024
I. 집합과 명제
3. 명제
0415 ◯ 0416 _ 0417 ◯ 0418 _ 0419 ◯ 0420 ◯ 0421 _ 0422 ◯ 0423 _ 0424 _ 0425 ◯ 0426 ◯
본문 65쪽 핵심
01
0427 명제 0428 조건 0429 명제 0430 조건 0431 조건 0432 명제 0433 거짓 0434 참 0435 참 0436 거짓 0437 참
본문 66쪽 핵심
02
0438 10의 양의 약수는 1, 2, 5, 10이므로 진리집합은 {1, 2, 5, 10}
이다.
0439 2x+1=7에서 2x=6 ∴ x=3 따라서 진리집합은 {3}이다.
0440 xÛ`+1É0에서 xÛ`É-1
따라서 조건 p를 만족시키는 정수는 없으므로 진리집합은 i 이다.
0441 xÛ`-5x-6=0에서 (x+1)(x-6)=0 ∴ x=-1 또는 x=6
따라서 진리집합은 {-1, 6}이다.
0442 3x+3=1에서 x=-;3@;
그런데 -;3@;는 정수가 아니므로 진리집합은 i이다.
0443 짝수는 4, 6, 8이므로 진리집합은 {4, 6, 8}이다.
0438 {1, 2, 5, 10} 0439 {3} 0440 i 0441 {-1, 6} 0442 i
0443 {4, 6, 8} 0444 {3}
0445 {4} 0446 ㄱ, ㄴ
본문 67쪽 핵심
03
0444 xÛ`-4x+3=0에서 (x-1)(x-3)=0 ∴ x=1 또는 x=3
따라서 진리집합은 {3}이다.
0445 |x|-4=0에서 |x|=4
∴ x=Ñ4
따라서 진리집합은 {4}이다.
0446 ㄱ. p`:`xÛ`-1=0에서 x=Ñ1 즉, 조건 p의 진리집합은 {1}
ㄴ. q`:`2x-3=-1에서 x=1 즉, 조건 q의 진리집합은 {1}
ㄷ. r`:`xÛ`-3x+2=0에서 (x-1)(x-2)=0 ∴ x=1 또는 x=2
즉, 조건 r의 진리집합은 {1, 2}
따라서 진리집합이 서로 같은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
0447 {1}, {1, 2} 0448 {-2, -1, 0, 1}
0449 {-2, -1, 2} 0450 {0, 1, 2}
0451 {1, 2, 3, 5, 7, 9} 0452 {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9}
0453 {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 0454 {2, 4, 6, 8, 10}
본문 68쪽 핵심
04
0448 두 조건 p, q의 진리집합을 각각`P, Q라 하면 P={-2, -1, 0}
Q={-2, -1, 0, 1}
따라서 조건 ‘p 또는 q’의 진리집합은 P'Q={-2, -1, 0, 1}
0449 xÛ`=4에서 x=Ñ2
조건 p의 진리집합을 P라 하면 P={-2, 2}
xÛ`-x-2=0에서 (x+1)(x-2)=0
∴ x=-1 또는 x=2
조건 q의 진리집합을 Q라 하면 Q={-1, 2}
따라서 조건 ‘p 또는 q’의 진리집합은 P'Q={-2, -1, 2}
0450 조건 p의 진리집합을 P라 하면 P={0, 1, 2}
x(x-1)É0에서 0ÉxÉ1
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3. 명제 025 조건 q의 진리집합을 Q라 하면 Q={0, 1}
따라서 조건 ‘p 또는 q’의 진리집합은 P'Q={0, 1, 2}
0451 U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
xÛ`É4에서 -2ÉxÉ2
조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P={1, 2}, Q={1, 3, 5, 7, 9}
따라서 조건 ‘p 또는 q’의 진리집합은 P'Q={1, 2, 3, 5, 7, 9}
0452 18의 약수는 1, 2, 3, 6, 9, 18이므로
조건 p의 진리집합을 P라 하면 P={1, 2, 3, 6, 9}
24의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24이므로
조건 q의 진리집합을 Q라 하면 Q={1, 2, 3, 4, 6, 8}
따라서 조건 ‘p 또는 q’의 진리집합은 P'Q={1, 2, 3, 4, 6, 8, 9}
0453 xÛ`-8x+7<0에서 (x-1)(x-7)<0
∴ 1<x<7
조건 p의 진리집합을 P라 하면 P={2, 3, 4, 5, 6}
