Ⅲ . 순열과 조합
10. 순열과 조합
10. 순열과 조합
1474 120 1475 20 1476 1 1477 120 1478 720 1479 360 1480 1 1481 24 1482 24 1483 24 1484 720 1485 120 1486 3 1487 48 1488 720 1489 30 1490 840 1491 720
본문 219쪽 핵심
01
1474 °P¢=5_4_3_2=120
1475 °Pª=5_4=20
1477 ¤P£=6_5_4=120
1478 ¤P°=6_5_4_3_2=720
1479 ¤P¢=6_5_4_3=360
1481 ¢P¢=4_3_2_1=24
1482 ¢P£=4_3_2=24
1483 4!=4_3_2_1=24
1484 6!=6_5_4_3_2_1=720
1485 5!=5_4_3_2_1=120
1486 0!=1이므로 3_0!=3_1=3
1487 4!=24이므로 2_4!=2_24=48
1488 5!=120이므로 6_5!=6_120=720
1489 126!4! =1111111126_5_4_3_2_14_3_2_1 =6_5=30
1490 127!3! =111211111127_6_5_4_3_2_13_2_1 =7_6_5_4=840
1491 10!127! =1111251112111111210_9_8_7_6_5_4_3_2_17_6_5_4_3_2_1 =10_9_8=720
1492 6, 6, 6 1493 5 1494 10 1495 6 1496 11 1497 9 1498 2 1499 3 1500 0 1501 3 1502 4 또는 5 1503 8
본문 220쪽 핵심
02
1493 ÇP£=60에서 n(n-1)(n-2)=60 n(n-1)(n-2)=5_4_3 ∴ n=5
1494 ÇPª=90에서 n(n-1)=90 n(n-1)=10_9
∴ n=10
1495 ÇP£=4ÇPª에서
n(n-1)(n-2)=4n(n-1)
이때 n¾3이므로 양변을 n(n-1)로 나누면 n-2=4 ∴ n=6
1496 ÇP°=56ÇP£에서
n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)=56n(n-1)(n-2) 이때 n¾5이므로 양변을 n(n-1)(n-2)로 나누면 (n-3)(n-4)=56
(n-3)(n-4)=8_7이므로 n=11
1497 ÇP¢=42ÇPª에서
n(n-1)(n-2)(n-3)=42n(n-1) 이때 n¾4이므로 양변을 n(n-1)로 나누면 (n-2)(n-3)=42
(n-2)(n-3)=7_6이므로 n=9
1498 12=4_3이므로 ¢Pª=12 ∴ r=2
1499 210=7_6_5이므로 ¦P£=210 ∴ r=3
1500 자연수 n의 값에 관계없이 ÇP¼=1이므로 ¦P¼=1에서 r=0
1501 336=8_7_6이므로 ¥P£=336 ∴ r=3
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Ⅲ. 순열과 조합
104
1502 120=5_4_3_2 또는 120=5_4_3_2_1이므로 °P¢=120 또는 °P°=120
∴ r=4 또는 r=5
1503 ÇP¤=60ÇP£에서
n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5) =60n(n-1)(n-2)
이때 n¾6이므로 양변을 n(n-1)(n-2)로 나누면 (n-3)(n-4)(n-5)=60
(n-3)(n-4)(n-5)=5_4_3이므로 n=8
1504 n, 4n, 2 1505 6 1506 3 1507 3 1508 4, 4, 4, 4, 4 1509 5 1510 3
본문 221쪽 핵심
03
1505 ÇPª+2ÇPÁ=42에서 n(n-1)+2n=42이므로 nÛ`+n-42=0, (n+7)(n-6)=0 이때 n¾2이므로 n=6
1506 2ÇPª+3ÇPÁ=21에서 2n(n-1)+3n=21이므로
