01 최대공약수는 2¤ _3이고, 공약수의 개수는
(2+1)_(1+1)=6(개) ②
02 ④ 1은 약수가 1개이다. ④
03 a=2, b=2, c=1이므로 a+b+c=5 ③ 04 각각의 최대공약수를 구하면
① 14 ② 1 ③ 6 ④ 2 ⑤ 7
따라서 두 수가 서로소인 것은 ②이다. ②
05 180=2¤ _3¤ _5, 100=2¤ _5¤ 의 최대공약수는 2¤ _5이므 로 공약수는 2¤ _5의 약수이다.
② 2¤ _3은 2¤ _5의 약수가 아니므로 공약수가 아니다. ② 06 100에 가장 가까운 두 자리의 8의 배수는 96=2fi _3
60=2¤ _3_5의 약수 중 두 번째로 큰 수는 2_3_5=30 따라서 두 수 96과 30의 최대공약수는 2_3=6이다. 6 07 300=2¤ _3_5¤ 과 2‹ _3¤ _5_7의 최대공약수는
2¤ _3_5이다. 이 수의 약수 중 3의 배수의 개수는 3을 소인 수로 갖는 약수이므로 2¤ _5의 약수의 개수와 같다.
∴ (2+1)_(1+1)=6(개) 6개
01 42=2_3_7, 2‹ _5_7, 70=2_5_7의 최대공약수는
2_7이다. ③
02 a=3, b=2이므로 a+b=5 ③
03 최대공약수를 각각 구하면
ㄱ. 1 ㄴ. 1 ㄷ. 3 ㄹ. 13 ㅁ. 1 ㅂ. 9
따라서 두 수가 서로소인 것은 ㄱ, ㄴ, ㅁ이다. ② 04 ;2”0;가 기약분수일 때 x와 20은 서로소이다. 즉, 20보다 작은 자연수 중 20과 서로소인 것은 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19이
므로 x의 개수는 8개이다. 8개
05 두 수 A, B의 공약수의 개수는 최대공약수 60=2¤ _3_5 의 약수의 개수와 같으므로
(2+1)_(1+1)_(1+1)=12(개) ②
06 12=6_2, 36=6_6이므로 N=6_a라 하면 세 수 a, 2, 6의 최대공약수는 1이어야 한다.
① 6=6_1 ② 18=6_3 ③ 24=6_4
④ 30=6_5 ⑤ 42=6_7
이때 N=24이면 a=4와 2, 6의 최대공약수는 2이므로 N
의 값이 될 수 없는 것은 ③이다. ③
07 180=2¤ _3¤ _5와 2‹ _3_5¤ 의 최대공약수는 2¤ _3_5이 므로 공약수의 개수는 (2+1)_(1+1)_(1+1)=12(개) 이다. 이때 2å _3의 약수의 개수가 12개이므로
(a+1)_(1+1)=12, a+1=6 ∴ a=5 ②
2¤ _ 의 약수의 개수가 12개이므로 12=6_2=4_3에서
⁄ =2· ¤ =2‹ _(2가 아닌 소수)
‹ =2_(2가 아닌 소수)¤ 또는 =(2가 아닌 소수)‹
18 ¯3, 3¤ =¯9, 3‹ =2¯7, 3› =8¯1, 3fi =24¯3, y이므로 3의 거듭제곱 의 일의 자리의 숫자는 3, 9, 7, 1이 반복되는 규칙이 있다.
