한신이 병사를 점고하다

예전부터 중국에서는 전해 내려오는 문제들 중에서‘한신이 병사를 점고하다(韓信点 兵)’라는 문제가 있는데 다음과 같다.

개수를 모르는 물건들이 있다. 그것들을 세 개씩 셀 때 한 개가 남고, 다섯 개씩 셀 때 두 개가 남고, 일곱 개씩 셀 때 두 개가 남는다.

얼마만큼의 물건이 있는가?

이 문제는 수학사에서 아주 유명한 문제이고 일반적으로는 이것을‘중국인의 나머지정 리’라고 부르는데 그 풀이는「손자산경(孫子算經)」에 나온다.

씩 헤아리고 남은 수에는 을 곱하고, 씩 헤아리고 남은 수에는 을 곱하고, 씩 헤아리고 남은 수에는 를 곱한다. 그 수들을 합한다. 합이 를 넘으면 합에서 를 뺀다. 그 차가 여전히 보다 크면 또 를 뺀다. 이와 같이 보다 작은 수로 될 때 까지 얻은 수가 구하는 수이다.

과연 물건의 개수는 몇 개일까?

6. 고려대학교 수시(오후)

수렴하기 위해서는, 이 무한대로 갈 때 분모 가 분자 들의 공약수가 되어야 하므로

   또는 가 되어야 한다. 즉

  

 (단, 는 자연수) 꼴이다.

1-c

서로 다른 두 자연수   (단,  ≤  ≤ )에 대해  와  를  로 나눈 나머지가

 로 같다고 하자. 즉,

    ,      (단,    는 정수,      ⋯     ) 두 식을 빼면

     

이고,  와  가 서로소이므로  은 의 배수가 되어야 한다. 그런데 이것은 모순이다.

즉 ≠일 때,  와  를  로 나눈 나머지는 서로 다르다.

즉,    ⋯  를 로 나누었을 때 나머지는 모두 다르고 그 나머지는

   ⋯   이다. 따라서

  





 _{  }^{  }





이다.

다 른 풀 이

≠ (단,  ≤  ≤  인 자연수)일 때 와 를 로 나누었을 때 나머지가  로서 같다고 하자. 그러면  ≡mod이고  ≡mod

이다. 즉,  ≡mod이다. 그런데    이므로   mod

가 되고, 이는 모순이므로 와 를 로 나누었을 때 나머지는 모두 다르다.

즉,    ⋯  를 로 나누었을 때 나머지는 모두 다르고 그 나머지는

   ⋯   이다. 따라서

  





 _{  }



이다.

1-d _ _

_

(

)

6. 고려대학교 수시(오후)

자동차에 쓰이는 연료는 자동차를 움직이는 데 꼭 필요한 것이지만 그 배출 가스는 환경오염의 원인이 되고 있다. 따라서 환경오염을 줄이기 위해서는 연료를 될 수 있는 대로 적게 소모해야 한다. 연료를 절감하는 방법 중의 하나는 경제속도로 주행하는 것 이다. 경제속도란 가장 적은 연료로 가장 먼 거리를 달릴 수 있는 속도를 뜻한다.

아래의 [그림 1]은 어떤 자동차의 속도kmh에 따른 시간당 연료 소모량Lh을 나 타낸 것이다. 자동차는 시동을 건 상태로 정지해 있는 경우에도 연료가 소모된다. 자동 차가 움직이기 시작하면 시간당 연료 소모량은 감소하는데, [그림 1]에서 보는 것처럼

 kmh 정도에서 시간당 연료 소모량이 최소가 된다. 이 자동차의 연비kmL는 언뜻 보기에 이때가 가장 최대인 것처럼 보이지만 이때가 가장 효율적인 것은 아니다. 최대 의 연비를 구하려면 원점과 곡선위의 점을 지나는 직선의 기울기가 최소인 점을 찾아야 한다. [그림 1]의 경우에는 원점을 지나는 직선이 곡선의 점 Q에서 접할 때 직선의 기 울기가 최소가 된다는 것을 알 수 있다. 따라서 이 자동차의 경제속도는 kmh이며, 이 속도를 유지하면서 정속 주행할 때 가장 효율적인 운전이 되는 것이다.

[그림 1]