02
중2 (2학기 중간고사)001
⑴ 2x-y+3=0에서 y=2x+3 ⑵ 7x-5y=4에서 5y=7x-4 ∴ y=;5&;x-;5$; 답 ⑴ y=2x+3 ⑵ y=;5&;x-;5$;002
2x-4y+7=0, 4y=2x+7 ∴ y=;2!;x+;4&; x절편: -;2&;, y절편: ;4&;, 기울기: ;2!; ∴ a+b+c=-;2&;+;4&;+;2!;=-;4%; 답 ②003
y절편은 2이고, 두 점 (0, 2), (1, 0)을 지나므로 (기울기)= 0-21-0 =-2 따라서 y=-2x+2이므로 구하는 직선의 방정식은 2x+y-2=0 답 ④004
3x-4y+12=0, -4y=-3x-12 ∴ y=;4#;x+3 y=;4#;x+3의 기울기는 ;4#;, y절편은 3, x절편은 -4이다. ① 기울기는 ;4#;이다. Y Z 0 Z Y ② x=4일 때, y=;4#;_4+3=6 이므로 점 (4, 6)을 지난다. ③ y=-2x+6의 y절편은 6이 므로 y축에서 만나지 않는 다. ④ 기울기가 다르므로 평행하지 않다. ⑤ 위의 그림에서 제1, 2, 3사분면을 지남을 알 수 있다. 답 ⑤005
ax-y-4=0에서 y=ax-4 기울기가 2이므로 a=2 답 2006
ax-y-3=0에 x=-1, y=2를 대입하면 -a-2-3=0에서 a=-5 따라서 -5x-y-3=0에서 y=-5x-3 ④ x=2일 때, y=-5_2-3=-13이므로 점 (2, -13) 을 지난다. 답 ④007
y절편이 3이므로 y=ax+3에 점 (4, -2)를 대입하면 -2=4a+3 ∴ a=-;4%;1
일차함수와 일차방정식
본문 008~020쪽 ∴ y=-;4%;x+3 즉, 5x+4y-12=0이므로 m=5, n=-6 ∴ m+n=-1 답-1008
ax+by+c=0에서 by=-ax-c ∴ y=-;bA;x-;bC; 주어진 그래프는 (기울기)<0이고, (y절편)>0이므로 -;bA;<0 ∴ ;bA;>0 -;bC;>0 ∴ ;bC;<0 따라서 a와 b의 부호는 같고, b와 c의 부호는 다르므로 a>0, b>0, c<0 또는 a<0, b<0, c>0 답 ① 포인트 일차방정식 ax+by+c=0 (a, b, c는 상수, a+0, b+0)의 그래프는 일차함수 y=-;bA;x-;bC;의 그래프와 같다.009
답 Y 0 Z () () () ()010
x축에 평행한 직선이므로 y=k로 Y Z Z 0 놓고, 점 (3, -5)를 지나므로 구 하는 방정식은 y=-5 ∴ y+5=0 답 ②011
x좌표가 서로 같아야 하므로 a-1=-2a+8 ∴ a=3 답 ②012
주어진 그래프의 식은 y=-4 y=-4에서 -;4!;y=1이므로 a=0, b=-;4!; ∴ a+b=-;4!; 답 ②013
네 직선 x=-2, x=4, y=0, Y Z Y Y Z 0 y=2로 둘러싸인 도형은 오른 쪽 그림의 어두운 부분이므로 구하는 넓이는 6_2=12 답12 중학2-2중간해답(01~09).indd 2 2020-07-01 17:42:011. 일차함수와 일차방정식
03
014
⑴, ⑵ Y Z 0 ( ) Z Y Z Y ⑶ (1, 1) ⑷ 연립방정식의 해는 두 그래프의 교점 (1, 1)이므로 x=1, y=1이다. 답 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조 ⑶ (1, 1) ⑷ x=1, y=1015
두 직선이 점 (3, 1)에서 만나므로 x=3, y=1을 일차방정식 2x+3y=a에 대입하면 2_3+3_1=a ∴ a=9 답 ⑤016
ax+2y=4에 x=2, y=1을 대입하면 2a+2=4, 2a=2 ∴ a=1 2x+by=1에 x=2, y=1을 대입하면 2_2+b=1 ∴ b=-3 ∴ a+b=1+(-3)=-2 답 ①017
[ x-y=1 yy ㉠ x-3y=-3 yy ㉡ ㉠-㉡을 하면 2y=4 ∴ y=2 y=2를 ㉠에 대입하면 x-2=1 ∴ x=3 따라서 두 그래프의 교점의 좌표가 (3, 2)이므로 a=3, b=2 ∴ a+b=3+2=5 답 5018
교점의 좌표를 (3, p)라 하면 직선 x+y=8이 점 (3, p)를 지나므로 3+p=8 ∴ p=5 직선 ax-y=1이 점 (3, 5)를 지나므로 3_a-5=1 ∴ a=2 답 ②019
연립방정식 [ 3x+y=6 2x-y=4의 해는 x=2, y=0이므로 두 직 선의 교점 (2, 0)을 지나며 y축에 평행한 직선의 방정식은 x=2 답 ②020
3x-y=1과 5x=2y를 연립하여 풀면 x=2, y=5이므로 ax+2y=18에 대입하면 2a+10=18 ∴ a=4 답 ⑤021
연립방정식 [ 2x-ay=3 x-ay=1 을 풀면 x=2 2x+y=5에 x=2를 대입하면 y=1 즉, x=2, y=1이 연립방정식의 해이므로 2x-ay=3에 x=2, y=1을 대입하면 a=1 답1022
⑴ 연립방정식 [ x-y+3=0 3x+y-3=0을 풀면 x=0, y=3 즉, 교점의 좌표는 (0, 3)이다. ⑵ 직선 x-y+3=0의 x절편은 -3, 직선 3x+y-3=0의 x절편은 1 ⑶ (삼각형의 넓이)=;2!;_4_3=6 답⑴ (0, 3) ⑵ -3, 1 ⑶ 6023
연립방정식 [ y=2x+8 y=-3x+3 을 풀면 x=-1, y=6 즉, 교점의 좌표는 (-1, 6)이다. 따라서 두 직선과 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 ;2!;_5_6=15 답②024
직선 l의 방정식 x=3 점 A는 두 직선 l과 y=3x의 교점이므로 A(3, 9)이고, 점 B는 두 직선 l과 y=-;3!;x의 교점이므로 B(3, -1)이다. ∴ △AOB=;2!;_(9+1)_3=15 답15025
-2x-y+6=0에 y=4를 대입 Y Z Z YZ 0 $ # " 하면 -2x-4+6=0 ∴ x=1 직선 y=4와 y축의 교점은 B(0, 4) -2x-y+6=0에 y=0을 대입 하면 -2x+6=0, x=3 ∴ C(3, 0) ∴ ABOC=;2!;_(1+3)_4=8 답8026
y=-;4#;x+3의 그래프 Y Z Z BY 0 " $ # Z Y 와 y축, x축의 교점을 각 각 A, B라 하면 이 그 래프의 x절편은 4, y절 편은 3이므로 A(0, 3), B(4, 0) △AOB=;2!;_4_3=6 중학2-2중간해답(01~09).indd 3 2020-07-01 17:42:0604
중2 (2학기 중간고사) △AOB의 넓이를 이등분하는 직선 y=ax와 직선 y=-;4#;x+3의 교점을 C라 하면 △COB=;2!;△AOB=3 점 C의 y좌표를 k라 하면 △COB=3에서 ;2!;_4_k=3 ∴ k=;2#; y=-;4#;x+3에 y=;2#;을 대입하면 ;2#;=-;4#;x+3 ∴ x=2 따라서 직선 y=ax가 점 C{2, ;2#;}을 지나므로 ;2#;=2a ∴ a=;4#; 답 ③027
주어진 연립방정식은 [ y=2x-3 y=2x-3 이므로 두 직선은 일치한다. 따라서 해는 무수히 많다. 답 ⑤ 포인트 연립방정식 [ ax+by+c=0 a'x+b'y+c'=0에 대하여 해가 무수 히 많다. 두 일차방정식의 그래프가 일치한다.028
연립방정식을 [ ax+by+c=0 a'x+b'y+c'=0 꼴로 고치면 ① ;2@;= -1-1+ 3-3 : 평행하다. 해가 없다. ② ;6#;= -2-4 =;2!;: 일치한다. 해가 무수히 많다. ③ ;2$;+ -5-3 : 한 점에서 만난다. 해는 한 쌍 ④ ;5%;+ -11 : 한 점에서 만난다. 해는 한 쌍 ⑤ ;6@;= -1-3+ -13 : 평행하다. 해가 없다. 답③, ④029
연립방정식 [ y=ax+1 y=-x-2의 해가 없으면 두 일차함수의 그 래프가 평행하므로 기울기가 서로 같다. ∴ a=-1 답 -1030
ax-y+2=0에서 y=ax+2 3x+by-4=0에서 y=-;b#;x+;b$; 연립방정식의 해가 무수히 많으려면 두 일차함수의 그래프의 기울기와 y절편이 같아야 하므로 a=-;b#;, 2=;b$; ∴ a=-;2#;, b=2 ∴ 2a+b=2_{-;2#;}+2=-1 답 ②031
ax+y=3에서 y=-ax+3 4x-2y=5에서 y=2x-;2%; 두 직선의 교점이 없으므로 평행하다. 따라서 -a=2이므로 a=-2 답 ②032
2x-3y-4=0에서 y=0을 대입하면 x절편은 2이고, 5x-2y-4=0에서 x=0을 대입하면 y절편은 -2이므로 구하는 직선은 (2, 0), (0, -2)를 지난다. yy 가 따라서 구하는 직선의 방정식은 y=x-2 yy 나 답y=x-2 단계 채점 요소 배점 가 직선이 지나는 점 구하기 2점 나 답 구하기 2점033
y=-4x-2이므로 4x+y+2=0 yy 가 따라서 a-3b=4, 2a-b=-2이므로 두 식을 연립하여 풀면 a=-2, b=-2 yy 나 답a=-2, b=-2 단계 채점 요소 배점 가 4x+y+2=0 구하기 2점 나 답 구하기 2점034
⑴ 점 A(2, 3)의 좌표를 y=ax에 대입하면 3=2a ∴ a=;2#; yy 가 ⑵ 점 B(4, 1)의 좌표를 y=ax에 대입하면 1=4a ∴ a=;4!; yy 나따라서 구하는 a의 값의 범위는 ;4!;ÉaÉ;2#; yy 다
답 ⑴ ;2#; ⑵ ;4!;ÉaÉ;2#; 단계 채점 요소 배점 가 a=;2#; 구하기 2점 나 a=;4!; 구하기 2점 다 ;4!;ÉaÉ;2#; 구하기 2점
035
연립방정식 [ -3x+y=72x-5y=4 를 풀면 x=-3, y=-2 yy 가 따라서 교점의 좌표는 (-3, -2)이다. yy 나 답(-3, -2) 단계 채점 요소 배점 가 x=-3, y=-2 구하기 2점 나 답 구하기 2점 중학2-2중간해답(01~09).indd 4 2020-07-01 17:42:081. 일차함수와 일차방정식
05
036
