10 서강대학교 수시(자연2)
제시문 2 제시문을 읽고 물음에 답하여라
, , , , , ,
, ,
[다] 원점을 중심으로 닮음비가 인 닮음변환은 아래와 같은 일차변환이다.
′ ′ ⇔
′′
예를 들어, 반지름이 인 원 을 원점을 중심으로 닮음비가 인 닮음변환에 의하여 얻어지는 도형은 반지름이 인 원 이다. 를 피타고라스 수라 하자. 를 구간 에서 정의되고 양의 실수를 함숫값으로 갖는 연속함수라
제시문 2 제시문을 읽고 물음에 답하여라
10. 서강대학교 수시(자연2)
하자. 를 원점을 중심으로 닮음비가
인 닮음변환에 의하여 얻어진 함수
는 구간 에서 정의되고 양의 실수를 함숫값으로 갖는 연속함수가 된다.
마찬가지 방법으로 를 원점을 중심으로 닮음비가
인 닮음변환에 의하여 얻
어진 함수 는 구간 에서 정의되고 양의 실수를 함숫값으로 갖는 연속함 수가 된다.
연속함수 의 그래프를 아래와 같이 를 세 변으로 갖는 직각삼각 형에 그려보자.
논제 2-1
원시 피타고라스 수 들 중에서 가 등차수열을 이루는 것은 하나밖에 없음 을 보여라.
논제 2-2
원시 피타고라스 수 들 중에서 가 등비수열을 이루는 것은 존재하지 않음 을 보여라.
논제 2-3
를 피타고라스 수라 하자. 위의 제시문 [다]에서 주어진 함수 에 대하여 다음과 같은 피타고라스 정리의 일반화 명제가 성립함을 보여라.
논제 2-4
T 를 차원 공간에서 네 점 O A B C 를 꼭짓점으로 하는 사면체라고 하자. 이때 다음과 같은 피타고라스 정리의 일반화 명제가 성립함을 보여라.
『세 삼각형 OAB OBC OAC 의 면적의 제곱의 합은 삼각형 ABC 의 면적의 제곱과 같다.』
10. 서강대학교 수시(자연2)
문항 수 수학 2문항 시간 120분
연관 개념 실수의 성질, 수열의 극한, 피타고라스정리, 닮음변환, 정적분
논 술 유 형 분 석
제 시 문 분 석
제시문 1[가] 두 실수 사이에 증가하는 수열을 만드는 방법과 극한값을 구하는 방법을 소개하고 있다. 대학 수학에 나오는 극한값의 정의를 이용하는 내용으로 일반 고등학교 학생들이 이해하기는 매우 어려울 것이라고 생각한다.
[나] 극한값을 이용하여 두 실수 사이에는 항상 유리수가 존재함을 설명하고 있다.
제시문 2
[가], [나] 피타고라스 수에 대해 설명하고 있다.
[다] 닮음변환에 대해 설명하고 있다.
논 제 분 석
논제 1-1≤ 인 두 실수 와 사이에 존재하는 유리수가
임을 증명하는 문제이다.
제시문 [나]에 나온 부등식‘
≤
이고
’를 이용하면 쉽게 풀 수 있다.
논제 1-2
임의의 두 실수 사이에 이 아닌 유리수가 존재한다는 것을 증명하는 문제이다. 제시 문에서 ≤ 의 경우와 ≤ 의 경우를 보였으므로 일 경우만 증명하면 된다. 제시문에 나와 있는 ≤ 의 경우를 활용하면 된다.
논제 1-3
항상 증가하면서 극한값이 실수 가 되는 수열을 만들어보라는 문제이다. 제시문[가]에 있는 의 경우를 로 바꾸어 수열을 만들면 된다.
논제 1-4
임의의 두 실수 사이에 무수히 많은 유리수가 존재함을 증명하는 문제로 증명은 [논제 1-3]과 같은 방법으로 한다.
논제 1-5
두 실수 사이에는 무수히 많은 무리수가 있음을 증명하라는 문제이다. 두 실수 사이에 무수히 많은 유리수가 존재한다는 사실을 이용하여 적당한 무리수를 잡아야 한다. 학생 들이 풀기에는 매우 어려운 문제이다.
논제 2-1
세 수를 라 두고 등차중항을 이용한다.
논제 2-2
세 수를 라 두고 등비중항을 이용하여 정수해가 없음을 보인다.
논제 2-3
넓이를 이용한 피타고라스 정리의 일반화에 대해 묻고 있다. 닮음변환에 의해 확대된 일반적인 도형의 넓이에서도 성립함을 적분을 이용해 증명해야 한다. 닮음비가 배일 때 넓이가 배가 된다는 사실을 이용하면 쉽게 증명할 수 있다.
논제 2-4
피타고라스 정리를 공간으로 확대하여 사용할 수 있는가를 묻는 문제이다. 점과 평면 사이의 거리와 삼각뿔의 부피를 이용하면 증명할 수 있다.