4 D 4
x y -1 y 2 y
f '(x) - 0 + 0 +
f(x) ↘ ↗ ↗
x y -1 y 1 y
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗
01
①02
④03
②04
805
①06
3707
②08
④09
①0 8
본문045`~`046쪽
증가・감소와 극대・극소
유형`08. 증가・감소와 극대・극소
23 05
`f(x)=-x‹ +6x¤ -9x+a에서`f`'(x)=-3x¤ +12x-9=-3(x-1)(x-3)
`f`'(x)=0에서 x=1 또는 x=3
즉, 함수 `f(x)는 x=1에서 극소이고 x=3에서 극대이다.
극댓값이 10이므로
`f(3)=-27+54-27+a=10
∴ a=10
따라서 구하는 극솟값은
`f(1)=-1+6-9+10=6
06
`f(x)=x‹ +ax¤ -9x+10에서 f`'(x)=3x¤ +2ax-9함수 `f(x)가 x=1에서 극솟값을 가지므로
`f`'(1)=3+2a-9=0
∴ a=3
즉, `f`'(x)=3x¤ +6x-9=3(x+3)(x-1)이므로
`f`'(x)=0에서 x=-3 또는 x=1
따라서 `f(x)는 x=-3에서 극대이므로 극댓값은
`f(-3)=-27+27+27+10=37
07
f(x)=x‹ +ax¤ +bx-3에서 f '(x)=3x¤ +2ax+b 함수 f(x)가 x=0, x=2에서 극값을 가지므로f '(0)=b=0 f '(2)=12+4a=0
∴ a=-3
따라서 f(x)=x‹ -3x¤ -3이므로 극솟값은 f(2)=8-12-3=-7
08
f(x)=2x‹ +ax¤ +bx에서 f '(x)=6x¤ +2ax+b주어진 그림에서 함수 f(x)가 x=-2, x=1에서 극값을 가지 므로
f '(-2)=24-4a+b=0
∴ 4a-b=24 yy`㉠
f '(1)=6+2a+b=0
∴ 2a+b=-6 yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=-12 따라서 f(x)=2x‹ +3x¤ -12x이므로 극댓값은
f(-2)=-16+12+24=20
09
f(x)=ax‹ -3x+b에서 f '(x)=3ax¤ -3함수 f(x)가 극댓값과 극솟값을 모두 가지므로 f '(x)=0이 서 로 다른 두 실근을 가져야 한다.
즉, f '(x)=0의 판별식을 D라 하면 D=36a>0 ∴ a>0
x y 1 y 3 y
f '(x) - 0 + 0
-f(x) ↘ 극소 ↗ 극대 ↘
f '(x)=3ax¤ -3=3a {x+ } {x- }이므로 f '(x)=0에서 x=- 또는 x=
즉, f(x)는 x=- 에서 극대이고 x= 에서 극소이다.
극댓값이 5이므로
f {- }= +b=5 yy`㉠
극솟값이 3이므로
f { }=- +b=3 yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, b=4
따라서 f(x)=4x‹ -3x+4, f '(x)=12x¤ -3이므로 f(2)-f '(-2)=30-45=-15
10
삼차함수 f(x)=x‹ +ax¤ +2ax가 구간 (-¶, ¶)에서 증가 하려면 f '(x)æ0이어야 한다.즉, f '(x)=3x¤ +2ax+2aæ0에서 이차방정식 f '(x)=0의 판별식을 D라 하면
=a¤ -6a…0, a(a-6)…0
∴ 0…a…6
따라서 실수 a의 최댓값 M=6, 최솟값 m=0이므로 M-m=6
11
최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 f(x)의 역함수가 존재하려 면 f(x)가 극값을 갖지 않고 항상 증가해야 하므로 모든 실수 x 에 대하여 f '(x)æ0이어야 한다.즉, f(x)=;3!;x‹ -ax¤ +3ax에서 f '(x)=x¤ -2ax+3aæ0 f '(x)=0의 판별식을 D라 하면
=a¤ -3a…0, a(a-3)…0
∴ 0…a…3
따라서 상수 a의 최댓값은 3이다.