연립방정식 [ 3x+2y-2=0x-y+1=0 을 풀면 x=0, y=1 yy 가 따라서 교점의 좌표는 (0, 1)이다. 2x-y=5, 즉 y=2x-5이므로 기울기는 2이다. yy 나 구하는 직선의 방정식을 y=2x+b라 하고 x=0, y=1을 대입하면 1=0+b ∴ b=1 따라서 구하는 직선의 방정식은 y=2x+1 yy 다 답y=2x+1 단계 채점 요소 배점 가 x=0, y=1 구하기 2점 나 기울기 구하기 2점 다 답 구하기 2점037
연립방정식 [ x-2y=-5 3x-y=-5를 풀면 x=-1, y=2 yy 가 따라서 교점의 좌표는 (-1, 2)이다. 두 직선 ax-by=7, 2ax+by=2가 점 (-1, 2)를 지나 므로 -a-2b=7, -2a+2b=2 yy 나 따라서 두 식을 연립하여 풀면 a=-3, b=-2 yy 다 답a=-3, b=-2 단계 채점 요소 배점 가 x=-1, y=2 구하기 2점 나 -a-2b=7, -2a+2b=2 구하기 2점 다 답 구하기 2점038
세 직선 x-2y-4=0, x=-2, y=2를 좌표평면 위에 나 타내면 다음 그림과 같다. Y Z YZ Z Y 0 " $ # x=-2와 y=2의 교점을 A, x=-2와 x-2y-4=0의 교점을 B, y=2와 x-2y-4=0의 교점을 C라 하면 점 A(-2, 2), 점 B(-2, -3), 점 C(8, 2) yy 가∴ ABÓ=5, ACÓ=10 yy 나
∴ △ABC=;2!;_5_10=25 yy 다 답25 단계 채점 요소 배점 가 세 직선의 교점 구하기 2점 나 두 변의 길이 구하기 2점 다 답 구하기 2점
039
y=2x+4의 그래프는 x절편이 -2, y절편이 4이므로 A(0, 4), B(-2, 0) yy 가 △ABC=;2!;_BCÓ_4=24이므로 BCÓ=12 ∴ C(10, 0) yy 나 따라서 y=ax+4에 x=10, y=0을 대입하면 0=10a+4이므로 a=-;5@; yy 다 답-;5@; 단계 채점 요소 배점 가 두 점 A, B의 좌표 구하기 2점 나 점 C의 좌표 구하기 2점 다 답 구하기 2점040
ax+2y-6=0에서 x=0일 때, y=3 x=2일 때, y=-a+3 yy 가 따라서 도형의 넓이가 5이므로 ;2!;_{3+(-a+3)}_2=5 yy 나6-a=5 ∴ a=1 yy 다
답1 단계 채점 요소 배점 가 교점의 좌표 구하기 2점 나 식 세우기 2점 다 답 구하기 2점
041
일차함수 y=2x+6의 그래프는 Y Z Z BY Z Y 0 " . # 두 점 A(-3, 0), B(0, 6)을 지 나는 직선이므로 △AOB=;2!;_3_6=9 yy 가 두 직선 y=2x+6, y=ax의 교점 을 M(t, 2t+6) (t<0)이라 하면 △BMO=;2!;_6_(-t)=;2(; ∴ t=-;2#; ∴ M{-;2#;, 3} yy 나 따라서 y=ax에 x=-;2#;, y=3을 대입하면 3=-;2#;a ∴ a=-2 yy 다 답-2 단계 채점 요소 배점 가 삼각형 AOB의 넓이 구하기 3점 나 교점의 좌표 구하기 3점 다 답 구하기 2점 중학2-2중간해답(01~09).indd 5 2020-07-01 17:42:1106
중2 (2학기 중간고사)042
두 직선의 방정식을 정리하면y=2x-1, y=-;3A;x+2 yy 가
두 직선의 교점이 하나이려면 기울기가 달라야 하므로
2+-;3A; ∴ a+-6 yy 나
답 a+-6 단계 채점 요소 배점 가 두 직선의 방정식 정리하기 3점 나 답 구하기 3점 포인트 연립방정식 [ ax+by+c=0 a'x+b'y+c'=0 에 대하여 해가 오직 한 개이다. 두 일차방정식의 그래프가 한 점에서 만난다.
043
연립방정식의 해가 무수히 많으므로 두 직선이 일치한다. y=-;5@;x+b에서 5y=-2x+5b, 2x+5y=5b ∴ ;2@;=;5A;=;5¢b; 따라서 a=5, 5b=4에서 b=;5$;이다. yy 가 또한, ax+y-b=0에서 y=-ax+b이므로 (기울기)=-a=-5 yy 나 x-ky=4에서 ky=x-4, y=;k!;x-;k$; ;k!;=-5 ∴ k=-;5!; yy 다 답 -;5!; 단계 채점 요소 배점 가 a, b의 값 구하기 3점 나 기울기 구하기 2점 다 답 구하기 3점044
(a-1)x-y+3=0의 그래프가 점 (-1, 2)를 지나므로 -(a-1)-2+3=0 ∴ a=2 즉, (2-1)x-y+3=0에서 y=x+3 y=x+3의 그래프가 점 (b, 0)을 지나므로 0=b+3 ∴ b=-3 ∴ a+b=2+(-3)=-1 답 ②045
ax+by+c=0에서 y=-;bA;x-;bC; -;bA;<0, -;bC;<0이므로 ;bA;>0, ;bC;>0 즉, a, b, c는 같은 부호이다. cx-by+a=0에서 y=;bC;x+;bA; ;bC;>0, ;bA;>0 따라서 일차방정식 cx-by+a=0의 그래프는 기울기와 y절편의 부호가 모두 양인 직선이므로 제1, 2, 3사분면을 지난다. 답 ④046
Ú 직선 y=mx+1이 점 A(1, -6) Y Z 0 " # 을 지날 때 -6=m_1+1 ∴ m=-7 Û 직선 y=mx+1이 점 B(5, -2) 를 지날 때 -2=m_5+1 ∴ m=-;5#; Ú, Û에서 -7ÉmÉ-;5#; 답 ③047
네 직선 x=4, x=-2, Y Z L Z Z Z Y Y y=-5, y=3으로 둘러싸인 사각형은 오른쪽 그림의 어두 운 부분이다. y축에 수직인 직선은 x축과 평행하므로 구하는 직선의 방 정식을 y=k로 놓으면 직선 y=k가 직사각형의 넓이를 이등분하므로 6_(3-k)=;2!;_6_8 18-6k=24, 6k=-6 ∴ k=-1 따라서 구하는 직선의 방정식은 y=-1이다. 답 ④ 포인트 네 직선 x=a, x=b, y=c, y=d로 둘러싸인 도 형의 넓이는 |b-a|_|d-c|048
두 점 (8, 0), (0, -4)를 지나는 직선 l의 방정식은 y=;2!;x-4 이 직선이 점 (k, -2)를 지나므로 ;2!;k-4=-2, ;2!;k=2 ∴ k=4 직선 m이 두 점 (4, -2), (0, 6)을 지나므로 직선 m의 방정식은 y=-2x+6 따라서 점 A의 좌표는 y=0일 때이므로 (3, 0)이다. 답 (3, 0)049
ax+y-2=0에서 Y Y Z Z M N 0 y=-ax+2 기울기가 -1일 때를 직선 l, 기울기가 -;2!;일 때를 직선 m이라 하면 주어진 중학2-2중간해답(01~09).indd 6 2020-07-01 17:42:141. 일차함수와 일차방정식
07
조건을 만족시키는 상수 a의 값의 범위는 ;2!;<a<1 답 ②050
두 점 (0, 2), (3, -1)을 지나므로 (기울기)= -1-23-0 =-1 y=-x+b로 놓고 x=0, y=2를 대입하면 b=2 ∴ y=-x+2 이때 연립방정식 [ y=x-6 y=-x+2를 풀면 x=4, y=-2 즉, 두 직선의 교점의 좌표는 (4, -2)이므로 y=ax-10에 x=4, y=-2를 대입하면 -2=4a-10 ∴ a=2 답 ④051
연립방정식 [ 2x+3y=12 2x-y=4 의 Y M Z Y Z % # $ " 0 Z Y 해는 x=3, y=2이므로 오른 쪽 그림에서 두 직선의 교점 의 좌표는 A(3, 2) 두 직선 y=-;3@;x+4, y=2x-4가 y축과 만나는 점을 각각 B, C라 하면 △ABC=;2!;_8_3=12 이때, 구하는 직선 l의 방정식을 y=ax+b라 하면 D(0, b)이므로 △ABD=;2!;_(4-b)_3=6에서 b=0 따라서 y=ax에 x=3, y=2를 대입하면 a=;3@; ∴ y=;3@;x 답 y=;3@;x052
y=6x의 그래프와 직선 x=k의 교 Y Y L Z Y Z BY Z Y Z " $ # 0 점을 A, y=x의 그래프와 직선 x=k의 교점을 B라 하자. y=ax의 그래프가 삼각형 AOB의 넓이를 이등분하려면 y=ax의 그 래프와 직선 x=k가 만나는 점을 C라 할 때, 점 C는 선분 AB의 중점이어야 한다. 두 점 A(k, 6k), B(k, k)이므로 ABÓ=6k-k=5k 따라서 점 C의 y좌표는 k+;2%;k이므로 C{k, ;2&;k}y=ax에서 ;2&;k=ak ∴ a=;2&; 답 ④
053
두 직선 x-y+4=0, Y Z Z BY Y Z YZ 0 $ # 1 " N O 2x+y-4=0과 x축으로 둘러싸인 삼각형은 오른쪽 그림의 삼각형 ABC이고 그 넓이는 ;2!;_6_4=12 직선 y=ax가 직선 x-y+4=0과 만나는 점을 P(m, n) 이라 하면 삼각형 BOP의 넓이는 ;2!;_4_n=6 ∴ n=3 점 P(m, 3)은 직선 x-y+4=0 위의 점이므로 m-3+4=0 ∴ m=-1 따라서 직선 y=ax는 점 P(-1, 3)을 지나므로 3=-a ∴ a=-3 답①054
ㄱ. [ 2x-4y=6 2x-4y=3에서 기울기가 같고 y절편이 다르다. 따라서 두 직선이 평행하므로 해는 없다. (참) ㄴ. [ 2x-8y=6 yy ㉠ x-4y=3 yy ㉡ ㉡_2=㉠이다. 따라서 두 직선이 일치하므로 해는 무 수히 많다. (참) ㄷ. 2x-ay=6에서ay=2x-6 ∴ y=;a@;x-;a^;
bx-4y=3에서 4y=bx-3 ∴ y=;4B;x-;4#; 해가 존재하지 않으면 ;a@;=;4B;, -;a^;+-;4#; ∴ ab=8, a+8 (참) ㄹ. [ 2x-3y=6 4x-4y=3의 해는 x=-;;Á4°;;, y=-;2(; ∴ x+y=-;;Á4°;;+{-;2(;}=-;;£4£;; (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 답④
055
연립방정식의 각 일차방정식에서 y=-(2a-1)x+b-2=(-2a+1)x+b-2 y=-(1-a)x+1-b=(a-1)x+1-b 연립방정식의 해가 없으려면 두 직선이 평행해야 하므로 -2a+1=a-1, b-2+1-b ∴ a=;3@;, b+;2#; 답① 중학2-2중간해답(01~09).indd 7 2020-07-01 17:42:1708
중2 (2학기 중간고사) 포인트 연립방정식 [ ax+by+c=0 a'x+b'y+c'=0 에 대하여 해가 없 다. 두 일차방정식의 그래프가 평행하다.056
