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5. 여러 가지 사각형
37 027
ABCD가 등변사다리꼴이므로ACÓ=BDÓ
16-3x=4, 3x=12
∴ x=4 답 ④
028
∠A=180ù-∠B=180ù-60ù=120ù∴ ∠D=∠A=120ù 답 ⑤
029
∠DCB=∠B=80ù이고 ∠ADC+∠DCB=180ù이므로∠ADC=180ù-80ù=100ù
△ACD에서 ∠ACD=180ù-(50ù+100ù)=30ù 답 30ù
030
△ABD에서 ABÓ=ADÓ이므로 ∠ABD=∠ADB 또 ∠ADB=∠x (엇각)이므로∠ABD=∠x
ABCD가 등변사다리꼴이므로 ∠ABC=∠C=70ù
∴ ∠x=;2!;∠ABC=;2!;_70ù=35ù 답 ③
031
오른쪽 그림과 같이 ABÓDEÓ가 " %# & $
되도록 DEÓ를 그으면 ABED는
평행사변형이므로 ADÓ=BEÓ, ABÓ=DEÓ
△DEC에서 DEÓ=ECÓ=CDÓ이므로 △DEC는 정삼각형이 다.
∴ ∠C=60ù 답 ④
032
ABCD가 등변사다리꼴이므로∠ABC=∠BCD이고, ADÓBCÓ이므로
∠BAD+∠ABC=180ù이다. 답 ③
033
① ABÓDCÓ이면 나머지 한 쌍의 대변도 평행하므로 평행 사변형이다.② ∠A=90ù이면 네 각의 크기가 직각으로 같아지므로 직 사각형이다.
③ 두 대각선이 서로 수직이면 마름모이다.
④ 직사각형이 정사각형이 되기 위해서는 대각선이 서로 수직이거나 이웃하는 두 변의 길이가 같아야 한다.
⑤ 두 대각선이 서로 수직이고 그 길이가 같으면 정사각형
이다. 답 ④
034
① 직사각형 → 마름모(네 변의 길이가 같다.)② 마름모 → 직사각형(대변의 길이가 같고, 한 내각이 90ù이다.)
③ 평행사변형 → 평행사변형(대변이 평행하다.)
④ 정사각형 → 정사각형
(네 변의 길이가 같고, 대각선이 서로 수직이등분하면 서 길이가 같다.)
⑤ 등변사다리꼴 → 마름모(네 변의 길이가 같다.)
035
정사각형, 직사각형, 등변사다리꼴의 경우는 다음 그림과 같이 두 대각선의 길이가 서로 같다.하지만 마름모나 평행사변형의 경우에는 두 대각선의 길
이가 서로 다를 수도 있다. 답④
036
두 대각선이 서로를 이등분하는 것은평행사변형, 마름모, 직사각형, 정사각형으로 4개이다.
두 대각선의 길이가 같은 것은 등변사다리꼴, 직사각형, 정사각형으로 3개이다.
두 대각선이 서로 직교하는 것은 마름모, 정사각형으로 2 개이다.
∴ x+y+z=4+3+2=9 답⑤
037
① ∠BAD=90ù이면 ∠B=180ù-90ù=90ù따라서 ABCD는 네 내각의 크기가 모두 같으므로 직사각형이다.
② ABÓ=CDÓ, ADÓ=BCÓ이고, ABÓ=ADÓ이므로 네 변의 길이가 모두 같다.
따라서 ABCD는 마름모이다.
③ △AOB와 △AOD에서 "
# $
0
% AOÓ는 공통, BOÓ=DOÓ,
∠AOB=∠AOD=90ù ∴ △AOBª△AOD
(SAS 합동) ∴ ABÓ=ADÓ
따라서 ABCD는 네 변의 길이가 모두 같으므로 마 름모이다.
