +y yy㉡

㉠-㉡을 하면

;3@;S=;3$;+ + +y

;3@;S=;3$;+ =:¡6¡:

∴ S=:¡6¡:_;2#;=:¡4¡: ^답 ⑴ 1 ⑵ :¡4¡:

65

수열 {a«}, {b«}의 공비를 각각 r¡, r™라 하면

a«= , b«=

한편

(a«+b«)= + =;3*; yy㉠

a« b«= =;5$; yy㉡

㉠에서 =;3*; yy㉢

㉡에서 4-4r¡r™=5 ∴ r¡r™=- ;4!; yy㉣ 2-(r¡+r™)

1111111131-(r¡+r™)+r¡r™

12223231-r¡r™1

¡¶ n=1

122231-r™1 122231-r¡1

¡¶ n=1

122231-r™1

¡¶ n=1

122231-r¡1

¡¶ n=1

153¤3 1111-;3!;

153‹3 153¤3

15103›

153‹7 153¤4

13103‹

153¤7

13103‹

153¤7 1113n+13«

¡¶ n=1

111;4!;

1-;2!;

수열 1¥3, 2¥3¤ , 3¥3‹ , y, n¥3« , y과 같이 두 수의 곱이 앞의 수는 등차수열, 뒤의 수는 등비수열로 진행될 때의 수열의 합을 멱급수라 한다.

<구하는 방법>

S-rS 꼴로 만든다. (단, S는 수열의 합, r는 공비) KEY Point

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㉢, ㉣에서 r¡+r™=0 ∴ r¡=-r™

∴ r¡¤ =r™¤ =;4!;

∴ (a«¤ +b«¤ )= +

∴ (a«¤ +b«¤ )=;3$;+;3$;=;3*;

답 ;3*;

66

a¡=0.H1=;9!;

a™=0.H1H0=;9!9);

a£=0.H10H0=

⋮

∴ a« =0.H100y0H0

∴ a«= 이때

- =

-- =

- =

이므로

{ - }=

=;1ª0;+ + +y

=1 답 1

;1ª0;

1112 1-;1¡0;

12510‹9 12510¤9 12510«9

¡¶ n=1

13a«1 11a«≠¡1

¡¶ n=1

12510«9

10« ±⁄ -1-10(10« -1) 111111111210«

10« -1 111310« —⁄

10« ±⁄ -1 111110«

13a«1 11a«≠¡1

10« —⁄

111510« -1 1199910¤

11131 1-;4!;

1222331-r™¤1 1222331-r¡¤1

¡¶ n=1

67

점 P«의 좌표를 (x« , y« )이 라 하면 오른쪽 그림에서

x«

=;4#;+{;4#;}‹

+{;4#;}ﬁ +y

=;;¡7™;;

y«=1+{;4#;}¤

+{;4#;}› +y y«=

y«=;;¡7§;;

따라서 점 P«은 점 {;;¡7™;;, ;;¡7§;;}에 가까워진다.

답 {;;¡7™;;, ;;¡7§;;}

68

각 변의 길이는 오른 쪽 그림과 같이 정해 진다.

∴ S=S¡+S™+S£+y

∴ S=2¤ +('2 )¤ +1¤ +y

∴ S=4+2+1+y

∴ S= =8

T=T¡+T™+T£+y

T=;2!;¥('2)¤ +;2!;¥1¤ +;2!;¥{ }¤ +y T=1+;2!;+;4!;+y= =2

∴ S+T=8+2=10 답 10

11131 1-;2!;

1251 '2 11134

1-;2!;

T£ S£

T™

T¡

S™

S¡

1 1 1

'2 '2

'2 2

11131 1-;1ª6;

nlim⁄¶

1311;4#;

1-;1ª6;

nlim⁄¶

P¡

P™{ }¤ P£ P¢

O x

1 3

4 3

4 {3}‹

( { 9 (n-1)개

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69

= = =y=cos 30˘= 이므로 O’A¡”=O’A”¥ = (∵ O’A”=1)

O’A™”=O’A¡”¥ ={ }¤ O’A£”=O’A™”¥ ={ }‹

⋮

= = =y=sin 30˘=;2!;이므로 A’A¡”=OA”¥;2!;=;2!; (∵ O’A”=1)

A’¡A™”=O’A¡”¥;2!;= ¥;2!;

A’™A£”=O’A™”¥;2!;={ }¤ ¥;2!;

⋮

따라서 구하는 길이의 합 S는

S=A’A¡”+A’¡A™”+A’™A£”+A’£A¢”+y S=;2!;+;2!;¥ +;2!;¥{ }¤ +;2!;¥{ }‹ +y

S= =2+'3 ^답 2+'3

13114;2!;

1-12'32

12'32 12'32

12'32 12'32 12'32 A’™A£”

1134O’A™”

A’¡A™””

1134O’A¡”

A’A¡”

115OA”

12'32 12'32

12'32 115OA£”

OA™”

115OA™”

OA¡”

115OA¡”

OA”

70

xﬁ -4x-24를 인수정리에 의한 조립제법으로 인수 분해하면

xﬁ -4x-24=(x-2)(x› +2x‹ +4x¤ +8x+12)

∴ lim

x⁄2

(x-2)(x› +2x‹ +4x¤ +8x+12)

∴=lim

x⁄211111111111111x-2

∴=lim

x⁄2(x› +2x‹ +4x¤ +8x+12)

∴=16+16+16+16+12

∴=76 답 ③

71

x⁄ 2+일 때, x>2이므로

|x-2|=x-2

∴ =

= (x-3)=-1

x⁄ 2-일 때, x<2이므로

|x-2|=-(x-2)

∴ =

= (-x+3)=1

따라서 +

이므로 극한 은 존재하지 않는다.

답 존재하지 않는다.

72

⑴ lim

x⁄¶{log (x+1)-log x}

=limx⁄¶{log ::[::

x+1 }

=log [ lim

x⁄¶{1+;[!;}]

=log 1=0

x¤ -5x+6 112112|x-2|

limx⁄2

x¤ -5x+6 112112|x-2|

xlim

⁄2-x¤ -5x+6 112112|x-2|

xlim⁄2+

xlim

⁄2-(x-2)(x-3) 1121111-(x-2)

xlim

⁄2-x¤ -5x+6 112112|x-2|

xlim

⁄2-xlim⁄2+

(x-2)(x-3) 1121111x-2

xlim⁄2+

x¤ -5x+6 112112|x-2|

xlim⁄2+

xﬁ -4x-24 112111x-2

문서에서 Ⅰ 미적분 (페이지 69-87)