3x-2y+10=0에서 2y=3x+10 ∴ y=;2#;x+5 기울기가 ;2#;이므로 평행한 일차함수의 식은 ② y=;2#;x-2 답 ②057
두 점 (-1, 3), (2, 6)을 지나는 직선의 기울기는 6-3 2-(-1) =1이므로 y=x+b로 놓고, 이 식에 x=-1, y=3을 대입하면 3=-1+b ∴ b=4 ∴ y=x+4 이 그래프를 y축의 방향으로 1만큼 평행이동하면 y=x+4+1, y=x+5 ∴ x-y+5=0 답 ⑤058
주어진 일차방정식에서 y=x-2 ㄱ. y=x-1의 그래프와 기울기가 같으므로 평행하다. (참) ㄴ. x절편은 y=0에서 x=2, y절편은 x=0에서 y=-2 따라서 제2사분면을 지나지 않는다. (참) ㄷ. x절편과 y절편의 합은 2+(-2)=0이다. (거짓) ㄹ. x의 값이 2만큼 증가할 때, y의 값도 2만큼 증가하면 기울기는 ;2@;=1(참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다. 답 ②059
점 (-1, 3)이 ax-y+6=0을 지나므로-a-3+6=0 ∴ a=3 yy 가
점 (c, 0)을 3x-y+6=0에 대입하면 3c+6=0 ∴ c=-2 yy 나 ∴ a-c=3-(-2)=5 yy 다 답 5 단계 채점 요소 배점 가 a=3 구하기 2점 나 c=-2 구하기 1점 다 답 구하기 1점
060
ax+y+b=0에서 y=-ax-b y=-ax-b와 직선 l이 평행하므로 기울기가 같다. 따라서 직선 l의 기울기가 1이므로 a=-1 y=x-b와 직선 m이 x축 위에서 만나므로 y=x-b에 점 (-2, 0)을 대입하면 b=-2 ∴ a+b=-1-2=-3 답 ①061
Ú 직선 y=;2!;x+a가 점 A(2, 4)를 지날 때 4=;2!;_2+a ∴ a=3 Û 직선 y=;2!;x+a가 점 B(4, 3)을 지날 때 3=;2!;_4+a ∴ a=1 Ú, Û에서 1ÉaÉ3 답 ②062
x-2y-6=0에서 2y=x-6 ∴ y=;2!;x-3 y절편이 -3이므로 점 (0, -3)을 지나고 x축에 평행한 직선의 방정식은 y=-3 답 ②063
x=k 꼴이므로 ax+by+1=0에서 b=0 즉, ax+1=0에서 x=-;a!; 제2, 3사분면을 지나려면 -;a!;<0 ∴ a>0 답 ① 포인트 방정식 x=p의 그래프 점 (p, 0)을 지나고 y축에 평행한(x축에 수직인) 직선064
주어진 직선을 좌표평면에 Y Z Y B Y B Z Z 0 B B 나타내면 오른쪽 그림과 같으므로 네 직선으로 둘 러싸인 도형의 넓이는 3a_6=72 ∴ a=4 답 ③065
y=3x+2에 x=b, y=5를 대입하면 5=3b+2 ∴ b=1 yy 가 따라서 y=ax+3에 x=1, y=5를 대입하면5=a+3 ∴ a=2 yy 나
∴ a+b=2+1=3 yy 다 답 3 단계 채점 요소 배점 가 b=1 구하기 2점 나 a=2 구하기 1점 다 답 구하기 1점
066
직선 l은 두 점 (0, -4), (2, 0)을 지나므로 (기울기)= 0-(-4)2-0 =2, y절편은 -4이다.∴ y=2x-4 yy ㉠ yy 가
직선 m은 두 점 (0, 3), (9, 0)을 지나므로 (기울기)= 0-39-0 =-39 =-;3!;, y절편은 3이다.
∴ y=-;3!;x+3 yy ㉡ yy 나
1. 일차함수와 일차방정식
09
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=3 ∴ a=3 x=3을 ㉠에 대입하면 y=2 ∴ b=2 ∴ a-b=3-2=1 yy 다 답 1 단계 채점 요소 배점 가 직선 l의 방정식 구하기 2점 나 직선 m의 방정식 구하기 2점 다 답 구하기 2점067
세 직선의 기울기가 각각 1, 2, -3으로 서로 평행하지 않 으므로 삼각형이 이루어지지 않으려면 세 직선은 한 점에 서 만나야 한다. 즉, 두 직선 x-y=1, 2x-y=2의 교점 (1, 0)이 직선 3(x-2)+y=a 위의 점이므로 3_(-1)=a ∴ a=-3 답 ①068
각각의 함수의 x절편, y절 Y Z 0 Z Y Z Y Z Y Z Y 편을 구해 보면 y=2x+4의 x절편은 -2, y절편은 4 y=2x-4의 x절편은 2, y절편은 -4 y=-2x+4의 x절편은 2, y절편은 4 y=-2x-4의 x절편은 -2, y절편은 -4 이므로 네 일차함수의 그래프는 위의 그림과 같다. 따라서 구하는 도형의 넓이는 ;2!;_4_8=16 답 ②069
y=-;2!;x+2의 그래프는 두 점 Y Z 0 % " # $ (4, 0), (0, 2)를 지나는 직선이다. yy 가 y=-;2!;x+2+3, 즉 y=-;2!;x+5의 그래프는 두 점 (10, 0), (0, 5)를 지나는 직선이다. yy 나 따라서 구하는 넓이는 △DOC-△AOB =;2!;_10_5-;2!;_4_2=25-4=21 yy 다 답21 단계 채점 요소 배점 가 y=-;2!;x+2의 x절편, y절편 구하기 2점 나 y=-;2!;x+5의 x절편, y절편 구하기 2점 다 답 구하기 2점070
⑴ △ABC=;2!;_BCÓ_6=15 ∴ BCÓ=5 즉, 점 C의 좌표는 (-3, 0)이다. yy 가 ⑵ y절편이 6이고 점 (-3, 0)을 지나는 직선의 방정식을 구하면 된다. y절편이 6이므로 y=ax+6`(a+0)으로 놓을 수 있다. yy 나 또 점 (-3, 0)을 지나므로 y=ax+6에 x=-3, y=0 을 대입하면 0=-3a+6 ∴ a=2 따라서 구하는 직선의 방정식은 y=2x+6 yy 다 답 ⑴ (-3, 0) ⑵ y=2x+6 단계 채점 요소 배점 가 점 C의 좌표 구하기 3점 나 y=ax+6의 식 세우기 2점 다 y=2x+6 구하기 3점071
2x-y=4에서 y=2x-4, ax-2y=b에서 y=;2A;x-;2B; 기울기와 y절편이 같을 때 해가 무수히 많으므로 ;2A;=2, -;2B;=-4 ∴ a=4, b=8 답a=4, b=8072
① á{ » y=4x+1 y=;4!;x-;4!; 해는 한 쌍 ② ( { 9 y=;2!;x-1 y=;2!;x-;2!; 해가 없다. ③ [ y=3x-1 y=3x-1 해가 무수히 많다. ④ á{ » y=-2x+3 y=;2!;x-2 해는 한 쌍 ⑤ [ y=-x+3y=x-3 해는 한 쌍 답②073
ㄱ. y=3x+1 ㄴ. y=-;3!;x+;3!; ㄷ. y=3x+1 ㄹ. y=3x-2 연립방정식의 해가 없으면 두 직선의 기울기가 같고, y절 편이 다르므로 조건을 만족시키는 것은 ㄱ, ㄹ이다. 답③ 중학2-2중간해답(01~09).indd 9 2020-07-01 17:42:2110
중2 (2학기 중간고사)001
⑴ ABÓ=ACÓ이면 ∠B=∠C이므로 70ù+∠x+∠x=180ù, 2∠x=110ù ∴ ∠x=55ù ⑵ ∠ACB=180ù-100ù=80ù ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC=∠ACB=80ù ∴ ∠A=180ù-(80ù+80ù)=20ù 답 ⑴ 55ù ⑵ 20ù002
△ABC가 이등변삼각형이 되는 경우는 다음 3가지 경우 중 하나이다. Ú x+5=x, 5=0 따라서 이등변삼각형이 아니다. Û 2x=x, x=0 x>0이므로 이등변삼각형이 아니다. Ü 2x=x+5 ∴ x=5 따라서 x=5일 때, 이등변삼각형이 된다. 답 ⑤003
② ∠BAD=∠CAD 답 ②004
△BCD에서 BDÓ=CDÓ이므로 ∠DCB=∠DBC=90ù-60ù=30ù 즉, ∠BDC+30ù+30ù=180ù이므로 ∠BDC=120ù 답 ④005
△ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ACB=;2!;_(180ù-80ù)=50ù ADÓBCÓ이므로 ∠ACB와 ∠DAC는 엇각이다. ∴ ∠DAC=∠ACB=50ù 답50ù006
∠BDC=180ù-∠ADB=180ù-100ù=80ù △BCD에서 BCÓ=BDÓ이므로 ∠BCD=∠BDC=80ù ∴ ∠DBC=180ù-(80ù+80ù)=20ù △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC=∠ACB=80ù ∴ ∠ABD =∠ABC-∠DBC =80ù-20ù=60ù 답 ④007
∠A=∠x라 하면 △ABD에서 ADÓ=BDÓ이므로 ∠ABD=∠A=∠x △BCD에서 BDÓ=BCÓ이므로 ∠C=∠BDC=∠ABD+∠A=2∠x △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC=∠C=2∠x ∠A+∠ABC+∠C=180ù이므로 ∠x+2∠x+2∠x=180ù, 5∠x=180ù ∴ ∠x=36ù 답 ②2
이등변삼각형과 직각삼각형
본문 022~036쪽008
∠A=∠x라 하면 △ADC에서 ADÓ=CDÓ이므로 ∠ACD=∠x ∴ ∠BDC=∠x+∠x=2∠x △BCD에서 CBÓ=CDÓ이므로 ∠DBC=∠BDC=2∠x ∠ACE=∠A+∠B이므로 ∠x+2∠x=3∠x=120ù ∴ ∠x=40ù 답 40ù 포인트 삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같다.009
△ABD와 △ACE에서 ABÓ=ACÓ, ADÓ=AEÓ, ∠A는 공통이므로 △ABDª△ACE (SAS 합동) 즉, ∠ACE=∠ABD=28ù 따라서 △AEC에서 ∠BEC =∠CAE+∠ACE =40ù+28ù=68ù 답 ⑤010
△ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC=∠ACB=;2!;_(180ù-48ù)=66ù ∠DBC=;2!;∠ABC=;2!;_66ù=33ù ∠DCE=;2!;∠ACE=;2!;_(180ù-66ù) =;2!;_114ù=57ù ∴ ∠BDC=∠DCE-∠DBC=24ù 답 ④011
△ABD와 △ACD에서 ABÓ=ACÓ yy ㉠∠BAD=∠CAD yy ㉡
ADÓ 는 공통 yy ㉢
㉠, ㉡, ㉢에 의하여 △ABDª△ACD ( SAS 합동)
따라서 BDÓ=CDÓ이고
∠ADB=∠ADC= 90ù 이므로 ADÓ⊥BCÓ이다.