조건 q의 진리집합을 Q라 하면 Q={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
따라서 조건 ‘p 또는 q’의 진리집합은 P'Q={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
0454 U={2, 4, 6, 8, 10}
xÛ`-6x+8É0에서 (x-2)(x-4)É0
∴ 2ÉxÉ4
조건 p의 진리집합을 P라 하면 P={2, 4}
조건 q의 진리집합을 Q라 하면 Q={6, 8, 10}
따라서 조건 ‘p 또는 q’의 진리집합은 P'Q={2, 4, 6, 8, 10}
0455 {1, 5}, {5} 0456 {1, 2, 4}
0457 {3} 0458 {3}
0459 {x|-2<xÉ3} 0460 {x|x는 6의 양의 배수}
0461 {x|-1<xÉ2} 0462 {2, 3, 5, 7}
본문 69쪽 핵심
05
0456 4의 약수는 1, 2, 4이므로
조건 p의 진리집합을 P라 하면 P={1, 2, 4}
12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12이므로
조건 q의 진리집합을 Q라 하면 Q={1, 2, 3, 4}
따라서 조건 ‘p이고 q’의 진리집합은 P;Q={1, 2, 4}
0457 xÛ`-9=0에서 xÛ`=9 ∴ x=Ñ3 조건 p의 진리집합을 P라 하면 P={3}
xÛ`-2x-3=0에서 (x+1)(x-3)=0
∴ x=-1 또는 x=3
조건 q의 진리집합을 Q라 하면 Q={3}
따라서 조건 ‘p이고 q’의 진리집합은 P;Q={3}
0458 조건 p의 진리집합을 P라 하면 P={3, 4, 5}
(x-1)(x-4)<0에서 1<x<4 조건 q의 진리집합을 Q라 하면 Q={2, 3}
따라서 조건 ‘p이고 q’의 진리집합은 P;Q={3}
0459 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 xÛ`¾0은 모든 실수에 대하여 성립하므로 P={x|x는 실수}
Q={x|-2<xÉ3}
따라서 조건 ‘p이고 q’의 진리집합은 P;Q={x|-2<xÉ3}
0460 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P={2, 4, 6, 8, 10, 12, y}
Q={3, 6, 9, 12, 15, y}
따라서 조건 ‘p이고 q’의 진리집합은 P;Q={x|x는 6의 양의 배수}
0461 xÛ`É4에서 -2ÉxÉ2
조건 p의 진리집합을 P라 하면 P={x|-2ÉxÉ2}
xÛ`-3x-4<0에서 (x+1)(x-4)<0
∴ -1<x<4
조건 q의 진리집합을 Q라 하면 Q={x|-1<x<4}
따라서 조건 ‘p이고 q’의 진리집합은 P;Q={x|-1<xÉ2}
0462 xÛ`-6x-7É0에서 (x+1)(x-7)É0
∴ -1ÉxÉ7
조건 p의 진리집합을 P라 하면 P={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
조건 q의 진리집합을 Q라 하면 Q={2, 3, 5, 7}
따라서 조건 ‘p이고 q’의 진리집합은 P;Q={2, 3, 5, 7}
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I. 집합과 명제
026
0463 ③, ⑤ 0464 ④ 0465 ④ 0466 ㄱ, ㄷ 0467 {4, 7, 8, 12, 14, 16, 20}
0468 {x|-3<x<2}
본문 70쪽
Mini Review Test 핵심 01~05
0463 ① 거짓인 명제
② 참인 명제
③ x의 값에 따라 참, 거짓이 바뀔 수 있으므로 명제가 아니다.
④ 거짓인 명제
⑤ 참, 거짓이 명확한 문장이 아니므로 명제가 아니다.
따라서 명제가 아닌 것은 ③, ⑤이다.
0464 ① 참인지 거짓인지 판단할 수 있는 근거가 없으므로 명제도 조건도 아니다.
②, ⑤ 참인 명제이다.
③ ‘큰 수’의 기준이 확실하지 않으므로 조건이 아니다.
따라서 조건인 것은 ④이다.
0465 ① 크기가 다른 정삼각형은 합동이 아니다.
② 4의 제곱근은 Ñ2이다.
③ 12는 9의 배수가 아니다.
⑤ 항상 거짓인 명제이다.
따라서 참인 것은 ④이다.
0466 U={1, 2, 3, 4, 5}
ㄱ. xÛ`>9에서 x<-3 또는 x>3 따라서 조건 p의 진리집합은 {4, 5}
ㄴ. 약수의 개수가 홀수인 자연수는 완전제곱수이다.