2nÛ`+n-21=0, (2n+7)(n-3)=0 이때 n¾2이므로 n=3
1507 3ÇPª+2ÇPÁ=24에서 3n(n-1)+2n=24이므로
3nÛ`-n-24=0, (3n+8)(n-3)=0 이때 n¾2이므로 n=3
1509 Ç*ÁP£-2ÇPª=80에서
(n+1)n(n-1)-2n(n-1)=80이므로 nÜ`-2nÛ`+n-80=0
5 1 -2 1 -80
5 15 80
1 3 16 0
∴ nÜ`-2nÛ`+n-80=(n-5)(nÛ`+3n+16) (n-5)(nÛ`+3n+16)=0
이때 n¾2이고 nÛ`+3n+16>0이므로 n=5
1510 2Ç*ÁPª-ÇÐÁPª=22에서
2(n+1)n-(n-1)(n-2)=22이므로 nÛ`+5n-24=0, (n+8)(n-3)=0 이때 n¾3이므로 n=3
1511 30 1512 90 1513 840 1514 120 1515 120 1516 20 1517 1680 1518 24 1519 20 1520 56
본문 222쪽 핵심
04
1511 서로 다른 6명에서 2명을 택하여 일렬로 세우는 방법의 수와 같으므로
¤Pª=6_5=30
1512 서로 다른 10명에서 2명을 택하여 일렬로 세우는 방법의 수 와 같으므로
Á¼Pª=10_9=90
1513 서로 다른 7개의 과목에서 4개를 택하여 일렬로 배열하는 방 법의 수와 같으므로
¦P¢=7_6_5_4=840
1514 서로 다른 6권의 책에서 3권을 택하여 일렬로 배열하는 방법 의 수와 같으므로
¤P£=6_5_4=120
1515 서로 다른 아이스크림 5개에서 4개를 택하여 일렬로 배열하 는 방법의 수와 같으므로
°P¢=5_4_3_2=120
1516 서로 다른 문자 5개에서 2개를 택하여 일렬로 배열하는 방법 의 수와 같으므로
°Pª=5_4=20
1517 서로 다른 8명에서 4명을 택하여 일렬로 세우는 방법의 수와 같으므로
¥P¢=8_7_6_5=1680
1518 서로 다른 4명에서 3명을 택하여 일렬로 세우는 방법의 수와 같으므로
¢P£=4_3_2=24
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10. 순열과 조합 105 1519 서로 다른 5권에서 2권을 택하여 일렬로 배열하는 방법의 수
와 같으므로 °Pª=5_4=20
1520 서로 다른 8명에서 2명을 택하여 일렬로 세우는 방법의 수와 같으므로
¥Pª=8_7=56
1521 ⑴ 60 ⑵ 2, 4, 12, 24 ⑶ 36
1522 ⑴ 48 ⑵ 12 1523 ⑴ 6 ⑵ 4, £P£, 6, 20 1524 156
본문 223쪽 핵심
05
1521 ⑴ 세 자리의 자연수의 개수는 서로 다른 5개에서 3개를 택 하여 일렬로 배열하는 경우의 수와 같으므로
°P£=5_4_3=60
⑶ 홀수가 되기 위해서 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 1, 3, 5 이다.
십의 자리와 백의 자리에는 일의 자리의 숫자를 제외한 4 개의 숫자 중에서 2개를 택하여 배열하면 되므로 ¢Pª=4_3=12
따라서 구하는 홀수의 개수는 3_12=36
다른 해설
⑶ 만들 수 있는 세 자리의 자연수의 개수가 60이고 세 자리 의 짝수의 개수가 24이므로 세 자리의 홀수의 개수는 60-24=36
1522 ⑴ 백의 자리에는 0이 올 수 없으므로 백의 자리에 올 수 있 는 숫자는 1, 2, 3, 4의 4개
십의 자리와 일의 자리에는 백의 자리의 숫자를 제외한 4 개의 숫자 중에서 2개를 택하여 배열하면 되므로 ¢Pª=4_3=12
따라서 구하는 세 자리의 자연수의 개수는 4_12=48
⑵ 5의 배수가 되기 위해서 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 0 이다.
