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4. 평행사변형
29
∴ △ADQª△CBP (SSS 합동) 답 ②
027
평행사변형 ABCD에서ACÓ와 BDÓ가 만나는 점을 O라 하면 BOÓ=DOÓ, BEÓ=DFÓ이고,
EOÓ =BOÓ- BEÓ =DOÓ-DFÓ=FOÓ 즉, EOÓ=FOÓ이고, AOÓ= COÓ 이다.
따라서 AECF는 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분 하므로 평행사변형이다.
답 ㈎: BEÓ, ㈏: COÓ, ㈐: 이등분
028
ABCD가 평행사변형이므로 AOÓ=COÓPQRS에서
POÓ=AOÓ-APÓ=COÓ-CRÓ=ROÓ yy ㉠ QOÓ=BOÓ-BQÓ=DOÓ-DSÓ=SOÓ yy ㉡
㉠, ㉡에 의하여 PQRS는 두 대각선이 서로 다른 것을
이등분하므로 평행사변형이다. 답 ④
029
MÕDÓ=;2!;ADÓ, BÕNÓ=;2!; BCÓ ∴ MÕDÓ=BÕNÓ ADÓBCÓ이므로 MÕDÓBÕNÓ한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므로 MBND 는 평행사변형이다.
따라서 MBND에서 MÕBÓDNÕÓ이고 MÕBÓ=NÕDÓ이다.
또 대각의 크기는 서로 같으므로 ∠MBN=∠NDM
△ABMª△CDN이므로 ∠AMB=∠CND 답 ④
030
평행사변형 ABCD의 높이를 h`cm라 하면 144=16_h에서 h=9`(cm)∠AEB=∠FBE (엇각)=∠ABE
즉, △ABE는 ABÓ=AEÓ인 이등변삼각형이므로 ABÓ=AEÓ=12`(cm)
∴ EDÓ=16-12=4`(cm)
∴ EBFD=4_9=36`(cmÛ`) 답 ③
031
⑴ ABCD=4_4=16`(cmÛ`)⑵ △ABC=;2!;ABCD=;2!;_16=8`(cmÛ`)
⑶, ⑷ △ABO의 넓이와 △BCO의 넓이가 같으므로 △ABO=△BCO=;2!;△ABC=;2!;_8=4`(cmÛ`) 답⑴ 16`cmÛ` `⑵ 8`cmÛ` `⑶ 4`cmÛ` `⑷ 4`cmÛ``
032
∠AEF=∠CFE=90ù (엇각)이므로 AEÓFCÓ△ABE와 △CDF에서 ∠AEB=∠CFD=90ù, ABÓ=CDÓ, ∠ABE=∠CDF (엇각)
이므로 △ABEª△CDF (RHA 합동)
∴ AEÓ=CFÓ
ABCD=△ABD+△BCD이므로
96=;2!;_AEÓ_BDÓ+;2!;_CFÓ_BDÓ
=;2!;_BDÓ_(AEÓ+CFÓ)
=;2!;_16_2AEÓ
=16AEÓ
∴ AEÓ=6`(cm) 답④
033
△ABC=;2!; ABCD이고 AOÓ=COÓ이므로 △ABO=△CBO∴ △ABO=;2!;△ABC
∴ △ABO=;4!; ABCD=;4!;_40=10`(cmÛ`) 답①
포인트 평행사변형의 넓이는 두 대각선에 의하여 사등분 된다.