답⑤
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38
중2 (2학기 중간고사)BDÓ=5x-5=35-5=30 yy 나
답30
단계 채점 요소 배점
가 x=7 구하기 2점
나 답 구하기 2점
044
△BED는 BEÓ=DEÓ인 이등변삼각형이므로 ∠EDB=∠EBD직사각형 ABCD에서 ADÓBCÓ이므로
∠ADB=∠EBD (엇각)
∴ ∠ADB=∠EDB
즉, ∠ADB=∠EDB=∠EDC이므로
∠EDC=;3!;_90ù=30ù yy 가
∴ ∠x=180ù-(90ù+30ù)=60ù yy 나
답 60ù
단계 채점 요소 배점
가 ∠EDC=30ù 구하기 2점
나 답 구하기 2점
045
ABCD가 마름모이므로 x=6 yy 가∠AOB=90ù이므로 ∠OAB=60ù ABÓ=BCÓ이므로 ∠ACB=60ù 따라서 △ABC는 정삼각형이므로
y=;2!;_6=3 yy 나
∴ x+y=6+3=9 yy 다
답 9
단계 채점 요소 배점
가 x=6 구하기 1점
나 y=3 구하기 2점
다 답 구하기 1점
046
△AOE와 △COF에서"
# $
& %
'
ADN 0
ADN
ADN AOÓ=COÓ,
∠AOE=∠COF=90ù ADÓBCÓ이므로
∠EAO=∠FCA
∴ △AOEª△COF (ASA 합동)
∴ AEÓ =CFÓ=8-3=5`(cm) yy 가
AFCE는 마름모이므로
(AFCE의 둘레의 길이)=4_5=20 (cm) yy 나
답 20`cm
단계 채점 요소 배점
가 AEÓ=CFÓ=5 구하기 3점
나 답 구하기 3점
047
⑴ △APB와 △AQD에서 APÓ=AQÓ yy ㉠④ △ABC와 △DCB에서 ABÓ=CDÓ, BCÓ는 공통, ACÓ=BDÓ ∴ △ABCª△DCB (SSS 합동) 한편, ∠ABC+∠DCB=180ù이므로
∠ABC=∠DCB=90ù
따라서 ABCD는 네 내각의 크기가 모두 같으므로 직사각형이다.
⑤ ∠ABC=∠ADC이고, ∠ABC+∠ADC=180ù이므로 ∠ABC=∠ADC=90ù
따라서 ABCD는 네 내각의 크기가 모두 같으므로
직사각형이다. 답 ⑤
038
⑴ ADÓBCÓ이므로 △ABC와 △DBC의 높이가 같고 밑변 BC가 공통이므로 두 삼각형의 넓이는 같다.∴ △ABC=△DBC
⑵ ADÓBCÓ이므로 △ABD와 △ACD의 높이가 같고 밑변 AD가 공통이므로 두 삼각형의 넓이는 같다.
∴ △ABD=△ACD
⑶ △ABO =△ABC-△OBC
=△DBC-△OBC=△CDO
답⑴ △DBC ⑵ △ACD ⑶ △CDO
039
ACÓDEÓ이므로 △ACD=△ACEABCD =△ABC+△ACD
=△ABC+ △ACE
= △ABE
∴ ABCD=△ABE
답㈎: △ACD, ㈏: △ACE, ㈐: △ABE
040
ABED에서 ACÓDEÓ이므로 △ACE=△ACD∴ △ABE =△ABC+△ACE=△ABC+△ACD
=ABCD=32 답 ④
041
두 점 A와 C를 연결하면△AED=△ACD=△ABC
∴ △ABE =△ABC-△AEC
=△AED-△DEC
=17-8=9`(cmÛ`) 답 9`cmÛ`
042
사다리꼴 ABCD에서 AEÓDCÓ이므로 △AED=△AEC ∴ ADÓ=ECÓ=2`(cm)∴ ABED=;2!;_(4+2)_5
=15`(cmÛ`) 답 ⑤
043
직사각형 ABCD에서 AOÓ=COÓ이므로3x-6=2x+1 ∴ x=7 yy 가 BDÓ=ACÓ=AOÓ+COÓ=5x-5이므로