300÷4=75이므로 3‹ ‚ ‚ 의 일의 자리의 숫자는 1이다. ② 19 64=2fl , 5‹ =125이므로 a=6, b=125 y❶ 이때 a=6=2_3에서 a의 약수의 개수는 2_2=4(개)이고, b=125=5‹ 에서 b의 약수의 개수는 4개이다. y❷ 따라서 a의 약수의 개수와 b의 약수의 개수의 합은
4+4=8이다. y❸
8
20 ⑴
y❶
⑵ 72=2‹ _3¤ y❷
⑶ 약수의 개수는 (3+1)_(2+1)=4_3=12(개)이다.y❸
⑴ 풀이 참조 ⑵ 2‹ _3¤ ⑶ 12개
21 N=2¤ _a« 에서 약수의 개수가 9개이므로
3_(n+1)=9에서 n+1=3 ∴ n=2 y❶ a는 2<a<8인 소수이므로 a=3 또는 a=5 또는 a=7
⁄ 가장 큰 수는 a=7일 때, N=2¤ _7¤ =196 y❷
¤ 가장 작은 수는 a=3일 때, N=2¤ _3¤ =36 y❸ 따라서 구하는 차는 196-36=160이다. y❹ 160
22 42=2_3_7이므로 y❶
모든 소인수의 합은 2+3+7=12 y❷
따라서 동근이의 통장 비밀번호는 4212이다. y❸ 4212 72
36 2 2
18 9 2
3 3
❶a, b의 값 구하기
채점 기준 배점
❷a, b의 약수의 개수 구하기
❸a, b의 약수의 개수의 합 구하기
2점 2점 1점
❶자연수 n의 값 구하기
채점 기준 배점
❷가장 큰 N의 값 구하기
❸가장 작은 N의 값 구하기
1점 2점 2점
❹차 구하기 1점
❶42를 소인수분해하기
채점 기준 배점
❷모든 소인수의 합 구하기
❸비밀번호 구하기
2점 2점 2점
❶ 안에 알맞은 수 써넣기
채점 기준 배점
❷거듭제곱의 꼴로 나타내기
❸72의 약수의 개수 구하기
2점 1점 2점
12쪽
최대공약수 실전연습 문제
03
THEME
1
회13쪽
최대공약수 실전연습 문제
03
THEME
2
회01 12=2¤ _3, 18=2_3¤ 이므로 최소공배수는 2¤ _3¤ ① 02 두 자연수의 공배수는 최소공배수 70의 배수이다. ② 03 2_3¤ _5=90이므로 90의 배수 중 500보다 작은 수는
90, 180, 270, 360, 450의 5개이다. ④ 04 두 수 2¤ _3과 2‹ _3¤ 의 최소공배수는 2‹ _3¤ 이고 두 수의 공
배수는 최소공배수의 배수이다.
따라서 ① 2¤ _3¤ 은 2‹ _3¤ 의 배수가 될 수 없다. ① 05
⑤
06 a=3, b=2이므로 a+b=5 ③
07 12=2¤ _3, 36=2¤ _3¤ , 42=2_3_7이므로 최대공약수는 2_3=6이고,
최소공배수는 2¤ _3¤ _7=252이다. ① 08
세 자연수 2_x, 3_x, 9_x의 최소공배수는 x_3_2_3=18_x이므로
18_x=54 ∴ x=3 ②
09 A_16=8_80이므로 A=40이다. 40
|`다른 풀이`| 16=8_2이므로 A=8_a(a와 2는 서로소)라 하면 두 자연수의 최소공배수는
8_2_a=80, 16_a=80 ∴ a=5
∴ A=8_5=40
10 세 자연수를 2_x, 3_x, 4_x라 하면
최소공배수는 x_2_3_2=12_x이므로 12_x=120 ∴ x=10
따라서 세 자연수는 20, 30, 40이므로 그 합은 90이다. 90 11 A=12_a라 하면
이므로 a=3_(7의 약수), 즉 a=3 또는 a=3_7
∴ A=12_3=36 또는 A=12_3_7=252
따라서 구하는 모든 수의 합은 36+252=288 ① 12 A=15_a, B=15_b (a, b는 서로소, a<b)라 하면
15_a_b=225 ∴ a_b=15
⁄ a=1, b=15일 때, A=15, B=225
¤ a=3, b=5일 때, A=45, B=75
이때 A, B가 두 자리 자연수인 것은 ¤의 경우이므로
B-A=75-45=30 ④
12 A=12_a 84=12_7 11112411111111
(최소공배수)=252=12_3_7 x >≥ 2_x 3_x≥ 4_x 2 >≥ 2 3 ≥ 4
1 3 2
x >≥ 2_x 3_x≥ 9_x 3 >≥ 2 3 ≥ 9
2 1 3
2¤ _5‹
2‹ _3¤ _5¤
2¤ _3 _5¤
111124111111 (최대공약수)=2¤ _5¤
(최소공배수)=2‹ _3¤ _5‹
14~15쪽
최소공배수 실전연습 문제
04
THEME
1
회01 18=2_3¤ , 30=2_3_5, 60=2¤ _3_5
이므로 최소공배수는 2¤ _3¤ _5=180 180 02 a=2, b=3, c=1이므로 a+b-c=4 4 03 두 수의 공배수는 최소공배수의 배수이다.
