O 16
-16 2
-2 x
y=f(x) y=a
x y -1 y 3 y
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗
x y -1 y 3 y
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗
01
③02
⑤03
2204
②05
③06
①10
본문057쪽
방정식, 부등식에의 활용
04
3x› -4x‹ -12x¤ -k=0에서 3x› -4x‹ -12x¤ =k f(x)=3x› -4x‹ -12x¤이라 하면f '(x)=12x‹ -12x¤ -24x=12x(x¤ -x-2)
=12x(x+1)(x-2)
f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=0 또는 x=2 f(-1)=3+4-12=-5
f(0)=0
f(2)=48-32-48=-32 따라서 그림에서 서로 다른 두 양의 실근만 갖는 k의 값의 범위는 -32<k<-5
05
x‹ -11x=x+k에서 x‹ -12x-k=0 f(x)=x‹ -12x-k라 하면f '(x)=3x¤ -12=3(x¤ -4)
=3(x+2)(x-2) f '(x)=0에서 x=-2 또는 x=2
즉, 함수 f(x)는 x=-2에서 극대, x=2에서 극소이다.
삼차방정식 f(x)=0이 서로 다른 세 실근을 가지려면 (극댓값)_(극솟값)<0이어야 하므로
f(-2)f(2)<0에서 (16-k)(-16-k)<0 (k-16)(k+16)<0
∴ -16<k<16
06
f(x)=x‹ -6x¤ +9x+k라 하면f '(x)=3x¤ -12x+9=3(x¤ -4x+3)=3(x-1)(x-3) f '(x)=0에서 x=1 또는 x=3
즉, x>0일 때, 함수 f(x)의 최솟값은 k이므로 k>0
07
x‹ -3x¤ -9x-k=0에서 x‹ -3x¤ -9x=k f(x)=x‹ -3x¤ -9x라 하면y O
-32 -5
2 -1
x y=f(x)
y=k
f '(x)=3x¤ -6x-9
=3(x¤ -2x-3)
=3(x+1)(x-3) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=3
즉, 함수 y=f(x)의 그래프는 그림과 같다.
방정식 f(x)=k가 서로 다른 세 실근을 가지려면 함수 y=f(x) 의 그래프와 직선 y=k가 서로 다른 세 점에서 만나야 하므로 k 의 값의 범위는
-27<k<5
따라서 정수 k의 최댓값은 4이다.
08
f(x)=x‹ -6x¤ -n이라 하면 f '(x)=3x¤ -12x=3x(x-4) f '(x)=0에서 x=0 또는 x=4삼차방정식 f(x)=0이 서로 다른 세 실근을 가지려면 삼차함수 y=f(x)의 그래프가 x축과 서로 다른 세 점에서 만나야 한다.
즉, f(x)의 (극댓값)_(극솟값)<0이어야 하므로 f(0)f(4)<0에서 (-n)_(-32-n)<0 n(n+32)<0
∴ -32<n<0
따라서 구하는 정수 n의 개수는 -31, -30, y, -1의 31이다.
09
f(x)=x‹ -3ax¤ +4a라 하면 f '(x)=3x¤ -6ax=3x(x-2a) f '(x)=0에서 x=0 또는 x=2a삼차함수 y=f(x)의 그래프가 x축에 접하려면 극댓값 또는 극솟 값이 0이어야 하므로
f(0)f(2a)=0에서 4a(8a‹ -12a‹ +4a)=0 -16a¤ (a¤ -1)=0
-16a¤ (a+1)(a-1)=0
∴ a=1 (`∵ a>0) y
-1 x
5
-27 O
3
y=f(x) y=k
x y -2 y 2 y
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗
x (0) y 1 y 3 y
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) k ↗ k+4 ↘ k ↗
x y -1 y 3 y
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 5 ↘ -27 ↗
x y 0 y 4 y
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗
x y 0 y 2a y
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗
07
②08
3109
④10
2111
①12
①13
④14
②15
316
22본문058`~`059쪽
유형`10. 방정식, 부등식에의 활용
31 10
x‹ -3x¤ +2x-3=2x+k에서x‹ -3x¤ -3=k yy㉠ 따라서 y=x‹ -3x¤ -3이라 하면 y'=3x¤ -6x
이므로 y'=0에서 3x¤ -6x=3x(x-2)=0 x=0또는 x=2
함수 y=x‹ -3x¤ -3의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같 다.