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5. 여러 가지 사각형
39
∠APB=∠AQD=90ù yy ㉡ ABCD는 평행사변형이므로 ∠B=∠D이고,
∠BAP=∠DAQ yy ㉢
㉠, ㉡, ㉢에 의하여 △APBª△AQD (ASA 합동)
yy 가
∴ ∠PDC=;2!;_(180ù-30ù)=75ù yy 나
∴ ∠x=90ù-75ù=15ù yy 다
답 15ù
단계 채점 요소 배점
가 ∠PCD=30ù 구하기 2점
나 ∠PDC=75ù 구하기 2점
다 답 구하기 2점
049
△PAB와 △PAD에서 APÓ는 공통,∠BAP=∠DAP=45ù, ABÓ=ADÓ
∴ △PABª△PAD (SAS 합동) yy 가
△PAD에서 ∠DAP=45ù, ∠ADP=∠ABP=15ù
yy 나
∴ ∠x=15ù+45ù=60ù yy 다
답 60ù
단계 채점 요소 배점
가 △PABª△PAD임을 보이기 2점
나 ∠DAP=45ù, ∠ADP=15ù 구하기 2점
다 답 구하기 2점
050
ABÓDEÓ, ADÓBEÓ이므로 ABED는 평행사변형이다.∴ ABÓ=DEÓ, ADÓ=BEÓ
∴ ∠ADE=∠ABE=60ù
즉, AEÓ를 그으면 세 삼각형 △ABE, △AED, △DEC는 모두 정삼각형으로 넓이가 같다. yy 가
∴ ABCD=3_8=24`(cmÛ`) yy 나
답 24`cmÛ`
BEÓ=ADÓ=6`(cm) yy ㉠
DEÓ=ABÓ=7`(cm) yy ㉡ yy 가
∠BED=∠A=120ù
∴ ∠DEC=60ù yy ㉢
㉡, ㉢에서 △DEC는 한 변의 길이가 7`cm인 정삼각형이 므로 ECÓ=7`(cm) yy ㉣ yy 나
㉠, ㉣에서 BCÓ=6+7=13`(cm) yy 다
답13`cm
△AHBª△DQC (RHA 합동)
∴ BHÓ=CQÓ yy 가
AHQD는 직사각형이므로 HQÓ=ADÓ=5`(cm) yy 나
∴ BHÓ=;2!;_(9-5)=2`(cm) yy 다
053
사다리꼴 ABCD에서 ADÓBCÓ이므로△ABC=△DBC yy 가
∴ △OAB =△ABC-△OBC=△DBC-△OBC
=20-12=8`(cmÛ`) yy 나
답8`cmÛ`
단계 채점 요소 배점
가 △ABC=△DBC임을 보이기 3점
나 답 구하기 3점
054
BDÓAEÓ이므로 △ABD=△EBD△ABD=△ABO+△BDO이고,
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40
중2 (2학기 중간고사)△EBD=△DEO+△BDO이므로 △ABO=△DEO
∴ ABCD=△BCE yy 가
또한, BDÓ가 ABCD의 넓이를 이등분하므로
△ABD=35`(cmÛ`) yy 나
∴ △BDO =△ABD-△ABO=△ABD-△DEO
=35-20=15`(cmÛ`) yy 다
답15`cmÛ`
단계 채점 요소 배점
가 ABCD=△BCE임을 보이기 3점
나 △ABD=35 구하기 2점
다 답 구하기 3점
055
∠AEF =∠FEC (접은 각)=∠EFC (엇각)=∠x∠A=∠ECG=90ù이므로 ∠ECF=90ù-30ù=60ù
△EFC에서 ∠x+∠x+60ù=180ù, 2∠x=120ù
∴ ∠x=60ù 답60ù
056
△DBE와 △ABC에서 DBÓ=ABÓ, BEÓ=BCÓ∠DBE=60ù-∠EBA=∠ABC이므로