답 ㈎: ADÓ, ㈏: SAS, ㈐: 90ù
012
∠BAD=∠CAD이므로ADÓ⊥BCÓ yy ①, BDÓ=CDÓ yy ②
△PBD와 △PCD에서 BDÓ=CDÓ, PDÓ는 공통, ∠PDB=∠PDC=90ù yy ④ 이므로 △PBDª△PCD (SAS 합동) yy ⑤ 따라서 옳지 않은 것은 ③ APÓ=BPÓ=CPÓ이다. 답 ③
013
ADÓ는 ∠A의 이등분선이므로 ∠BAD=∠CAD=32ù ∴ ∠A=64ù △ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이므로 ∠B=∠C 중학2-2중간(10~17)해답2단원.indd 10 2020-07-01 17:42:402. 이등변삼각형과 직각삼각형
11
∴ ∠B=;2!;_(180ù-64ù)=58ù 답 ④014
∠BAD=∠CAD이므로 ADÓ⊥BCÓ, DCÓ=;2!; BCÓ=6 △ADC=;2!;_DCÓ_ADÓ=;2!;_ACÓ_DEÓ이므로 ;2!;_6_ADÓ=;2!;_10_4.8, 3ADÓ=24 ∴ ADÓ=8 답 8015
⑴ △ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이므로 x=4 ⑵ △ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이므로 x=10 답⑴ 4 ⑵ 10016
삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로 ∠A+55ù+70ù=180ù ∴ ∠A=55ù △ABC에서 두 내각의 크기가 같으므로 △ABC는 이등 변삼각형이다. ∴ x=6 답 ③017
① ABÓ=ACÓ이므로 이등변삼각형이다. ② ∠A=∠B이므로 이등변삼각형이다. ③ ∠ACB=180ù-120ù=60ù=∠B이므로 이등변삼각형 이다. ④ ∠A=90ù-45ù=45ù=∠C이므로 이등변삼각형이다. ⑤ ∠A=180ù-(50ù+100ù)=30ù 세 내각의 크기가 모두 다르므로 이등변삼각형이 아니 다. 답 ⑤ 포인트 어떤 삼각형이 이등변삼각형임을 보이려면 두 내 각의 크기가 같음을 보이면 된다.018
∠BAC의 이등분선과 BCÓ의 교점을 D라 하면 △ABD와 △ACD에서 ∠B=∠C …… ㉠ ∠BAD=∠CAD …… ㉡ 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로 ㉠, ㉡에서 △ADB= ∠ADC …… ㉢ ADÓ 는 공통 …… ㉣ ㉡, ㉢, ㉣에서 △ABDª△ACD ( ASA 합동) 따라서 ABÓ=ACÓ이므로 △ABC는 이등변삼각형이다. 답㈎: ∠B=∠C, ㈏: ∠ADC, ㈐: ADÓ, ㈑: ASA019
①, ④ 두 변의 길이가 같으므로 이등변삼각형이다. ② ∠A=∠C이므로 이등변삼각형이다. ③ ∠B=180ù-(40ù+100ù)=40ù=∠A이므로 이등변 삼각형이다. ⑤ 주어진 조건만으로는 이등변삼각형인지 알 수 없다. 답 ⑤020
△ABD와 △ACD에서 ∠ADB+∠ADC=180ù이므로∠ADB=∠ADC=90ù yy ㉠
ADÓ는 공통 yy ㉡
ADÓ가 ∠A의 이등분선이므로 ∠BAD=∠CAD yy ㉢
㉠, ㉡, ㉢에 의해 △ABDª△ACD (ASA 합동) 합동인 두 삼각형에서 대응변의 길이와 대응각의 크기는 같으므로 ①, ②, ③, ⑤는 옳다. 답④
021
①, ③ ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC=∠C=72ù ∠DBC=;2!;∠ABC=;2!;_72ù=36ù ∠BDC=180ù-(36ù+72ù)=72ù ∠BCD=∠BDC이므로 BCÓ=BDÓ ② ADÓ와 DCÓ가 같은지는 주어진 조건만으로는 확인할 수 없다. ④, ⑤ ∠A=180ù-(72ù_2)=36ù ∴ ∠DBC=∠A 답②022
" # $ % ± ± ± ± ∠BAC=180ù-∠DAC=120ù이고 삼각형의 세 내각의 크기의 합이 180ù이므로 ∠ACB=180ù-(120ù+30ù)=30ù따라서 △ABC는 ∠ABC=∠ACB=30ù인 이등변삼각
형이므로 ABÓ=ACÓ=6 한편, ∠ADC=180ù-120ù=60ù이므로 △ACD는 정삼 각형이다. ∴ ABÓ=ACÓ=CDÓ=6 답⑤
023
△DAB의 꼭지각 D에서 밑변 AB에 그은 수선이 ABÓ를 이등분하였으므로 △DAB는 이등변삼각형이다. 따라서 ∠DAB=∠DAC=∠DBA=∠x이므로 3∠x=90ù ∴ ∠x=30ù 답④024
∠FEG=∠DEG (접은 각)이고 ∠FGE=∠DEG (엇각)이므로 ∠FEG=∠FGE 따라서 △FGE는 FEÓ=FGÓ인 이등변삼각형이다. ∴ EFÓ=20`(cm) 답20`cm025
△ABC와 △DEF에서ABÓ= DEÓ yy ㉠
∠B=∠E yy ㉡
12
중2 (2학기 중간고사)031
직각이등변삼각형 ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠B=∠C ∠BHM=∠CIM=90ù, BÕMÓ=CÕMÓ이므로 △BHMª△CIM (RHA 합동) △ABC는 직각이등변삼각형이므로 ∠A=90ù, ∠B=∠C=45ù ∴ ∠HMB=∠IMC=45ù MÕHÓ=HBÓ=CIÓ=IMÓ=6`(cm)이므로 CIÓ=6`(cm) 답 6`cm032
∠BAC=180ù-(90ù+40ù)=50ù △ADB와 △ADE에서 ∠B=∠AED=90ù yy ㉠ ADÓ는 공통 yy ㉡ ABÓ=AEÓ yy ㉢ ㉠, ㉡, ㉢에 의하여 △ADBª△ADE (RHS 합동)∴ ∠BAD=∠DAE=;2!;∠BAC=25ù
∴ ∠ADE=180ù-(90ù+25ù)=65ù 답 ④
033
△ADE와 △ACE에서 " # % $ &ADN ± ∠C=∠ADE=90ù yy ㉠ AEÓ는 공통 yy ㉡ ADÓ=ACÓ yy ㉢ ㉠, ㉡, ㉢에 의하여 △ADEª△ACE (RHS 합동) ∴ DEÓ=CEÓ △ABC에서 BCÓ=ACÓ이므로 ∠B=∠CAB=;2!;_(180ù-90ù)=45ù △DBE에서 ∠BDE=90ù, ∠B=45ù이므로 ∠DEB =180ù-(90ù+45ù) =45ù ∴ ∠B=∠DEB 따라서 △DBE에서 DBÓ=DEÓ이므로 DBÓ=DEÓ=CEÓ=2`(cm) 답 ②034
△OAP와 △OBP에서 APÓ=BPÓ yy ㉠ OPÓ는 공통 yy ㉡∠OAP=∠OBP=90ù yy ㉢
㉠, ㉡, ㉢에 의하여 △OAPª△OBP (RHS 합동) 따라서 ∠APO=∠BPO이므로 ∠APO=;2!;_∠APB=;2!;_110ù=55ù ∴ ∠x=180ù-(90ù+55ù)=35ù 답 35ù
035
△POA와 △POB에서 또 ∠C=∠F=90ù, ∠B=∠E이므로 ∠A= ∠D yy ㉢ ㉠, ㉡, ㉢에 의하여 △ABCª△DEF ( RHA 합동) 답㈎: DEÓ, ㈏: ∠D, ㈐: RHA026
ㄱ과 ㄷ은 빗변의 길이와 다른 한 변의 길이가 같으므로 합동이다. ㄴ과 ㄹ은 빗변의 길이와 한 예각의 크기가 각각 같으므로 합동이다. 답 ㄱ과 ㄷ, ㄴ과 ㄹ027
① 빗변의 길이와 다른 한 변의 길이가 각각 같으므로 합 동이다. ② 빗변의 길이와 한 예각의 크기가 각각 같으므로 합동이 다. ③ ∠A=∠D, ∠C=∠F, ACÓ=DFÓ (ASA 합동) ④ ACÓ=DFÓ, ∠C=∠F, BCÓ=EFÓ (SAS 합동) 답 ⑤028
△ABE와 △DCE에서 ∠ABE=∠DCE=90ù, AEÓ=DEÓ, ABÓ=DCÓ ∴ △ABEª△DCE (RHS 합동) BEÓ=CEÓ이므로 BEÓ=;2!;_BCÓ=;2!;_20=10`(cm) ∴ △ABE=;2!;_10_5=25`(cmÛ`) 답 ②029
△DBA와 △EAC에서 ∠D=∠E=90ù yy ㉠ ABÓ=ACÓ yy ㉡∠DBA=∠EAC yy ㉢
㉠, ㉡, ㉢에 의하여 △DBAª△EAC (RHA 합동) DBÓ=EAÓ=5`(cm), DAÓ=ECÓ=12`(cm)이므로 DEÓ=DAÓ+EAÓ=12+5=17`(cm) 답 ② 포인트 두 직각삼각형에서 빗변의 길이와 한 예각의 크기 가 각각 같을 때 RHA 합동
030
" # & $ % ADN ADN △ADC와 △EDC에서∠A=∠DEC=90ù yy ㉠
DCÓ는 공통 yy ㉡ ACÓ=ECÓ yy ㉢ ㉠, ㉡, ㉢에 의하여 △ADCª△EDC (RHS 합동) ∴ ADÓ=DEÓ=4`(cm) ∴ BDÓ=ABÓ-ADÓ=9-4=5`(cm) 답 ② 중학2-2중간(10~17)해답2단원.indd 12 2020-07-01 17:42:43
2. 이등변삼각형과 직각삼각형
13
∠POA= ∠POB yy ㉠
OPÓ 는 공통 yy ㉡
∠OAP=∠OBP=90ù yy ㉢
㉠, ㉡, ㉢에 의하여 △POAª △POB (RHA 합동) ∴ PAÓ =PBÓ
따라서 옳지 않은 것은 ②이다. 답 ②
036
△OPA와 △OPB에서∠POA=∠POB yy ㉠ ∠OAP=∠OBP=90ù yy ㉡
OPÓ는 공통 yy ㉢ ㉠, ㉡, ㉢에 의하여 △OPAª△OPB (RHA 합동) 답 ⑤
037
점 D에서 ACÓ에 내린 수선의 ADN ADN ADN $ & % # " 발을 E라 하면 △ABD와 △AED에서 ∠B=∠AED=90ù yy ㉠ ADÓ는 공통 yy ㉡∠BAD=∠EAD yy ㉢
㉠, ㉡, ㉢에 의하여 △ABDª△AED (RHA 합동) ∴ EDÓ=BDÓ=3`(cm) ∴ △ADC=;2!;_ACÓ_EDÓ=;2!;_10_3=15`(cmÛ`) 답 ②
038