따라서 2_3¤ =18의 배수가 아닌 것은 ⑤이다. ⑤ 04 a=4, b=2이므로 2› _3과 2¤ _3¤ _5의 최대공약수는
2¤ _3=12이다. ⑤
05
③ 06 주어진 두 수의 최대공약수는 2¤ _5,
최소공배수는 2‹ _3_5_7이므로
a=2, b=5, c=3 ②
07 a_21=7_(2¤ _3_7)에서 a=7_4=28 ⑤ 08 두 수의 최소공배수를 L이라 하면
2¤ _3› _7=2_3¤ _L
∴ L=2_3¤ _7 ②
09 ㄷ. 최소공배수는 최대공약수의 배수이다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다. ④
10 두 자연수를 2_x, 3_x라 하면
2_3_x_x=150, x_x=25 ∴ x=5 따라서 2_5, 3_5의 최소공배수는
2_3_5=30이다. ①
11 75=3_5¤ , 90=2_3¤ _5이므로 최소공배수는
2_3¤ _5¤ =450이고, 공배수는 450, 900, 1350, y이다.
이때 어떤 자연수를 x라 하면 x_9=450, 900, 1350, y 이므로 x=50, 100, 150, y
따라서 가장 작은 세 자리 수는 100이다. ⑤ 12 세 자연수를 2_x, 5_x, 7_x라 하면
최소공배수는 x_2_5_7=70_x이므로 70_x=350 ∴ x=5
따라서 세 자연수의 최대공약수는 5이다. ③
x > ≥2_x 5_x 7_x 2 5 7
2 _3¤
2¤ _3 _5 2 _3‹ _7 11112411111113
(최대공약수)=2 _3 (최소공배수)=2¤ _3‹ _5_7
01 최대로 만들 수 있는 세트의 수는 180, 126, 270의 최대공약수이므 로
2_3¤ =18(세트)
18세트 2 > ≥180 126 270 3 >≥ 90 63 135 3 >≥ 30 21 45 10 7 15 16~17쪽
최소공배수 실전연습 문제
04
THEME
2
회18쪽 최대공약수와 최소공배수의 활용 실전연습 문제
05
THEME
1
회03 가장 작은 정육면체의 한 모서리의 길이 는 10, 12, 24의 최소공배수이다.
∴ 2‹ _3_5=120(cm) 이때 벽돌은
가로 120÷10=12(개), 세로 120÷12=10(개),
높이 120÷24=5(개)가 필요하다.
따라서 필요한 벽돌의 개수는
12_10_5=600(개) 600개
04 두 톱니바퀴가 처음으로 다시 같은 톱니에서 맞물릴 때까지 돌아간 톱니의 수는 12와 18 의 최소공배수이므로
2¤ _3¤ =36(개)
따라서 톱니바퀴 A는 36÷12=3(번) 회전해야 한다. ② 05 열차와 버스가 처음으로 다시 동시에 출발하
게 될 때까지 걸리는 시간은 27과 18의 최소 공배수이므로
2_3‹ =54(분)
따라서 구하는 시각은 54분 후인 오전 7시 54분이다. ② 06 5, 6, 9로 나누면 모두 1이 부족하므로 구하는 학생 수는
(5, 6, 9의 공배수)-1이다.
이때 5, 6, 9의 최소공배수는 2_3¤ _5=90이므로
공배수는 90, 180, 270, 360, 450, y이다.
따라서 봉사 활동에 참가한 총 학생 수는 350명 이상 400명 미만이므로
360-1=359(명) 359명
07 1;1∞6;=;1@6!;이고, 12=2¤ _3, 16=2› 이므로 구하는 분수는
= 2› _3 =:¢7•: ④ 7
(12, 16의 최소공배수) (7, 21의 최대공약수)
3 > ≥5 6 9 5 2 3 3 > ≥27 18 3 >≥ 9 6 3 2 2 >≥12 18 3 >≥ 6 9 2 3 2 > ≥10 12 24 2 >≥ 5 6 12 3 >≥ 5 3 6 5 1 2
01 가능한 한 많은 수의 선물 세트를 만들려 고 하므로 선물 세트의 개수는 250과 100 의 최대공약수이다.