△DBEª△ABC (SAS 합동) yy ㉠ 또 △ABC와 △FEC에서 BCÓ=ECÓ, ACÓ=FCÓ
∠ACB=60ù-∠ECA=∠FCE이므로
△ABCª△FEC (SAS 합동) yy ㉡
㉠, ㉡에서 △DBEª△ABCª△FEC
057
ANCM, MBND가 평행사변형이므로 MQÓPNÓ, MPÓQNÓ058
평행사변형 ABCD에서 ABÓDCÓ이므로∠BAC=∠DCA=50ù(엇각)
∴ ∠x+∠y=58ù+58ù=116ù 답116ù
060
① 마름모 ② 직사각형 ③ 마름모 ⑤ 마름모∴ ∠BPQ =180ù-(∠DPE+∠DPQ)
=180ù-(75ù+75ù)=30ù 답 30ù
062
△ACD와 △AGB에서 ACÓ=AGÓ, ADÓ=ABÓ∠CAD=90ù+∠BAC=∠GAB
∴ △ACDª△AGB (SAS 합동)
△CIJ와 △AGJ에서 ∠AJG=∠IJC (맞꼭지각)
△ACDª△AGB이므로 ∠ICJ=∠AGJ
∠CIJ=∠GAJ=90ù
∴ ∠DIG=180ù-90ù=90ù 답 ④
063
ㄱ. ACÓ=BDÓ이지만 이등분되지는 않는다. (거짓)중학2-2중간(36~42)해답5단원.indd 40 2020-07-01 17:43:57
5. 여러 가지 사각형
41
△ACD-△AOD=△CDO이므로
△ABO=△CDO (참)
ㄹ. 등변사다리꼴이므로 ∠ABC=∠DCB ㄴ에서 ∠ABO=∠DCO
∴ ∠OBC=∠OCB (참)
ㅁ. △OBC가 △ODA의 두 배인지 알 수 없다. (거짓) ㅂ. ADÓBCÓ이므로 △ABDª△ACD (참)
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅂ의 4개이다. 답 ④
064
마름모는 네 변의 길이가 같은 사각형으로 두 대각선은 서 로 다른 것을 수직이등분한다. 또 마름모는 평행사변형으 로 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다. 즉, 마름모의 성질에 해당하는 것은 ㄴ, ㄷ, ㄹ이다.∴ x=3
직사각형은 네 내각의 크기가 같은 사각형으로 두 대각선 의 길이가 같고, 대각의 크기의 합은 180ù이다.
또 직사각형은 평행사변형이므로 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.
즉, 직사각형의 성질에 해당하는 것은 ㄱ, ㄷ이다.
∴ y=2
등변사다리꼴은 아랫변의 양 끝 "
# $
%
& ' 각의 크기가 같은 사각형으로 두
대각선의 길이가 같다. 즉, 등변 사다리꼴의 성질에 해당되는 것 은 ㄱ이다.
∴ z=1
∴ x+y+z=3+2+1=6 답 6
065
오른쪽 그림과 같이 BCÓ와 평행 "# $
%
. /
B I
I C 하도록 MNÓ을 긋고
AMND, MBCN의 높이를 h, BCÓ의 길이를 a, ADÓ의 길이 를 b라 하면
ABCD=;2!;_(a+b)_2h=(a+b)h=36`(cmÛ`)
∴ (색칠한 부분의 넓이)=;2!;bh+;2!;ah=;2!;(a+b)h
=;2!;_36=18`(cmÛ`) 답18`cmÛ`
066
OÕDÓ`:`OBÓ=1`:`2이므로 △AOD`:`△OAB=1`:`2∴ △OAB=2`cmÛ`
△OAB=△OCD이므로 △OCD=2`cmÛ`
△OCD`:`△OBC=1`:`2이므로 △OBC=4`(cmÛ`) 답 ④
포인트 높이가 같은 두 삼각형의 넓이는 밑변의 길이의 비 와 같다.