△ADE와 △ADC에서 ∠C=∠AED=90ù yy ㉠ ADÓ는 공통 yy ㉡∠EAD=∠CAD yy ㉢ ㉠, ㉡, ㉢에 의하여 △ADEª△ADC (RHA 합동) ∴ DEÓ=DCÓ=6`(cm) 또 △ABC에서 ACÓ=BCÓ이므로 ∠B=45ù 즉 △BDE에서 ∠BED=90ù, ∠BDE=45ù ∴ EBÓ=DEÓ=6`(cm) ∴ △BDE=;2!;_6_6=18`(cmÛ`) 답18`cmÛ`
039
∠ACB의 외각의 크기가 125ù이므로 ∠ACB=180ù-125ù=55ù yy 가 △ABC에서 ABÓ=BCÓ이므로 ∠x=∠ACB=55ù yy 나 답 55ù 단계 채점 요소 배점 가 ∠ACB=55ù 구하기 2점 나 답 구하기 2점040
△ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠B=∠C ∴ ∠B=;2!;_(180ù-64ù)=58ù yy 가 ADÓBCÓ이므로 ∠B=∠EAD (동위각) ∴ ∠EAD=58ù yy 나 답58ù 단계 채점 요소 배점 가 ∠B=58ù 구하기 2점 나 답 구하기 2점041
△OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로 ∠OBA=∠OAB=∠x △OAB에서 OAÓ=OCÓ이므로∠OAC=∠OCA=∠y yy 가
△ABC의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로
∠OBA+∠OAB+∠OAC+∠OCA=180ù
∠x+∠x+∠y+∠y=180ù yy 나
2(∠x+∠y)=180ù ∴ ∠x+∠y=90ù yy 다
답90ù 단계 채점 요소 배점 가 ∠OAB=∠x, ∠OCA=∠y 구하기 2점 나 ∠x+∠x+∠y+∠y=180ù 구하기 2점 다 답 구하기 2점
042
△ABC에서 ABÓ=BCÓ이므로 ∠ACB=;2!;_(180ù-70ù)=55ù △CDE에서 CDÓ=DEÓ이므로 ∠ECD=;2!;_(180ù-26ù)=77ù yy 가 ∴ ∠ACE =180ù-(∠ACB+∠ECD) =180ù-(55ù+77ù)=48ù yy 나 답48ù 단계 채점 요소 배점 가 ∠ACB=55ù, ∠ECD=77ù 3점 나 답 구하기 3점043
△ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠B=∠C=43ù ∴ ∠BAC=180ù-(43ù+43ù)=94ù yy 가∴ ∠BAD=;2!;∠BAC=;2!;_94ù=47ù yy 나
답47ù 단계 채점 요소 배점 가 ∠BAC=94ù 구하기 2점 나 답 구하기 2점
044
∠ACB+∠ACE=180ù이고 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ACB=∠ABC ∴ ∠ABC+∠ACE=180ù 중학2-2중간(10~17)해답2단원.indd 13 2020-07-01 17:42:4514
중2 (2학기 중간고사)∴ ∠DBC+∠ACD=;2!;∠ABC+;2!;∠ACE
=;2!;_180ù=90ù yy 가
△DBC에서 ∠DBC+∠ACB+∠ACD+∠D=180ù
90ù+∠ACB+40ù=180ù ∴ ∠ACB=50ù yy 나
따라서 △ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이므로 ∠A=180ù-(50ù+50ù)=80ù yy 다 답80ù 단계 채점 요소 배점 가 ∠DBC+∠ACD=90ù 구하기 3점 나 ∠ACB=50ù 구하기 3점 다 답 구하기 2점
045
△ABD에서 ∠B=∠x, ∠BAD=∠x이므로 ∠ADC=2∠x △ACD에서 ∠ADC=2∠x, ∠CAD=2∠x이므로 △ADC는 이등변삼각형이다. ∴ ACÓ=DCÓ=3 yy 가 △ABD에서 ∠ABD=∠BAD이므로 ADÓ=BDÓ ∴ ADÓ=BDÓ=BCÓ-DCÓ=5-3=2 yy 나 답 2 단계 채점 요소 배점 가 DCÓ=3 구하기 3점 나 답 구하기 3점046
⑴ ∠FAC=∠BAC (접은 각), ∠FAC=∠ACB (엇각)즉, ∠BAC=∠ACB이므로 yy 가
BCÓ=ABÓ=12`(cm) yy 나 ⑵ △ABC=;2!;_12_10=60(cmÛ`) yy 다 답⑴ 12`cm ⑵ 60`cmÛ` 단계 채점 요소 배점 가 ∠BAC=∠ACB 구하기 2점 나 BCÓ=12 구하기 1점 다 답 구하기 3점
047
△ACE와 △ADE에서∠ACE=∠ADE=90ù yy ㉠
AEÓ는 공통 yy ㉡
ACÓ=ADÓ yy ㉢
㉠, ㉡, ㉢에 의하여 △ACEª△ADE (RHS 합동)
yy 가
∴ CEÓ=DEÓ yy 나
따라서 △BED의 둘레의 길이는 BDÓ+BEÓ+DEÓ =BDÓ+BEÓ+ECÓ=BDÓ+BCÓ =8+12=20`(cm) yy 다 답20`cm 단계 채점 요소 배점 가 △ACEª△ADE임을 보이기 2점 나 CEÓ=DEÓ 구하기 2점 다 답 구하기 2점 포인트 두 직각삼각형에서 빗변의 길이와 다른 한 변의 길 이가 각각 같을 때 RHS 합동
048
△BDM과 △CEM에서 DÕMÓ=EÕMÓ, BÕMÓ=CÕMÓ, ∠BDM=∠CEM=90ù이므로 △BDMª△CEM (RHS 합동) yy 가 ∴ ∠B=∠C △ABC에서 66ù+∠B+∠C=180ù이므로 ∠B=∠C=;2!;_(180ù-66ù)=57ù yy 나 △BDM에서 ∠B+∠BDM+∠BMD=180ù ∴ ∠BMD =180ù-(∠B+∠BDM) =180ù-(57ù+90ù)=33ù yy 다 답 33ù 단계 채점 요소 배점 가 △BDMª△CEM임을 보이기 2점 나 ∠B=∠C=57ù 구하기 2점 다 답 구하기 2점049
오른쪽 그림과 같이 점 D에서 ACÓ " # % & $ ADN 에 내린 수선의 발을 E라 하면 △CDB와 △CDE에서 ∠B=∠CED=90ù yy ㉠ CDÓ는 공통 yy ㉡ ∠DCE=∠DCB yy ㉢ ㉠, ㉡, ㉢에 의하여 △CDBª△CDE (RHA 합동) ∴ BDÓ=EDÓ yy 가 △ADC=;2!;_10_EDÓ=15`(cmÛ`) ∴ EDÓ=3`(cm) ∴ BDÓ=3`(cm) yy 나 답 3`cm 단계 채점 요소 배점 가 BDÓ=EDÓ 구하기 3점 나 답 구하기 3점050
△ADM과 △ADC에서 ∠C=∠AMD=90ù yy ㉠ ADÓ는 공통 yy ㉡∠MAD=∠CAD yy ㉢
㉠, ㉡, ㉢에 의하여 △ADMª△ADC (RHA 합동)
2. 이등변삼각형과 직각삼각형
15
△BMD와 △AMD에서 DMÓ은 공통 yy ㉠ BMÓ=AMÓ yy ㉡ ∠BMD=∠AMD=90ù yy ㉢ ㉠, ㉡, ㉢에 의하여 △BMDª△AMD (SAS 합동) yy 가 ∴ ∠MBD=∠MAD ∠MBD=∠x라 하면 △ABC에서 ∠x+2∠x=90ù 3∠x=90ù, ∠x=30ù yy 나 ∴ ∠B=90ù-60ù=30ù ∴ ∠BDM=90ù-30ù=60ù yy 다 답 60ù 단계 채점 요소 배점 가 △BMDª△AMD임을 보이기 3점 나 ∠x=30ù 구하기 3점 다 답 구하기 2점051
∠A=∠x라 하면 ∠C=;2#;∠x 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로 ∠x+;2#;∠x+;2#;∠x=180ù 4∠x=180ù, ∠x=45ù ∴ ∠A=45ù 답 45ù052
∠C=∠x라 하면 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC=∠C=∠x ∴ ∠DBE=∠ABC-∠EBC=∠x-21ù 또 AEÓ=EBÓ이므로 ∠EAD=∠EBD=∠x-21ù △ABC에서 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로 (∠x-21ù)+∠x+∠x=180ù 3∠x=201ù ∴ ∠x=67ù 답 ④053
△ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ACB=;2!;_(180ù-50ù)=65ù △CDE에서 ECÓ=EDÓ이므로 ∠ECD=;2!;_(180ù-20ù)=80ù ∠ACB+∠BCD+∠ECD=180ù이므로 65ù+∠BCD+80ù=180ù ∴ ∠BCD=35ù 답 ⑤054
△BDE에서 DBÓ=DEÓ이므로 ∠B=∠DEB=20ù ∴ ∠ADE =∠B+∠DEB=20ù+20ù=40ù △ADE에서 DEÓ=AEÓ이므로 ∠ADE=∠DAE=40ù ∴ ∠AEC=∠B+∠BAE=20ù+40ù=60ù △AEC에서 AEÓ=ACÓ이므로 ∠AEC=∠ACE=60ù ∴ ∠EAC =180ù-(∠AEC+∠ACE) =180ù-(60ù+60ù)=60ù 답 ③ 포인트 삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같다.055
△ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC=∠ACB=;2!;_(180ù-50ù)=65ù 반원에서 BÕMÓ=LÕMÓ, MÕNÓ=MÕCÓ이므로 ∠BLM=∠ABC=65ù, ∠CNM=∠ACB=65ù ∠BML=∠CMN=180ù-(65ù+65ù)=50ù ∠LMN=180ù-(50ù+50ù)=80ù ∴ (부채꼴 LMN의 넓이)=p_6Û`_;3¥6¼0; =8p`(cmÛ`) 답8p`cmÛ`056
△ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠B=∠C △DBE에서 ∠BDE=90ù-∠B이므로 ∠ADF=∠BDE=90ù-∠B △FEC에서 ∠AFD=90ù-∠C=90ù-∠B ∴ ∠ADF=∠AFD 즉, △AFD는 ADÓ=AFÓ인 이등변삼각형이다. ∴ AFÓ=ADÓ=12-4=8`(cm) 답 8`cm057