∴ 2_5¤ =50(개)
이때 한 선물 세트에 들어가는 수건은
250÷50=5(장), 접시는 100÷50=2(개)이다. ④ 02 구하는 수는 111-3=108, 76-4=72
의 최대공약수이므로 2¤ _3¤ =36
36 2 > ≥108 72 2 >≥ 54 36 3 >≥ 27 18 3 >≥ 9 6 3 2 2 > ≥250 100 5 >≥125 50 5 >≥ 25 10 5 2 02 가능한 한 큰 정사각형 모양의 매트의 한
변의 길이는 270과 240의 최대공약수이 므로
2_3_5=30(cm)
③ 03 장미가 75+5=80(송이),
튤립이 68-4=64(송이), 해바라기가 94+2=96(송이) 있으면 학생들에게 똑같이 나누어 줄 수 있다.
이때 학생 수는 80, 64, 96의 최대공약
수이므로 2› =16(명)이다. 16명
04 두 톱니바퀴가 처음으로 다시 같은 톱니에서 맞물릴 때까지 돌아간 톱니바퀴 B의 톱니의 수는 18과 30의 최소공배수이므로
2_3¤ _5=90(개) ②
05 구하는 자연수는 15와 24의 최소공배수이므 로
3_5_8=120 ⑤
06 말뚝의 개수가 최소가 되려면 말뚝 사이의 간격이 최대가 되 어야 한다. 이때 39=3_13, 24=2‹ _3, 21=3_7, 48=2› _3의 최대공약수는 3이므로 최대 간격은 3 m이다.
그러므로 각 변에는 39÷3=13(개), 24÷3=8(개), 21÷3=7(개), 48÷3=16(개)의 말뚝이 설치된다.
따라서 구하는 최소의 말뚝의 개수는
13+8+7+16=44(개) 44개
07 4, 5, 6으로 나누면 모두 1씩 부족하므로 구하는 수는 (4, 5, 6의 공배수)-1이다.
이때 4, 5, 6의 최소공배수는
2¤ _5_3=60이므로 공배수는 60, 120, 180, y이다.
따라서 세 자리 자연수 중에서 가장 작은 수는
120-1=119 ②
2 > ≥4 5 6 2 5 3 3 > ≥15 24 5 8 2 >≥18 30 3 >≥ 9 15 3 5 2 > ≥80 64 96 2 >≥40 32 48 2 >≥20 16 24 2 >≥10 8 12 5 4 6 2 > ≥270 240 3 >≥135 120 5 >≥ 45 40 9 8
19쪽 최대공약수와 최소공배수의 활용 실전연습 문제
05
THEME
2
회 THEME모아 중단원실전 평가 20~23쪽01 최대공약수를 각각 구하면
ㄱ. 1 ㄴ. 1 ㄷ. 3 ㄹ. 11 ㅁ. 1 ㅂ. 1 따라서 서로소인 것은 ㄱ, ㄴ, ㅁ, ㅂ이다. ④ 02 ① 81=3› 의 소인수는 3이다.
② 서로소인 두 수의 최대공약수는 1이다.
④ 4와 12의 최대공약수는 4이므로 4=2¤ 의 약수의 개수는 3 개이다.
⑤ 12와 21의 최대공약수는 3이므로 서로소가 아니다. ③ 03
③ 2 _3¤
2‹ _3¤ _5 2¤ _3¤ _7 11112411111113
(최대공약수)=2 _3¤
(최소공배수)=2‹ _3¤ _5_7
04 180=2¤ _3¤ _5, 2‹ _5¤ 의 최대공약수는 2¤ _5이므로
2¤ _5의 약수가 아닌 것은 ⑤이다. ⑤
05 공약수는 최대공약수의 약수이므로 2‹ _3¤ 의 약수의 개수는 (3+1)_(2+1)=12(개)
공배수는 최소공배수의 배수이므로 288의 배수 중 1000보다 작은 수는 288, 288_2=576, 288_3=864의 3개이다.