067
직사각형 ABCD에서 AOÓ=BOÓ=COÓ=DOÓ이므로BOÓ=;2!;ACÓ=5, COÓ=;2!;ACÓ=5 yy 가
∴ (△OBC의 둘레의 길이)
=BOÓ+COÓ+BCÓ=5+5+8=18 yy 나
답18
단계 채점 요소 배점
가 BOÓ=COÓ=5 구하기 2점
나 답 구하기 2점
068
ㄴ. BDÓ=4`cm이면 ACÓ=BDÓ이므로 직사각형이 된다.ㄷ. ∠A=90ù이면 ∠A=∠B=∠C=∠D=90ù이므로
직사각형이 된다. 답④
069
∠EAB=;2!;∠DAB, ∠EBA=;2!;∠ABC ADÓBCÓ이므로 ∠DAB+∠ABC=180ù∴ ∠EAB+∠EBA=;2!;(∠DAB+∠ABC)
=;2!;_180ù=90ù yy 가 따라서 △ABE에서 ∠AEB=90ù
∴ ∠HEF=90ù (맞꼭지각) yy 나 같은 방법으로 하여 ∠F=∠G=∠H=90ù
따라서 EFGH는 직사각형이다. yy 다 그런데 직사각형의 두 대각선의 길이는 같으므로
HFÓ=EGÓ=6`(cm) yy 라
답 6`cm
단계 채점 요소 배점
가 ∠EAB+∠EBA=90ù 구하기 2점
나 ∠HEF=90ù 구하기 2점
다 EFGH가 직사각형임을 보이기 2점
라 답 구하기 2점
070
EFGH는 마름모이므로 옳지 않은 것은⑤ ∠HEO=∠EHO이다. 답⑤
071
△DOE와 △BOF에서 DÕOÓ=BOÓ, ∠DOE=∠BOF=90ù ADÓBCÓ이므로 ∠EDO=∠FBO (엇각)∴ △DOEª△BOF (ASA 합동)
즉, DEÓ=BFÓ이므로 한 쌍의 대변의 길이가 같고 서로 평 행한 EBFD는 평행사변형이다.
또 평행사변형 EBFD의 대각선이 서로 수직이등분하므 로 EBFD는 마름모이다.
∴ EBÓ=BFÓ 답①
072
⑤ △AOEª△AOFª△COEª△COF 이므로 AEÓ=ECÓ=CFÓ=FAÓ따라서 AECF는 마름모이다. 답⑤
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42
중2 (2학기 중간고사)073
ACÓ를 그으면 △ABH와 △ACH에서 BHÓ=CHÓ,∠AHB=∠AHC=90ù, AHÓ는 공통이므로 △ABHª△ACH (SAS 합동) ∴ ABÓ=ACÓ
ABÓ=BCÓ이므로 △ABC는 정삼각형이다.
∴ ∠ABC=60ù
∴ ∠C=180ù-60ù=120ù 답 ①
074
△EBC는 정삼각형이므로∠ECB=60ù, ∠DCE=90ù-∠ECB=30ù ECÓ=DCÓ이므로 ∠DEC=∠EDC
∴ ∠EDC=;2!;_(180ù-30ù)=75ù yy 가
△BCD는 BCÓ=DCÓ인 직각삼각형이므로
∠BDC=45ù yy 나
∴ ∠x=∠EDC-∠BDC=75ù-45ù=30ù yy 다
답30ù
단계 채점 요소 배점
가 ∠EDC=75ù 구하기 2점
나 ∠BDC=45ù 구하기 2점
다 답 구하기 2점
075
△ABE와 △CBE에서BEÓ는 공통, ABÓ=BCÓ, ∠ABE=∠CBE이므로
△ABEª△CBE (SAS 합동)
∴ ∠AEB=∠BEC=68ù
따라서 ∠AEB+∠BEC+∠CEF=180ù이므로
∠CEF=180ù-(68ù+68ù)=44ù 답 ③
076
등변사다리꼴 ABCD에서 ADÓBCÓ이므로 ABÓ=CDÓ, ACÓ=BDÓ, AOÓ=ODÓ, OBÓ=OCÓ∴ △ABOª△DCO, △ABDª△DCA,
△ABCª△DCB
합동인 두 삼각형의 넓이는 같으므로 ④, ⑤도 옳다.