CGÓ=ABÓ이므로 직사각형 ABCD의 세로의 길이는 12`cm이다. 이때 가로, 세로의 길이의 비가 3：2이므로 BCÓ=;2#;_12=18`(cm) 또 ∠AEF=∠FEC (접은 각)이고 ∠AEF=∠EFC (엇각)이므로∠FEC=∠EFC ∴ CFÓ=CEÓ=13`(cm)
따라서 FGÓ=BFÓ이므로 FGÓ=BFÓ=BCÓ-CFÓ=18-13=5`(cm) 답 5`cm
058
∠ECG=∠EAB=90ù " # $ % & ' ( ± ∠ECF=90ù-20ù=70ù ∠ECF=∠CED (엇각)이므로 ∠CED=70ù ∠AEF=∠CEF(접은 각)이므로 ∠CEF=;2!;_(180ù-70ù)=55ù ∴ ∠EFC=180ù-(70ù+55ù)=55ù 답②059
△MBE와 △MCF에서 MBÓ=MCÓ, MEÓ=MFÓ, ∠MEB=∠MFC=90ù이므로 △MBEª△MCF (RHS 합동) 따라서 ∠B=∠C이므로 △ABC는 이등변삼각형이다. 즉, △ABMª△ACM (SAS 합동)이므로 △ABC=2_△ABM=2_;2!;_10_3=30`(cmÛ`) 답⑤060
△ABD와 △CAE에서 중학2-2중간(10~17)해답2단원.indd 15 2020-07-01 17:42:4816
중2 (2학기 중간고사) BAÓ=ACÓ, ∠ADB=∠CEA=90ù, ∠ABD=90ù-∠BAD=∠CAE ∴ △ABDª△CAE (RHA 합동) 따라서 BDÓ=AEÓ, ADÓ=CEÓ이므로 DEÓ =AEÓ-ADÓ=BDÓ-CEÓ=12-5=7`(cm) 답7`cm061
△BCE와 △CBD에서 ∠BEC=∠CDB=90ù, BCÓ는 공통, BEÓ=CDÓ ∴ △BCEª△CBD (RHS 합동) ∴ ∠CBE=∠BCD △ABC에서 ∠CBE=∠BCD=;2!;_(180ù-80ù)=50ù 따라서 △BCE에서 ∠x =180ù-(90ù+∠CBE) =180ù-(90ù+50ù)=40ù 답40ù062
△APD와 △CQD에서 " # $ % 1 2 ± ± DPÓ=DQÓ, ∠DAP=∠DCQ=90ù, ADÓ=CDÓ ∴ △APDª△CQD (RHS 합동) ∴ ∠CDQ=∠ADP=30ù △DPQ에서 ∠PDC=90ù-30ù=60ù, ∠CDQ=30ù이므로 ∠PDQ=60ù+30ù=90ù ∴ ∠DPQ=∠DQP=45ù 또 △APD에서 ∠APD=90ù-30ù=60ù ∴ ∠BPQ=180ù-(60ù+45ù)=75ù 답 ④063
△ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC=∠ACB △BEC와 △CDB에서 BEÓ=CDÓ, BCÓ는 공통, ∠ABC=∠ACB∴ △BECª△CDB (SAS 합동) yy ①
따라서 ∠BCP=∠CBP이고, yy ③ CEÓ=BDÓ yy ④ △ABC에서 ABÓ=ACÓ이고 BEÓ=CDÓ이므로 AEÓ=ADÓ이다. yy ② 답 ⑤
064
△ABD는 ADÓ=BDÓ인 이등변삼각형이므로 ∠B=∠BAD=35ù ∠ADC=35ù+35ù=70ù yy 가 △ADC는 ADÓ=CDÓ인 이등변삼각형이므로 ∠DAC=;2!;_(180ù-70ù)=55ù yy 나 답55ù 단계 채점 요소 배점 가 ∠ADC=70ù 구하기 2점 나 답 구하기 2점065
△ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC=∠ACB＝70ù ∴ ∠y=180ù-(70ù+70ù)=40ù △BCD에서 BCÓ=BDÓ이므로 ∠BDC=∠ACB=70ù ∠DBC=180ù-(70ù+70ù)=40ù이므로 ∠x=∠ABC-∠DBC=70ù-40ù=30ù ∴ ∠y-∠x=40ù-30ù=10ù 답 ①066
△ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠B=∠ACB=;2!;_(180ù-100ù)=40ù yy 가 △ACD에서 ACÓ=DCÓ이므로 ∠D=∠CAD=180ù-100ù=80ù yy 나 ∴ ∠DCE=∠B+∠D=40ù+80ù=120ù yy 다 답120ù 단계 채점 요소 배점 가 ∠B=40ù 구하기 2점 나 ∠D=80ù 구하기 2점 다 답 구하기 2점067
△ABD와 △BCE에서 ABÓ=BCÓ, ADÓ=BEÓ, ∠A=∠EBC=60ù ∴ △ABDª△BCE (SAS 합동) 따라서 ∠ABD=∠BCE이므로 ∠CPD =∠DBC+∠BCE=∠DBC+∠ABD =∠ABC=60ù 답 ③068
△BDEª△BCE(접은 삼각형)이므로 ∠EBC=35ù 즉, ∠ABC=70ù이고 △ABC가 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각 형이므로 ∠C=70ù 따라서 △BCE에서 ∠x =180ù-(∠EBC+∠C) =180ù-(35ù+70ù)=75ù 답 ④069
△BAD와 △CAD에서 ABÓ=ACÓ yy ㉠ ADÓ는 공통 yy ㉡∠BAD=∠CAD yy ㉢
㉠, ㉡, ㉢에 의하여 △BADª△CAD (SAS 합동) yy 가 ∴ BDÓ=CDÓ 따라서 BCÓ=10`(cm)이므로 CDÓ=5`(cm) yy 나 답 5`cm 단계 채점 요소 배점 가 △BADª△CAD임을 보이기 2점 나 답 구하기 2점 중학2-2중간(10~17)해답2단원.indd 16 2020-07-01 17:42:49
2. 이등변삼각형과 직각삼각형
17
포인트 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직 이등분한다.070
△BPD와 △CPD에서 BDÓ= CDÓ ∠BDP=∠CDP= 90ù PDÓ는 공통 ∴ △BPDª△CPD ( SAS 합동) ∴ BPÓ=CPÓ 답 ③071
△ABC에서 ∠B=∠C이므로 △ABC는 ABÓ=ACÓ인 이 등변삼각형이다. 꼭지각 A의 이등분선은 밑면 BCÓ를 수직이등분하므로 BDÓ=CDÓ=4`(cm) 따라서 삼각형 ABC의 둘레의 길이는 6+8+6=20`(cm) 답 ①072
△ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠B=∠C yy ㉠점 I가 ∠B와 ∠C의 이등분선의 교점이므로 ∠IBC=;2!;∠B yy ㉡ ∠ICB=;2!;∠C yy ㉢ ㉠, ㉡, ㉢에서 ∠IBC= ∠ICB 이므로 △IBC도 이등변삼각형이다. 답㈎: ∠C, ㈏: ∠ICB
073
" # $ % & ) ( ' ① 평행선에서 엇각의 크기는 같으므로∠CFE=∠FEG (참) yy ㉠
② 접은 각이므로 ∠HEF=∠DEF (참)
③ 접은 각이므로 ∠GFE=∠CFE (참) yy ㉡
④ ㉠, ㉡에서 ∠GFE=∠FEG, 즉 △GFE는 EGÓ=FGÓ
인 이등변삼각형이다. (참) 답 ⑤
074
△ABD와 △ACD에서ABÓ=ACÓ yy ㉠
∠BAD=∠CAD yy ㉡
ADÓ는 공통 yy ㉢ ㉠, ㉡, ㉢에 의하여 △ABDª△ACD (SAS 합동) 답 ②
075
△ABE와 △ACD에서 ABÓ=ACÓ, ∠BAE=∠CAD, ∠AEB=∠ADC=90ù ∴ △ABEª△ACD (RHA 합동) ∴ ADÓ=AEÓ, BDÓ=CEÓ, BEÓ=CDÓ 점 A와 점 F를 연결하면 △ADF와 △AEF에서 ∠ADF=∠AEF=90ù, AFÓ는 공통, ADÓ=AEÓ ∴ △ADFª△AEF (RHS 합동) ∴ DFÓ=EFÓ 답⑤076
①, ②, ③ △ABC에서 BCÓ의 중점이 M이므로 BÕMÓ=CÕMÓ △MBD와 △MCE에서 DÕMÓ=EÕMÓ, ∠BDM=∠CEM=90ù, BMÓ=CMÓ ∴ △MBDª△MCE (RHS 합동) 따라서 ∠B=∠C이므로 △ABC는 이등변삼각형이다. ∴ ABÓ=ACÓ ④ △ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이므로 AÕMÓ은 ∠A의 이등분선이다. ⑤ ∠B=∠C이므로 △ABC는 이등변삼각형이다. 답⑤077
△EAB와 △EDB에서 ABÓ=BDÓ, ∠BAE=∠BDE=90ù, BEÓ는 공통 ∴ △EABª△EDB (RHS 합동) yy 가따라서 DEÓ=AEÓ=12`(cm)이므로 yy 나
△EBC=;2!;_BCÓ_DEÓ =;2!;_30_12=180`(cmÛ`) yy 다 답 180`cmÛ` 단계 채점 요소 배점 가 △EABª△EDB임을 보이기 2점 나 DEÓ=12 구하기 2점 다 답 구하기 2점
078
⑴ ∠ABE+∠EBC=90ù, ∠EBC+∠BCE=90ù ∴ ∠ABE=∠BCE △ABD와 △BCE에서 ∠ABE=∠BCE, ABÓ=BCÓ, ∠ADB=∠BEC=90ù∴ △ABDª△BCE (RHA 합동) yy 가
BEÓ=ADÓ=9`(cm), BDÓ=CEÓ=5`(cm) yy 나
∴ DEÓ=BEÓ-BDÓ=9-5=4`(cm) yy 다
⑵ △BCE=;2!;_9_5=;;¢2°;;`(cmÛ`) yy 라 답 ⑴ 4`cm ⑵ ;;¢2°;;`cmÛ` 단계 채점 요소 배점 가 △ABDª△BCE임을 보이기 3점 나 BEÓ=9, BDÓ=5 구하기 2점 다 DEÓ=4 구하기 1점 라 △BCE=;;¢2°;; 구하기 2점
079
△COP와 △DOP에서 OPÓ는 공통, ∠PCO=∠PDO=90ù ∠COP=∠DOP이므로 △COPª△DOP (RHA 합동) ∴ PCÓ=PDÓ 답① 중학2-2중간(10~17)해답2단원.indd 17 2020-07-01 17:42:5118
중2 (2학기 중간고사)001
