11 서울시립대학교 모의
제시문 1 제시문을 읽고 물음에 답하여라. 21)
이차곡선 의 1사분면 위의 점 P 에서의 접선을 이라고 하자. 점 P 를 지나고 과 수직으로 만나는 법선 이 과 만나는 또 다른 점을 Q라고 하자. 다 음 물음에 답하여라.
논제 1-1
두 직선 의 방정식과 점 Q의 좌표를 구하여라.
논제 1-2
선분 PQ의 길이의 최솟값을 구하여라.
논제 1-3
직선 과 축이 만나는 각을 라고 하자. 선분 PQ의 길이가 최소가 될 때, sin의 값 을 구하여라.
21) 서울시립대학교 입학처
11. 서울시립대학교 모의
세 변의 길이가 AB
, BC
, CA
이고 외접원의 중심이 O 인 삼각형 ABC가 있다. 다음 물음에 답하여라.제시문 2 제시문을 읽고 물음에 답하여라
논제 2-1
외접원의 반지름의 길이를 구하여라.
논제 2-2
세 삼각형 OAB, OBC, OCA의 넓이의 비를 구하여라.
논제 2-3
점 D가 그림과 같이 부채꼴 OCA의 호 CA에서 움직일 때(단, 호의 양 끝점 제외), 삼 각형 ACD의 무게중심의 자취의 길이를 구하여라.
제시문 3 제시문을 읽고 물음에 답하여라.
한 변의 길이가 인 정사각형 개가 아래 그림과 같이 겹쳐 놓여 있다. 같은 행과 열에서 이웃한 두 정사각형 사이의 간격은 이다. 또한 두 정사각형이 겹쳐서 생기는 작은 정사각형의 한 변의 길이는 이다.
그림과 같이 점 A에서 사각형들의 변을 따라 점 B 나 C 로 이동하는 경로들을 생각 하자. 다음 물음에 답하여라.
논제 3-1
점 B 에 도달하는 최단 경로의 수를 구하여라.
논제 3-2
점 C 에 도달하는 최단 경로의 수를 구하여라.
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문항 수 수학 3문항 시간 120분
연관 개념
논술1. 도함수를 이용한 접선의 방정식과 함수의 최솟값, 두 점 사이의 거리, 삼각함수의 성질
논술2. 삼각함수의 성질, 자취의 방정식 논술3. 경우의 수
논 술 유 형 분 석
제 시 문 분 석
논제 해결에 필요한 조건들만을 제시하여 별도의 제시문이 존재하지 않는다.
제시문 1
함수 위의 한 점에서 접선과 그 접선에 수직인 법선, 그리고 그들의 관계에 대해 설명 하고 있다.
제시문 2
세 변의 길이가 주어진 삼각형과 그 삼각형의 외접원에 대해 설명하고 있다.
제시문 3
한 변의 길이가 주어진 정사각형 개와 이들 정사각형이 놓여진 상황에 대해 설명하 고 있다.
논 제 분 석
고교 과정의 기본 개념과 원리를 충실히 익혔으면 쉽게 해결할 수 있는 문제들이다.
또한 평소 학교시험에서 많이 다루어 봤을 해결 과정을 얻기 위한 단계형, 서술형 문제 유형과 유사한 문제이다. 기본적인 문제 해결 중심으로 점의 좌표를 구하고, 자취의 방 정식을 구하고, 경우의 수를 구하는 등 비교적 쉽게 출제되었다.
논제 1-1
도함수를 이용하여 함수 위의 한 점에서의 접선의 방정식과 법선의 방정식을 구하고, 제시된 함수와의 교점을 찾는 비교적 간단한 문제이다.
논제 1-2
논제 1-1의 점 Q를 구한 뒤 두 점 사이의 거리를 구하고 도함수를 통해 최솟값을 구하는 문제로써, 제시문의 사분면 위의 점이라는 사실을 상기하여 최솟값 구함에 유의하여야 한다.
논제 1-3
논제 1-2의 선분 PQ의 길이가 최소가 될 때의 값을 구해야만 해결되는 문제로, 삼각 함수의 성질을 이용할 수 있는가를 묻고 있다.
논제 2-1
제 코사인법칙과 사인법칙에 대해 묻고 있다.
논제 2-2
원주각과 중심각의 관계와 삼각함수의 성질을 이용한 삼각형의 넓이를 구하는 문제로 서, 주로 삼각형의 변과 각이 주어졌을 때 삼각함수의 성질을 잘 이용할 수 있는가를 묻 고 있다.