D 4 D
4
2 'a 1
'a
2 'a 1 'a
1 'a 1
'a
1 'a 1
'a
1 'a 1
'a
x y - y y
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗
1 'a 1
'a
x y -3 y 1 y
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗
10
④11
①12
313
③14
2515
⑤16
②17
2218
1419
②20
①21
①22
1623
⑤24
⑤25
②본문046`~`048쪽
12
f(x)=;3!;x‹ -9x+3에서 f '(x)=x¤ -9=(x+3)(x-3) f '(x)=0에서 x=-3 또는 x=3즉, 함수 f(x)가 감소하는 구간은 [-3, 3]이고, 함수 f(x)가 구 간 (-a, a)에서 감소하므로 -aæ-3, a…3이다.
따라서 a…3이므로 a의 최댓값은 3이다.
13
함수 f(x)가 구간 (-¶, 0)에서 감소하고 구간 (2, ¶)에서 증가하기 위한 y=f'(x)의 그래프는 그림과 같이 x=-1에서 x축에 접해야 한다.f '(x)=(x+1)(x-a)(x-b) (a<b)라 하면 a=-1
a=-(a+b), b=ab이므로 a¤ +b¤ =a¤ +2ab+b¤ +(ab)¤
a¤ +b¤=1-2b+2b¤
a¤ +b¤=2 {b-;2!;}¤ +;2!;
따라서 a¤ +b¤ 은 b=;2!;일 때 최솟값을 갖고, b=2일 때 최댓값을 가지므로 m=;2!;, M=5
∴ M+m=:¡2¡:
14
f(x)=x‹ -9x¤ +24x+5에서f '(x)=3x¤ -18x+24=3(x¤ -6x+8)=3(x-2)(x-4) f '(x)=0에서 x=2 또는 x=4
따라서 함수 f(x)는 x=2에서 극대이므로 구하는 극댓값은 f(2)=8-36+48+5=25
15
f(x)=x‹ -3x+a에서f '(x)=3x¤ -3=3(x+1)(x-1) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1
따라서 함수 f(x)는 x=-1에서 극대이고 극댓값이 7이므로 f(-1)=-1+3+a=7
∴ a=5
16
f(x)=x‹ -ax+6에서 f'(x)=3x¤ -a 함수 f(x)가 x=1에서 극소이므로 f '(1)=3-a=0∴ a=3
y
O -1
2 x
y=f '(x)
x y -3 y 3 y
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ ↘ ↗
x y 2 y 4 y
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗
17
f(x)=2x‹ -12x¤ +ax-4에서 f '(x)=6x¤ -24x+a 함수 f(x)가 x=1에서 극댓값 M을 가지므로f '(1)=6-24+a=0 ∴ a=18 즉, f(x)=2x‹ -12x¤ +18x-4이므로 M=f(1)=2-12+18-4=4
∴ a+M=18+4=22
18
f(x)=(x-1)¤ (x-4)+a=(x¤ -2x+1)(x-4)+a에서 f '(x)=(2x-2)(x-4)+(x¤ -2x+1)=3x¤ -12x+9=3(x-1)(x-3) f '(x)=0에서 x=1 또는 x=3
따라서 함수 f(x)는 x=3에서 극소이고 극솟값이 10이므로 f(3)=4_(-1)+a=10
∴ a=14
19
f(x)=x‹ -3ax¤ +3(a¤ -1)x에서 f'(x)=3x¤ -6ax+3(a¤ -1)f'(x)=0에서 3x¤ -6ax+3(a¤ -1)=0 3(x-a+1)(x-a-1)=0
x=a-1또는 x=a+1
함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
함수 f(x)는 x=a-1에서 극댓값을 가진다.
함수 f(x)의 극댓값이 4이므로 f(a-1)=4이다. 즉, (a-1)‹ -3a(a-1)¤ +3(a¤ -1)(a-1)=4 a‹ -3a-2=0, (a-2)(a+1)¤ =0
a=-1또는 a=2
⁄a=-1일 때 f(x)=x‹ +3x¤
f(-2)=4>0이므로 주어진 조건을 만족시킨다.
¤a=2일 때
f(x)=x‹ -6x¤ +9x
f(-2)=-50<0이므로 주어진 조건을 만족시키지 않는다.