따라서 곡선 y=x‹ -3x¤ -3은 다음 그림과 같으므로 곡선 y=x‹ -3x¤ -3과 직선 y=k의 교점의 개수가 2이어야 한다.
∴ k=-3 또는 k=-7 따라서 모든 실수 k의 값의 곱은 (-3)_(-7)=21
11
x(x+1)(x-4)=5x+k에서 x‹ -3x¤ -9x-k=0g(x)=x‹ -3x¤ -9x-k라 하면 g '(x)=3x¤ -6x-9=3(x¤ -2x-3)
=3(x+1)(x-3) g '(x)=0에서 x=-1 또는 x=3
삼차방정식 g(x)=0이 서로 다른 두 실근을 가지려면 삼차함수 g(x)의 극댓값 또는 극솟값이 0이어야 하므로
g(-1)g(3)=0에서 (5-k)(-27-k)=0
∴ k=-27 또는 k=5 따라서 양수 k의 값은 5이다.
12
f(x)=g(x)에서 3x‹ -x¤ -3x=x‹ -4x¤ +9x+a이므로 2x‹ +3x¤ -12x=ah(x)=2x‹ +3x¤ -12x로 놓으면 함수 y=h(x)의 그래프와 직선 y=a의 교점의 x좌표가 서로 다른 양의 실수 2개, 음의 실 수 1개이어야 한다.
h'(x)=6x¤ +6x-12=6(x+2)(x-1) h'(x)=0에서 x=-2 또는 x=1
y
O
-3 y=-3
-7 y=-7 2
x y=x‹ -3x¤ -3
x y -1 y 3 y
g '(x) + 0 - 0 +
g(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗
즉, h(-2)=20, h(1)=-7이므로 함수 y=h(x)의 그래프는 그림과 같다.
따라서 -7<a<0일 때, 함수 y=h(x)의 그래프와 직선 y=a의 교점의 x좌표가 서로 다른 양의 실수 2개, 음의 실수 1개이므로 정수 a의 개수는 -6, -5, -4, -3, -2, -1 의 6이다.
13
f(-x)=-f(x)이므로 y=f(x)의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다.또 방정식 | f(x)|=2가 서로 다른 4개의 실근을 가지므로 함수 y=| f(x)|의 그래프와 직선 y=2는 서로 다른 네 점에서 만나 야 한다. 즉, y=| f(x)|의 그래프는 그림과 같아야 한다.
그러므로 함수 f(x)는 극댓값 2를 갖는다.
한편, 함수 f(x)는 최고차항의 계수가 1이므로 y=f(x)의 그래 프가 x축의 양의 방향과 만나는 점의 좌표를 (a, 0)이라 하면
f(x)=x(x-a)(x+a)=x‹ -a¤ x f '(x)=3x¤ -a¤ =3 {x+ }{x- } 이므로 x=- 에서 극댓값 2를 갖는다.
f {- }=- +
f {- }= =2
∴ a='3
따라서 f(x)=x‹ -3x이므로 f(3)=27-9=18
14
두 함수 f(x)=x› -4x+a, g(x)=-x¤ +2x-a의 그래프가 오직 한 점에서 만나므로 방정식 f(x)=g(x), 즉x› +x¤ -6x+2a=0이 오직 하나의 실근을 갖는다.
h(x)=x› +x¤ -6x+2a라 하면
h'(x)=4x‹ +2x-6=2(x-1)(2x¤ +2x+3)
h'(x)=0에서 x=1이므로 h(x)는 x=1에서 극소이면서 최소 이다.
그런데 방정식 h(x)=0이 오직 하나의 실근을 가지므로 y=h(x)의 그래프는 그림과 같이 x축
과 한 점에서 만나야 한다.
따라서 h(1)=0이므로 1+1-6+2a=0, 2a=4
∴ a=2 [다른 풀이]
y=f(x)와 y=g(x)의 그래프가 오직 한 점에서 만나므로 두 곡 선은 공통접선을 갖는다.
y
O 1 x
y=h(x) 2a‹
3'3 a‹
'3 a‹
3'3 a
'3 a '3
a '3 a
'3 y
O a
-a x
y=|f(x)|
y=2 y
O 20
-7 -2
1 x y=h(x)
y=a
x y 0 y 2 y
y' + 0 - 0 +
y ↗ -3 ↘ -7 ↗
즉, f(x)는 x=1에서 극대이고 x=3에서 극소이다.