034
△AEM과△CFM에서 AÕMÓ=CÕMÓ∠AME=∠CMF (맞꼭지각)
∠MAE=∠MCF (엇각)
∴ △AEMª△CFM (ASA 합동)
따라서 △AEM과 △CFM의 넓이가 같으므로
△DEM+△CFM=△DEM+△AEM=△AMD
=;4!; ABCD=;4!;_80=20`(cmÛ`)
답⑤
035
ABNM=;2!; ABCD이므로△MPN=;4!; ABNM=;4!;_;2!; ABCD
=;8!; ABCD
∴ MPNQ=2△MPN=;4!; ABCD
=;4!;_32=8`(cmÛ`) 답8`cmÛ`
036
오른쪽 그림과 같이 점 E를 지 " ' %&
) *
# ( $
나고 ADÓ, ABÓ에 각각 평행한 두 직선 HIÓ, FGÓ를 그으면
△ABE+△CDE
=△AED+△BEC=18`(cmÛ`)
∴ ABCD =2_(△ABE+△CDE)
=2_18=36`(cmÛ`) 답④
037
오른쪽 그림과 같이 점 P를 지 " )&
1 %
# 'ADN $
(ADN 나고 ABÓ, BCÓ에 각각 평행한
두 직선 HFÓ, EGÓ를 그으면
중학2-2중간(28~35)해답4단원재.indd 29 2020-07-01 17:43:28
30
중2 (2학기 중간고사)042
ABCD는 평행사변형이므로∠A+∠B=180ù yy 가
∠A+30ù=2∠B에서 ∠A=2∠B-30ù이므로 (2∠B-30ù)+∠B=180ù ∴ ∠B=70ù
∴ ∠D=∠B=70ù yy 나
답 70ù
단계 채점 요소 배점
가 ∠A+∠B=180ù 구하기 2점
나 답 구하기 2점
043
∠A+∠ABC=180ù이므로∠ABC=180ù-48ù=132ù yy 가
∠ABE=;2!;∠ABC=;2!;_132ù=66ù yy 나 따라서 △ABE에서
∠BED=∠A+∠ABE=48ù+66ù=114ù yy 다
답114ù
단계 채점 요소 배점
가 ∠ABC=132ù 구하기 2점
나 ∠ABE=66ù 구하기 2점
다 답 구하기 2점
044
점 A와 점 E, 점 O와 점 D를 연결하면 AOÕÓEDÓ이고, AOÕÓ=OCÓ=EDÓ이므로 AODE는 평행사변형이다.∴ AFÓ=FDÓ, OFÓ=FEÓ yy 가 AFÓ=;2!; ADÓ=;2!;_10=5`(cm)
OFÓ=;2!; OEÓ=;2!; CDÓ=;2!;_8=4`(cm) yy 나
∴ AFÓ+OFÓ=5+4=9`(cm) yy 다
답 9`cm
단계 채점 요소 배점
가 AFÓ=FDÓ, OFÓ=FEÓ 구하기 2점
나 AFÓ=5, OFÓ=4 구하기 2점
다 답 구하기 2점
045
평행사변형 ABCD에서 ABÓDCÓ이므로ABÓCFÓ, ABÓ=DCÓ=CFÓ yy 가
ABFC는 한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길이가 같으므
로 평행사변형이다. yy 나
답한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길이가 같다.
단계 채점 요소 배점
가 ABÓCFÓ, ABÓ=CFÓ 구하기 2점
나 답 구하기 2점
046
ASÓ=QCÓ, ASÓQCÓ, 즉 AQCS가 평행사변형이므로AEÓFCÓ yy 가
또 APÓ=RCÓ, APÓRCÓ, 즉 APCR가 평행사변형이므
로 AFÓECÓ yy 나
△PAB+△PCD=△APD+△CPB=;2!; ABCD
=;2!;_(6_4)=12`(cmÛ`) 답 ③
038
오른쪽 그림과 같이 점 P를 지나 "& (
% )
# ' $
며 ABÓ, ADÓ에 각각 평행한 두 1 직선 HFÓ, EGÓ를 그으면
AEPH, EBFP, PFCG,
HPGD가 모두 평행사변형이
므로 APÓ, BPÓ, CPÓ, DPÓ는 각 평행사변형의 넓이를 이등 분한다. 따라서
△PAD+△PBC=△PAB+△PCD=;2!; ABCD 이므로
△PAB+18=17+13
∴ △PAB=12`(cmÛ`) 답 ①
039
오른쪽 그림과 같이 ABÓ, ADÓ에& (
" ) %
# ' $
1 각각 평행한 두 직선 HFÓ, EGÓ를
그으면
△ABP＋△CDP
=△BCP＋△ADP
=;2!; ABCD
8＋△CDP=;2!;_36=18
∴ △CDP=10`(cmÛ`) 답10`cmÛ`
040
두 점 G, F를 이으면 ABFG는 AGÓBFÓ, AGÓ=BFÓ이 므로 평행사변형이다.따라서 ABÓGFÓ이므로
△EFG=;2!; ABFG yy ㉠ ABÓGFÓ, ABÓDCÓ이므로 GFÓDCÓ
△GFH=;2!; GFCD yy ㉡
㉠, ㉡에서
EFHG=△GEF＋△GFH=;2!;(ABFG+GFCD)
=;2!; ABCD=;2!;_16=8 답 ④
041
평행사변형 ABCD에서 ADÓBCÓ이므로∠ADB=∠x (엇각)이고, ∠A+∠ADC=180ù yy 가 135ù+(∠x+30ù)=180ù
