07
808
②09
④10
2211
①12
2713
1214
①15
①본문062`~`063쪽
x=t‹ +at¤ +bt에서 v(t)=3t¤ +2at+b이므로 v(1)=3+2a+b=0 yy`㉠
또 시각 t에서의 가속도를 a(t)라 하면 a(t)=6t+2a a(2)=0이므로 a(2)=12+2a=0 ∴ a=-6 a=-6을 ㉠에 대입하면 b=9
∴ a+b=(-6)+9=3
15
점 P의 시각 t에서의 속도를 v라 하면 v= =3t¤ -10t+a점 P가 움직이는 방향이 바뀌지 않으려면 시각 t`(tæ0)에 대하여 항상 væ0이거나 v…0이어야 한다.
v=3 {t-;3%;}¤ +a-:™3∞:
이므로 시각 t에 대하여 항상 v…0일 수는 없다.
즉, 시각 t에 대하여 항상 væ0이어야 하므로 a-:™3∞:æ0
따라서 aæ:™3∞:=8.___에서 조건을 만족시키는 자연수 a의 최솟값은 9이다.
16
시각 t에서의 점 P의 속도는 P'(t)=3t¤ -18t+34 점 P의 속도가 10이므로 3t¤ -18t+34=10t¤ -6t+8=0, (t-2)(t-4)=0 ∴ t=2 또는 t=4 따라서 점 P의 속도가 처음으로 10이 되는 순간은 t=2이므로 t=2에서의 점 P의 위치는
P(2)=8-36+68=40
17
점 P의 시각 t에서의 위치가 x=t‹ +kt¤ +t 이므로 시각 t에서의 점 P의 속도를 v라 하면 v=3t¤ +2kt+1또 시각 t에서의 점 P의 가속도를 a라 하면 a=6t+2k
t=1에서의 점 P의 가속도가 2이므로 6+2k=2 ∴ k=-2
따라서 t=2에서의 점 P의 가속도는 6_2+2_(-2)=8
18
시각 t=1에서 운동 방향을 바꾸므로 시각 t에서의 점 P의 속도 를 v(t)라 하면 v(1)=0x=t‹ +at¤ +bt에서 v(t)=3t¤ +2at+b이므로 v(1)=3+2a+b=0 yy`㉠
또 시각 t에서의 가속도를 a(t)라 하면 a(t)=6t+2a a(2)=6이므로 a(2)=6_2+2a=6 ∴ a=-3
dx dt
08
v= =-2t+4t=a에서 속도가 0이므로 -2a+4=0
∴ a=2
09
점 P의 시각 t에서의 위치 x가 x=t‹ -12t+k 이므로 점 P의 시각 t에서의 속도 v는 v=3t¤ -12 점 P의 운동 방향이 바뀔 때의 점 P의 속도는 0이므로 3t¤ -12=0, 3(t+2)(t-2)=0t>0이므로 t=2
점 P의 운동 방향이 원점에서 바뀌므로 t=2일 때, 점 P의 위치 는 원점이다.
즉, 2‹ -12_2+k=0에서 k=16
10
점 P의 시각 t`(tæ0)에서의 위치 x가 x=-;3!;t‹ +3t¤ +k 이므로 점 P의 시각 t에서의 속도 v는 v=-t¤ +6t 이고, 점 P의 시각 t에서의 가속도 a는 a=-2t+6 점 P의 가속도가 0이므로 -2t+6=0에서 t=3 t=3일 때, 점 P의 위치가 40이므로-;3!;_3‹ +3_3¤ +k=40 ∴ k=22
11
두 점 P, Q의 시각 t일 때의 위치는 각각 f(t)=2t¤ -2t, g(t)=t¤ -8t이므로 속도는 각각 f '(t)=4t-2, g'(t)=2t-8두 점 P, Q가 서로 반대 방향으로 움직이려면 f '(t)g'(t)<0이어야 하므로
(4t-2)(2t-8)=4(2t-1)(t-4)<0
∴ ;2!;<t<4
12
두 점 P, Q의 시각 t에서의 속도를 각각 v¡, v™라 하면 v¡=3t¤ -4t+3, v™=2t+12이므로3t¤ -4t+3=2t+12에서 3t¤ -6t-9=0, (t+1)(t-3)=0
∴ t=3 (∵ tæ0)
즉, t=3일 때, 두 점 P, Q의 위치는 각각 18, 45이다.