방정식이 서로 다른 세 실근을 가지려면 (극댓값)_(극솟값)<0이어야 하므로
f(1)f(3)<0에서 (4-a)(-a)<0 a(a-4)<0 ∴ 0<a<4 따라서 모든 정수 a의 값의 합은 1+2+3=6
18
방정식 f(x)=g(x)가 서로 다른 두 실근을 가지려면 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=g(x)가 서로 다른 두 점에서 만나 야 한다.f '(x)=6x¤ +6x-12=6(x+2)(x-1) f '(x)=0에서 x=-2 또는 x=1 즉, f(-2)=20, f(1)=-7이므로 함수 y=f(x)의 그래프는 그림과 같다.
따라서 y=-7 또는 y=20일 때, 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=g(x)가 서로 다른 두 점에서 만나므로 a=-7또는 a=20이다.
그러므로 모든 a의 값의 합은 13이다.
19
주어진 도함수의 그래프와 함숫값으로부터 사차함수 f(x)의 그 래프를 그리면 그림과 같다.방정식 | f(x)|=2에서 f(x)=2또는 f(x)=-2
따라서 방정식 f(x)=2의 실근은 2개, f(x)=-2의 실근은 2 개이므로 방정식 | f(x)|=2의 서로 다른 실근의 개수는 4이다.
20
f(x)=x‹ -3a¤ x+2라 하면 f '(x)=3x¤ -3a¤ =3(x-a)(x+a)⁄a>0일 때,
⁄ f '(x)=0에서 x=a (`∵ xæ0)
⁄즉, 함수 f(x)는 x=a에서 극소이면서 최소이므로 최솟값은
⁄ f(a)=a‹ -3a‹ +2=-2a‹ +2=-2(a‹ -1)
⁄-2(a‹ -1)æ0에서 (a-1)(a¤ +a+1)…0
⁄∴ 0<a…1
¤a=0일 때,
y
O
-6 x y=f(x)
y=2
y=-2 3
a 4 b
y
O 20
-7 -2
1 x y=f(x)
y=-7 y=20 즉, 교점의 x좌표를 t라 하면 f '(t)=g '(t), f(t)=g(t)가 성
립한다.
f '(t)=g '(t)에서
4t‹ -4=-2t+2, 4t‹ +2t-6=0 2(t-1)(2t¤ +2t+3)=0 ∴ t=1
f(t)=g(t)에서 f(1)=g(1)이므로 1-4+a=-1+2-a, 2a=4
∴ a=2
15
h(x)=f (x)-3g(x)로 놓으면 h(x)=x‹ -3x¤ -9x+30-k이고, 닫힌구간 [-1, 4]에서 f(x)æ3g(x) 이므로 h(x)æ0이어야 한다.
h'(x)=3x¤ -6x-9=3(x+1)(x-3) 이므로 h'(x)=0에서 x=-1 또는 x=3
즉, 함수 h(x)는 x=3에서 극소이자 최솟값을 가지므로 닫힌구간 [-1, 4]에서 h(x)æ0이려면
h(3)=3-kæ0 즉, k…3이어야 한다.
따라서 구하는 k의 최댓값은 3이다.
16
h(x)=f(x)-g(x)라 하면 h(x)=5x‹ -10x¤ +k-(5x¤ +2)=5x‹ -15x¤ +k-2
즉, {x|0<x<3}에서 부등식 h(x)æ0이 성립하는 k의 최솟값 을 구하면 된다.
h'(x)=15x¤ -30x=15x(x-2) h'(x)=0에서 x=0 또는 x=2
즉, 함수 h(x)는 x=2에서 극소이면서 최소이고
h(2)=40-60+k-2=k-22이므로 0<x<3에서 h(x)æ0 이려면
k-22æ0
∴ kæ22
따라서 k의 최솟값은 22이다.