따라서 조건 q의 진리집합은 {1, 4}
ㄷ. xÛ`-9x+20=0에서 (x-4)(x-5)=0 ∴ x=4 또는 x=5
따라서 조건 r의 진리집합은 {4, 5}
따라서 진리집합이 서로 같은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
0467 U={1, 2, 3, y, 20}
두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P={4, 8, 12, 16, 20}
Q={7, 14}
따라서 조건 ‘p 또는 q’의 진리집합은 P'Q={4, 7, 8, 12, 14, 16, 20}
0468 xÛ`-3x-18<0에서 (x+3)(x-6)<0 ∴ -3<x<6
조건 p의 진리집합을 P라 하면 P={x|-3<x<6}
(x+4)(x-2)<0에서 -4<x<2
조건 q의 진리집합을 Q라 하면 Q={x|-4<x<2}
따라서 조건 ‘p이고 q’의 진리집합은 P;Q={x|-3<x<2}
0469 1은 홀수이다. (또는 1은 짝수가 아니다.) (참) 0470 4는 소수가 아니다. (참)
0471 p는 유리수이다. (거짓) 0472 0.5는 실수가 아니다. (거짓) 0473 6은 12의 약수가 아니다. (거짓) 0474 3+4+5 (참)
0475 3xÛ`+x-2É0 0476 2x-7<3 0477 3x+1¾x+4 0478 xÛ`+x+2 0479 (x+3)Û`=0
0480 x는 12의 배수가 아니다.
본문 71쪽 핵심
06
0481 6은 2의 배수도 아니고 3의 배수도 아니다.
0482 정사각형은 직사각형도 아니고 마름모도 아니다.
0483 p는 무리수이고 유리수이다.
0484 레오나르도 다빈치는 화가가 아니거나 과학자가 아니다.
0485 2는 0보다 작거나 3보다 크다.
0486 10은 자연수가 아니거나 정수가 아니다.
0487 x+0이고 y+0 0488 1²A이고 1²B 0489 2x-3<1이고 3x-1¾8 0490 x=-2 또는 x=2 0491 a²A이고 b<A
0492 x-5<-3 또는 x-5¾3
본문 72쪽 핵심
07
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3. 명제 027 0493 ⑴ {3, 6, 9} ⑵ {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10}
0494 ⑴ {1, 4, 9} ⑵ {2, 3, 5, 6, 7, 8, 10}
0495 ⑴ {2, 4, 8} ⑵ {1, 3, 5, 6, 7, 9, 10}
0496 ⑴ {1, 9} ⑵ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10}
0497 ⑴ {3, 4, 5, 6} ⑵ {1, 2, 7, 8, 9, 10} ⑶ {3, 4, 5, 6}
0498 ⑴ {2, 3, 4} ⑵ {1, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ⑶ {2, 3, 4}
0499 {1, 2, 3, 4, 6}
본문 73쪽 핵심
08
0493 ⑴ 3의 배수는 3, 6, 9이므로
조건 p의 진리집합을 P라 하면 P={3, 6, 9}
⑵ ~p의 진리집합은 P =U-P이므로 P ={1, 2, 4, 5, 7, 8, 10}
0494 ⑴ 약수의 개수가 홀수 개인 수는 완전제곱수이므로 1, 4, 9이다.
조건 p의 진리집합을 P라 하면 P={1, 4, 9}
⑵ ~p의 진리집합은 P =U-P이므로 P ={2, 3, 5, 6, 7, 8, 10}
0495 ⑴ 2의 거듭제곱은 2, 4, 8이므로
조건 p의 진리집합을 P라 하면 P={2, 4, 8}
⑵ ~p의 진리집합은 P =U-P이므로 P ={1, 3, 5, 6, 7, 9, 10}
0496 ⑴ xÛ`-10x+9=0에서 (x-1)(x-9)=0 ∴ x=1 또는 x=9
조건 p의 진리집합을 P라 하면 P={1, 9}
⑵ ~p의 진리집합은 P =U-P이므로 P ={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10}
0497 ⑴ 조건 p의 진리집합을 P라 하면 P={3, 4, 5, 6}
⑵ ~p의 진리집합은 P =U-P이므로 P ={1, 2, 7, 8, 9, 10}
⑶ ~(~p)=p이므로 ~(~p)의 진리집합은 P이다.
참고 집합에서 (P ) =P
0498 ⑴ |x-3|<2에서 -2<x-3<2 ∴ 1<x<5
조건 p의 진리집합을 P라 하면 P={2, 3, 4}
⑵ ~p의 진리집합은 P =U-P이므로 P ={1, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
⑶ ~(~p)=p이므로 ~(~p)의 진리집합은 P이다.