∴ ∠x=15ù yy 나
답15ù
단계 채점 요소 배점
가 ∠A+∠ADC=180ù 구하기 2점
나 답 구하기 2점
중학2-2중간(28~35)해답4단원재.indd 30 2020-07-01 17:43:30
4. 평행사변형
31
따라서 두 쌍의 대변이 평행하므로 AECF는 평행사변
형이다. yy 다
답풀이 참조
단계 채점 요소 배점
가 AEÓFCÓ임을 보이기 2점
나 AFÓECÓ임을 보이기 2점
다 AECF가 평행사변형임을 보이기 2점
047
⑴ △ABE와 △CDF에서 ABÓ=CDÓ, ∠BAE=∠DCF (엇각)∠AEB=∠CFD=90ù이므로
△ABEª△CDF (RHA 합동)
∴ BEÓ=DFÓ yy 가
∠BEF=∠DFE=90ù (엇각)이므로 EBÓDFÓ
yy 나
즉, 한쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므로 BFDE는 평행사변형이다. yy 다
⑵ ∠EFB=∠DEF=50ù (엇각)이므로
∠EBF=180ù-(90ù+50ù)=40ù yy 라
답 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 40ù
단계 채점 요소 배점
가 BEÓ=DFÓ임을 보이기 2점
나 BEÓDFÓ임을 보이기 2점
다 BFDE가 평행사변형임을 보이기 1점
라 ∠EBF=40ù 구하기 3점
포인트 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으면 평행사 변형이다.
048
△OAP=△OCQ=△OCD-△DOQ =;4!; ABCD-△DOQ=;4!;_60-12=3`(cmÛ`) yy 가
∴ APOD=△OAP+△AOD
=△OAP+;4!; ABCD
=3+15=18`(cmÛ`) yy 나
답18`cmÛ`
단계 채점 요소 배점
가 △OAP=3 구하기 3점
나 답 구하기 3점
049
오른쪽 그림과 같이 점 F를 지나 " 3 %# '
2 (
& 1 4
$ 고 ABÓ와 평행인 직선 RFÓ를 그
어 PQÓ와 만나는 점을 S라 하면
△PFS=;8!; ABFR,
△SFQ=;8!; RFCD
이므로 △PFQ=;8!; ABCD yy 가
∴ ABCD=8△PFQ=8_30=240`(cmÛ`) yy 나
답 240`cmÛ`
단계 채점 요소 배점
가 △PFQ=;8!;ABCD임을 보이기 3점
나 답 구하기 3점
050
△ABE=△AED+△EBC이고,△ABE=;2!; ABCD=;2!;_52=26`(cmÛ`) yy 가
∴ △DFE+△EBC=△ABE-△AFD
=26-10=16`(cmÛ`) yy 나
답 16`cmÛ`
단계 채점 요소 배점
가 △ABE=26 구하기 3점
나 답 구하기 3점
051
△PBC+△PAD=;2!; ABCD에서;2!; ABCD=24+36=60 yy 가
∴ ABCD=60_2=120 yy 나
답120
단계 채점 요소 배점
가 ;2!;ABCD=60 구하기 3점
나 답 구하기 3점
052
△APD+△BCP=;2!; ABCD=20`(cmÛ`)이므로 △APD+△BCP=△APR+△BSP+12=20`(cmÛ`)∴ △APR+△BSP=8`(cmÛ`) yy 가
△AQD+△BCQ=;2!; ABCD=20`(cmÛ`)이므로
△AQD+△BCQ=△DRQ+△CQS+12=20`(cmÛ`)
∴ △DRQ+△CQS=8`(cmÛ`) yy 나
∴ (색칠한 부분의 넓이)
=ABCD-(△APR+△BSP+△DRQ+△CQS +△ARD+△BCS) =40-(8+8+12)=12`(cmÛ`) yy 다
답 12`cmÛ`
단계 채점 요소 배점
가 △APR+△BSP=8 구하기 3점
나 △DRQ+△CQS=8 구하기 3점
다 답 구하기 2점
053
ADÓBCÓ이므로 ∠DAE=∠AEB (엇각) ∴ ABÓ=BEÓ=7`(cm)∴ ECÓ=10-7=3`(cm)
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32
중2 (2학기 중간고사)ADÓBCÓ이므로 ∠ADF=∠DFC (엇각)
∴ CDÓ=FCÓ=7`(cm)
∴ FEÓ=FCÓ-ECÓ=7-3=4`(cm) 답4`cm
054
ABÓDCÓ이므로 ∠AED=∠CDE (엇각) 따라서 △AED는 AEÓ=ADÓ인 이등변삼각형이다.그런데 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직 이등분하므로
∠EAF=∠DAF ∴ ∠DAE=2∠EAF 한편, ∠DAE+∠B=180ù이므로
2∠EAF+54ù=180ù, 2∠EAF=126ù
∴ ∠EAF=63ù 답 ⑤
포인트 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직 이등분한다.