백의 자리와 십의 자리에는 일의 자리의 숫자 0을 제외한 4개의 숫자 중에서 2개를 택하여 배열하면 되므로 ¢Pª=4_3=12
따라서 구하는 5의 배수의 개수는 1_12=12
1523 ⑴ 9의 배수가 되기 위해서는 각 자리의 숫자의 합이 9의 배 수이어야 한다.
따라서 2, 3, 4로 세 자리의 자연수를 만들어야 하므로 £P£=3_2_1=6
1524 짝수가 되기 위해서 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 0, 2, 4 이다.
Ú 일의 자리의 숫자가 0인 경우
천의 자리, 백의 자리, 십의 자리에는 일의 자리의 숫자 0 을 제외한 5개의 숫자 중에서 3개를 택하여 배열하면 되 므로
°P£=5_4_3=60
Û 일의 자리의 숫자가 2인 경우
천의 자리에 올 수 있는 숫자는 0, 2를 제외한 4개 백의 자리와 십의 자리에는 천의 자리와 일의 자리의 숫자
를 제외한 4개의 숫자 중 2개를 택하여 배열하면 되므로 ¢Pª=4_3=12
따라서 일의 자리의 숫자가 2인 짝수의 개수는 4_12=48
Ü 일의 자리의 숫자가 4인 경우
천의 자리에 올 수 있는 숫자는 0, 4를 제외한 4개 백의 자리와 십의 자리에는 천의 자리와 일의 자리의 숫자
를 제외한 4개의 숫자 중 2개를 택하여 배열하면 되므로 ¢Pª=4_3=12
따라서 일의 자리의 숫자가 4인 짝수의 개수는 4_12=48
Ú, Û, Ü에서 구하는 짝수의 개수는 60+48+48=156
1525 5 1526 6 1527 60 1528 360 1529 420 1530 30
본문 224쪽
Mini Review Test 핵심 01~05
1525 Ç*ÁP¢=18ÇPª에서
(n+1)n(n-1)(n-2)=18n(n-1) 이때 n+1¾4, n¾2에서 n¾3이므로 양변을 n(n-1)로 나누면
(n+1)(n-2)=18, nÛ`-n-20=0 (n+4)(n-5)=0 ∴ n=5 (∵ n¾3)
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Ⅲ. 순열과 조합
106
1526 ÇP£-2Ç*ÁPª=36에서
n(n-1)(n-2)-2(n+1)n=36이므로 nÜ`-5nÛ`-36=0
6 1 -5 0 -36
6 6 36
1 1 6 0
∴ nÜ`-5nÛ`-36=(n-6)(nÛ`+n+6) (n-6)(nÛ`+n+6)=0
이때 n¾3이고 nÛ`+n+6>0이므로 n=6
1527 교육부장, 환경부장, 체육부장이 모두 여학생이므로 남학생 의 인원수를 고려할 필요가 없다.
따라서 구하는 경우의 수는 서로 다른 여학생 5명에서 3명을 택하여 일렬로 배열하는 경우의 수와 같으므로
°P£=5_4_3=60
1528 정의역의 원소가 다를 때 함숫값이 서로 달라야 하므로 공역 의 원소 중에서 중복되지 않게 선택을 해야 한다.
따라서 조건을 만족시키는 함수의 개수는 서로 다른 공역의 원소 6개에서 정의역의 원소의 수인 4개를 택하여 일렬로 배 열하는 경우의 수와 같으므로
¤P¢=6_5_4_3=360
참고 xÁ<X, xª<X일 때, xÁ+xª이면 f(xÁ)+f(xª)를 만족시키는 함수는 일대일함수이다. 정의역 X의 원소의 개수 가 r, 공역 Y의 원소의 개수가 n일 때, 함수 f`:`X``1Ú`Y에 대하여 일대일함수의 개수는 ÇP¨이다.
1529 짝수가 되기 위해서 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 0, 2, 4, 6이다.