0499 xÛ`-4x-5=0에서 (x+1)(x-5)=0
∴ x=-1 또는 x=5
조건 p의 진리집합을 P라 하면 P={5}
xÛ`-7x+10=0에서 (x-2)(x-5)=0
∴ x=2 또는 x=5
조건 q의 진리집합을 Q라 하면 Q={2, 5}
이때 조건 ‘~p 또는 ~q’의 진리집합은 P 'Q 이고 P ={1, 2, 3, 4, 6}, Q ={1, 3, 4, 6}이므로 P 'Q ={1, 2, 3, 4, 6}
다른 해설 조건 ‘~p 또는 ~q’는 조건 ‘p이고 q’의 부정이 다. 따라서 조건 ‘~p 또는 ~q’의 진리집합은 ‘p이고 q’의 진 리집합의 여집합이다.
P;Q={5}이므로 P 'Q =(P;Q) ={1, 2, 3, 4, 6}
0500 참 0501 거짓 0502 거짓 0503 참 0504 참 0505 거짓 0506 거짓 0507 거짓 0508 거짓 0509 참 0510 ㄴ, ㄷ
본문 74쪽 핵심
09
0501 x=3이면 x는 4의 약수가 아니므로 주어진 명제는 거짓이다.
0502 x=1이면 1Û`-2<0이므로 주어진 명제는 거짓이다.
0503 (x+3)(x-1)=0에서 x=-3 또는 x=1 따라서 x=1이므로 주어진 명제는 참이다.
0504 2, 3은 소수이므로 주어진 명제는 참이다.
0505 모든 원소에 대하여 xÛ`-16É0이므로 주어진 명제는 거짓이다.
0506 x=0이면 |x|=0이므로 주어진 명제는 거짓이다.
0507 모든 실수 x에 대하여 xÛ`+1>0이므로 xÛ`+1=0을 만족하 는 실수 x는 존재하지 않는다.
따라서 주어진 명제는 거짓이다.
0508 1의 약수는 1개이므로 주어진 명제는 거짓이다.
0509 x=Ñ1이면 x=;[!;이므로 주어진 명제는 참이다.
0510 ㄱ. x=;2!;이면 xÛ`Éx이므로 주어진 명제는 거짓이다.
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I. 집합과 명제
028
ㄴ. 2는 소수이면서 짝수이므로 주어진 명제는 참이다.
ㄷ. xÛ`+2x+1=(x+1)Û`¾0이므로 주어진 명제는 참이다.
따라서 참인 명제는 ㄴ, ㄷ이다.
0511 어떤 자연수 x에 대하여 x-1<0이다.
0512 모든 자연수 x에 대하여 x(x+1)은 짝수이다.
0513 어떤 실수 x, y에 대하여 xÛ`+yÛ`<0이다.
0514 모든 실수 x에 대하여 (x+5)(x-1)+0이다.
0515 모든 자연수 m, n에 대하여 :nM; 은 유리수이다.
0516 어떤 실수 x에 대하여 xÛ`+x+1É0이다.
0517 참 0518 참 0519 거짓 0520 참 0521 ㄴ
본문 75쪽 핵심
10
0517 부정 : 어떤 자연수 n에 대하여 nÛ 은 홀수이다.
n=1이면 nÛ`=1은 홀수이므로 주어진 명제의 부정은 참이 다.
0518 부정 : 모든 실수 x에 대하여 xÛ`-x+1¾0이다.
모든 실수 x에 대하여 {xÛ`-x+;4!;}+;4#;={x-;2!;}2+;4#;>0 이므로 주어진 명제의 부정은 참이다.
0519 부정 : 어떤 직사각형은 평행사변형이 아니다.
모든 직사각형은 평행사변형이므로 주어진 명제의 부정은 거 짓이다.
0520 부정 : 어떤 유리수 p, q에 대하여 p+q'3은 유리수이다.
p=0, q=0이면 p+q'3은 유리수이므로 주어진 명제의 부 정은 참이다.
0521 ㄱ. 부정 : 어떤 정삼각형은 이등변삼각형이 아니다.
모든 정삼각형은 이등변삼각형이므로 주어진 명제의 부 정은 거짓이다.
ㄴ. 부정 : 모든 자연수 x에 대하여 x+1¾0이다.
가장 작은 자연수 1에 대하여 1+1¾0이므로 모든 자연 수 x에 대하여 x+1¾0이다.
따라서 주어진 명제의 부정은 참이다.
ㄷ. 부정 : 모든 소수는 홀수이다.
2는 소수이면서 짝수이므로 주어진 명제의 부정은 거짓 이다.
따라서 주어진 명제의 부정이 참인 것은 ㄴ이다.
0522 ⑤ 0523 ⑤ 0524 {0, 2, 3, 4, 5}