외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이므로 ④ 는 외심을 나타내고 있고, 각 꼭짓점에 이르는 거리가 같음을 보여주 는 ①도 외심을 나타낸다. 답①, ④002
ABÓ, BCÓ의 수직이등분선의 교점을 O라고 한다. 점 O는 ABÓ의 수직이등분선 위의 점이므로OAÓ= OBÓ yy ㉠
점 O는 BCÓ의 수직이등분선 위의 점이므로
OBÓ= OCÓ yy ㉡
㉠, ㉡에서 OAÓ= OCÓ 즉, 점 O는 두 꼭짓점 A, C에서 같은 거리에 있으므로 점 O는 ACÓ 의 수직이등분선 위의 점이다. 따라서 세 변의 수직이등분선은 한 점 에서 만난다. 답 ④
003
외심은 삼각형의 세 변의 수직이등분선의 교점이고, 세 꼭 짓점에 이르는 거리가 모두 같은 점이다. 답③, ⑤004
△ADOª△BDO, " # $ % & ' 0 △BEOª△CEO, △CFOª△AFO (모두 SAS 합동) ① ∠DBO=∠DAO (거짓) ③ △ADOª△BDO (거짓) ⑤ △OAB는 이등변삼각형이므로 OÕAÓ=OBÓ △OAC는 이등변삼각형이므로 OÕAÓ=OCÓ ∴ OÕAÓ=OBÓ=OCÓ (참) ②, ④ 근거가 없다. (거짓) 답 ⑤005
점 O가 △ABC의 외심이므로 ADÓ=BDÓ=5`cm, BEÓ=CEÓ=6`cm, AFÓ=CFÓ=4`cm 따라서 △ABC의 둘레의 길이는 ABÓ=BCÓ+CAÓ =2(ADÓ+BEÓ+AFÓ) =2_(5+6+4)=30`(cm) 답30`cm006
직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로 △ABC의 외접 원의 반지름의 길이는 ;2!; ABÓ=;2!;_8=4`(cm) 답 ① 포인트 직각삼각형의 외심 ⑴ 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점 " # $ 0 이다. ⑵ (△ABC의 외접원의 반지름의 길 이) =OAÓ=OBÓ=OCÓ=;2!;ABÓ3
삼각형의 외심과 내심
본문 038~052쪽007
직각삼각형의 빗변의 중점은 그 삼각형의 외심이 된다. 따라서 CMÓ=AÕMÓ=BÕMÓ이므로 CMÓ=;2!;ABÓ=;2!;_20=10`(cm) 답 ④008
직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로 △ABC의 외접 원의 반지름의 길이는 ;2!; ABÓ=;2!;_10=5`(cm) ∴ (외접원의 넓이)=p_5Û`=25p`(cmÛ`) 답 ②009
점 M은 △ABC의 외심이므로 " # . $ ADN ± ± AÕMÓ=BÕMÓ=CÕMÓ =;2!; BCÓ=;2!;_10 =5`(cm) △ABM에서 AÕMÓ=BÕMÓ이므로 ∠BAM=∠B=30ù ∴ ∠AMC=∠B+∠BAM=30ù+30ù=60ù ∠MAC=90ù-30ù=60ù △AMC에서 AÕMÓ=CÕMÓ이고 ∠MAC=60ù이므로 ∠MCA=60ù 따라서 ∠AMC=∠MAC=∠MCA=60ù이므로 △AMC는 한 변의 길이가 5`cm인 정삼각형이다. 따라서 △AMC의 둘레의 길이는 AÕMÓ+CÕMÓ+ACÓ=5+5+5=15`(cm) 답 ①010
오른쪽 그림과 같이 OAÓ를 그 " # $ 0 ± ± 으면 점 O는 △ABC의 외심이 므로 OÕAÓ=OBÓ=OCÓ ∴ ∠OAB=∠OBA=26ù, ∠OAC=∠OCA=34ù ∴ ∠A=∠OAB+∠OAC =26ù+34ù =60ù 답 60ù011
⑴ 점 O가 △ABC의 외심이므로 30ù+∠x+35ù=90ù ∴ ∠x=25ù ⑵ 점 O가 △ABC의 외심이므로 ∠x=2_60ù=120ù 답⑴ 25ù ⑵ 120ù012
점 O가 △ABC의 외심이므로 △OBC에서OBÓ=OCÓ이므로 ∠OBC=;2!;_(180ù-100ù)=40ù 또 ∠x+∠y+∠OBC=90ù ∠x+∠y+40ù=90ù ∴ ∠x+∠y=50ù 답 ② 중학2-2중간(18~27)해답3단원재.indd 18 2020-07-01 17:43:003. 삼각형의 외심과 내심
19
013
점 O가 △ABC의 외심이므로 xù+2xù+3xù=90ù, 6xù=90ù ∴ x=15 답 ②014
점 O가 △ABC의 외심이므로 44ù+20ù+∠OCL=90ù ∴ ∠OCL=26ù 따라서 △OCL에서 ∠OCL=180ù-(90ù+26ù)=64ù 답 64ù015
오른쪽 그림과 같이 OAÓ를 그으 " # $ 0 B B Y Y C C ± 면 점 O는 △ABC의 외심이므로 OÕAÓ=OBÓ=OCÓ ∠OAB=∠a, ∠OAC=∠b라 하면 2(∠a+∠b+∠x)=180ù ∴ ∠a+∠b+∠x=90ù ∠a+∠b=∠A=50ù이므로 ∠a+∠b+∠x=90ù에서 50ù+∠x=90ù ∴ ∠x=40ù 답 ①016
오른쪽 그림과 같이 OAÓ, OCÓ를 " # $ 0 B C C B ± ± 그으면 점 O는 △ABC의 외심이 므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ∠OAB=∠a, ∠OAC=∠b라
하면 ∠a+∠b+37ù=90ù이므로 ∠a+∠b=53ù ∴ ∠BAC=∠a+∠b=53ù 답 ②
017
오른쪽 그림과 같이 OAÓ를 그으 " # 0 $ Y ± ± 면 점 O가 △ABC의 외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ ∠OAB=∠x라 하면 ∠x+20ù+40ù=90ù ∴ ∠x=30ù △AOC에서 OÕAÓ=OCÓ이므로 ∠OAC=40ù ∴ ∠BAC=∠x+∠OAC =30ù+40ù=70ù 답 70ù018
점 O가 △ABC의 외심이므로 ∠OAB+∠OCB+∠OCA=90ù ∠OAB+30ù+20ù=90ù ∴ ∠OAB=∠OBA=40ù ∠BAH=90ù-∠ABH=90ù-(40ù+30ù)=20ù ∴ ∠x =∠OAB-∠BAH=40ù-20ù=20ù 답 ③019
⑴ 점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠IBC=∠IBA=25ù ⑵ (내접원의 넓이)=p_3Û`=9p`(cmÛ`) 답⑴ 25ù ⑵ 9p`cmÛ`020
답㈎: IDÓ, ㈏: IEÓ, ㈐: ∠ICF021
내심은 삼각형의 세 내각의 이등분선의 교점이고, 세 변에 이르는 거리가 모두 같은 점이다. 답②, ④022
점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠ABI=∠IBC=30ù ∠A=180ù-(∠B+∠C) =180ù-(60ù+70ù)=50ù ∴ ∠BAI=;2!;∠A=;2!;_50ù=25ù 답25ù023
△IBC에서 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로 ∠BIC=180ù-(20ù+30ù)=130ù 점 I가 △ABC의 내심이므로 90ù+;2!;∠A=130ù, ;2!;∠A=40ù ∴ ∠A=80ù 답⑤ 포인트 점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠BIC=90ù+;2!;∠A024
△ABC에서 DEÓBCÓ이므로 ∠DIB=∠IBC (엇각), ∠EIC=∠ICB (엇각) 점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠DBI=∠IBC, ∠ECI=∠ICB ∠DIB=∠DBI, ∠EIC=∠ECI ∴ DEÓ=DIÓ+EIÓ=DBÓ+ECÓ=4+3=7 답⑤025
△DBI에서 DEÓBCÓ이므로 " # $ % & * ADN ADN∠CBI=∠DIB (엇각) yy ㉠ 또 점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠DBI=∠CBI yy ㉡
㉠, ㉡에서 ∠DBI=∠DIB
∴ DBÓ=DIÓ yy ㉢
△EIC에서 DEÓBCÓ이므로 ∠BCI=∠EIC(엇각) yy ㉣
또 점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠BCI=∠ECI yy ㉤
㉣, ㉤에서 ∠EIC=∠ECI
∴ EIÓ=ECÓ yy ㉥
20
중2 (2학기 중간고사) ACÓ=AFÓ+CFÓ이므로 (5-r)+(12-r)=13 2r=4 ∴ r=2 따라서 내접원의 넓이는 p_2Û`=4p`(cmÛ`) 답 ③032
직각삼각형 안에 가능한 " * # $ S AN AN AN 한 큰 원을 그리려면 원이 직각삼각형의 내접원이 되 면 된다. 오른쪽 그림에서 원 I는 직 각삼각형 ABC의 내접원 이다. 내접원 I의 반지름의 길이를 r라 하면 △ABC=△IAB+△IBC+△ICA이므로 ;2!;_8_6=;2!;_r_(10+8+6) 48=24r ∴ r=2`(m) 따라서 구하는 꽃밭의 반지름의 길이는 2`m이다. 답2`m 포인트 점 I가 삼각형 ABC의 내심일 때, 내접원의 반지 름의 길이를 r라 하면 △ABC=;2!;r(ABÓ+BCÓ+CAÓ)033
∠C=90ù인 직각삼각 $ * " # S S S S S S S S 형 ABC의 내접원의 반 지름의 길이를 r라 하면 (10-r)+(4-r)=12 ∴ r=1 ∴ (색칠한 부분의 넓이) =△ABC-(내접원의 넓이) =;2!;_10_4-p_1Û` =20-p 답 ③034
답 ⑴ 외심 ⑵ 내심 ⑶ 내심 ⑷ 외심035
① 삼각형의 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같다. 삼각형의 세 변에 이르는 거리가 같은 점은 내심이다. 답 ① 포인트 삼각형의 외심의 위치 ⑴ 예각삼각형: 삼각형의 내부 ⑵ 직각삼각형: 빗변의 중점 ⑶ 둔각삼각형: 삼각형의 외부036