Ú 일의 자리의 숫자가 0인 경우
천의 자리, 백의 자리, 십의 자리에는 일의 자리의 숫자 0 을 제외한 6개의 숫자 중에서 3개를 택하여 배열하면 되 므로
¤P£=6_5_4=120
Û 일의 자리의 숫자가 2 또는 4 또는 6인 경우
천의 자리에 올 수 있는 숫자는 0과 일의 자리의 숫자를 제외한 5개
백의 자리와 십의 자리에는 천의 자리와 일의 자리의 숫 자를 제외한 5개의 숫자 중에서 2개를 택하여 배열하면 되므로
°Pª=5_4=20
따라서 일의 자리의 숫자가 2 또는 4 또는 6인 짝수의 개 수는
(5_20)_3=300
Ú, Û에서 구하는 짝수의 개수는 120+300=420
1531 ⑴ 5!, 120, 120, 720 ⑵ 576 1532 ⑴ 36 ⑵ 48
1533 3!, 6, 4!, 24, 6, 24, 288
1534 480 1535 1728
본문 225쪽 핵심
06
1530 짝수가 되기 위해서 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 0, 2, 4 이다.
Ú 일의 자리의 숫자가 0인 경우
천의 자리에 올 수 있는 숫자는 1, 2의 2개
백의 자리와 십의 자리에는 일의 자리와 천의 자리의 숫 자를 제외한 3개의 숫자 중에서 2개를 택하여 배열하면 되므로
£Pª=3_2=6
따라서 일의 자리의 숫자가 0인 3000 이하의 짝수의 개 수는
2_6=12
Û 일의 자리의 숫자가 2인 경우
천의 자리에 올 수 있는 숫자는 1의 1개
백의 자리와 십의 자리에는 일의 자리와 천의 자리의 숫 자를 제외한 3개의 숫자 중에서 2개를 택하여 배열하면 되므로
£Pª=3_2=6
따라서 일의 자리의 숫자가 2인 3000 이하의 짝수의 개 수는
1_6=6
Ü 일의 자리의 숫자가 4인 경우
천의 자리에 올 수 있는 숫자는 1, 2의 2개
백의 자리와 십의 자리에는 일의 자리와 천의 자리의 숫 자를 제외한 3개의 숫자 중에서 2개를 택하여 배열하면 되므로
£Pª=3_2=6
따라서 일의 자리의 숫자가 4인 3000 이하의 짝수의 개 수는
2_6=12
Ú, Û, Ü에서 구하는 짝수의 개수는 12+6+12=30
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10. 순열과 조합 107 1531 ⑵ 여학생 4명을 한 사람으로 생각하여 4명을 일렬로 세우는
방법의 수는 4!=24
여학생 4명이 자리를 바꾸는 방법의 수는 4!=24 따라서 구하는 방법의 수는
24_24=576
1532 ⑴ 야구 선수 3명을 한 사람으로 생각하여 3명을 일렬로 세 우는 방법의 수는 3!=6
야구 선수 3명이 자리를 바꾸는 방법의 수는 3!=6 따라서 구하는 방법의 수는
6_6=36
⑵ 농구 선수 2명을 한 사람으로 생각하여 4명을 일렬로 세 우는 방법의 수는 4!=24
농구 선수 2명이 자리를 바꾸는 방법의 수는 2!=2 따라서 구하는 방법의 수는
24_2=48
1534 소설책 2권을 한 권으로, 시집 5권을 한 권으로 생각하여 2권 을 일렬로 꽂는 방법의 수는 2!=2
소설책 2권이 자리를 바꾸는 방법의 수는 2!=2 시집 5권이 자리를 바꾸는 방법의 수는 5!=120 따라서 구하는 방법의 수는
2_2_120=480
1535 야구 선수 3명을 한 사람으로, 농구 선수 4명을 한 사람으로, 축구 선수 2명을 한 사람으로 생각하여 3명을 일렬로 세우는 방법의 수는 3!=6