055
∠AFB=180ù-140ù=40ùADÓBCÓ이므로 ∠AFB=∠FBE=40ù (엇각)
∴ ∠ABE=2∠FBE=80ù
∠FAB=180ù-∠ABE=180ù-80ù=100ù이므로
∠BAE=;2!;∠FAB=50ù
∴ ∠x=∠BAE+∠ABE=50ù+80ù=130ù 답 ③
056
∠DAB=180ù-∠B=180ù-60ù=120ù 조건 ㈎에서 ∠BAE：∠DAE=2：3이므로∠DAE=120ù_ 32+3 =72ù
△AED에서 ∠ADE+72ù+80ù=180ù
∴ ∠ADE=28ù
∴ ∠x=∠ADE (엇각)=28ù 답28ù
057
Ú ABCD는 평행사변형이므로 ABÓDCÓ, ABÓ=DCÓ이다.
또 DCÓ=CFÓ이므로 ABÓCFÓ, ABÓ=CFÓ 따라서 ABFC는 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이 가 같으므로 평행사변형이다.
Û ABCD는 평행사변형이므로 ADÓBCÓ, ADÓ=BCÓ
이다.
또 BCÓ=CEÓ이므로 ADÓCEÓ, ADÓ=CEÓ 따라서 ACED는 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이 가 같으므로 평행사변형이다.
Ü BCÓ=CEÓ, DCÓ=CFÓ 따라서 BFED는 두 대각선이 서로 다른 대각선을 이등분하므로 평행사변형이다.
Ú~Ü에서 구하는 평행사변형은 ABCD, ABFC,
ACED, BFED의 4개이다. 답 ②
058
△ABC와 △DBE에서 ABÓ=DBÓ, BCÓ=BEÓ∠ABC=60ù-∠EBA=∠DBE이므로
△ABCª△DBE (SAS 합동)
△ABC와 △FEC에서 ACÓ=FCÓ, BCÓ=ECÓ
∠ACB=60ù-∠ECA=∠FCE이므로
△ABCª△FEC (SAS 합동)
△ABCª△DBEª△FEC (SAS 합동)이므로 DEÓ=AFÓ, ADÓ=EFÓ
즉, 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므로 AFED는 평 행사변형이다.
④ 평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분하지
만 수직은 아니다. 답 ④
059
평행사변형 ABCD의 높이를 h`cm라 하면ABCD=16_h=160
∴ h=10`(cm)
∠AEB=∠EBF (엇각)=∠ABE
△ABE는 ABÓ=AEÓ인 이등변삼각형이므로 ABÓ=AEÓ=11`(cm)
∴ EDÓ=16-11=5`(cm)
∴ EBFD=5_10=50`(cmÛ`) 답50`cmÛ`
060
평행사변형 ABCD의 높이ADN ADN
" ADN %
# & $
를 h`cm라 하면
8_h=32 ∴ h=4`(cm)
ADÓBCÓ이므로 ∠ADE=∠CED (엇각) 따라서 △CDE는 CDÓ=CEÓ인 이등변삼각형이므로 CEÓ=CDÓ=6`(cm)
∴ △CDE=;2!;_CEÓ_4=;2!;_6_4=12`(cmÛ`) 답 ③
061
① △BCF=△ABC=2△AOB=2_30=60`(cmÛ`)② ABFC =ABCD=4△AOB
=4_30=120`(cmÛ`)
③ △ACD=△ABC=2△AOB=2_30=60`(cmÛ`)
④ △COD=△AOB=30`(cmÛ`)
⑤ BFED =2ABCD=2_4△AOB
=2_4_30=240`(cmÛ`) 답 ②
062
△APD=;3!;△ACD=;3!;_;2!; ABCD
=;6!;_60=10`(cmÛ`) 답 ③
063
△PAB+△PCD=;2!; ABCD =;2!;_64=32`(cmÛ`)중학2-2중간(28~35)해답4단원재.indd 32 2020-07-01 17:43:33
4. 평행사변형
33
∴ △PAB=32_;4#;=24`(cmÛ`) 답24`cmÛ`
064
ABCD에서 △ABP+△CDP=;2!; ABCD이므로 24+△CDP=60 ∴ △CDP=36`(cmÛ`)EFÓDCÓ, EDÓPGÓFCÓ이므로
EPGD와 PFCG는 각각 평행사변형이다.