논제 2-3
주어진 조건을 만족하는 점의 자취를 찾고 그 길이를 구하는 문제이다. 논제 2-1과 2-2에서 구한 삼각형의 한 각을 이용하고, 제시된 상황을 수학적 식으로 재구성할 수 있 는지와 재구성된 식을 조건에 맞게 풀 수 있는지를 묻고 있다.
논제 3-1
최단 경로의 수를 구할 수 있는지를 묻고 있다. 제시된 그림의 특성을 잘 파악하고 직 접 몇 번 최단경로를 그어보면서 반드시 지나가야 하는 점을 찾는데 주력하여야 한다.
논제 3-2
논제 3-1과 비슷하나 점 C 에 도달하기 위해서는 반드시 한 번 이상은 올라가야 한다 는 사실을 찾아내는 것이 중요하다. 따라서 최단경로의 길이는 라는 사실을 이용하여 최단경로의 수를 찾아야 한다.
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배 경 지 식 쌓 기
1. 도함수를 이용한 접선과 법선의 방정식
(1) 곡선 위의 점 에서의 접선의 방정식 ① 접선의 기울기: ′
② 접선의 방정식: ′
(2) 곡선 위의 점 에서의 법선의 방정식 ① 법선의 기울기: ′
② 법선의 방정식: ′
2. 두 점 사이의 거리, 도함수를 이용한 함수의 최솟값 (1) 좌표평면 위의 두 점 P Q 사이의 거리는 PQ
(2) 극값(극댓값, 극솟값)의 정의
함수 가 에서 연속이고 가 증가하면서 를 지날 때, 함수값 가
① 증가 상태에서 감소 상태로 변하면 는 에서 극대, 를 극댓값이라 한다.
② 감소 상태에서 증가 상태로 변하면 는 에서 극소, 를 극솟값이라 한다.
(3) 미분가능한 함수의 극대, 극소의 판정 방법 ① ′ 인 의 값을 모두 구한 후 의 값의 좌우에서 ′의 부호를 조사한다.
② ′의 부호가 에서 로 변하면 는 에서 극댓값을 갖고, 에서 로 변하면 는 에서 극솟값을 갖는다.
(4) 닫힌구간 에서 연속인 함수 의 최댓값과 최솟값 ① 구간 에서 극댓값과 극솟값을 구한다.
② 구간 의 양끝에서의 함수 값 를 구한다.
③ 위의 ①, ②에서 구한 값들 중 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값이다.
3. 삼각함수의 성질 (1) 배각의 공식
sin sin cos
cos cos sin cos sin, tan tan
tan
(2) 제 코사인법칙
cosA 또는 cosA bc b c a
(3) 사인법칙
삼각형 ABC에서 각 A B C의 대변의 길이를 각각 라 하고, 삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면, 다 음 법칙이 성립한다.
sin A
sin B
sin C
R
4. 경우의 수에서의 곱의 법칙
사건 A가 일어나는 경우의 수가 가지이고, 그 각각에 대하여 사건 B가 일어나는 경 우의 수가 가지일 때, 두 사건 A B가 동시에 일어나는 경우의 수
× (가지)
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풀 어 보 기
문제 1그림과 같이 곡선 위의 점 에서 의 접선과 축 및 축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 최대가 되도록 하는 실수 에 대하여 의 값을 구하여라. (단, )(EBS 2012 수능완성)
문제 2
타원
에 대하여 두 점 P Q 는 원점에 대하 여 대칭인 타원 위의 점이다. 두 점 P Q 가 타원 위를 움직일 때, 선분 PQ 를 한 변으로 하는 정삼각형 PQR 의 꼭짓점 R 가 그리는 도형도 타원이 된다.
이 타원의 방정식을
이라 할 때, 의 값을 구하시오.(EBS 2012 수능특강)
문제 3
직사각형 모양의 잔디밭에 산책로가 만들어져 있다. 이 산책로는 그림과 같이 반 지름의 길이가 같은 원 개가 서로 외접하고 있는 형태이다.
A지점에서 출발하여 산책로를 따라 최단 거리로 B지점에 도착하는 경우의 수를 구하여라.(단, 원 위에 표시된 점은 원과 직사각형 또는 원과 이 원의 접점을 나 타낸다.)(2009학년도 대수능)