⁄, ¤에서 f(x)=x‹ +3x¤
∴ f(-1)=(-1)‹ +3_(-1)¤ =2
20
f(x)=x‹ -3x¤ +a에서 f '(x)=3x¤ -6x=3x(x-2) f '(x)=0에서 x=0 또는 x=2즉, 함수 f(x)는 x=0에서 극대이므로 극댓값은 f(0)=a 함수 f(x)는 x=2에서 극소이므로 극솟값은
x y 1 y 3 y
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗
x y -1 y 1 y
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗
x y a-1 y a+1 y
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗
x y 0 y 2 y
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗
유형`08. 증가・감소와 극대・극소
25
f(2)=8-12+a=a-4 모든 극값의 곱이 -4이므로 a(a-4)=-4, a¤ -4a+4=0 (a-2)¤ =0 ∴ a=2
21
f '(x)=-4x‹ +16a¤ x=-4x(x¤ -4a¤ )
=-4x(x+2a)(x-2a)
이므로 함수 f(x)는 x=2a와 x=-2a에서 극댓값을 갖는다.
즉, b+(2-2b)=2a+(-2a)=0이므로 b=2 또, b(2-2b)=2a_(-2a)이므로
-4=-4a¤ ∴ a=1 (∵ a>0)
∴ a+b=1+2=3
22
`g(x)=(x‹ +2)`f(x)에서 `g`'(x)=3x¤ `f(x)+(x‹ +2)f`'(x) 함수 g(x)가 x=1에서 극솟값 24를 가지므로g(1)=3`f(1)=24 ∴ f(1)=8
g '(1)=3`f(1)+3`f`'(1)=0 ∴ `f`'(1)=-8
∴ `f(1)-f`'(1)=16
23
`g(x)=f(x)-kx에서 g '(x)=f '(x)-k=x¤ -1-k 함수 g(x)가 x=-3에서 극값을 가지므로g '(-3)=9-1-k=0, 8-k=0
∴ k=8
24
f(x)= 에서⁄a>0일 때, 함수 y=f(x)의 그래프는 그림과 같다.
⁄즉, 함수 f(x)의 극댓값은 0이므로 주어진 조건을 만족하지 않는다.
¤a=0일 때, 함수 y=f(x)의 그래프는 그림과 같다.
⁄즉, 함수 f(x)의 극댓값은 존재하지 않으므로 주어진 조건을 만족하지 않는다.
‹a<0일 때, 함수 y=f(x)의 그래프는 그림과 같다.
' 3
-y
O x
y=f(x) y
O x
y=f(x) ' 3
- ' a
y
O
x y=f(x) a(3x-x‹ ) (`x<0)
x‹ -ax (`xæ0)
‡
⁄즉, x<0일 때 극댓값이 존재하므로
⁄ f '(x)=a(3-3x¤ )=3a(1-x)(1+x)
⁄ f '(x)=0에서 x=-1 (`∵ x<0)
⁄x=-1일 때의 극댓값이 5이므로
⁄ f(-1)=-2a=5 ∴ a=-;2%;
⁄, ¤, ‹에서 f(x)=
∴ f(2)=8+5=13
25
y=f(x)g(x)에서 y '=f '(x)g(x)+f(x)g '(x)즉, 함수 y=f(x)g(x)는 x=c에서 극댓값을 갖고,
a<x<b와 d<x<e에서 y'의 부호가 음에서 양으로 변하므로 극솟값을 갖는다.
따라서 p<q이므로 a<p<b이고 d<q<e이다.
26
f(x)=x‹ -6x¤ -36x+7에서f '(x)=3x¤ -12x-36=3(x¤ -4x-12)=3(x+2)(x-6) f(x)가 감소하는 구간에서 f '(x)…0이므로
3(x+2)(x-6)…0 ∴ -2…x…6 즉, a=-2, b=6이므로
f(-2)=-8-24+72+7=47, f '(6)=0
∴ f(a)+ f '(b)=f(-2)+f '(6)=47
27
`f(x)=-x‹ +6x¤ +ax-1이 극값을 갖지 않으려면 `f`'(x)=0 이 중근 또는 허근을 가져야 한다.즉, `f`'(x)=-3x¤ +12x+a=0의 판별식을 D라 하면
=36+3a…0 ∴ a…-12
28
임의의 두 실수 x¡, x™에 대하여 x¡<x™일 때, f(x¡)<f(x™)를 만족시키는 구간에서 `f(x)는 증가하므로 f '(x)æ0이어야 한다.즉, f(x)=-;3!;x‹ -3x¤ +7x-11에서 f '(x)=-x¤ -6x+7=-(x+7)(x-1)
f '(x)æ0에서 (x+7)(x-1)…0 ∴ -7…x…1 따라서 이 구간에 속하는 정수의 개수는 9이다.