따라서 a=12, b=3이므로 a+b=15 ⑤ 06 a=2, b=2, c=3이므로 a+b+c=7 ② 07 54와 180의 최대공약수는
2_3¤ =18,
12와 28의 최소공배수는 2¤ _3_7=84이므로
(54, 180)+[12, 28]=18+84=102 ③ 08
세 자연수 3_x, 6_x, 7_x의 최소공배수는 x_3_2_7=42_x이므로
42_x=882 ∴ x=21
따라서 두 번째로 큰 수는 6_21=126 ③ 09 어떤 자연수와 180=2¤ _3¤ _5의 최대공약수는 12=2¤ _3,
최소공배수는 2‹ _3¤ _5_7이므로 어떤 자연수를 A라 하면
A_(2¤ _3¤ _5)=(2¤ _3)_(2‹ _3¤ _5_7)
∴ A=2‹ _3_7
따라서 구하는 자연수는 2‹ _3_7이다. ④ 10 두 자연수를 A=7_a, B=7_b (a, b는 서로소, a>b)라 하면
A_B=7_7_a_b=490
∴ a_b=10
⁄ a=10, b=1일 때, A=70, B=7
¤ a=5, b=2일 때, A=35, B=14 그런데 A, B는 두 자리 자연수이므로 A=35, B=14
∴ A+B=35+14=49 ②
11 A=12_a라 하면
이므로 a=3_(2_5의 약수)
즉, a=3 또는 a=2_3 또는 a=3_5 또는 a=2_3_5
⁄ a=3일 때, A=12_3=36
¤ a=2_3=6일 때, A=12_6=72
‹ a=3_5=15일 때, A=12_15=180
› a=2_3_5=30일 때, A=12_30=360
따라서 자연수 A가 될 수 없는 것은 ③이다. ③
|`다른 풀이`| 24=12_2, 60=12_5이고 A=12_a라 하면 360=12_(2_3_5)이므로 a는 3의 배수이어야 한다.
따라서 A가 될 수 없는 것은 ③ 120=12_(2_5)이다.
24=12_2 60=12_5 A=12_a
11112411111111112 (최소공배수)=360=12_(2_5_3) x >≥3_x 6_x≥ 7_x
3 >≥ 3 6≥ 7
1 2 7
2 >≥12 28 2 >≥ 6 14 3 7 2 > ≥54 180
3 >≥27 90 3 >≥ 9 30 3 10
12 한 대에 가능한 한 적은 수의 사람들을 태 우려면 보트의 대수는 최대한 많아야 한다.
즉, 필요한 보트의 대수는 24와 16의 최대 공약수이므로 2‹ =8(대)이다.
③ 13 143-3=140, 173-5=168은 어떤 자
연수로 나누어떨어지므로 어떤 자연수는 140과 168의 공약수이다.
이때 가장 큰 자연수는 140, 168의 최대 공약수이므로 2¤ _7=28이고,
가장 작은 자연수는 28의 약수 중 5보다 큰 수 7, 14, 28 중 7 이다.
∴ 7+28=35 ①
14 가장 작은 정사각형의 한 변의 길이는 8, 6의 최소공배수이므로 2_4_3=24(cm)
따라서 색종이로 만들 수 있는 가장 작은 정사각형의 넓이는
24_24=576(cm¤ ) ⑤
15 두 톱니바퀴가 처음으로 다시 같은 톱니에 서 맞물릴 때까지 돌아간 톱니의 수는 36과 40의 최소공배수이므로
2¤ _9_10=360(개)
따라서 톱니바퀴 B는360÷40=9(번)을 회전해야 한다.
16 3, 4, 5로 나누면 모두 2가 남으므로 자연수는 ④ (3, 4, 5의 공배수)+2이다.
이때 3, 4, 5의 최소공배수는 60이므로 공배수는 60, 120, 180, y이다.
따라서 구하는 가장 작은 수는 60+2=62이다. ③ 17 n은 3과 5의 공배수이다.
3과 5의 최소공배수가 15이므로 100 이하의 자연수 중 15의 배수의 개수는 15_1=15, 15_2=30, 15_3=45, 15_4=60, 15_5=75, 15_6=90의 6개이다. ⑤ 18 a는 분모 45, 35의 최소공
배수이어야 하므로 a=5_9_7=315
b는 분자 28, 12의 최대공약수이어야 하므로 b=2¤ =4 따라서 기약분수;bA;=;:#4!:%;이므로
a+b=315+4=319 ③
19 ⑴ 56=2‹ _7 70=2_5_7
84=2¤ _3_7 y❶
⑵ 최대공약수는 2_7=14 y❷
⑶ 최소공배수는 2‹ _3_5_7=840 y❸
⑴ 풀이 참조 ⑵ 14 ⑶ 840 2 >≥28 12 2 >≥14 6 7 3 5 > ≥45 35
9 7
2 >≥36 40 2 >≥18 20 9 10 2 >≥8 6 4 3 2 > ≥140 168 2 >≥ 70 84 7 >≥ 35 42 5 6 2 > ≥24 16 2 >≥12 8 2 >≥ 6 4 3 2
❶세 수를 각각 소인수분해하기
채점 기준 배점
❷최대공약수 구하기
❸최소공배수 구하기
3점 1점 1점