답 ①
077
① ABÓ=DEÓ=DCÓ이고 ∠C=∠B=60ù이므로 △DEC는 정삼각형이다.∴ ∠EDC=60ù (참)
② ∠B=∠DEC=60ù (동위각)에서 ABÓDEÓ이므로 ABED는 평행사변형이다. (참)
③ BCÓ=BEÓ+ECÓ=ADÓ+DEÓ=5+12=17`(cm) (참)
④ △DEC의 둘레의 길이는 3_12=36`(cm) (거짓)
⑤ ABCD의 둘레의 길이는 5+12+17+12=46`(cm)
(참)
답 ④
078
△ABC와 △DCB에서 ABÓ=DCÓ, BCÓ는 공통,∠ABC=∠DCB이므로 △ABCª△DCB (SAS 합동)
∴ ∠ACB=35ù yy 가
ACÓDEÓ이므로 ∠x=∠ACB=35ù (동위각) yy 나
답 35ù
단계 채점 요소 배점
가 ∠ACB=35ù 구하기 2점
나 답 구하기 2점
079
두 대각선의 길이가 같고 서로를 이등분하므로 직사각형이다. 답 ③
080
오른쪽 그림과 같이 "# $
%
&
'
( )
EFÓ=FGÓ=GHÓ=HEÓ, EGÓ=HFÓ이 므로 정사각형이다.
답 ⑤
081
정사각형은 네 변의 길이가 같고 네 내각의 크기가 같다.①, ③ 직사각형이 되는 조건
②, ④ 마름모가 되는 조건
⑤ ∠A=90ù이면 모든 각이 직각이다. ABÓ=BCÓ이면 이 웃하는 두 변의 길이가 같으므로 네 변의 길이가 같다.
따라서 정사각형이 된다. 답 ⑤
082
ㄱ, ㄴ은 두 대각선이 서로 수직으로 만난다.답 ①
083
△EBC =△EBF+△EFC=△EBF+△AEF=△ABF=12`(cmÛ`)
△ABC=;2!;ABCD=25`(cmÛ`)이므로
△FCD=△FCA =△ABC-△ABF
=25-12=13`(cmÛ`) 답 ①
084
⑴ AEÓBCÓ이므로 대각선 BD를 그으면△EBC=△DBC=;2!;ABCD
=;2!;_8_8=32`(cmÛ`) yy 가
⑵ △FBC=;2!;_8_6=24`(cmÛ`) yy 나
∴ △EFC =△EBC-△FBC
=32-24=8`(cmÛ`) yy 다 답 ⑴ 32`cmÛ` ⑵ 8`cmÛ`
단계 채점 요소 배점
가 △EBC의 넓이 구하기 3점
나 △FBC의 넓이 구하기 1점
다 △EFC의 넓이 구하기 2점
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6. 도형의 닮음
43 001
답 ⑴ 점 F ⑵ DFÓ ⑶ ∠B002
모든 원과 변의 개수가 같은 모든 정다각형끼리는 각각 항 상 닮음이다. 따라서 항상 닮은 도형인 것은 ㄱ, ㄷ, ㅂ이다. 답 ②
003
①의 두 정팔면체와 ⑤의 두 구는 항상 닮음인 입체도형이 다.② 두 원뿔은 밑면의 반지름의 길 이의 비와 높이의 비가 서로 다 를 수 있으므로 항상 닮은 도형
② 두 원뿔은 밑면의 반지름의 길 이의 비와 높이의 비가 서로 다 를 수 있으므로 항상 닮은 도형