15 성균관대학교 수시

제시문 2 제시문을 읽고 물음에 답하여라

<제시문 2-1> 중간값 정리.

함수  가 닫힌 구간   에서 연속이고 ≠ 일 때,  와  사이의 임의 의 실수  에 대하여   인  가 열린 구간   에 적어도 하나 존재한다.

<제시문 2-2> 함수  가 어떤 구간에서 미분가능하고, 이 구간의 모든  에 대하여 (1)  ′   이면  는 이 구간에서 증가한다.

(2)  ′   이면  는 이 구간에서 감소한다.

<제시문 2-3> 두 점 사이의 최단거리는 두 점을 연결하는 선분의 길이이다.

<제시문 2-4> 아래의 그림과 같이 지점 A 와 지점 B 는 km의 곧은 도로로 연결되 어 있고, 지점 A 와 지점 C 는 km의 구부러진 도로로 연결되어 있다. (단, 도로는 평탄하다.)

<제시문 2-5> 성균이는 지점 B 를 출발하여 도로를 따라 시속 kmh 의 속력으로 지 점 A 로 달려가고, 명륜이는 성균이와 동시에 지점 C 를 출발하여 도로를 따라 시속

kmh 의 속력으로 지점 A 로 걸어간다.

논제 2-1

지점 A 와 성균이 사이의 최단거리와 지점 A 와 명륜이 사이의 최단거리가 같아지는 순간이 출발 후 2시간 이내에 적어도 한번 존재함을 보이시오.

논제 2-2

지점 C 와 지점 A 를 연결하는 도로가 kmh 의 곧은 도로라고 하면, 지점 A 와 성균 이 사이의 최단거리와 지점 A 와 명륜이 사이의 최단거리가 같아지는 순간이 출발 후  시간 이내에 오직 한 번 존재함을 보이시오.

15. 성균관대학교 수시

문항 수 수학 2문항 과학3문항 시간 120분

연관개념 수열의 극한값의 대소관계, 매개변수 방정식, 삼각형의 넓이, 중간값정리, 미분가능한 함수의 증가와 감소

논 술 유 형 분 석

제 시 문 분 석

수열의 극한값의 대소관계 중 하나인 조임정리를 소개하고, 매개변수 방정식을 제시하고 있다.

제시문 2

중간값 정리와 도함수를 이용한 함수의 증가, 감소를 제시하고 있다. 또한 두 점 사이 의 최단거리를 정의하고 세 지점 사이의 문제 상황을 제시하고 있다.

논 제 분 석

매개변수 방정식을 통해 나타내어진 곡선위의 점 P_, P_{  }과 원점으로 만들어진 삼각형의 넓이를 구하도록 한다. 세 점의 좌표가 주어진 경우 삼각형의 넓이를 간단히 구할 수 있다.

논제 1-2

주어진 범위( ≤ 

 ≤ 

 )에서 sin 함수는 증가함수임을 이용하여 부등식의 대소관계를 증명할 수 있다.

논제 1-3

_이 [논제 1-1]을 통해 계산한 삼각형 _의 합이라는 것을 알 수 있다. 그리고 그 극 한값은 [논제 1-2]의 부등식과 <제시문 1-1>에 주어진 수렴하는 수열의 대소관계를 이용 하여 구할 수 있다.

논제 2-1

성균이와 명륜이의 시간에 따른 최단거리의 함수를 정의하여, 중간값 정리를 이용하여 두 지점 사이의 최단거리가 같아지는 순간이 존재함을 밝힐 수 있다.

논제 2-2

두 도로가 모두 곧은 도로라는 조건에서 시간에 따른 최단거리의 함수를 시간에 대한 일차식으로 표현할 수 있음을 알 수 있다.

배 경 지 식 쌓 기

15. 성균관대학교 수시

문제 3 함수    ^ ^        이 실수 전체의 집합에서 증가하도록 하는 실수  의 최댓값은? (2010년 전국연합)

①  

 ②   ③  

 ④   ⑤  



문제 4 그림은 삼차함수  의 도함수 ′ 의 그래프이다.

함수  에 대한 설명 중 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (2011년 전국연합)

< 보 기 >

ㄱ. 함수  는    에서 감소상태에 있다.

ㄴ. 함수  는    에서 극댓값을 갖는다.

ㄷ. 함수    의 그래프는  축과 오직 한 점에서 만난다.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

읽 기 자 료