따라서 구하는 두 점 사이의 거리는 45-18=27
13
두 점 P, Q의 시각 t일 때의 위치는 각각 P(t)=;3!;t‹ +4t-;3@;, Q(t)=2t¤ -10이므로 속도를 각각 v∏, vŒ라 하면v∏=P'(t)=t¤ +4, vŒ=Q'(t)=4t v∏=vŒ에서 t¤ +4=4t, t¤ -4t+4=0 (t-2)¤ =0 ∴ t=2
t=2일 때, 두 점 P, Q의 위치는 각각 P(2)=;3!;_2‹ +4_2-;3@;=10, Q(2)=2_2¤ -10=-2
따라서 두 점 P, Q 사이의 거리는 10-(-2)=12
14
시각 t=1에서 운동 방향을 바꾸므로 시각 t에서의 속도를 v(t) 라 하면 v(1)=0dx dt
16
②17
③18
③19
④20
④21
4222
③23
③24
②25
25본문063`~`064쪽
유형`11. 속도와 가속도
35
a=-3을 ㉠에 대입하면 b=3 따라서 v(t)=3t¤ -6t+3이므로 v(2)=3_4-6_2+3=3
19
S(t)=t‹ +at¤ +bt-1이라 하면 점 P의 속도 v(t)는 v(t)=S'(t)=3t¤ +2at+bt=3일 때, 점 P는 운동 방향을 바꾸므로 v(3)=0 즉, 27+6a+b=0 yy`㉠
또한, S(3)=-1이므로
27+9a+3b-1=-1 yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-6, b=9
∴ v(t)=3t¤ -12t+9=3(t-1)(t-3)
따라서 점 P가 t=3 이외에 운동 방향을 바꾸는 시각은 t=1이 고, 그때의 위치는 S(t)=t‹ -6t¤ +9t-1에서
S(1)=1-6+9-1=3
20
시각 t=3에서 운동 방향을 바꾸므로 시각 t에서의 속도를 v(t) 라 하면 v(3)=0x=t‹ +at¤ +bt+10에서 v(t)=3t¤ +2at+b이므로 v(3)=27+6a+b=0 ∴ b=-6a-27 yy`㉠
또 시각 t에서의 가속도를 a(t)라 하면 a(t)=6t+2a a(3)=10이므로 a(3)=18+2a=10
∴ a=-4 yy`㉡
㉡을 ㉠에 대입하면 b=-3 따라서 x=t‹ -4t¤ -3t+10이므로 t=1에서의 점 P의 위치는 1‹ -4_1¤ -3_1+10=4
21
점 P의 시각 t에서의 속도를 v라 하면 v= =3t¤ -12t+kt=a와 t=b에서 점 P가 운동 방향을 바꾸므로 t=a와 t=b에서 속도 v=0이다.
따라서 3t¤ -12t+k=0의 두 근이 a, b이고 이차방정식의 근과 계수의 관계에서 a+b=4, ab=;3K;
|a-b|¤ =(a+b)¤ -4ab=4¤ -;3$;k=2¤
;3$; k=4¤ -2¤ =12 ∴ k=9
a= =6t-12이므로 t=9에서의 가속도는 6_9-12=42
22
두 점 A, B가 만나려면 xÅ=xı이어야 하므로 2t¤ +7t=t‹ -:¡2¡:t¤ +19t-3t‹ -:¡2∞:t¤ +12t-3=0
0…t…10에서 이 방정식의 실근의 개수를 조사하면 된다.
f(t)=t‹ -:¡2∞:t¤ +12t-3이라 하면 f '(t)=3t¤ -15t+12=3(t-1)(t-4) f '(t)=0에서 t=1 또는 t=4
dv dt dx dt
따라서 0…t…10에서 f(t)=0 인 t의 값이 3개 존재하므로 두 점 A, B가 처음 10초 동안 만나 는 횟수는 3이다.
23
시각 t에서의 점 P의 속도를 vP라 하면 vP= =6t¤ -18t=6t(t-3)따라서 점 P는 t=3에서 운동 방향을 바꾸므로 a=1 시각 t에서의 점 Q의 속도를 vQ라 하면 vQ= =2t+8
∴ b=0`(∵ tæ0)
t분 후의 점 M의 위치를 xM이라 하면
xM= =t‹ -4t¤ +4t
시각 t에서의 점 M의 속도를 vM이라 하면 vM= =3t¤ -8t+4=(3t-2)(t-2)
따라서 점 M은 t=;3@; 또는 t=2에서 운동 방향을 바꾸므로 c=2
∴ a+b+c=1+0+2=3
24
점 P의 t초 후의 속도를 v라 하면v= =6t¤ -18t+12=6(t-1)(t-2) ㄱ. 3초 후의 속도는 6(3-1)(3-2)=12이다. (참) ㄴ. 운동 방향을 바꿀 때 v=0이므로 6(t-1)(t-2)=0에서
t=1또는 t=2
즉, 처음 출발 후 운동 방향을 두 번 바꾼다. (참) ㄷ. 원점을 지날 때,
2t‹ -9t¤ +12t=0이므로 t(2t¤ -9t+12)=0
∴ t=0 (`∵ 2t¤ -9t+12>0)
즉, 처음 원점에서 출발하고 다시 원점으로 돌아오지 않는다.