17
주어진 두 곡선이 서로 다른 세 점에서 만나야 하므로 방정식 x‹ -4x¤ +3x=2x¤ -6x+a, 즉 x‹ -6x¤ +9x-a=0이 서로 다른 세 실근을 가져야 한다.f(x)=x‹ -6x¤ +9x-a라 하면
f '(x)=3x¤ -12x+9=3(x-1)(x-3) f '(x)=0에서 x=1 또는 x=3
x (0) y 2 y (3)
h'(x) - 0 +
h(x) ↘ 극소 ↗
x 0 y a y
f '(x) - 0 +
f(x) ↘ 극소 ↗
17
②18
1319
③20
③본문059쪽
x … 1 … 3 …
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗
⁄ f(x)=x‹ +2이므로 xæ0에서 f(x)æ0이 성립한다.
‹a<0일 때,
⁄ f '(x)=0에서 x=-a (`∵ xæ0)
⁄즉, 함수 f(x)는 x=-a에서 극소이면서 최소이므로 최솟 값은
⁄ f(-a)=-a‹ +3a‹ +2=2a‹ +2
=2(a‹ +1)
⁄2(a‹ +1)æ0에서 (a+1)(a¤ -a+1)æ0
⁄∴ -1…a<0
⁄, ¤, ‹에서 a의 값의 범위는 -1…a…1 따라서 a의 최댓값과 최솟값의 합은 1+(-1)=0
유형`11. 속도와 가속도
33
x 0 y -a y
f '(x) - 0 +
f(x) ↘ 극소 ↗
01
v= =6t¤ -10t, a= =12t-10이므로 t=2일 때, 속도 p=6_2¤ -10_2=4 t=2일 때, 가속도 q=12_2-10=14∴ p+q=18
02
점 P의 운동 방향이 바뀌는 것은 속도가 0일 때이다.v= =9t¤ -18t=9t(t-2) 9t(t-2)=0에서 t=2 따라서 t=2일 때의 가속도는
=18t-18에서 18_2-18=18
03
점 P의 시각 t에서의 위치 x가 x=t‹ -6t¤이므로 점 P의 시각 t에서의 속도 v는 v=3t¤ -12t
또 점 P의 시각 t에서의 가속도 a는 dv
dt dx dt
dv dt dx
dt
a=6t-12
가속도가 0이 되는 순간은 6t-12=0에서 t=2 t=2일 때, 점 P의 속도 v는 v=12-24=-12
∴ p=-12
t=2일 때, 점 P의 위치 x는 x=8-24=-16
∴ q=-16
∴ p-q=-12-(-16)=4
04
점 P의 시각 t에서의 위치가 x=t‹ +kt¤ -9t 이므로 시각 t에서의 점 P의 속도를 v라 하면 v=3t¤ +2kt-9t=1에서의 점 P의 속도가 0이므로 3+2k-9=0 ∴ k=3
∴ v=3t¤ +6t-9
또 시각 t에서의 점 P의 가속도를 a라 하면 a=6t+6 따라서 t=1에서의 점 P의 가속도는 6+6=12
05
두 점 P, Q가 만날 때, 두 점 P, Q의 좌표가 같으므로 t¤ -4t+5=2t에서 (t-1)(t-5)=0∴ t=1 또는 t=5
즉, t=5일 때, 두 점 P, Q는 두 번째 만난다.
따라서 두 점 P, Q의 시각 t에서의 속도를 각각 vP, vQ라 하면 vP= =2t-4, vQ= =2이므로
t=5일 때, 점 P의 속도는 vP=2_5-4=6 점 Q의 속도는 vQ=2
06
움직이기 시작하여 두 점 P, Q의 t초 후의 속도를 각각 vP, vQ라 하면vP= =3t-18=3(t-6) vQ= =3t-30=3(t-10)
두 점 P, Q가 서로 반대 방향으로 움직이므로 vP_vQ<0 9(t-6)(t-10)<0 ∴ 6<t<10
따라서 두 점 P, Q가 서로 반대 방향으로 움직이는 시간은 10-6=4(초)
07
점 P의 시각 t에서의 위치가 x=t‹ -5t¤ +6t 이므로 시각 t에서의 점 P의 속도를 v라 하면 v=3t¤ -10t+6또 시각 t에서의 점 P의 가속도를 a라 하면 a=6t-10
따라서 t=3에서 점 P의 가속도는 6_3-10=8 dxQ
dt dxP
dt
dxŒ dt dx∏
dt
01
③02
④03
④04
②05
①06
④11
본문061쪽