따라서 △EPD=△DPG, △PFC=△PCG이므로
△EPD+△PFC =△DPG+△PCG
=△CDP=36`(cmÛ`) 답 ⑤
065
①, ②, ④, ⑤ 평행사변형의 성질이다. 답 ③066
평행사변형 ABCD에서 ABÓ=DCÓ=6`(cm)이므로 ADÓ=(30-12)_;2!;=9`(cm) 답 9`cm067
∠AFB=∠DAF (엇각)∠CFE=∠DAF (동위각)
∠DEF=∠BAF (엇각)
따라서 △ABF와 △CFE는 이등변삼각형이다.
∴ ABÓ=BFÓ=7`(cm), CFÓ=CEÓ=4`(cm)
x=BCÓ=BFÓ+CFÓ=7+4=11 yy 가
y=CFÓ=4 yy 나
∴ x+y=11+4=15 yy 다
답15
단계 채점 요소 배점
가 x=11 구하기 1점
나 y=4 구하기 1점
다 답 구하기 2점
068
∠DAB+80ù=180ù ∴ ∠DAB=100ù∴ ∠DAE=;2!;∠DAB=50ù ADÓBCÓ이므로
∠DAE=∠AEB (엇각)
∴ ∠AEB=50ù 답 ④
포인트 평행사변형은 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 이 웃하는 두 각의 크기의 합은 180ù이다.
069
ABÓDCÓ이므로∠CEF=∠FAB=62ù (엇각)
∠FAB=∠FAD=62ù이므로
∠DAB=2∠FAB=124ù
∠B=180ù-∠DAB=180ù-124ù=56ù yy 가
∴ ∠x=∠FAB+∠B=62ù+56ù=118ù yy 나
답 118ù
단계 채점 요소 배점
가 ∠DAB=124ù, ∠B=56ù 구하기 2점
나 답 구하기 2점
070
∠BAD=180ù-60ù=120ù∠BAE：∠EAD=3：1이므로
∠BAE=120ù_;4#;=90ù
ABÓDCÓ이므로 ∠AED=∠BAE=90ù 답⑤
071
100ù+∠ADC=180ù∴ ∠ADC=80ù yy 가
∠ADP=;2!;∠ADC=40ù이므로
△APD에서
∠PAD=180ù-(90ù+40ù)=50ù yy 나
∴ ∠BAP =∠BAD-∠PAD
=100ù-50ù=50ù yy 다
답50ù
단계 채점 요소 배점
가 ∠D=80ù 구하기 2점
나 ∠PAD=50ù 구하기 2점
다 답 구하기 2점
072
① PFÓ=BCÓ-BHÓ=9-3=6`(cm)② PHÓ=ABÓ-AEÓ=7-2=5`(cm)
③ AEPG는 평행사변형이므로
∠GPE=∠A=80ù
④ ∠PHC=180ù-∠A=180ù-80ù=100ù
⑤ ABCD는 평행사변형이므로
∠FCH=∠A=80ù 답③
073
ㄱ. 평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분하므 로 AOÓ=COÓ, BOÓ=DOÓ (거짓)ㄷ. ABÓDCÓ이므로
∠ABO=∠CDO (엇각),
ADÓBCÓ이므로
∠ADO=∠CBO (엇각) (거짓)
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다. 답ㄴ, ㄹ