야구 선수 3명이 자리를 바꾸는 방법의 수는 3!=6 농구 선수 4명이 자리를 바꾸는 방법의 수는 4!=24 축구 선수 2명이 자리를 바꾸는 방법의 수는 2!=2 따라서 구하는 방법의 수는
6_6_24_2=1728
1536 ⑴ ¢P¢, 24, 24, 144 ⑵ 1440 1537 72 1538 3600 1539 8 1540 72 1541 144
본문 226쪽 핵심
07
1536 ⑵ 남학생 4명을 일렬로 세우는 방법의 수는 4!=24 남학생 사이사이와 양 끝 5개의 자리에 여학생 3명을 세
우는 방법의 수는 °P£=60 따라서 구하는 방법의 수는 24_60=1440
1537 b, c, d를 일렬로 배열하는 방법의 수는 3!=6
b, c, d 사이사이와 양 끝 4개의 자리에 a, e를 배열하는 방 법의 수는 ¢Pª=12
따라서 구하는 방법의 수는 6_12=72
1538 과학책 5권을 일렬로 꽂는 방법의 수는 5!=120
과학책 사이사이와 양 끝 6개의 자리에 수학책을 꽂는 방법 의 수는 ¤Pª=30
따라서 구하는 방법의 수는 120_30=3600
1539 어른을 , 아이를 라 하면 어른과 아이가 교대로 서는 방 법은
,
의 순서로 교대로 서는 방법의 수는 2!_2!=4
의 순서로 교대로 서는 방법의 수는 2!_2!=4
따라서 구하는 방법의 수는 4+4=8
1540 자음 b, c, d를 , 모음 a, e, i를 라 하면 자음과 모음이 교대로 배열되는 방법은
,
의 순서로 교대로 배열하는 방법의 수는 3!_3!=36
의 순서로 교대로 배열하는 방법의 수는 3!_3!=36
따라서 구하는 방법의 수는 36+36=72
1541 남학생 4명을 일렬로 세우고 그 사이사이에 여학생 3명을 세 우면 된다.
따라서 구하는 방법의 수는 4!_3!=24_6=144
1542 ⑴ 48 ⑵ 4!, 24, 4, 24, 4, 192
1543 ⑴ 12 ⑵ 24 1544 ⑴ 120 ⑵ 960 1545 10800 1546 144
본문 227쪽 핵심
08
이지(하)3-9해답(98-120)-ok.indd 107 2018-01-30 오후 6:45:14
Ⅲ. 순열과 조합
108
1542 ⑴ b와 t가 양 끝에 오는 경우는
b◯◯◯◯t와 t◯◯◯◯b인 2가지이다.
b와 t 사이에 e, a, u, y의 4개의 문자를 일렬로 배열하는 방법의 수는 4!=24
따라서 구하는 방법의 수는 2_24=48
1543 ⑴ 남학생 2명을 양 끝에 세우는 방법의 수는 2!=2 남학생 사이에 여학생 3명을 일렬로 세우는 방법의 수는
3!=6
따라서 구하는 방법의 수는 2_6=12
⑵ 남 여 여 남을 한 명으로 생각하여 2명을 일렬로 세우 는 방법의 수는 2!=2
남학생 2명 사이에 여학생 3명 중에서 2명을 선택하여 일 렬로 세우는 방법의 수는 £Pª=6
남학생 2명이 자리를 바꾸는 방법의 수는 2!=2 따라서 구하는 방법의 수는
2_6_2=24
1544 ⑴ A를 두 번째, G를 다섯 번째에 오도록 배열하는 경우는
◯A◯◯G◯◯
A와 G는 고정되어 있기 때문에 남은 5개의 ◯ 자리에 남 은 5개의 문자를 일렬로 배열하는 방법의 수는 5!=120 ⑵ B◯◯D를 한 문자로 생각하여 4개의 문자를 일렬로 배열
하는 방법의 수는 4!=24
B와 D 사이에 B와 D를 제외한 5개의 문자 중 2개를 선 택하여 배열하는 방법의 수는 °Pª=20
B와 D가 자리를 바꾸는 방법의 수는 2!=2 따라서 구하는 방법의 수는 24_20_2=960
1545 모음은 o, i, a, 자음은 t, r, p, c, l
1545 모음은 o, i, a, 자음은 t, r, p, c, l