D 4
-;2%;(3x-x‹ ) (`x<0) x‹ +;2%;x (`xæ0) (
{ 9
x … a … b … c … d … e …
f '(x)g(x) - - - 0 + 0 - 0 + + + f(x)g '(x) - 0 + + + 0 - - - 0 +
y ' - - + + 0 - - + +
26
③27
①28
⑤29
②30
②31
①32
②33
④34
②35
①36
④본문049`~`050쪽
33
f(x)=x‹ -6x¤ +a라 하면 f '(x)=3x¤ -12x=3x(x-4) f '(x)=0에서 x=0 또는 x=4즉, f(x)는 x=0에서 극대이므로 극댓값은 f(0)=a x=4에서 극소이므로 극솟값은
f(4)=64-96+a=a-32
극댓값과 극솟값의 부호가 반대이고, 절댓값이 같으므로 극댓값 과 극솟값의 합은 0이다.
따라서 a+(a-32)=0이므로 a=16
34
f(x)=x‹ +ax¤ +bx+c에서 f '(x)=3x¤ +2ax+b 함수 f(x)가 x=1, x=3에서 극값을 가지므로f '(1)=3+2a+b=0 yy`㉠
f '(3)=27+6a+b=0 yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-6, b=9
한편, 극댓값이 극솟값의 3배이므로 f(1)=3 f(3)
1+a+b+c=3(27+9a+3b+c), 4+c=3c
∴ c=2
따라서 f(x)=x‹ -6x¤ +9x+2이므로 극댓값은 f(1)=1-6+9+2=6
35
원점을 지나고 최고차항의 계수가 1인 사차함수를 f(x)=x› +ax‹ +bx¤ +cx(`a, b, c는 상수)로 놓으면 f '(x)=4x‹ +3ax¤ +2bx+c조건 ㈎에서 f(2+x)=f(2-x)이므로 y=f(x)의 그래프는 직선 x=2에 대하여 대칭이다.
또 조건 ㈏에서 x=3에서 극소이므로 x=1에서 극소이고, x=2 에서 극대이다.
즉, f '(x)=0의 해가 x=1 또는 x=2 또는 x=3이므로 4x‹ +3ax¤ +2bx+c=4(x-1)(x-2)(x-3)
=4x‹ -24x¤ +44x-24
∴ a=-8, b=22, c=-24
따라서 f(x)=x› -8x‹ +22x¤ -24x이므로 극댓값은 f(2)=16-64+88-48=-8
36
g'(x)=f(x)+xf'(x)이므로 ㄱ. f(1)+g'(1)=f'(1)<0 (거짓) ㄴ. g(2)=2f(2)=2_(-2)=-4<0g'(2)=f(2)+2f'(2)=-2+2_0=-2<0
∴ g(2)g'(2)>0 (참) ㄷ. f(3)=0
f '(3)>0이므로
g'(3)=f(3)+3f'(3)=0+3_f'(3)>0
∴ f(3)+g'(3)>0 (참) 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
29
f(x)=x‹ -9x¤ +24x+a에서 f '(x)=3x¤ -18x+24=3(x-2)(x-4) f '(x)=0에서 x=2 또는 x=4
따라서 함수 f(x)는 x=2에서 극대이고 극댓값이 24이므로 f(2)=8-36+48+a=24
∴ a=4
30
f(x)=x‹ -3x+1에서f '(x)=3x¤ -3=3(x+1)(x-1) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1
즉, 함수 f(x)는 x=-1에서 극대이므로 극댓값은 f(-1)=-1+3+1=3
x=1에서 극소이므로 극솟값은 f(1)=1-3+1=-1
따라서 극대가 되는 점의 좌표는 (-1, 3), 극소가 되는 점의 좌 표는 (1, -1)이므로 두 점 사이의 거리는
"√2¤ +(-4)¤ ='2å0=2'5
31
f(x)=x‹ -5x¤ +ax-b에서 f '(x)=3x¤ -10x+a함수 f(x)가 x=1에서 극값 2를 가지므로 f '(1)=3-10+a=0 ∴ a=7 f(1)=1-5+7-b=2 ∴ b=1
∴ ab=7
32
``f(x)=x‹ +ax¤ +bx+1에서`f`'(x)=3x¤ +2ax+b
함수 `f(x)의 감소하는 구간이 [-1, 1]이므로 부등식 `f`'(x)…0 의 해가 -1…x…1이어야 한다.