점 I는 △ABC의 내심이므로 IDÓ=IEÓ=IFÓ 따라서 점 I에서 세 꼭짓점 D, E, F에 이르는 거리가 모 두 같으므로 점 I는 △DEF의 외심이 된다. 답 외심 ㉢, ㉥에서 DIÓ+EIÓ=DBÓ+ECÓ ∴ DEÓ=DBÓ+ECÓ 따라서 △ADE의 둘레의 길이는 ADÓ+DIÓ+EIÓ+AEÓ =ADÓ+DBÓ+ECÓ+AEÓ =ABÓ+ACÓ=16+13=29`(cm) 답29`cm026
점 I가 △ABC의 내심이므로 " # $ % & ' * BDÓ=BEÓ=6 ∴ AFÓ=ADÓ=ABÓ-BDÓ =10-6=4 답 ④027
점 I가 △ABC의 내심이므로 BEÓ=BDÓ=5, AFÓ=ADÓ=3 ∴ CEÓ=CFÓ=ACÓ-AFÓ=10-3=7 ∴ BCÓ=BEÓ+CEÓ=5+7=12 답 ④028
점 I가 △ABC의 내심이므로 BDÓ=BEÓ=8-x AFÓ=ADÓ=x이므로 CFÓ=CEÓ=7-x 따라서 BCÓ=BEÓ+CEÓ이므로 6=(8-x)+(7-x), 2x=9 ∴ x=;2(; 답 ;2(;029
점 I는 △ABC의 내심이므로 IDÓ=IEÓ=IFÓ=5`cm ∴ △ABC=△IAB+△IBC+△ICA =;2!;_14_5+;2!;_10_5+;2!;_12_5 =90`(cmÛ`) 답 ③030
원 I는 △ABC의 내접원이므로 원의 중심 I에서 세 변 AB, BC, CA에 내린 수선의 길이는 원 I의 반지름의 길 이가 된다. ∴ △ABC=△IAB+△IBC+△ICA =;2!;_8_2+;2!;_10_2+;2!;_6_2 =8+10+6=24`(cmÛ`) 답24`cmÛ`031
∠B=90ù인 직각삼각형 # " $ % & ' * S S S S S ABC의 내접원의 반지 름의 길이를 r라 하면 BÕDÓ=BEÓ=r, AFÓ=ADÓ=5-r, CFÓ=CEÓ=12-r 중학2-2중간(18~27)해답3단원재.indd 20 2020-07-01 17:43:073. 삼각형의 외심과 내심
21
037
xù=∠BOC=2∠A=2_50ù=100ùyù=∠BIC=90ù+;2!;∠A=90ù+;2!;_50ù=115ù
∴ y-x=115-100=15 답 ③
038
∠BOC=2∠A, ∠BIC=90ù+;2!;∠A이고∠BOC=∠BIC이므로 2∠A=90ù+;2!;∠A, ;2#;∠A=90ù ∴ ∠A=60ù 답 ③
039
∠C=90ù인 직각삼각형 ABC의 내접원의 반지름의 길이 를 r`cm라 하면 prÛ`=4p ∴ r=2`(cm) 또 외접원의 반지름의 길이를 x`cm라 하면 ABÓ=2x`(cm) △ABC=△IAB+△IBC+△ICA이므로 ;2!;_5_12=;2!;_2x_2+;2!;_12_2+;2!;_5_2 30=2x+12+5, 2x=13 ∴ x=:Á2£:`(cm) 따라서 △ABC의 외접원의 둘레의 길이는 2p_:Á2£:=13p`(cm) 답13p`cm040
△ABC의 내심을 I, 내접원의 반지름의 " # $ * Y 길이를 x라 하면 △ABC=△IAB+△IBC+△ICA ;2!;_6_8=;2!;_10_x+;2!;_6_x +;2!;_8_x 24=5x+3x+4x, 24=12x ∴ x=2 ∴ SÁ=p_2Û`=4p △ABC의 외심을 O, 외접원의 반지 " # $ 0 Z 름의 길이를 y라 하면 y=;2!;_10=5 ∴ Sª=p_5Û`=25p ∴ Sª-SÁ=25p-4p=21p 답 ①041
△ABC에서 ∠BAC=90ù-30ù=60ù ACÓ의 중점을 D라 할 때 점 D는 △ABC의 외심이므로 ADÓ=BDÓ=CDÓ 즉, △ABD에서 ADÓ=BDÓ이고 ∠BAC=60ù이므로 △ABD는 정삼각형이 된다. 따라서 ADÓ=BDÓ=CDÓ=7`(cm)이므로 yy 가 △ABC의 외접원의 넓이는 p_7Û`=49p`(cmÛ`) yy 나 답49p`cmÛ` 단계 채점 요소 배점 가 ADÓ=BDÓ=CDÓ=7 구하기 2점 나 답 구하기 2점042
점 O가 △ABC의 외심이므로 AOÓ=BOÓ=COÓ∴ ∠OAB=∠OBA=55ù yy 가
∴ ∠BOC=∠OAB+∠OBA=55ù+55ù=110ù yy 나 답110ù 단계 채점 요소 배점 가 ∠OBA=55ù 구하기 2점 나 답 구하기 2점
043
점 O는 △ABC의 외심이므로 AOÓ=COÓ △AOC에서 AOÓ+COÓ+8=26`(cm)이므로 AOÓ=COÓ=9`(cm) yy 가 따라서 △ABC의 외접원의 넓이는 p_9Û`=81p`(cmÛ`) yy 나 답81p`cmÛ` 단계 채점 요소 배점 가 AOÓ=COÓ=9 구하기 2점 나 답 구하기 2점044
오른쪽 그림과 같이 OÕAÓ를 그 " # $ 0 Y Z ± ± 으면 점 O는 △ABC의 외심이 므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ ∴ ∠x =∠OAB+∠OAC =28ù+42ù=70ù yy 가 또 ∠y=2∠BAC=2_70ù=140ù yy 나 ∴ ∠x+∠y=70ù+140ù=210ù yy 다 답210ù 단계 채점 요소 배점 가 ∠x=70ù 구하기 2점 나 ∠y=140ù 구하기 2점 다 답 구하기 2점045
△ABC에서 점 O는 외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ ∠AOB：∠BOC：∠COA =2：3：4이므로 ∠AOB=360ù_;9@;=80ù ∠BOC=360ù_;9#;=120ù ∠COA=360ù_;9$;=160ù yy 가 중학2-2중간(18~27)해답3단원재.indd 21 2020-07-01 17:43:0922
중2 (2학기 중간고사) 한편, 오른쪽 그림에서 " # % $ 0 B B B C C C ∠BOC =∠BOD+∠COD = (∠OAB+∠OBA) +(∠OAC+∠OCA) =2∠OAB+2∠OAC =2(∠OAB+∠OAC) =2∠BAC yy 나∴ ∠BAC=;2!;∠BOC=;2!;_120ù=60ù yy 다
답60ù
단계 채점 요소 배점
가 ∠AOB=80ù, ∠BOC=120ù, ∠COA=160ù 구하기 2점
나 ∠BOC=2∠BAC 구하기 2점 다 답 구하기 2점
046
⑴ 점 I가 △ABC의 내심이므로 2∠IBA+2∠ICB+2∠IAC=180ù yy 가 40ù+2∠ICB+80ù=180ù, 2∠ICB=60ù ∴ ∠ICB=30ù yy 나 ⑵ △IBC에서 ∠BIC=180ù-(∠IBC+∠ICB) =180ù-(20ù+30ù)=130ù yy 다 답⑴ 30ù ⑵ 130ù 다른 풀이 ⑵ ∠BIC=90ù+;2!;∠A=90ù+∠IAC =90ù+40ù=130ù 단계 채점 요소 배점 가 2∠IBA+2∠ICB+2∠IAC=180ù 구하기 2점 나 ∠ICB=30ù 구하기 2점 다 ∠BIC=130ù 구하기 2점047
⑴ △ABC에서 DEÓBCÓ이므로 ∠DIB=∠IBC (엇각) 점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠IBC=∠DBI=25ù ∴ ∠DIB=25ù yy 가 ⑵ △ABC에서 DEÓBCÓ이므로 ∠EIC=∠ICB (엇각) 점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠ICB=∠ECI=35ù ∴ ∠EIC=35ù yy 나 ⑶ △DBI에서 ∠DIB=∠DBI이므로 DIÓ=DBÓ△EIC에서 ∠EIC=∠ECI이므로 EIÓ=ECÓ yy 다
∴ (△ADE의 둘레의 길이) =ADÓ+DEÓ+AEÓ =ADÓ+(DIÓ+EIÓ)+AEÓ =(ADÓ+DBÓ)+(ECÓ+AEÓ) =ABÓ+ACÓ =12+10=22`(cm) yy 라 답⑴ 25ù ⑵ 35ù ⑶ 22`cm 단계 채점 요소 배점 가 ∠DIB=25ù 구하기 2점 나 ∠EIC=35ù 구하기 2점 다 DIÓ=DBÓ, EIÓ=ECÓ임을 보이기 2점 라 △ADE의 둘레의 길이 구하기 2점
048
" # $ % 1 * & 2 3 ADN ADN ADN ADN ADN ADN 위의 그림에서 DBCE=△DBI+△IBC+△ECI로 이 루어져 있다. yy 가 △DBI=;2!;_DBÓ_IRÓ=;2!;_4_3=6`(cm) △IBC=;2!;_BCÓ_IPÓ=;2!;_11_3=:£2£:`(cm)△ECI=;2!;_ECÓ_IQÓ=;2!;_5_3=:Á2°:`(cm) yy 나
따라서 구하는 DBCE의 넓이는
6+:£2£:+:Á2°:= 12+33+152 =:¤2¼:=30`(cmÛ`) yy 다
답30`cmÛ`
다른 풀이 △DBI에서 DEÓBCÓ이므로
∠CBI=∠DIB (엇각) yy ㉠
또 점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠DBI=∠CBI yy ㉡
㉠, ㉡에서 ∠DBI=∠DIB
∴ DBÓ=DIÓ=4`(cm) yy ㉢
△EIC에서 DEÓBCÓ이므로
∠BCI=∠EIC (엇각) yy ㉣
또 점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠BCI=∠ECI yy ㉤
㉣, ㉤에서 ∠EIC=∠ECI
∴ ECÓ=EIÓ=5`(cm) yy ㉥
㉢, ㉥에서 DIÓ+EIÓ=DBÓ+ECÓ ∴ DEÓ=DBÓ+ECÓ=4+5=9`(cm) 따라서 구하는 DBCE의 넓이는 ;2!;_(9+11)_3=30`(cmÛ`) 단계 채점 요소 배점 가 DBCE=△DBI+△IBC+△ECI로 나타내기 2점
나 △DBI, △IBC, △ECI의 넓이 구하기 3점
다 답 구하기 3점