(거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
25
x=35+at+bt¤에서 t초 후의 속도를 v라 하면 v= =a+2bt최고 높이에 도달할 때 v=0이므로
t=3일 때 a+6b=0 yy`㉠
또 t=3일 때 x=80이므로 35+3a+9b=80 yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=30, b=-5
∴ a+b=25 dx dt dx dt
dxM
dt
(2t‹ -9t¤ )+(t¤ +8t) 2
dxQ
dt dxP
dt
f(t)
O 1 10
-11 4 5 2
t
t 0 … 1 … 4 … 10
f '(t) + 0 - 0 +
f(t) -3 ↗ ;2%; ↘ -11 ↗ 367
07
:)2 (3x¤ +6x)dx=[x‹ +3x¤ ]2)=8+12=2008
:)2 (6x¤ -x) dx=[2x‹ -;2!;x¤ ]2)=16-2=1409
:)1 (2x+a) dx=[x¤ +ax]1)=1+a=4∴ a=3
10
:)a (3x¤ -4)dx=[x‹ -4x]a)=a‹ -4a=a(a+2)(a-2)=0 a=-2또는 a=0 또는 a=2
∴ a=2 (∵ a>0)
11
:)1 f(x) dx=:)1 (6x¤ +2ax) dx=[2x‹ +ax¤ ]1)=2+a=f(1) 즉, 2+a=6+2a이므로 a=-4
12
:!4 (x+|x-3|)dx=:!3 (x+|x-3|)dx+:#4 (x+|x-3|)dx
=:!3 {x-(x-3)}dx+:#4 {x+(x-3)}dx
=:!3 3dx+:#4 (2x-3)dx
=[3x]3!+[x¤ -3x]4#
=(9-3)+{(16-12)-(9-9)}
=6+4=10
13
:_aA (3x¤ +2x) dx=2:)a 3x¤ dx=2 [x‹ ]a)=2a‹ =;4!;즉, a‹ =;8!;이므로 a=;2!;
∴ 50a=25
14
h(x)=a2n+1x2n+1+a™«–¡x2n-1+y+a¡x로 놓으면 h'(x)=(2n+1)a™«≠¡x2n+(2n-1)a™«–¡x2n-2+y+a¡이므로 h'(-x)=h'(x)를 만족시킨다.
:_3# (x+5)h'(x) dx=:_3# xh'(x) dx+:_3# 5h'(x) dx :_3# (x+5)h'(x) dx=2:)3 5h'(x) dx=10[h(x)]3) :_3# (x+5)h'(x) dx=10{h(3)-h(0)}=10
01
:)1 (6x¤ -4x+2) dx=[2x‹ -2x¤ +2x]1)=202
:)2 (2x¤ +1) dx+2:)2 (x-x¤ ) dx=:)2 (2x¤ +1)`dx+:)2 (2x-2x¤ ) dx
=:)2 (2x¤ +1+2x-2x¤ ) dx
=:)2 (2x+1)`dx
=[x¤ +x]2)=6
03
:)3 (2x‹ +5) dx+:#2 (2x‹ +5) dx-:!2 (2x‹ +5) dx=:)3 (2x‹ +5) dx+:#2 (2x‹ +5) dx+:@1 (2x‹ +5) dx
=:)1 (2x‹ +5) dx
=[;2!;x› +5x]1)=:¡2¡:
04
-1…x<1에서 f(x)=x¤ , 1…x…2에서 f(x)=2x-x¤이므로:_2! f(x) dx=:_1! x¤ dx+:!2 (2x-x¤ ) dx
=[;3!;x‹ ]1_!+[x¤ -;3!;x‹ ]2!
=[;3!;-{-;3!;}]+[{4-;3*;}-{1-;3!;}]=;3$;
05
|x¤ -2x|= 이므로:_2@ |x¤ -2x| dx
=:_0@ (x¤ -2x) dx+:)2 (-x¤ +2x) dx
=[;3!;x‹ -x¤ ]0_@+[-;3!;x‹ +x¤ ]2)
=-{-;3*;-4}+{-;3*;+4}=8
06
:)2 (x+k)¤ dx-:)2 (x-k)¤ dx=:)2 {(x+k)¤ -(x-k)¤ } dx=:)2 4kx dx=[2kx¤ ]2)
=8k=16∴∴
∴ k=2
x¤ -2x (`x…0 또는 xæ2) -x¤ +2x (`0<x<2)
‡
01
202
603
⑤04
④05
③06
212
본문067쪽