3x¤ +2ax+b=3(x+1)(x-1)=3x¤ -3
∴ a=0, b=-3
즉, `f(x)=x‹ -3x+1이므로
`f`'(x)=3x¤ -3=3(x+1)(x-1) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1
따라서 함수 `f(x)는 x=-1에서 극대이므로 극댓값은 M=f(-1)=-1+3+1=3
x=1에서 극소이므로 극솟값은 m=f(1)=1-3+1=-1
∴ M+m=3+(-1)=2
x y -1 y 1 y
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗
x y 0 y 4 y
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗
x y -1 y 1 y
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗
x y 2 y 4 y
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗
유형`09. 함수의 최대・최소
27 05
f(x)=-x‹ +3x¤ +a에서f '(x)=-3x¤ +6x=-3x(x-2) f '(x)=0에서 x=0 또는 x=2
따라서 닫힌구간 [-2, 2]에서 함수 f(x)는 x=0일 때 최솟값을 가지므로 f(0)=a=3
x=-2일 때 최대이므로 최댓값은 f(-2)=a+20=23
06
f(x)=x‹ +ax¤ +bx+1에서 f '(x)=3x¤ +2ax+b 함수 f(x)가 x=3에서 극솟값 1을 가지므로f '(3)=27+6a+b=0 yy`㉠
f(3)=27+9a+3b+1=1
∴ 9+3a+b=0 yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-6, b=9
즉, f(x)=x‹ -6x¤ +9x+1이므로 f '(x)=3x¤ -12x+9=3(x-1)(x-3) f '(x)=0에서 x=1 또는 x=3
따라서 닫힌구간 [-1, 3]에서 함수 f(x)의 최댓값은 f(1)=5
07
f(x)=x‹ -3x+5에서f '(x)=3x¤ -3=3(x+1)(x-1) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1
따라서 닫힌구간 [-1, 3]에서 함수 f(x)의 최솟값은 f(1)=3
08
f(x)=x‹ -3x¤ -9x+8에서f '(x)=3x¤ -6x-9=3(x+1)(x-3) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=3
01
f(x)=2x‹ -6x+4에서f '(x)=6x¤ -6=6(x+1)(x-1) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1
따라서 함수 f(x)는 0…x…2에서 x=2일 때, 최댓값 M=f(2)=8 x=1일 때, 최솟값 m=f(1)=0
∴ M+m=8
02
f(x)=-x‹ +3x+3에서f '(x)=-3x¤ +3=-3(x+1)(x-1) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1
따라서 닫힌구간 [0, 2]에서 함수 f(x)의 최댓값은 f(1)=5, 최솟값은 f(2)=1이다.
∴ M-m=5-1=4
03
f(x)=x› -2x¤ +2에서f '(x)=4x‹ -4x=4x(x+1)(x-1) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=0 또는 x=1
따라서 닫힌구간 [0, 2]에서 함수 f(x)의 최솟값은 f(1)=1, 최댓 값은 f(2)=10이므로 최댓값과 최솟값의 합은 11이다.
04
f(x)=2x‹ -3x¤ +a에서 f '(x)=6x¤ -6x=6x(x-1) f '(x)=0에서 x=0 또는 x=1따라서 닫힌구간 [-1, 1]에서 함수 f(x)의 최솟값은 a-5이므로 a-5=5
∴ a=10
x 0 y 1 y 2
f '(x) - 0 +
f(x) 4 ↘ 0 ↗ 8
x 0 y 1 y 2
f '(x) + 0
-f(x) 3 ↗ 5 ↘ 1
x 0 y 1 y 2
f '(x) 0 - 0 +
f(x) 2 ↘ 1 ↗ 10
x -1 y 0 y 1
f '(x) + 0 - 0
f(x) a-5 ↗ a ↘ a-1
x -2 y 0 y 2
f '(x) - 0 + 0
f(x) a+20 ↘ a ↗ a+4
x -1 y 1 y 3
f '(x) + 0 - 0
f(x) -15 ↗ 5 ↘ 1
x -1 y 1 y 3
f '(x) 0 - 0 +
f(x) 7 ↘ 3 ↗ 23
x -2 y -1 y 0
f '(x) + 0
-f(x) 6 ↗ 13 ↘ 8
01
②02
④03
①04
⑤05
③06
④0 9
본문053쪽